Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Некоторые предварительные результаты из дифференциальной геометрии 10
1. Горизонтальная и вертикальная производные 11
2. Горизонтальные тензорные поля 20
3. Дифференциальные и интегральные равенства 25
4. Геодезический поток и поля Якоби 32
Глава 2. Интегральная геометрия тензорных полей, вопросы единственности 37
1. Лучевое преобразование 39
2. Дифференциальные тождества и неравенства 50
3. а - простые метрики 54
4. Теоремы единственности 63
Глава 3. Сопряженное уравнение и угловой годограф 71
1. Угловой годограф и оператор 1^ 72
2. Символ оператора І^Іщ 76
3. Теоремы сюръекции 82
4. Пространство С(д+ЩМ)) и теорема о складке 91
5. Угловой годограф и первые интегралы геодезических 100
Глава 4. Двумерные задачи 105
1. Геодезическое векторное поле и преобразование Гильберта 107
2. О разрешимости скалярной и векторной задачи 112
3. Формулы обращения и уравнения Фредгольма 117
4. Граничная жесткость 128
5. Обратная кинематическая задача 133
Список литературы 138
- Горизонтальные тензорные поля
- Геодезический поток и поля Якоби
- Дифференциальные тождества и неравенства
- Пространство С(д+ЩМ)) и теорема о складке
Введение к работе
Интегральная геометрия - дисциплина, в которой изучаются вопросы восстановления функции, определенной на некотором многообразии по интегралам от нее по некоторому семейству подмногообразий меньшей размерности. В диссертации рассматриваются только те задачи интегральной геометрии, в которых интегрирование проводится вдоль геодезических некоторого односвязного компактного риманова многообразия с краем. Совокупность всех интегралов определяет лучевое преобразование функции. При этом интегрируемая функция может зависеть не только от точки многообразия, но и определенным образом от направления.
Рассматриваемые в диссертации задачи имеют важное значение как в приложениях, так и во внутриматематических вопросах. Они возникают в диагностике неоднородных сред (ультразвуковая томография в медицине, обратная кинематическая задача сейсмики в геофизике и т.д.), в теории обратных задач (например, при исследовании обратных задач для гиперболических уравнений и систем методом разделения особенностей [42], [68]). Отметим также проблему граничной жесткости римановых многообразий, возникающей в геометрии и имеющую тесные связи с задачами интегральной геометрии [58]-[60], [64], [66].
Если метрика задана, и, следовательно, геодезические известны, задачи интегральной геометрии линейны. При неизвестной метрике возникают нелинейные задачи. Наиболее важный пример - задача определения метрики д риманова многообразия (М,д) с краем дМ по расстояниям dg (х,у), х,у Є дМ между точками края. В случае, когда М - односвязная компактная область в і?3, а метрика конформно-евклидова, g{j = fiij/c2 эта задача известна как обратная кинематическая задача, возникающая в геофизике [42]. Здесь Sij - символ Кро-некера, с - скорость распространения упругих волн. В геофизике функцию dg(x,y), х,у Є дМ (время распространения волн) называют годографом. В случае общей метрики мы также будет следовать этой терминологии и называть функцию dg (х,у), х,у Є дМ годографом метрики #, а задачу определения метрики у обратной кинематической задачей.
Хорошо изученный пример линейной задачи интегральной геометрии - лучевая задача Радона для евклидова пространства и многообразий постоянной кривизны. Здесь имеется развитая теория, включающая теоремы единственности, существования, формулы обращения и алгоритмы решения практических задач [44], [48],[65]. В. А. Шарафутдиновым [52] были получены аналогичные результаты при интегрировании по прямым функций, зависящих не только от точки, но от направления (в виде однородного полинома).
Случай общих римановых многообразий исследован значительно меньше. Первые важные результаты - теоремы единственности в двумерной линейной задаче и обратной кинематической задаче для конформно-евклидовой метрики были получены Р. Г. Мухометовым [23],[24],[25]. В дальнейшем метод Р. Г. Мухометова был распространен в работах Р. Г. Мухоме-това, В. Г. Романова [26],[27],[41], И. М. Бернштейна, М. Л. Гервера [И],[12] на случай компактных римановых и финсле-ровых многообразий с краем произвольной размерности. Линейные задачи, которые изучались в этих работах, касались случая, когда искомая функция зависела только от точки мно гообразия. Первый результат в задаче, когда искомая функция "линейно77 зависит от направления был получен Ю. Е. Аниконовым [2] (в двумерном случае) и Ю. Е. Аниконовым и В. Г. Романовым [8] (для произвольной размерности). В этих работах было показано, что линейная форма f\ определяется своим лучевым преобразованием с точностью до потенциальной формы (Vh (х) ,) с постоянным потенциалом h на краю многообразия. Используемое во всех этих работах условие нормальной выпуклости многообразия, когда любые его две точки соединяет единственная геодезическая, до сих пор не удается ослабить.
Линейные задачи интегральной геометрии, рассматриваемые в диссертации, касаются случая, когда интегрируется функция /т, зависящая от пары (х,), где х - точка пространства, - направление (единичный вектор скорости геодезической в точке #), причем зависимость от выбирается в виде однородного полинома произвольной степени т 0. Каждый такой полином порождается симметричным тензорным полем / той же степени. Множество всех интегралов (т.е. лучевое преобразование функции fm) определяет лучевое преобразование Imf поля /.
Задача об обращении лучевого преобразования симметричного тензорного поля произвольной степени на многообразии неположительной кривизны впервые была рассмотрена в статье автора [29], где была приведена схема ее исследования. Затем в работе Л. Н. Пестова и В. А. Шарафутдинова [35] была доказана теорема о разложении симметричного тензорного поля на потенциальную и солепоидальпую часть и получена оценка устойчивости соленоидалыюй части поля через его лучевое преобразование (также в случае многообразия неположительной кривизны). Потенциальная часть с постоянным потенциалом на краю многообразия аннулируется лучевым преобразованием. Позже этот результат был усилен в [51], где условие неположительности кривизны было заменено на некоторое условие интегрального характера на секционные кривизны.
Перечисленные результаты касались проблемы единственности в задачах интегральной геометрии тензорных полей. Во-просы разрешимости для общих римановых многообразий исследованы значительно меньше. В случае аналитической метрики и аналитической искомой функции необходимые и достаточные условия разрешимости двумерной скалярной задачи (т = 0) приведены в [2]. Для задачи в круге в случае кривых, достаточно близких к прямым в работах Д. А. Попова [36],[37] приведены формулы обращения и дано описание образа лучевого преобразования. Сложность проблемы разрешимости связана в первую очередь с переопредсленностыо задач, которая имеет место даже в размерности 2 [7]. С целью избавиться от переопределенности Ю. Е. Аниконовым было предложено рассмотреть более широкий класс искомых функций. Естественные расширения совпадают с ядром некоторого дифференциального оператора второго порядка Qmi т Є R [7],[54]. В частности, полином /т? порожденный соленоидаль-ным тензорным полем, принадлежит KerQm при целом т. При таком расширении А. X. Амировым была доказана разрешимость задачи интегральной геометрии па многообразии неположительной кривизны [1].
Из нелинейных задач интегральной геометрии в диссертации рассматривается обратная кинематическая задача па двумерном римаиовом многообразии. Метрика с/, вообще говоря, не определяется своим годографом dg {х,у), х,у Є дМ. Известный пример неединственности решения обратной кинематической задачи строится с помощью произвольного диффеоморфизма р : (M,g) — (M, p g), тождественного на краю, ср\$м = id. Диффеоморфизм tp порождает новую метрику #, изометричную /, т.е. он сохраняет расстояния dg (х,у) = d p g ( г (х) ф {у)) между любыми точками ж, у Є М. В частности, годографы обеих метрик совпадают. Вопрос о том, определяет ли годограф метрику с точностью до указанного диффеоморфизма составляет, так называемую, проблему граничной жесткости. Многообразие называется гранично жестким, если годограф определяет метрику с точностью до изомет-рии, тождественной на краю. Легко видеть, что это не единственный пример неединственности решения обратной кинематической задачи. А именно, можно построить такую метрику д и указать такую точку #о Є М, что d{x dM) snPx,yedM dg (я, у) - Тогда годограф не изменится при изменении метрики д в окрестности точки х§. Поэтому необходимы дополнительные условия на метрику. Одно из таких условий состоит в том, что любые две точки многообразия М соединяет единственная геодезическая и край дМ - строго выпуклый относительно геодезических. Такое многообразие (метрика) называется простым (простой). Р. Мишелем (R. Michel) в [64] была высказана гипотеза о граничной жесткости простых многообразий. Известны следующие случаи решения проблемы граничной жесткости. Если одна из метрик плоская и годографы обеих метрик совпадают, то метрики изометричны [62]. Двумерное многообразие неположительной кривизны гранично жестко [58]. Если две метрики, удовлетворяющие некоторому условию на секционные кривизны, достаточно близки в классе С2 и имеют одинаковые годографы, то они изометрич-ны [60].
Как было доказано Р. Г. Мухометовым [24] в двумерном случае две простые конформно-евклидовы метрики совпадают, если они имеют одинаковые годографы. Позже им был установлен общий результат [26]: если (М, ,-), г = 1,2 - два простых многообразия и метрики /i, /2 из одного конформного класса (т.е. д\ = рд% с положительной гладкой функцией р) имеют одинаковые годографы, то д\ = д . Т.е. в этом случае диффеоморфизм р тождествен. Другие результаты с помощью близких методов были получены в [10],[12],[15]. В монографии А. Л. Бухгейма [13] доказана теорема разрешимости многомерной обратной кинематической задачи в классе аналитических функций.
Первая глава диссертации содержит краткое изложение основных сведений из дифференциальной геометрии векторных расслоений над римановым многообразием. В ней также развиваются основы теории горизонтальных тензорных полей на расслоении (произведении расслоений) единичных сфер над римановым многообразием, которая дает удобный аналитический аппарат для исследования задач интегральной геометрии.
Вторая глава посвящена вопросам единственности обращения лучевого преобразования симметричных тензорных полей. Она содержит как новые доказательства результатов работ [8],[12] (для скаляров и векторных полей), так и новые теоремы единственности для произвольной степени тензорного поля.
В третьей главе рассматривается вопрос о сюръективно-сти естественного сопряженного оператора / . Доказывается сюръективность в скалярной задаче (т = 0) и аналогич ный более слабый результат в векторном случае (т = 1). Эти результаты имеют важное значение при изучении вопросов разрешимости задач интегральной геометрии и исследовании обратной кинематической задачи.
В четвертой главе рассматриваются задачи интегральной геометрии на двумерном многообразии. Главным инструментом исследования здесь оказывается интегральное преобразование Гильберта на единичной окружности Qx С Тх касательного пространства в точке х. В случае евклидовой метрики метод преобразования Гильберта был использован в [31] и уже тогда была ясна его важная роль в изучении двумерных задач для римановой метрики. Но получение конкретных результатов упиралось в отсутствие теорем сюрьекции главы 3. Эффективность метода демонстрируется как в линейных, так и нелинейной задачах. Доказываются теоремы разрешимости для скалярной и векторной линейных задач. В случае двумерных многообразий постоянной гауссовой кривизны приводятся формулы обращения в скалярной и векторной задаче. Кроме того доказывается граничная жесткость простых двумерных многообразий. Для простото многообразия с конформно-евклидовой метрикой предлагается линейный метод решения обратной кинематической задачи, близкий к известному в теории обратных задач методу гранимого управления М.И. Бе-лишева [55].
Ссылка в тексте типа (1.2.3) указывает на формулу (2.3) (а также лемму, теорему) главы 1, параграфа 2. Ссылка (2.3) означает то же для текущей главы.
Горизонтальные тензорные поля
Пусть rj : Tg(M) -» JV/ - тензорное расслоение типа (г, s) над многообразием М со слоем над точкой х Напомним, что тензорным полем на М называется сечение w : М -» Т1{М). Послойное отображение и : Е - TJ(M), т.е. такое, что rrs о и — тг будем называть горизонтальным тензорным полем типа (г, s) на Е. Название мотивировано тем, что алгебра тензорных полей на Е порождается базисом ковекторов и векторов а горизонтальные тензорные поля разлагаются только по части этого базиса, дополнительного к базису вертикального подпространства. В случае Е = Т(М) в [35] эти поля были названы полубазисными. Фактически, при исследовании задач интегральной геометрии мы тоже, в основном, будем рассматривать полубазисные поля (точне Произвольное тензорное поле и типа (г, s) на многообразии М определяет по формуле и о 7Г горизонтальное поле на Е, поскольку где id - тождественное отображение. Горизонтальное поле, компоненты которого не зависят от будем называть -постоянным. Отображение и — иоп отождествляет тензорные поля на М и -постоянные горизонтальные поля. В дальнейшем мы часто, без особых оговорок, будем подразумевать такое отождествление. Горизонтальное тензорное поле типа (г, s) на подмногообразии S С Т(М) определяется как послойное отображение и : Е — 7J(M), т.е. rJo-K = 7rv, Если и - горизонтальное поле на Е, то его ограничение ws - горизонтальное поле на Е, Прямое произведение расслоений определяется послойно. Расслоение Е х (T )r(M) х TS(M) —» М задается слоями Горизонтальное тензорное поле и : Е — TJ(M) естественно отождествляется с функциями ий(a?, ,?7(i), ...,?7(ф »7 ---5 7 ) на Е х ТГ (М) X TS(M) линейными относительно упорядоченного набора векторов /7(1)9-" (s) Є 7 (М), rf \...,rj Є Х (М). Конечно, такое же отождествление с полиномами имеет место и для горизонтальных полей на подмногообразиях. В дальнейшем М будет римановым многообразием с метрикой д и Е = ТГ(М), г 1. Будем считать, что для любого г 1 связность согласована с метрикой следующим образом : (77 ,...,/7 ), rjW Є Г (М), / = 1,...,г. Метрика позволяет отождествить расслоения TJ(Af) с T0 +S(M) и T?+S(M). Локально это отождествление производится операциями поднятия-опускания индексов компонент тензора с помощью метрики : Поэтому в дальнейшем будем указывать не тип тензора (г, s), а только его степень r + s.
Пусть и - горизонтальное поле степени т на ТГ(М), Тогда горизонтальная производная соответствующего полинома и{т) ТГ{М) х Тт{М) —) і?, (упростим ее обозначение до Vw(TO\) есть послойное отображение (см. замечание предыдущего параграфа), т.е. является горизонтальным тензорным полем на ТГ(М) X Тт(М) степени 1. Соответствующий полином (V «(m))(i) определяет горизонтальное поле на ТГ(М) степени m + 1, которое будем обозначать Vw и называть горизонтальной производной поля и. Таким образом, горизонтальная е их ограничения на fi(M)). Лишь в одном месте (глава 4, 1) нам придется учитывать зависимость от пары направлений. Тем не менее, поскольку, на наш взгляд, необходимость рассмотрения тензорных полей, зависящих от нескольких направлений вполне естественна в задачах интегральной геометрии (лучевое преобразование функций, зависящая от нескольких направлений, интегральные преобразования в TX(QX) и т.д.) мы не будем ограничиваться полубазисными полями. Произвольное тензорное поле и типа (г, s) на многообразии М определяет по формуле и о 7Г горизонтальное поле на Е, поскольку где id - тождественное отображение. Горизонтальное поле, компоненты которого не зависят от будем называть -постоянным. Отображение и — иоп отождествляет тензорные поля на М и -постоянные горизонтальные поля. В дальнейшем мы часто, без особых оговорок, будем подразумевать такое отождествление. Горизонтальное тензорное поле типа (г, s) на подмногообразии S С Т(М) определяется как послойное отображение и : Е — 7J(M), т.е. rJo-K = 7rv, Если и - горизонтальное поле на Е, то его ограничение ws - горизонтальное поле на Е, Прямое произведение расслоений определяется послойно. Расслоение Е х (T )r(M) х TS(M) —» М задается слоями Горизонтальное тензорное поле и : Е — TJ(M) естественно отождествляется с функциями ий(a?, ,?7(i), ...,?7(ф »7 ---5 7 ) на Е х ТГ (М) X TS(M) линейными относительно упорядоченного набора векторов /7(1)9-" (s) Є 7 (М), rf \...,rj Є Х (М). Конечно, такое же отождествление с полиномами имеет место и для горизонтальных полей на подмногообразиях. В дальнейшем М будет римановым многообразием с метрикой д и Е = ТГ(М), г 1. Будем считать, что для любого г 1 связность согласована с метрикой следующим образом : (77 ,...,/7 ), rjW Є Г (М), / = 1,...,г. Метрика позволяет отождествить расслоения TJ(Af) с T0 +S(M) и T?+S(M). Локально это отождествление производится операциями поднятия-опускания индексов компонент тензора с помощью метрики : Поэтому в дальнейшем будем указывать не тип тензора (г, s), а только его степень r + s. Пусть и - горизонтальное поле степени т на ТГ(М), Тогда горизонтальная производная соответствующего полинома и{т) ТГ{М) х Тт{М) —) і?, (упростим ее обозначение до Vw(TO\) есть послойное отображение (см. замечание предыдущего параграфа), т.е. является горизонтальным тензорным полем на ТГ(М) X Тт(М) степени 1. Соответствующий полином (V «(m))(i) определяет горизонтальное поле на ТГ(М) степени m + 1, которое будем обозначать Vw и называть горизонтальной производной поля и. Таким образом, горизонтальная производная поля и определяется равенством Непосредственные вычисления приводят к следующей локальной формуле
Геодезический поток и поля Якоби
Пусть (5, д) - полное риманово многообразие, т.е. каждая максимальная геодезическая определена на всей оси R. Обозначим через j(x,t;,t) геодезическую, выходящую из точки х в направлении вектора Є 0Д5). При любых (х,) 0(5) и t Є R вектор скорости геодезической 7( 5 7 ) " единичный, 7у (7) 7 7J — 1 и траектория (7( , , ),7( 1 )) целиком принадлежит О (5) . Семейство отображений pt : 0(5) — 0(5), (ж,) = (7(я,, ),7(я,, )), Є Я образует однопа-раметрическую группу преобразований многообразия 0(5) и называется геодезическим потоком многообразия 0(5). Введем также отображение ip : 0(5) х R — 0(5), (ж,,) = (ж,). Через Н будем обозначать векторное поле, касательное геодезическому потоку, где Dt = d/dt. Поле Н можно отождествить с производной где и - произвольная гладкая функция на многообразии О (5) . Из уравнений геодезических вытекает представление поля Н через горизонтальную производную, Действительно, для произвольной гладкой функции и (х, ) на Q (S) имеем t=o Естественно расширить область определения оператора Н на горизонтальные тензорные поля, полагая Н = (, V). Из (4.1) вытекает более общая формула Действительно, положим в (4.1) и(х,) = v о ps(x,) с произвольным S. ПОСКОЛЬКУ f = t+s, то В частности, полагая в (4.3) и = хк, А; = 1,...,п, так, что w о (ж,) = 7 (Ж?С? ) (& " номер произвольной координатной функции), получаем, что геодезические кроме известной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (4.2), удовлетворяют также линейным уравнениям в частных производных первого порядка - нестационарным уравнениям переноса Если и - горизонтальное тензорное поле степени т на 0(5), то отображение (р и = и о р : О () х R —у Тт (S) не будет горизонтальным тензорным полем на Q (S) х R. Но и ( pt (#,)) при любой фиксированной паре (х,) будет тензорным полем на геодезической 7 (хЛ- ї), t Є R. Будем обозначать через Dt также ковариантную производную тензорного поля на геодезической. Напомним, что для векторного поля она определяется локальной формулой Используя отображение cp, равенство (4.3) можно записать в виде где (р и = и о {р (заметим, что в скалярном случае ip (Hu) = Н( р и)). В таком виде оно обобщается на горизонтальные поля произвольной степени: Действительно, пусть и - горизонтальное векторное поле на О ().
В локальных координатах имеем Аналогично доказывается формула для тензорных полей. Векторное поле X на геодезической j(t) называется полем Якоби, если оно удовлетворяет уравнению Якоби Горизонтальная и вертикальная производные отображения niift : Q(S) —» S, (щірі) (#,) — і(хЛ- і) определяют поля Якоби на геодезической j(x,,t). В локальных координатах они задают 2п полей Якоби удовлетворяющих начальным условиям Это достаточно очевидно, если учесть, что производная от 7 (х(а),(а),і) по параметру «, от которого произвольно гладко зависят начальные условия (векторное поле вариации геодезической) является полем Якоби [9]. Заметим, что поля В щ линейно зависимы, Векторное поле tj также является полем Якоби (ввиду равенства Dtj = 0 и симметрии тензора кривизны). В совокупности А(к), В(к) i 7 образуют фундаментальную систему полей Якоби. Построим одно поле Якоби, которое нам понадобится при доказательстве теоремы 4.2 главы 3. Пусть (М, д) - компактное риманово многообразие с краем дМ. Можно считать, что оно вложено в компактное риманово многооб преобразований многообразия 0(5) и называется геодезическим потоком многообразия 0(5). Введем также отображение ip : 0(5) х R — 0(5), (ж,,) = (ж,). Через Н будем обозначать векторное поле, касательное геодезическому потоку, где Dt = d/dt. Поле Н можно отождествить с производной где и - произвольная гладкая функция на многообразии О (5) . Из уравнений геодезических вытекает представление поля Н через горизонтальную производную, Действительно, для произвольной гладкой функции и (х, ) на Q (S) имеем t=o Естественно расширить область определения оператора Н на горизонтальные тензорные поля, полагая Н = (, V). Из (4.1) вытекает более общая формула Действительно, положим в (4.1) и(х,) = v о ps(x,) с произвольным S. ПОСКОЛЬКУ f = t+s, то В частности, полагая в (4.3) и = хк, А; = 1,...,п, так, что w о (ж,) = 7 (Ж?С? ) (& " номер произвольной координатной функции), получаем, что геодезические кроме известной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (4.2), удовлетворяют также линейным уравнениям в частных производных первого порядка - нестационарным уравнениям переноса Если и - горизонтальное тензорное поле степени т на разие (S, д) той же размерности без края. В качестве S можно взять дубль [22] и гладко продолжить метрику на S. В дальнейшем такое вложение мы часто будем использовать. Пусть каждая максимальная геодезическая многообразия (М,д) конечна. Обозначим через т(ж,) длину отрезка луча 7(#,,), (х- 0 Є О(М), t О до пересечения с дМ. Полагая в (4.3) и = т и замечая, что г( (ж,)) = г(ж,) — , Є [О, г (ж,)], получаем равенство Как будет показано в дальнейшем, функция г гладка всюду вне точек (ж,), которые задают лучи, касающиеся края. Применяя к (4.6) оператор д и используя формулы (3.4),(3.5), получим Применяя теперь оператор Я и используя (3.6) , для горизонтального векторного поля X = дт — г получаем равенство
Дифференциальные тождества и неравенства
Дифференциальные тождества и неравенства этого параграфа оказываются центральными при доказательстве теорем единственности. В свою очередь они являются простыми следствиями формул (1.3.4: Лемма доказана. Пусть С00 (М, Sm(M)) - пространство симметричных гладких тензорных полей на М (в случае m = О С (М, SQ(M)) = С (М)). Его подпространство, состоящее из солепоидальных полей, Sf = О, обозначим С (M,Srn(M)). Следующее неравенство лежит в основе доказательства инъективности оператора 1т на соленоидальных нолях произвольной степени т 1. Лемма 2.3. Пусть М - строго выпуклое рассеивающее многообразие. Тогда на Q(M)\doQ(M) для любого поля / Є Ct (М, Sm(M)), т 1 и любого числа q Є (0,1] имеет, место неравенство где Возведем последнее равенство в квадрат. Используя равенства (, F) = fm, SF = 0, получим что совпадает с (2.7) . Пусть q - произвольное число, q Є (0,1]. В (2.6) предста су _ су Су вим Vw в виде суммы (1 — q) V« + q Vw и во втором С\ слагаемом заменим Vw согласно (2.7) : Используя очевидное неравенство Vw (Ни) = / , получаем (2.5). Лемма доказана. Напомним, что векторное поле X на геодезической 7 называется полем Якоби, если оно удовлетворяет уравнению Якоби 1. Любое поле Якоби гладкое (бесконечное число раз диф ференцируемо) . Точки 7 (to), 7 ( 1) называются сопряженными на геодезической 7 {t) если существует ненулевое поля Якоби на 7 {t), равное нулю при t = to,t = t\. 2. Если точки 7 (to) , 7 ( і) не сопряжены, то для любых векторов А Є Г7( 0),Б Є Т І) существует единственное поле Якоби X, такое, что X (t0) = А, X (tj) = Б. 3. Свойство минимальности полей Якоби. Обозначим через Е (X) интеграл Здесь и в дальнейшем угловыми скобками обозначено скалярное произведение векторных полей на геодезической: Н1 ([to, t{\, Г (7)) - гильбертово пространство векторных полей на 7 (t), определенное скалярным произведением h J[(DtX,DtY) + Если геодезическая 7 ( ) э Є [to5ti] не имеет сопряженных точек, то для любого поля Y Є Н1 ([to,ti] , Т (7)) имеет место неравенство где X - поле Якоби, принимающее в концах отрезка [) — (1.3.6) . Напомним обозначение вертикальной дивергенции на О (М), 9Х = діХг и оператора "кривизны" Лемма 2.1. Для любой гладкой функции и на многообразии Q (М) имеет место тождество Доказательство. Из формул (1.3.4) ,(1.3.5) имеем Возведем это тождество в квадрат :
Доказательство. Свернем тождество (2.2) с горизонтальным векторным полем 2VM : Лемма доказана. Пусть С00 (М, Sm(M)) - пространство симметричных гладких тензорных полей на М (в случае m = О С (М, SQ(M)) = С (М)). Его подпространство, состоящее из солепоидальных полей, Sf = О, обозначим С (M,Srn(M)). Следующее неравенство лежит в основе доказательства инъективности оператора 1т на соленоидальных нолях произвольной степени т 1. Лемма 2.3. Пусть М - строго выпуклое рассеивающее многообразие. Тогда на Q(M)\doQ(M) для любого поля / Є Ct (М, Sm(M)), т 1 и любого числа q Є (0,1] имеет, место неравенство где Возведем последнее равенство в квадрат. Используя равенства (, F) = fm, SF = 0, получим что совпадает с (2.7) . Пусть q - произвольное число, q Є (0,1]. В (2.6) предста су _ су Су вим Vw в виде суммы (1 — q) V« + q Vw и во втором С\ слагаемом заменим Vw согласно (2.7) : Используя очевидное неравенство Vw (Ни) = / , получаем (2.5). Лемма доказана. Напомним, что векторное поле X на геодезической 7 называется полем Якоби, если оно удовлетворяет уравнению Якоби 1. Любое поле Якоби гладкое (бесконечное число раз диф ференцируемо) . Точки 7 (to), 7 ( 1) называются сопряженными на геодезической 7 {t) если существует ненулевое поля Якоби на 7 {t), равное нулю при t = to,t = t\. 2. Если точки 7 (to) , 7 ( і) не сопряжены, то для любых векторов А Є Г7( 0),Б Є Т І) существует единственное поле Якоби X, такое, что X (t0) = А, X (tj) = Б. 3. Свойство минимальности полей Якоби. Обозначим через Е (X) интеграл Здесь и в дальнейшем угловыми скобками обозначено скалярное произведение векторных полей на геодезической: Н1 ([to, t{\, Г (7)) - гильбертово пространство векторных полей на 7 (t), определенное скалярным произведением h J[(DtX,DtY) + Если геодезическая 7 ( ) э Є [to5ti] не имеет сопряженных точек, то для любого поля Y Є Н1 ([to,ti] , Т (7)) имеет место неравенство где X - поле Якоби, принимающее в концах отрезка [to,ti] те же значения, что и поле Y :
Пространство С(д+ЩМ)) и теорема о складке
Для любой функции w Є C(d+Q(M)) ее четное продолжение относительно инволюции а на (90 (М) гладко в силу равенства A+w = ги #п(л/)- Докажем обратное утверждение, которое позволит нам описать пространство С (д+Q, (М)), используя только угловой годограф.
Теорема 4.1. Пусть М - строго выпуклое рассеивающее многообразие. Тогда w Є С ( 9+0 (М)) тогда и только тогда, когда A+w Є С (дП (М)). Доказательство. Необходимость показана выше. Докажем достаточность. Пусть многообразие (М, /) вложено в римано-во многообразие (S,g) той же размертности и N С S - произвольная строго выпуклая рассеивающая окрестность многообразия М (в частности, N замкнуто). Например, N можно определить равенством где р - расстояние до края дМ. Поскольку #Vl %ft(M) 0, то при любом достаточно малом є окрестность N будет строго выпуклой и рассеивающей. Введем отображение ф : 90 (М) — д+Q (N) , полагая где т(х,) - длина геодезического луча 7(#,,), t О в О (N). Ограничение т\дщм) гладко и, следовательно, ф - гладкое отображение. Доказательство теоремы 4.1 основано на том, что ф - складывающее отображение со складкой OQU (М). Этот факт будет доказан в следующей теореме, а пока напомним определение складывающего отображения. Пусть М, N - гладкие многообразия, / : М —» N - гладкое отображение и 7 : («, Ь) - М, О Є (а, Ь) - гладкая кривая на М, проходящая через точку х = 7 (0) Тогда 7і — /07- индуцированная кривая на многообразии N. Производная / (х) отображения / в точке х отображает вектор = 7 (0) касательного пространства Тх (М) в вектор 71 (0) = п = f (х) касательного пространства Ту {N) , у = f {х). Векторы ускорения 7(0) и 7i (0) - векторы пространств Т (Тх {М)) и Тц {Ту (N)) соответственно. Пространства 7 (Тх (М)), Тц {Ту (N)) являются касательными к векторным пространствам Тх (М), Ту {N) и их можно отождествить с ними. Зафиксируем точку х Є М и ненулевой вектор Є Кег f {х). Рассмотрим отображение L : Тх (М) — Ту {N), определенное равенством локальных координатах легко видеть, что образ отображения L является афинным подпространством в Tf {N) - сдвигом подпространства Ranf {х) на некоторый вектор а (), зависящий от , RanL = а () + Ranf (х).
Причем функция Hessfx (, Y) =f (ЩХ),) , Є Kerf ( ), К Є {Ranf (z))x не зависит от вектора X. Здесь (,) - спаривание пространств Ту (N) и г; (N). Пусть dimM = dimiV. Отображение / называется складывающим в точке х (имеет складку в ж), а точка х - точкой складки, если выполняются следующие два условия : (г) dim Ker f (x) = 1. (ii)Hessfx( Y) 0 Отметим, что из (г) вытекает, что dim Сосет f (х) = 1 (где, напомним Сосетf (х) = Tf /Ran f (х)) и RanL - гиперплоскость в Tf(x) (Y), а из условия (гг) следует, что RanL не проходит через начало координат. Легко видеть, что в локальных координатах зависит от первых производных. Если на М имеется риманова метрика, то ничего не изменится при переходе к ковариантным производным Точно также, если заменить М на векторное расслоение Е —» М со связностью и если f : Е — N - гладкое отображение, то Оставляя пока доказательство того, что ф - складывающее отображение, завершим доказательство теоремы 4.1 ссылкой на теорему С.4.4. (стр. 650) книги Л. Хермандера [50] . В наших обозначениях эта теорема утверждает, что из условия A+w Є C (dQ, (M)) следует существование гладкой функции v в окрестности образа ф(дО, (М)), такой, что w = уоф. Рассмотрим функцию гюф = w о а о ф. Переобозначим ф на м5 сохранив прежнее обозначение для гиф. Отображение, аналогичное фм в случае многообразия N обозначим через Тогда Легко видеть, что фоаофм = Фм\п(м)- Поскольку отображение фх гладко на многообразии il(N), то гиф Є C(Vt(M)). Т.е. гиЄС (д+п (М)). Теорема 4.2. Пусть М - рассеивающее строго выпуклое многообразие и N - ее рассеивающая строго выпуклая окрестность. Тогда отображение (4.1) - складывающее отображение со складкой BQQ, (М). Следующее утверждение очевидно и не нуждается в доказательстве. Предложение 4.1. Пусть М и N - гладкие многообразия одинаковой размерности и f : М — N - гладкое отображение. Пусть MQ - гладкая гиперповерхность в М и отображение /м0 : MQ — f (MQ) взаимнооднозначно. Тогда dim Kerf (х) 1 для любой точки х Є MQ. Доказательство теоремы 4.2. Докажем сначала, что dimKer f (xQ,to) = 1, V(x-0,o) Є д0П (М). Гладкое отображение ф\д0щм) 0 (М) — ф ( ЭоП (М)) взаимнооднозначно и, следовательно, в силу предложения 4.1 dim Кег / (жо,о) 1 Покажем, что вектор Х0 Є Т{хоЛо) (90 (М)), Х0 = (0,0) (Со и 0 - горизонтальная и вертикальная часть вектора XQ; СМ. главу 1) принаждежит Кег ф (хо, о). Запишем отображение ф в виде ф = фх о е, где е : 9fi (М) —» Q (ЛГ) - вложение. Тогда ф (х,)Х — ф н(х, )Х ( мы отождествляем вектор X Є TM(dQ(M)) с его образом е (х,)Х Є Тм (О (М))). Т.е. вектор XQ Є Кег ф (хо о) тогда и только тогда, когда XQ Є Т{хо4о) (SO (М))П ег ( v) ( о,6)- То, чтоХо Є Г(в0і6)) (0П (М)) следует из равенства ( (жо)- о) = 0 (см- (1.1.12). Далее, из (1.1.9) имеем ф (хо, о)Х0 = V JV( O5CO)CO = 0. Последнее равенство справедливо для любой точки (х, ) Є О (iV) , Оно означает, что точка фм (#,) неподвижна по отношению к геодезическому потоку. Итак, Хо = (о50) є Кегф (XQ,O) и первое условие из определения складки проверено. Проверку второго условия проведем от противного. А именно, предположив, что докажем, что У0 = 0. Обозначим (y,rj) = ф(х,) Є dQ(N). Тогда в локальных координатах мы имеем следующие уравнения для ковектора У0 = (УД ...,У2 ) Запишем эти уравнения, используя горизонтальную и вертикальную компоненты Y ,Y ковектора У0, а также поля Яко где Zc (xQ,o,t) - некоторое, пока неопределенное, поле Якоби на 7 (#(b(b0- Как известно, для любых полей Якоби X, Y разность {X, Y} = (DtX,Y)—{X,DtY) есть константа, {X, Y}t = 0. Тогда получаем уравнения {Z%A(k)} t=o = 0, {Z\B{k)} t=o = 0, & = 1, п. Из начальных данных AU =6І - v h+ vir (DtA(kA=o= 5(Л)U=o = 6 r, (DtB{k))J\t=0 = SJk- fjf0 , где щ = v (XQ) находим