Введение к работе
Актуальность темы
Проблема, рассматриваемая в диссертаций, происходит из теории многомерных вычетов и тесно связана с ней. Основной задачей теории вычетов является изучение интегралов вида
/
(1)
от замкнутой дифференциальной формы и; на комплексном аналитическом многообразии И", имеющей особенности на некотором аналитическом множестве (поверхности) V. Интегрирование ведется по циклу Г, лежащему в дополнении (Г \ V к поверхности Г.
В одномерном случае вычисление интегралов такого типа сводится к нахождению вычетов в особых точках подынтегральной функции, лежащих внутри контура интегрирования.
В случае нескольких переменных для понижения порядка интегрирования используется представление цикла в виде трубки вокруг поверхности над циклом меньшей размерности. В 1887 г. А. Пуанкаре доказал существование такого представления для любого цикла в дополнении к алгебраической кривой в С2 ([13]). А именно:
Если V — {Q(z\, гг) = 0} - алгебраическая кривая в двумерном комплексном пространстве С2, то всякий двумерный цикл Г в дополнении С2 \ V гомологичен трубке т{;) над одномерным циклом ~, лежащим на множестве регулярных точек кривой V.
Отсюда он вывел, что всякий интеграл
/ 7Ї7 Т^1 Л ^2
(Р, Q - полиномы двух переменных) сводится к периодам абелевых
интегралов на римановой поверхности, определяемой знаменателем Q,
т.е. на кривой V.
Развивая идеи Пуанкаре, Лере построил теорию многомерных вычетов для гладких гиперповерхностей в С" ([3]). Он определил граничный гомоморфизм, ставящий в соответствие каждому циклу -, на гиперповерхности V трубку т(-,) (цикл размерности на единицу больше) в дополнении к Г. В частности, из теории Лере следует, что теорема Пуанкаре верна для гиперповерхностей в С", не имеющих особенности. Позднее теорема Пуанкаре была доказана Гриффитсом ([10]) для гладких гиперповерхностей в Р".
Представление цикла в виде трубки позволяет понизить кратность интегрирования замкнутой дифференциальной формы л степени р+ 1 с особенностями на Г при помощи формулы, также принадлежащей Лере:
/ и; = 2тп I R{lj),
т(у) Т
где /?(и>) - класс-вычет формы и\
Теория Лере позволила строить трубки только над регулярной частью гиперповерхности, но не над сингулярной, однако оставалась надежда распространить теорему Пуанкаре на произвольные гиперповерхности в неизменном виде. Невозможность такого распространения
была доказана недавно А.К. Цихом ([16]).
Следует отметить отдельные попытки описания группы гомологии дополнения IV \ V в общем случае. Так в работе Гордона [9] строится обобщенная трубчатая окрестность поверхности V", однако предложенная конструкция не позволяет выяснить явную структуру циклов в дополнении к V.
В целом проблема описания группы гомологии дополнения к произвольной поверхности в комплексном многообразии очень сложна и далека от общего решения. С учетом сказанного актуальной является задача о возможности распространения теории Лере в неизменном виде на максимально широкий класс поверхностей, чему и посвящена настоящая диссертация.
Одним из ключевых аспектов теории многомерных вычетов для гладких гиперповерхностей явилось решение проблемы деформации заданного цикла в дополнении к алгебраической гиперповерхности в трубку над циклом, лежащим на этой поверхности.
В связи с этим для аналитических подмножеств (поверхностей) V С С", имеющих сингулярности, требует решения аналогичная проблема возможности деформации заданного цикла в дополнении к V в трубку над циклом, лежащим на множестве регулярных точек поверхности V.
Условия представления цикла в виде кограницы Лере рассматривались также в работах Л.П. Южакова [5], А.К. Циха [4].
В некоторых случаях конструктивное описание группы гомологии
дополнения к объединению семейства гиперповерхностей дает теорема Фруассара [8] при дополнительных предположениях на взаимное расположение элементов семейства в проективном пространстве. В условиях теоремы любой цикл в дополнении к семейству гипериоверностей в комплексном многообразии представляется в виде суммы цикла на самом многообразии и кограниц Лере (простых и кратных) над циклами, лежащими на поверхностях семейства и всевозможных пересечениях поверхностей.
Для изучения циклов в дополнении к исследуемому семейству представляет интерес распространение теоремы Фруассара на более широкий класс многообразий, в частности, на торические многообразия, которые интенсивно изучаются в настоящее время.
Отметим, что проблемы, рассматриваемые в диссертации, тесно связаны с исследованием фундаментального периода в теории суперструн [7. 11].
Цель диссертации
Целью настоящей диссертации является изучение структуры циклов в дополнении к поверхностям с особенностями в комплексном многообразии, а именно:
исследование условий распространения теоремы Пуанкаре на сингулярные алгебраические поверхности в С": описание поверхностей, в дополнении к которым каждый цикл гомологичен трубке над циклом в регулярной части поверхности;
установление связи между распространением теоремы Пуанкаре
на гиперповерхности проективної о пространства и соответствующие им однородные гиперповерхности в комплексном евклидовом пространстве;
- обобщение теоремы Фруассара о разложении гомологии дополнения к семейству гиперповерхностей с проективного пространства на торические многообразия.
Методика исследования
При исследовании гомологических трубок используются точная последовательность Л ере в гомо.тогиях и когомологиях ([3]), двойственность Александера-Понтрягина ([1]) и точная последовательность Майера-Вьеториса о гомологиях объединения ([2]).
При распространении теоремы Фруассара используется конструкция торического многообразия, описанная В. Батыревым и Д. Коксом ([б]), а также теорема Тома ([]2]) о представлении проекции аналитического множества в виде локально тривиального расслоения.
Научная новизна
Все результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами.
Практическая и теоретическая ценность
Представляет интерес применение полученных результатов в теории вычетов Лсре для полярных множеств с особенностями. С помощью гомологического приведения циклов к трубкам представляется возможным понизить кратность интегрирования при вычислении интегралов мероморфных дифференциальных форм с полярными мно-
жествами, имеющими сингулярность.
Обобщение теоремы Фруассара на торические многообразия позволяет выяснить структуру циклов дополнения к семейству гиперповерхностей в общем положении.
Результаты могут быть использованы в квантовой теории поля: при исследовании фейнмановских интегралов и фундаментального периода в теории суперструн.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
XXXI Международная научная студенческая конференция (Новосибирск, Новосибирский государственный университет, 1993 г.);
Международная конференция по "Геометрии многомерного комплексного анализа"(С.-Петербург, Международный институт им. Эйлера, 1994 г.);
Me жду народная конференция "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, 1996 г.).
Также полученные результаты неоднократно докладывались на городском семинаре по многомерному комплексному анализу Красноярского государственного университета (1993 - 1996 гг.).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах [14]-[18].
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста и приложения. Список литературы содержит 40 наименований. Работа изложена на 77 страницах.
