Содержание к диссертации
Введение
1 L-параболичность типа римановых многообразий 19
1.1 Вводные определения 19
1.2 Многообразия L-параболического типа 23
1.3 Многообразия с концами 31
1.4 Квазимодельные концы 35
2 L-гармонические функции на многообразиях с концами 40
2.1 L-гармонические функции на концах многообразия 40
2.2 L-гармонические функции на L-регулярных концах 44
2.3 Теоремы типа Лиувилля для L-гармонических функций . 50
2.4 Разрешимость краевых задач для гармонических функций . 62
3 L-гармонические функции на римановых многообразиях с квазимодельными концами 76
3.1 Гармонические функции на римановых многообразиях с квазимодельными концами 76
3.2 L-гармонические функции на римановых многообразиях с квазимодельными концами 85
4 Приложение 92
I. Поведение решений спектрального уравнения для оператора Лапласа—Бельтрами 92
II. Поведение решений спектрального уравнения для оператора Шредингера 92
Литература 94
- Многообразия L-параболического типа
- L-гармонические функции на L-регулярных концах
- Разрешимость краевых задач для гармонических функций
- L-гармонические функции на римановых многообразиях с квазимодельными концами
Введение к работе
В исследованиях последних десятилетий была отмечена глубокая связь между классическими проблемами теории функций, теорией решений эллиптических уравнений в частных производных второго порядка, в частности, уравнения Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шре-дингера, и геометрией римановых многообразий. Данная тематика нашла свое развитие в работах российских и зарубежных математиков: М. Андерсона, С.К. Водопьянова, А.А. Григорьяна, А.А. Клячина, В.А. Клячина, Е.М. Ландиса, П. Ли, А.Г. Лосева, Е.А. Мазепы, В.Г. Мазьи, В.М. Ми-клюкова, Н.С. Надирашвили, Л. Ниренберга, О.А. Олейник, Ю.Г. Решет-няка, С.Л. Соболева, Д. Сулливана, Л.Ф. Тама, В.Г. Ткачева, Н.Н. Ураль-цевой, СТ. Яу и ряда других авторов.
Изучение эллиптических уравнений на римановых многообразиях является достаточно новым направлением в современной математике и лежит на стыке математического анализа, дифференциальных уравнений с частными производными, дифференциальной геометрии, теории случайных процессов. Истоки указанной проблематики восходят к классификационной теории двумерных некомпактных римановых многообразий и поверхностей. Важный класс проблем данного направления относится к получению теорем типа Лиувилля, утверждающих тривиальность пространства ограниченных решений некоторых эллиптических уравнений на многообразии.
Классическая формулировка теоремы Лиувилля утверждает, что всякая ограниченная гармоническая в М.п функция является тождественной постоянной. В последнее время осуществляется следующий подход к теоремам типа Лиувилля. Пусть на римановом многообразии М задан класс функций А и эллиптический оператор L. Будем говорить, что на М выполнено обобщенное (А, 1/)-лиувиллево свойство, если пространство решений уравнения Lu = 0, принадлежащих функциональному классу А, имеет конечную размерность. Достаточно подробно об этой тематике на-
писано в обзорах А.А. Григорьяна [6], СТ. Яу [60], а также в работах В.М. Миклюкова [46], А.Г. Лосева [34] и др.
Многие работы были посвящены изучению решений эллиптических уравнений на многообразиях с концами. Так, П. Ли, Л.Ф. Там в [29] доказали, что если многообразие М имеет т концов, то размерность пространства гармонических на М функций, которые ограничены либо сверху, либо снизу на каждом конце, не меньше, чем т. Там же было доказано, что если М имеет гиперболический тип, то размерность конуса неотрицательных гармонических на М функций также не меньше, чем т.
На многообразиях с регулярными концами А.А. Григорьяном в работе [4] была доказана разрешимость некоторых краевых задач для положительных гармонических функций и были получены оценки размерности пространства ограниченных и конуса положительных гармонических'функций. Здесь под регулярностью конца понимается выполнение неравенства Харнака для неотрицательных гармонических функций на соответствующем конце.
А.Г. Лосевым в работе [30] были получены условия выполнения теорем типа Лиувилля на многообразиях с модельными концами, а также даны точные оценки размерности пространства ограниченных и конуса положительных гармонических функций на таких многообразиях.
В работах А.А. Григорьяна, СВ. Кима, Я.Х. Ли, А.Г. Лосева, Е.А. Мазепы и других математиков также рассматривались решения эллиптических уравнений более общих, чем уравнение Лапласа-Бельтрами, в частности, решения стационарного уравнения Шредингера (далее — L-гармо-нические функции)
Lu = Аи — с(х)и = 0, (1)
где с(х) — гладкая неотрицательная функция.
Так, А.Г. Лосевым и Е.А. Мазепой в работе [40] были найдены условия разрешимости задачи Дирихле для ограниченных L-гармонических функций на многообразиях с квазимодельными концами.
В работе СВ. Кима, Я.Х. Ли [11] была получена оценка размерности
конуса положительных и пространства ограниченных L-гармонических функций на многообразиях с L-регулярными концами. Здесь //-регулярность означает выполнение неравенства Харнака для неотрицательных L-гармонических функций на соответствующих концах.
По проблематике данная работа относится к очерченному направлению. Целью работы является дальнейшее исследование связей между геометрическим строением некомпактных римановых многообразий и поведением решений уравнений Лапласа—Бельтрами и Шредингера на таких многообразиях, получение необходимых и достаточных условий разрешимости некоторых краевых задач для рассматриваемых уравнений и оценка размерностей различных пространств решений уравнений Лапласа— Бельтрами и Шредингера на некомпактных римановых многообразиях.
В настоящей работе развивается подход к постановке краевых задач на некомпактных римановых многообразиях, примененный Е.А. Мазепой в работе [44], основанный на введении понятия класса [/] эквивалентных на каждом конце многообразия непрерывных ограниченных функций.
В работе применяется техника априорных оценок решений уравнений Лапласа—Бельтрами и Шредингера, метод Фурье и другие методы, относящиеся к теории потенциала и теории уравнений с частными производными. Используются также теоретико-функциональные методы, связанные с исследованием поведения решений рассматриваемых уравнений на римановых многообразиях специального вида.
Следующие результаты диссертации являются новыми.
Получено обобщение понятия параболичности и гиперболичности типа некомпактного риманова многообразия и любого его открытого подмножества для стационарного уравнения Шредингера (1). Доказана теорема Лиувилля для ограниченных L-гармонических функций на многообразиях L-параболического типа.
Получен критерий L-строгости конца многообразия.
Получены оценки размерностей различных пространств L-гармони-
ческих функций на римановых многообразиях с произвольными концами, найдены условия точности данных оценок.
Получены условия существования и единственности решений некоторых краевых задач, аналогичных, так называемой, третьей краевой или смешанной задаче.
Получены необходимые и достаточные условия на вид метрики квазимодельных концов многообразия, при которых а) концы являются L-регулярными; б) на таком многообразии выполнена теорема типа Лиувилля; в) на таком многообразии разрешимы, причем единственным образом, некоторые краевые задачи.
Основные результаты данной работы докладывались на Междуна-родной школе-конференции "Геометрический анализ и его приложения" (г. Волгоград, 2004 г.); Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (г. Казань, 2004 г.); Международной школе-конференции "Современные методы теории краевых задач" (г. Воронеж, 2007); Международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (г. Новосибирск, 2007); 8-й Международной Казанской летней научной школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (г. Казань, 2007), 7-й молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения — 2008" (г. Казань, 2008); на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (2002 — 2008 гг.), в разное время на семинарах ВолГУ "Геометрический анализ и его приложения" (рук. проф. В.М. Миклюков) и "Эллиптические дифференциальные уравнения второго порядка на римановых многообразиях" (рук. проф. А.Г. Лосев); на семинаре кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета (рук. проф. О.П. Филатов); на семинаре по геометрической теории функций кафедры математического анализа Казанского государственного университета (рук. проф. Л.А. Аксентьев).
Основные результаты опубликованы в работах [14]-[24], [36]. Все результаты из совместных статей, использованные автором в диссертации, получены им самостоятельно.
Работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. В первой главе вводится определение L-параболичности типа как самого многообразия, так и любого его подмножества; также получена теорема Лиувилля для ограниченных L-гармонических функций на многообразиях L-параболического типа. Во второй главе рассматривается вопрос о разрешимости некоторых краевых задач на римановых многообразиях с концами и вопрос единственности решений рассматриваемых задач. Также во второй главе получены оценки размерностей некоторых пространств решений стационарного уравнения Шредингера и некоторых пространств гармонических функций на многообразиях с концами. В третьей главе рассматриваются многообразия, имеющие концы специального вида. Получены условия- выполнения теорем типа Лиувилля в терминах метрики концов многообразия. В приложении приведены необходимые сведения, касающиеся решений некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений, которые используются в третьей главе.
Перейдем к точным формулировкам. В работе рассматриваются L-rap-монические функции, т.е. решения уравнения (1), на некомпактных римановых многообразиях М с пустым краем.
В первой главе вводится понятие L-параболичности типа произвольного открытого подмножества многообразия М и всего многообразия.
Определим сначала понятие L-гармонической меры произвольного непустого открытого множества Г2 СС М с гладкой границей сЮ. Всюду далее предполагаем, что М — многообразие без края.
Пусть {Bk}^i — гладкое исчерпание М, т.е. последовательность пред-компактных открытых подмножеств с гладкими границами дВ\- такая, что Вк с Bk+i для всех к > 1 и \Jf=lBk = М. При этом предполагаем, что исчерпание выбрано таким образом, что дВк и д1 трансверсальны для
всех к. Пусть Uk является решением следующей задачи Дирихле в 1ПВк
Ьик = О в Пп Bk, Uk = 0 на dfin Bk, Uk = 1 на dBk П П.
Последовательность функций {uk}k*L1 в силу принципа максимума убывает и ограничена. Тогда существует предельная функция uq = = lim Uk, которую будем называть L-гармонической мерой множества
к—>оо
И В случае ft = М, функцию Ьм = им называют функцией Лиувилля многообразия М (см. [7], [11]).
Нам также понадобится понятие L-потенциала произвольного открытого множества О многообразия М, которое мы вводим по аналогии с определенным в работе [44] понятием L-потенциала многообразия. Пусть {vk}k*Li — последовательность решений следующих задач Дирихле
Lvk = 0 в ВкГ\1, < Vk — 1 на <9П П Bk, vk = 0, на дВк П Q.
Последовательность функций {vk}kL\ в силу принципа максимума монотонно возрастает и сходится к предельной функции vq(x) = lim Vk(x),
к—>-оо
которая является L-гармонической в О и 0 < vq(x) < 1 в О,. Функцию vq(x) будем называть L-потенциалом множества Q. Определение 1. Будем говорить, что множество Q имеет Ь-параболичес-кий тип, если его Ь-гармоническая мера u^ = 0. В противном случае будем говорить, что О, имеет Ь-гиперболический тип. Будем говорить, что многообразие М имеет L-параболический тип, если функция Лиувилля многообразия Ьм = 0. В противном случае будем говорить, что М имеет Ь-гиперболический тип.
Замечание. Истоки проблемы классификации римановых многообразий восходят к классификационной теории двумерных некомпактных римановых поверхностей, основанной на изучении некоторых функциональных
классов на поверхностях и развитой в работах А. Альфорса, А. Бейрлин-га, Л. Сарио и других математиков. Из теоремы Ф. Клейна, П. Кебе и А. Пуанкаре об униформизации (см., например, [54]), в частности, следует, что всякая односвязная риманова поверхность конформно эквивалента одной из следующих поверхностей:
сфере (поверхность эллиптического типа);
комплексной плоскости (поверхность параболического типа);
гиперболической плоскости с ее комплексно-аналитической структурой (поверхность гиперболического типа).
Определение эллиптичности типа достаточно просто и заключается в определении компактности поверхности. "Значительно больший интерес вызывает задача определения параболического и гиперболического типов. Отличительным свойством двумерных поверхностей параболического (гиперболического) типа является выполнение (не выполнение) для них теоремы Лиувилля, утверждающей, что всякая положительная супергармоническая функция на данной поверхности является тождественной постоянной. Данное свойство служит основой для распространения понятий параболичности и гиперболичности на римановых многообразиях размерности выше двух. А именно, многообразия, на которых всякая ограниченная снизу супергармоническая функция равна константе, называют многообразиями параболического типа.
К числу одного из первых эффективных геометрических результатов в определении типа риманова многообразия относится теорема С.Я. Ченга и СТ. Яу [57], утверждающая, что полное риманово многообразие является параболическим, если объем геодезического шара радиуса R растет не быстрее, чем R2 при R —> оо. Однако, существуют многообразия параболического типа с произвольным ростом объема геодезического шара.
А.А. Григорьян [3] доказал, что параболичность типа полного риманова многообразия М эквивалентна тому, что вариационная емкость любого компакта в М равна нулю. Заметим, что вообще емкостная техника широко применялась и применяется в теории уравнений с частными производ-
ными и теории функций (см. работы Е.М. Ландиса [25], В.Г. Мазьи [45], Ю.Г. Решетняка [53] и др.). Например, на основе емкостной техники, получено обобщение параболичности типа для нелинейного уравнения Ари = div(|Vw|p^2Vu) = 0 (см., например, [9], [10]).
Теоретико-функциональный подход к проблеме параболичности типа римановых поверхностей и многообразий развит в работах Л.В. Альфор-са [1], Р. Неванлинны [50], СТ. Яу [60] и других математиков. Получению различных условий параболичности в терминах таких геометрических характеристик, как рост объема геодезического шара, изопе-риметрические функции и т.д. посвящены работы А.А. Григорьяна [3], В.А. Зорича, В.М. Кессельмана [9], П. Ли [29], В.М. Миклюкова [46] и других.
В данной работе получено обобщение параболичности и гиперболичности типа некомпактного риманова многообразия для стационарного уравнения Шредингера (1).
Всюду далее в данной работе рассматриваются некомпактные рима-новы многообразия и некомпактные подмножества римановых многообразий. Отметим, что если Q. — ограниченное множество, то, в силу принципа максимума и введенного определения L-параболичности типа, оно имеет L-параболический тип.
Основным результатом первой главы является следующее утверждение.
Теорема 1.2 (Теорема Лиувилля). Пусть М — многообразие L-парабо-лического типа, с(х) ф 0. Тогда всякая ограниченная L-гармоническая на М функция является тождественным нулем.
Во второй главе рассматриваются многообразия с концами. Пусть М — полное некомпактное риманово многообразие и В С М — компактное множество. Связную неограниченную компоненту D с М \ В такую, что dD — компакт, будем называть концом М по отношению к В (см., например, [6]).
Рис. 1. Многообразие М с концами D\, D2, D%.
Зафиксируем некоторый конец Д. Обозначим через {Blk\(k=zl гладкое исчерпание конца Д, т.е. последовательность предкомпактных открытых подмножеств с гладкими границами дВ\ таких, что <ЭД с Вк, В\ с Д, Т?к \ dDi с В\+1 для всех к > 1 и Uf=lBlk = Di. Пусть Л (ж) и f2(x) -непрерывные ограниченные на Д функции. Будем говорить, что функции fi{x) и /г(ж) эквивалентны на Dit и использовать обозначение Л (ж) ~ ~ /2(ж), если для некоторого исчерпания {Bk\(k=l конца Д выполнено равенство
lim sup І /і (х) - /2{х)\ = 0.
Понятие эквивалентных функций не зависит от выбора исчерпания конца Д. Обозначим класс эквивалентных / функций через [/].
Будем говорить, что функции /і и /2 слабо эквивалентны на Di, если
|/iW-/2(x)|
на Д для некоторой константы С. Здесь vr>t — L-потенциал конца Д. В главе 1 данной работы показано, что введенное отношение слабой эквивалентности является отношением эквивалентности. Будем обозначать класс слабо эквивалентных / функций через [/]*.
В дальнейшем нам потребуется определение L-строгого конца многообразия и L-регулярного конца многообразия. При этом, понятие L-строгого конца мы введем по аналогии с определением L-строгого многообразия, приведенного в работе Мазепы Е.А. [44].
Определение 2. Будем говорить, что конец Di является L-строгим, если его L-потенциал v^, [0].
Определение 3 ([11]). Говорят, что конец Di является L-регулярным, если на нем выполнено неравенство Харнака для всякой неотрицательной L-гармонической функции, т.е. существует такая константа С > 0, что для всех достаточно больших г > 0 и для всякой неотрицательной L-гармонической на (В2г(о) \ Вг/2(о)) П Di функции f выполнено
sup f < С inf f.
dBr{o)nDz dBr(o)DDt
Здесь Br(o) — геодезический шар радиуса г с центром в точке о є В.
Отметим, что введенные определения L-строгого конца и конца L-ги-перболического типа не эквивалентны (см. пример 1.1 в первой главе).
Пусть Di — некоторый конец многообразия. Будем говорить, что функция fi принадлежит классу допустимых на конце Di функций, если на конце Di существует L-гармоническая функция и такая, что и ~ fi на Д.
Всюду далее через Я"; будем обозначать класс допустимых на конце Д функций.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.1. Следующие условия эквивалентны.
(A) Существует L-гармоническая на Di функция и(х) такая, что
u{x)\dDi
(B) Существует L-гармоническая на D% функция й(х) такая, что
u(x)\qDi > 1, u(x)\Dt ~ vDi.
Для любой непрерывной на dDi функции Ф и для любой непрерывной ограниченной на Di функции /г Є К{ существует L-гармони-ческая на Di функция h(x) такая, что h є [fi], h\gD% = Ф-
Конец Di является L-строгим.
Всюду далее будем считать, что М = В U Di U ... U Ds+i — произвольное многообразие без края с концами D\,..., Ds+i, где D\,..., Ds — концы L-параболического типа, Ds+i,..., Ds+i — концы L-гиперболического типа. При этом предполагаем, что компакт В выбран таким образом, что многообразие М имеет ровно s + / концов относительно любого другого компакта В' э В.
Обозначим через ШШь{М), Н(М) и Ш'Ь{М) пространство ограниченных L-гармонических на М функций, конус неотрицательных L-гармонических на М функций и пространство L-гармонических на М функций, ограниченных с одной стороны на каждом конце многообразия, соответственно. При этом, ВЩ(М) С Ш!Ь(М).
Отметим, что из некомпактности многообразия М следует, что оно имеет как минимум один конец, откуда s +1 > 1.
Во второй главе были получены следующие утверждения.
Теорема 2.2. Пусть М — многообразие, имеющее s концов D\,..., Ds L-параболического типа и I концов Ds+i,..., Ds+i L-гиперболического типа, с(х) ф О на L\ г — 1,... s. Тогда
dimBHL(M) > /, dimH+(M) >s + l, dimM'L(M) >s + l.
Теорема 2.3. Пусть M — многообразие, имеющее s концов Di,...,Ds L-параболического типа и I концов Ds+i,..., Ds+i L-гиперболического типа, с(х) ф 0 на Dl} і = 1,... s, и все концы L-регулярны. Тогда
dimHj(M) = dim Н^ (М) = s + l, dimBHL(M) = I.
Заметим, что в работе [11] утверждалось (без приведения доказательства), что всякая неотрицательная L-гармоническая функция на многообразии, содержащем лишь концы L-параболического типа, есть тождественный ноль. Однако это не так, что иллюстрирует пример 1.2 в первой главе данной работы. Кроме того, из теоремы 2.2 следует, что на таком многообразии размерность конуса неотрицательных L-гармонических функций будет не менее числа концов многообразия.
Теорема 2.4. Пусть М — многообразие, имеющее s концов L-парабо-лического типа и I > 1 концов L-гиперболического типа. Тогда для любого набора непрерывных ограниченных функций f3 є К3, j = s + + 1,...,5 + /, существует функция и є ВЩ(М) такая, что и є [f3]* на D3, j = s+ 1,...,5 + /.
Теорема 2.5. Пусть М — многообразие, имеющее s концов L-парабо-лического типа и I > 1 концов L-гиперболического типа, причем все его концы L-гиперболического типа являются L-строгими. Тогда для любого набора непрерывных ограниченных функций f3 є К3, j = s + + 1,..., s + l, существует единственная функция и є ШШь(М) такая, что и Є [fj] на D3, j = s + 1,..., s + I.
Другой целью второй главы является рассмотрение случая с(х) = О, т.е. гармонических функций. Отметим, что не все сформулированные выше утверждения будут справедливы без изменений и для гармонических функций. Например, на многообразии, содержащем лишь концы L-napa-болического типа, теорема Лиувилля выполнена для ограниченных и не выполнена для неотрицательных L-гармонических функций. В то же время, на многообразии, содержащем только концы параболического типа, теорема Лиувилля выполнена как для ограниченных, так и для неотрицательных гармонических функций (см., например, [6]).
В случае с{х) = 0 появляется возможность постановки задач с условиями как на концы гиперболического, так и параболического типа. Соответственно, происходит расширение функционального класса, в котором ищутся решения рассматриваемых задач. Для постановки таких задач нам потребуется понятие потока гармонической функции по концу многообразия.
Определение 4. Потоком гармонической функции и по концу Вг называется число
nuxw= / —-da',
Dr J ov
dBlk\dD,
где и — единичная внешняя нормаль к В\, к — произвольный фиксированный номер.
Заметим, что в силу формулы Грина определение потока не зависит от выбора к.
Обозначим через ВН(М), Ш+(М) и Ш'(М) пространство ограниченных гармонических на М функций, конус неотрицательных гармонических на М функций и пространство гармонических на М функций, ограниченных с одной стороны на каждом конце многообразия, соответственно. Справедливы следующие утверждения.
Теорема 2.6. Пусть М — многообразие, имеющее s концов параболического типа и I концов гиперболического типа, I > 1. Тогда для любых констант oi,...,as и любых непрерывных ограниченных функций fj є Є Kj, j — s + 1,..., s + l, существует функция u{x) є Ш'{М) такая, что
fluxw(a;) = aj, і — 1,..., s, и{х) Є [fjY на Dj, j = s + 1,..., s + I.
Теорема 2.7. Пусть M — многообразие, имеющее s концов параболического типа и I концов гиперболического типа, I > 1, при этом все концы гиперболического типа являются /^-строгими, а концы параболического типа регулярными. Тогда для любых констант ai,...,as и любых непрерывных ограниченных функций fj є Kj, j = s + 1,..., s + I, существует единственная функция u(x) є Ш'(М) такая, что
Ruxu(x) = аі, і = 1,..., s, и{х) Є [fj] на D3 ,j = s + 1,... ,s + І.
Теорема 2.8. Пусть М — многообразие, имеющее s концов параболического типа и I концов гиперболического типа. Если все концы многообразия регулярны, то
dimH;(M) = s + Z.
В третьей главе рассматриваются гармонические и L-гармонические функции на многообразиях М с квазимодельными концами. Конец Бг
многообразия М называется квазимодельным, если он изометричен прямому произведению (го,+оо) х Sn х Si2 х ... х Sik с метрикой
ds2 = dr2 + gl{r)del + ... + g2k{r)de2ik,
где Sij — компактные римановы многообразия без края, gij{r) — положительные гладкие на (го, +оо) функции, d9f- — метрика на Si3, j = 1,... ,к, к = к(г). Будем также предполагать, что с(х) = сі{г) на каждом конце Д. Пусть riij = ^111. Введем обозначения
Si(t)
slit)=g^ii)...g^(f),
оо / t \ оо / оо \
Jij = / ^т I / Qij(z)dz dt, Nij = / —7^ j qi3{z)dz dt,
ro Vo / J"0 \t /
где j = 1,...,к.
В первом параграфе третьей главы рассматриваются гармонические функции, т.е. случай с(х) = 0 на М.
Справедливо следующее утверждение, в котором получены некоторые условия на вид метрики квазимодельного конца, при которых конец является регулярным.
Теорема 3.1. Пусть Di — квазимодельный конец. Справедливы следующие утверждения.
(і) Если конец Di имеет гиперболический тип, то Di является регулярным тогда и только тогда, когда Зіз- = оо для всех j = 1,..., к.
(и) Если конец Di имеет параболический тип и N^ = оо для всех j = 1,..., к, то Di является регулярным.
Будем говорить, что квазимодельный нерегулярный конец Di гиперболического типа является нерегулярным концом порядка (к, 5г-) (1 < Si < < к), если J^ < оо для всех j < Si и Jij = оо при j > Si.
Следующее утверждение является следствием теоремы 3.1 и результатов, полученных во второй главе диссертации.
Следствие 3.2. Пусть М имеет s квазимодельных концов D\, ...,DS параболического типа, I квазимодельных регулярных концов Ds+\,..., Ds+i гиперболического типа и р квазимодельных нерегулярных концов Ds+i+\,..., Ds+i+p гиперболического типа порядков {k\, s\), ..., (kp, sp), соответственно. Пусть l+p > 1. Тогда для любого набора (ai,...,as, bs+i,...,bs+i, Ф8+1+і,...,Фа+і+р), где a1,...,as, bs+1, ...,bs+l — произвольные константы, а Фі = Ф{(вц,..., OiSi) — непрерывные на Sn х ... х Sis. функции (і — s + / + 1,..., s + / + р), существует функция и є Ш'{М) такая, что
fluxw — ai,i — 1,..., s; limu = 6j,і = s + 1,.... s + l:
lim u(r, Єц,... вік) = Ф,-(0ті, , 9І8і) на A, (2)
r—>oo
І = S + I + 1, ...,5 + I +P-
При этом, если все концы параболического типа Di,...,Ds являются регулярными, то решение краевой задачи (2) будет единственным в
Ш'(М).
Отметим, что существование решения задачи (2) без условий на концы параболического типа среди функций и Є ВН(М) ранее было доказано А.Г. Лосевым и Е.А. Мазепой в работе [40]. В следствии 3.2 получено обобщение данного результата: в постановке задачи появляются условия на концы параболического типа, решения ищутся в пространстве H'(M); кроме того, найдены точные условия единственности решения данной задачи.
Во втором параграфе третьей главы получено следующее утверждение, содержащее некоторые условия на вид метрики квазимодельного конца, при которых конец является L-регулярным.
Теорема 3.2. Пусть Dt — квазимодельный конец. Справедливы следующие утверждения.
(і) Если конец Di имеет L-гиперболический тип, то Di является L-регулярным тогда и только тогда, когда J^ — оо для всех j = 1,..., к.
(И) Если конец D{ имеет L-параболический тип и Nij — оо для всех j = 1,..., к, то Df является Ь-регулярным.
Пользуясь случаем, автор выражает глубокую благодарность за полезные обсуждения и замечания по теме настоящей работы своему научному руководителю д.ф.-м.н. А.Г. Лосеву, а также к.ф.-м.н. Е.А. Мазепе и В.Ю. Чебаненко.
Список обозначений.
М — гладкое связное некомпактное риманово многообразие без края, п = dimM.
ШШь(М) — пространство ограниченных L-гармонических на М функций.
ЕГ(М) — конус неотрицательных L-гармонических на М функций.
Ш'Ь(М) — пространство L-гармонических на М функций, ограниченных с одной стороны на каждом конце многообразия.
ВН(М) — пространство ограниченных гармонических на М функций.
Ш+(М) — конус неотрицательных гармонических на М функций.
Ш'(М) — пространство гармонических на М функций, ограниченных с одной стороны на каждом конце многообразия.
Di — конец многообразия М.
fluxu — поток гармонической функции и по концу Di.
Многообразия L-параболического типа
Обозначим через ВН(М), Ш+(М) и Ш (М) пространство ограниченных гармонических на М функций, конус неотрицательных гармонических на М функций и пространство гармонических на М функций, ограниченных с одной стороны на каждом конце многообразия, соответственно. Справедливы следующие утверждения.
Теорема 2.6. Пусть М — многообразие, имеющее s концов параболического типа и I концов гиперболического типа, I 1. Тогда для любых констант oi,...,as и любых непрерывных ограниченных функций fj є Є Kj, j — s + 1,..., s + l, существует функция u{x) є Ш {М) такая, что fluxw(a;) = aj, і — 1,..., s, и{х) Є [fjY на Dj, j = s + 1,..., s + I. Теорема 2.7. Пусть M — многообразие, имеющее s концов параболического типа и I концов гиперболического типа, I 1, при этом все концы гиперболического типа являются / -строгими, а концы параболического типа регулярными. Тогда для любых констант ai,...,as и любых непрерывных ограниченных функций fj є Kj, j = s + 1,..., s + I, существует единственная функция u(x) є Ш (М) такая, что Ruxu(x) = аі, і = 1,..., s, и{х) Є [fj] на D3 ,j = s + 1,... ,s + І. Теорема 2.8. Пусть М — многообразие, имеющее s концов параболического типа и I концов гиперболического типа. Если все концы многообразия регулярны, то dimH;(M) = s + Z. В третьей главе рассматриваются гармонические и L-гармонические функции на многообразиях М с квазимодельными концами. Конец Бг многообразия М называется квазимодельным, если он изометричен прямому произведению (го,+оо) х Sn х Si2 х ... х Sik с метрикой где Sij — компактные римановы многообразия без края, gij{r) — положительные гладкие на (го, +оо) функции, d9f- — метрика на Si3, j = 1,... ,к, к = к(г). Будем также предполагать, что с(х) = СІ{Г) на каждом конце Д. Пусть riij = 111. Введем обозначения В первом параграфе третьей главы рассматриваются гармонические функции, т.е. случай с(х) = 0 на М. Справедливо следующее утверждение, в котором получены некоторые условия на вид метрики квазимодельного конца, при которых конец является регулярным. Теорема 3.1. Пусть Di — квазимодельный конец. Справедливы следующие утверждения. (і) Если конец Di имеет гиперболический тип, то Di является регулярным тогда и только тогда, когда Зіз- = оо для всех j = 1,..., к. (и) Если конец Di имеет параболический тип и N = оо для всех j = 1,..., к, то Di является регулярным. Будем говорить, что квазимодельный нерегулярный конец Di гиперболического типа является нерегулярным концом порядка (к, 5г-) (1 Si к), если J оо для всех j Si и Jij = оо при j Si. Следующее утверждение является следствием теоремы 3.1 и результатов, полученных во второй главе диссертации. Следствие 3.2. Пусть М имеет s квазимодельных концов D\, ...,DS параболического типа, I квазимодельных регулярных концов Ds+\,..., Ds+i гиперболического типа и р квазимодельных нерегулярных концов Ds+i+\,..., Ds+i+p гиперболического типа порядков {k\, s\), ..., (kp, sp), соответственно. Пусть l+p 1. Тогда для любого набора (ai,...,as, bs+i,...,bs+i, Ф8+1+і,...,Фа+і+р), где a1,...,as, bs+1, ...,bs+l — произвольные константы, а ФІ = Ф{(вц,..., OiSi) — непрерывные на Sn х ... х Sis. функции (і — s + / + 1,..., s + / + р), существует функция и є Ш {М) такая, что fluxw — ai,i — 1,..., s; limu = 6j,і = s + 1,.... s + l:типа Di,...,Ds являются регулярными, то решение краевой задачи (2) будет единственным в Ш (М). Отметим, что существование решения задачи (2) без условий на концы параболического типа среди функций и Є ВН(М) ранее было доказано А.Г. Лосевым и Е.А. Мазепой в работе [40]. В следствии 3.2 получено обобщение данного результата: в постановке задачи появляются условия на концы параболического типа, решения ищутся в пространстве H (M); кроме того, найдены точные условия единственности решения данной задачи. Во втором параграфе третьей главы получено следующее утверждение, содержащее некоторые условия на вид метрики квазимодельного конца, при которых конец является L-регулярным. Теорема 3.2. Пусть Dt — квазимодельный конец. Справедливы следующие утверждения. (і) Если конец Di имеет L-гиперболический тип, то Di является L-регулярным тогда и только тогда, когда J — оо для всех j = 1,..., к. (И) Если конец D{ имеет L-параболический тип и Nij — оо для всех j = 1,..., к, то Df является Ь-регулярным. Пользуясь случаем, автор выражает глубокую благодарность за полезные обсуждения и замечания по теме настоящей работы своему научному руководителю д.ф.-м.н. А.Г. Лосеву, а также к.ф.-м.н. Е.А. Мазепе и В.Ю. Чебаненко.
L-гармонические функции на L-регулярных концах
В данном параграфе изучается поведение и свойства L-гармонических функций на концах многообразия.
Зафиксируем некоторый конец D{ многообразия М. Всюду далее будем считать, что ид — L-гармоническая мера конца Dit VD{ — L-потенциал конца Dt. Обозначим А(0) = dDi. Переобозначим для фиксированного г конец Di через D, ирг, VD% через up, vp, соответственно. Обозначим через ML(D) пространство L-гармонических на D функций, через MM.L{D), M (D) и M. L(D) — пространство ограниченных, конус неотрицательных и пространство ограниченных с одной стороны L-гармонических на D функций, соответственно. Будем говорить, что функция / принадлежит классу допустимых на конце D функций, если на конце D существует L-гармоническая функция и такая, что и / на D. Всюду далее через К будем обозначать класс допустимых на конце D функций. Пусть {-} — гладкое исчерпание конца D. Положим также D{k) = = dBk\D(0). Лемма 2.1. Для любых констант аъ а2 и для любой непрерывной ограниченной на конце D функции f(x) є К существуют L-гармонические на D функции и{х) и й(х) такие, что U{X)\D(Q) «ь й(х)\щ0) а2, u(x)\D Є [/] , u{x)\D Є [/] . Доказательство. По определению класса К, на D существует функция и{х) Є ML(D) такая, что и(х) [/]. Очевидно, что искомыми являются следующие функции и(х) = [ а\ — supu(x) J VQ(X) + и(х), \ ОД ) u(x) = І Й9 — inf и(х) І vn(x) + и(х). \ D(0) J Теорема 2.1. Следующие условия эквивалентны. (A) Существует L-гармоническая на D функция и[х) такая, что мО)Ь(о) 1, U.{x)\D зд. (B) Существует L-гармоническая на D функция й(х) такая, что (я)Ь(о) 1, U(X)\D VD. (C) Для любой непрерывной на -D(O) функции Ф и для любой непрерывной ограниченной на D функции f є К существует L-гармоничес-кая на D функция h(x) такая, что h Є [/], h\D = Ф. (D) Конец D является L-строгим. Доказательство. Импликация (D) — (С) доказана в [44]. Импликации (С) — (А) и (С) — (В) очевидны в силу того, что vD Є К по определению класса К. Покажем, что (В) — ( ). Предположим противное, т.е. что г )(:г) [0] на Z). Из утверждения (В) следует, что на D существует L-гармоническая функция й(х) такая, что к(ж)І)(0) 1 и й г д на D. Рассмотрим функцию ги(ж) = mi l) й{х). Отметим, что w(x)\D )(0) 1. Из принципа максимума и того, что й(х) (х), зд(ж) 0 на D следует, что w(x) 0 на D. Из того, что й{х) г (ж) 0и ш(ж) г(а;) на D следует, что найдется точка х є D такая, что w(x ) vD(x ). (2.1) на Z). Из последнего следует, что w(x) -vD{x) vD{x) тши(х) ЩО) на D. Из того, что VD{X) & [01 и тіпкґа;) 1 следует, что найдется такая (0) точка х є .D, что ги(ж ) - vD{x ) О, откуда следует (2.1). Обозначим через vk решение следующей задачи Дирихле в Вк Lvk = 0, vk\D{k) = О, fcb(o) = 1 Тогда по определению L-потенциала Vk(x) — (ж) при /с — со. Заметим, что Ц )Ь(о) Vfc(a;)z?(o) = 1, w(z)r (jfe) (a;)b(fc) = 0. Из последнего получаем, что при всех к vk(x) w(x) на Dfl Bk. Переходя к пределу при к — со получаем, что w(x) VD{X) на D. Пришли к противоречию с (2.1). Таким образом, предположение о том, что vD{x) . [0] на D неверно. Нам осталось показать, что из утверждения (Л) следует утверждение Предположим противное, т.е. что VD(X) . [0] на D. Из утверждения (Л) следует, что на D существует L-гармоническая функция и(х) такая, что м(ж)Ь(о) 1 и U. VD на D. Рассмотрим функцию w(x) VD(X) —U{X) 1 — maxu(x) Заметим, что ги(ж)І (о) 1, откуда, в силу принципа максимума и того, что и(х) -уд(ж), -up(#) 0 на D следует, что w{x) О на D. Покажем, что существует точка х є D такая, что w(x ) vD(x ). (2.2) Действительно, если тахи(х) 0, то в силу того, что и(х) VD(X) Ф 0, найдется такая точка х , что и{х ) = 0. Тогда ги(х ) = л_х \ л D(O)-V vn(x ), т.к. тахи(х) 0. (0) Пусть теперь та,хи(х) 0. Из условия и(х) vn(a;) /0и тахи(ж) (0) Ч Ч У V У (0) -V 1 следует, что найдется такая точка х є D, что U,(X ) тахи(х) D(o)-K Из последнего мы получаем, что vpix ) — и(х ) VD(X )(1 -maxu(x)), »(0) откуда следует (2.2). Пусть Vfc — решение следующей задачи Дирихле в В/ Lvk = 0, Vk\D(k) = 0, fcb(o) = 1 Тогда по определению L-потенциала Vk(x) —» VD(X) при /с — со. Заметим, что w(aOb(o) А(ж)І,(о) = 1, w(s)li (fc) ИІОД = 0. Из последнего получаем, что при всех к vk(x) w(x) на D П 2. Переходя к пределу при к — оо получаем, что гу(ж) f (a;) на D. Пришли к противоречию с (2.2). Таким образом, предположение о том, что VD{X) [0] на D неверно. Теорема 2.1 доказана. Следствие 2.1. Пусть с(х) ф 0. Если D — L-строгий конец L-параболи-ческого типа и и{х) — L-гармоническая на D функция, то либо и(х) не ограничена на D,- либо и(х) є [0] на D. Доказательство. Предположим противное, т.е. и(х) є MML(D) и и{х) 0 . [0] на D. Из последнего, не ограничивая общности, можем считать, что lim supii(a;) = 1 (в противном случае умножим функцию и{х) на k D(k) соответствующую константу). Из теоремы 2.1 следует, что существует такая L-гармоническая на D функция й(х), что й(х) = 0 на D(0) и й{х) и(х) qL [0] на D. Очевидно, что lim supu(x) = 1. В силу принципа к- D{k) максимума, supu(rc) = 1. Таким образом, й(х) — нетривиальная L-гармо D ническая мера конца D. Пришли к противоречию с L-параболичностью типа конца D. Доказательство следующего утверждения можно найти в работе [11]. Лемма 2.2. На любом конце D L-параболического типа существует неотрицательная неограниченная L-гармоническая функция hp такая, что hr = 0 на D(0).
Разрешимость краевых задач для гармонических функций
В данном параграфе рассматриваются гармонические функции, т.е. случай, когда с(х) = 0 на М. Заметим, что не все утверждения предыдущего параграфа будут справедливы без изменений и для гармонических функций. Связано это, в частности, с тем, что любая константа, отличная от нуля, не является L-гармонической функцией (в то время как является гармонической). Данный факт был нами существенно использован при доказательстве леммы 2.7. Кроме того, как уже было показано, на многообразии, содержащем лишь концы L-параболического типа, теорема Лиу-вилля выполнена для ограниченных и не выполнена для неотрицательных L-гармонических функций. В то же время, на многообразии, содержащем только концы параболического типа,, теорема Лиувилля выполнена как для ограниченных, так и для неотрицательных гармонических функций (см., например, [6]). Оценки размерностей различных пространств гармонических функций на многообразиях с концами можно найти, например, в работах А.А. Григорьяна, П. Ли, А.Г. Лосева, Л.Ф. Тама и в работах других математиков.
При рассмотрении гармонических функций появляется возможность постановки задач с условиями на концы не только гиперболического, но и параболического типа. Соответственно, происходит расширение функционального класса, в котором ищутся решения рассматриваемых задач. Для постановки краевых задач с условиями на концы параболического типа нами будет использоваться понятие потока гармонической функции по концу многообразия.
Обозначим через Н(Д) пространство гармонических на Д функций, через ВН(Д) и Н (Д) — пространство ограниченных и пространство ограниченных с одной стороны гармонических на Д функций, соответственно. Лемма 2.8. Пусть D{ — конец параболического типа. Если и{х) є Є ВН(Д), то fhixwOc) = 0. Если Нтгг(ж) = -boo (\imu(x) = — со, со- ответственно), то fluxwfa;) 0 (соответственно, fluxwfa;) О). А А Доказательство. Докажем первую часть леммы 2.8. Пусть и є BH(Z i). Не ограничивая общности, считаем, что и{х) 0 на Д. Тогда существует такая константа С 0, что 0 inf и(х) supu(x) A Di С. Пусть Vk(x) — последовательность гармонических на Di функций таких, что где, как и ранее А(0) = dDit D k) = дВ[ \ Д(0), {В[} =1 - гладкое исчерпание конца Di. Тогда, в силу того, что конец Di имеет параболический тип, последовательность {г } убывает и сходится к нулю. Из последнего получаем, что где v — единичная внешняя нормаль к Вгк, т.е. fluxt — 0 при к — оо. Так как функции /і = Сг & — и и /2 = u + C(vk — 1) отрицательны на А(0) и положительны на А(/с), то, в силу леммы 1.3, получаем, что flux(C4 - и) 0, flux(w + C(vk - 1)) 0. Из последнего следует, что —С flux г flux и С flux г . А А А При к — оо получаем, что fluxw = 0, что и требовалось показать. А Докажем вторую часть леммы 2.8. Из того, что Нтк(ж) = +оо (limu(x) = -оо, соответственно) следует, что найдутся такие к\ кч (к\ /. соответственно), что «(ж) 1 () u(x)\Di{k2)- Из последнего, учитывая лемму 1.3, получаем требуемое. Лемма 2.8 доказана. Лемма 2.9. Пусть f — гармоническая ограниченная с одной стороны на регулярном конце Di функция. Тогда существует конечный или бесконечный предел lim /. При этом lim / — +00 (lim f = —00, соответ-ственно) тогда и только тогда, когда flux/ 0 (flux/ О, соответ-ственно) и Di имеет параболический тип. Доказательство. Если Di имеет гиперболический тип, то из леммы 2.5 следует, что найдется такая константа Ь, что / є [Ьмд]. Учитывая следствие 2.2, получаем, что в этом случае lim/ = 6. Пусть Di имеет параболический тип. Рассмотрим сначала случай, когда / не ограничена на Д. Тогда lim/ = ±00 в силу леммы 2.5. При этом, если lim/ = +00 (lim/ = —00), то, в силу леммы 2.8, flux/ О (flux/ 0). Рассмотрим теперь случай, когда / ограничена на Dt. Заметим, что flux/ = 0 в силу леммы 2.8. Покажем, что существует конечный предел Di lim f. Положим 6= lim sup/, b= lim inf /. (2.13) k D%{k) fc- oo ,() Поступаем, как и в [4]. Предположим, что найдется такое N, что sup / Ъ. Тогда, в силу принципа максимума, sup / 6 для всех к А (АО А (А) N. Применяя при достаточно больших к неравенство Харнака к гармонической функции Ъ — /, получаем sup (b — /) С inf (6 — /), откуда Dt{k) Dt{k) b — inf / C(b — sup /). Переходя в последнем неравенстве к пределу при к — со, получаем, что lim inf / = b, откуда, с учетом (2.13), следует к—юо Dt(k) существование конечного предела lim/.
L-гармонические функции на римановых многообразиях с квазимодельными концами
Заметим, что в случае, когда и Є ВН( ), из (3.9) сразу следует справедливость оценки (3.15) для С\ = 0 и некоторой константы С2. Действительно, из (3.9) и ограниченности и{х) на D следует ограниченность Hx.../fc(r) на D для любого набора (ь ..., Ik), откуда получаем требуемое.
Предположим, что ... (г)! — 00 при г — оо. Учитывая неравенство (3.15), получаем, что Vo...o(OI ПРИ г Кроме того, из предложения 4.2 (см. приложение) получаем, что Пришли к противоречию с (3.15). Отсюда, учитывая предложение 4.1 (см. приложение) получаем, что lim oo V .../fc(r) = 0 при /[ 1. Из последнего, как и в [40], получаем, что ряд в правой части равенства (3.7) сходится равномерно на [го,+оо) х 5i х ... х 51. Тогда, учитывая (3.12), получаем Из пункта (і) леммы 3.2 и предложения 4.1 (см. приложение) получаем, что Ипіг оо Vo...o(r) = const. Учитывая формулу (3.16) получаем, что в этом случае существует конечный предел limn. Если же выполнены условия пункта (и), из предложения 4.1 (см. приложение) следует, что при г — оо Vo...o(r) — сю, либо И)...о( ) —» const. Из формулы (3.16) следует, что в этом случае существует конечный, либо бесконечный предел limn. Из полученного результата, формул (3.11), (3.9) и из леммы 3.1 вытекает утверждение леммы 3.2. Следствие 3.1. Пусть Nj — оо на D для всех j = 1,..., к. Если Q = оо, то предел lim и = оо тогда и только тогда, когда fluxu Ф 0. Если же Замечание. Утверждение следствия 3.1 для регулярных концов было доказано в работе [4]. Теорема 3.1. Пусть D — квазимодельный конец. Справедливы следующие утверждения. (і) Если конец D имеет гиперболический тип, то D является регулярным тогда и только тогда, когда Jj = оо для всех j = 1,... ,k. (И) Если конец D имеет параболический тип и Nj — оо для всех j = 1,..., к, то D является регулярным. Доказательство. Докажем (і). Если D — регулярный конец гиперболического типа, то в силу леммы 2.9 каждая функция и(х) Є BH(D) имеет конечный предел \lmu(x). Из того, что D имеет гиперболический тип, следует, что Q оо. Предположим противное, т.е. что найдется такое j, 1 J к, что Jj оо. Учитывая теорему А1, приходим к противоречию с тем, что существует предел limn(a;). Из последнего заключаем, что Jj = оо для всех j = 1,..., к. Если же Q оо и Jj — оо для всех j — 1,..., к на D, то из леммы 3.2 и следствия 3.1 следует, что всякая неотрицательная гармоническая на D функция имеет конечный предел на D. Из последнего получаем, что на D выполнено неравенство Харнака для неотрицательных гармонических функций, т.е. D является регулярным. Аналогично, из леммы 3.2 и следствия 3.1 получаем утверждение пункта (ii). Замечание. Конец D имеет гиперболический тип тогда и только тогда, когда Q оо (см. [30] и лемму 1.5). Будем говорить, что квазимодельный нерегулярный конец Di гиперболического типа является нерегулярным концом порядка (к, Sj) (1 Sj к), ЄСЛИ Jij ОО ДЛЯ ВСЄХ j Si И Jij = ОО При j Si. Следствие 3.2. Пусть М имеет s квазимодельных концов Di,...,Ds параболического типа, I квазимодельных регулярных концов Ds+i,..., Ds+i гиперболического типа и р квазимодельных нерегулярных концов Ds+i+i,...,Ds+i+p гиперболического типа порядков {k\,s\), ..., (kp,sp)} соответственно. Пусть 1 + р 1. Тогда для любого набора (a\,...,as, bs+i,...,bs+i, Ф3+1+1:...,Ф3+і+р), где ab...,as, 6S+1,...,bs+i — произвольные константы, а Ф; = ФІ(9Ц, ...,0 ) — непрерывные на Sn х ... х SiSi функции (і — s +1 + 1,. s + / + р), существует функция и є H (M) такая, что При этом, если все концы параболического типа Di,...,Ds являются регулярными, то решение краевой задачи (3.17) будет единственным в Н (М). Доказательство. Существование решения задачи (3.17) следует из теоремы 2.6, теоремы А1, теоремы А2, замечания 1.6 и замечания к теоремам А1 и А2. Покажем справедливость второй части следствия 3.2. Заметим, что каждый квазимодельный конец гиперболического типа является А-строгим (см. замечание к теоремам А1 и А2). Поэтому, в случае, когда все концы параболического типа являются регулярными, из теоремы 2.7 следует единственность решения задачи (3.17). Следствие 3.2 доказано. Замечание. Существование решения задачи (3.17) без условий на концы параболического типа среди функций и Є ШШ(М) легко следует из результатов работы [40].
