Введение к работе
Актуальность темы. Начиная с конца сороковых годов началось систематическое исследование сплайн-функций и сплайн-приближений. Выяснилось, что сплайны (или кусочно-полиномиальные функции) образуют удобный и адекватный аппарат приближения . функций конечной гладкости. Многочисленные применения сплайнов в различных областях теории приближений, теории экстремальных задач, вычислительной математики (см., например, [і] - [з]) позволяют отнести сплайн-функции, наряду с полиномами, тригонометрическими и рациональными функциями, к естественным средствам приближения.
В последнее время интенсивно развивается область многомерных сплайн-приближений и их применений (см. L4J» [5j)« Настоящая работа продолжает исследования в этой области. Она посвящена приближениям сплайнами классов функций многих переменных, име-
-
Стечкин СБ., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. - М.: Наука, 1976. - 248 с.
-
Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. - М.: Наука, 1984. - 352 с. .
-
Schumaker L.L. Spline functions: basic theory. - New York: John Willey and Sons. - 1931. - 533 p.
-
Dahmen W., llicchelli Ch.A. Recent progress in multivariate splines // In: Approximation Theory 4. - Acad. Press, New York. - 1984. - P.27-121.
-
Cieslelski 2., Pigiel S. Spline bases in classical function spaces on compact С manifolds, 1,2 // Stud. Math. -1983. - 76, No.1. - P.1-58, Ho.3. - P.95-136.
- г -
ющих различные дифференциальные свойства по разным переменным. Полученные результаты лишний раз указывают на экстремальные свойства сплайнов, выявляют их практическую ценность. Целью диссертационной работы является
исследование поперечников анизотропных классов функций Никольского Н^(Г% Кр^оо , <* 6 lrV . (см. [б]), поперечников пересечения таких классов;
вычисление порядков сложности по Колмогорову -приближения классов Нр (I );
решение некоторых экстремальных задач нелинейного анализа на классах функций конечной гладкости с граничными условиями.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Они состоят в следующем.
1. Методом дискретизации вычислены порядки колмогоровского,
линейного, александровского и энтропийного поперечников классов
функций Hpd**) в метрике пространства Lc^\I ),
1$ ^<оо , а также порядки колмогоровского, александровског* и энтропийного поперечников пересечения классов Ньі (І**) при условии, что вектора cLi , j = і,—>'t лежат на одном луче в пространстве JR с вершиной в начале координат.
2. Дано определение сложности -приближенного вычисления
функций и классов функций в метрике'пространства La(I/ ,
обобщающее соответствующее понятие колмогоровской сложности при
ближенного вычисления непрерывных функций, и вычислен порядок
зтой сложности для классов функций rip 1-L /
6. Никольский СМ. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - Ы.: Наука, 1969. - 480 с.
3. Рассмотрена основная изопериметрическая задача с граничными условиями (см. ?]) Найдено ее решение в одномерном случае при альтернирующих краевых условиях и в многомерном случае при нулевых краевых условиях.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в некоторых областях теории приближений, теории экстремальных задач, а также в вычислительной математике и технике.
Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференции молодых ученых (Москва, МГУ, февраль 1987 г.), на семинарах кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ и кафедры оптимизации факультета математики ЕрГУ.
Публикации» Основное содержание диссертации опубликовано в грех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 81 наименование. Объем диссертации - 93 машинописных страницы.
Во введении дается краткий обзор результатов, относящихся к теме диссертации, приводятся все необходимые определения, и формулировки основных результатов.
В параграфах I и 2 первой главы вводятся необходимые обо-
7. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1976. - 304 с.
значения и определения и формулируются предварительные сведения, касающиеся пространств функций конечной гладкости, поперечников, сложности -приближенного вычисления функций и классов функций.
Параграфы 3 и 4 первой главы посвящены свойствам пространсті гладких сплайнов и представлениям сплайнов суммами из В-сплай-нов. Для сплайн-функций доказываются аналоги хорошо известных теорем гармонического анализа: Марцинкевича-Зигмунда, Рисса, неравенства Бернштейна-Никольского, прямых и обратных теорем теорш приближений (см. [б]). Эти теоремы лежат в основе приложений сплайн-приближений.
Глава 2 посвящена доказательству основных результатов диссертации. Сформулируем их.
Примем следующие обозначения. 1= [ОД], 1 = [-1Д] ,
{ЄіЗиі - стандартный базис в |Rm , (0-)+-max (Л,0) , _ Га-1 ,аЫ
Определим анизотр_опное_п2останство функций конечной_глад-
кости
Нр (Г*) ,1<р^оо , ^С Є |R|^ , которое служит
основным объектом наших исследований. Для функции обозначим 11^:(-)11,0^.=
= sap uW^r.) Ке Д*) /,-v-Wd
К; = Ь. , ЄСЛИ «C.„f ДО , И К; = 1 , ЄСЛИ ^ IR+\ f^ ,
где (JUK(x()/", Х^*)р - есть интегральный р -тый модуль непрерывности К -того порядка функции 2С() в направлении вектора tT 6 fRw. Теперь определим
Н*(Г) = {хо)Є АрСГ)) И^CC%(IW}< со},
- I -
Актуальность темы. Начиная с конца сороковых годов началось систематическое исследование сплайн-функций и сплайн-приближений. Выяснилось, что сплайны (или кусочно-полиномиальные функции) образуют удобный и адекватный аппарат приближения . функций конечной гладкости. Многочисленные применения сплайнов в различных областях теории приближений, теории экстремальных задач, вычислительной математики (см., например, ([і] - з]) позволяют отнести сплайн-функции, наряду с полиномами, тригонометрическими и рациональными функциями, к естественным средствам приближения.
В последнее время интенсивно развивается область многомерных сплайн-приближений и их применений (см. [4], [б]). Настоящая работа продолжает исследования в этой области. Она посвящена приближениям сплайнами классов функций многих переменных, име-
-
Стечкин СБ., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. - М.: Наука, 1976. - 248 с.
-
Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. - М.: Наука, 1984. - 352 с. t
-
Schumaker b.L. Spline functions: basic theory. - Hew York: John Willey and Sons. - 1981. - 533 p.
4. .Dahmen Iff., Micchelli Ch.A. Recent progress in multivariate
splines // In: Approximation Theory 4. - Acad. Press, Hew York. - 1984. - P.27-121.
5. Сіезіеізкі z.f Pigiel T. Spline bases in classical function
spaces on compact С manifolds, 1,2 // Stud. Math. -
1983. - 76, So.1. - P.1-58, Mo.3. - P.95-136.
ющих различные дифференциальные свойства по разным переменным. Полученные результаты лишний раз указывают на экстремальные свойства сплайнов, выявляют их практическую ценность. Целью диссертационной работы является
исследование поперечников анизотропных классов функций Никольского Hf(Iм), UpSoo.SCeiR^ , (см. [б]), поперечников пересечения таких классов;
вычисление порядков сложности по Колмогорову -приближения классов
решение некоторых экстремальных задач нелинейного анализа на классах функций конечной гладкости с граничными условиями.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Они состоят в следующем.
1. Методом дискретизации вычислены порядки колмогоровского,
линейного, александровского и энтропийного поперечников классов
функций Нр(1Ы') в метрике пространства
^$ а$ оо , а также порядки колмогоровского, александровского и энтропийного поперечников пересечения классов Ньі (І**) при условии, что вектора eC* , ^ = 1,...^ , лежат на одном луче в пространстве (R с вершиной в начале координат.
2. Дано определение сложности -приближенного вычисления
функций и классов функций в метрике пространства La,(Iwt) ,
обобщающее соответствующее понятие колыогоровской сложности при
ближенного вычисления непрерывных функций, и вычислен порядок
этой сложности для классов функций Нр (1 )
6. Никольский СМ. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1969. - 480 с.
3. Рассмотрена основная изопериметрическая задача с граничными условиями (см. [?])» Найдено ее решение в одномерном случае при альтернирующих краевых условиях и в многомерном случае при нулевых краевых условиях.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в некоторых областях теории приближений, теории экстремальных задач, а также в вычислительной математике и технике.
Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференции молодых ученых (Москва, МГУ, февраль 1987 г. ), на семинарах кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ и кафедры оптимизации факультета математики ЕрГУ.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 81 наименование. Объем диссертации - 93 машинописных страницы.
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")
