Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Инвариантные меры для классических теорем о замыкании 28
1.1. Введение 28
1.2. Когда п + 2 сферы в W1 имеют общую касателвную сферу? 35
1.3. Многомернвіе циклидві Дюпена 43
1.4. Инвариантная мера для многомерной теоремві Эмха
1.4.1. Инвариантная мера для классической теоремві Эмха 54
1.4.2. Инвариантная мера для теоремві Понселе 55
1.4.3. Инвариантная мера для теоремві Штейнера 56
1.4.4. Инвариантная мера для теоремы о зигзаге 56
1.5. Обобщение принципа Эмха на циклиды Дарбу 58
1.5.1. Теорема Эмха для циклик 60
1.6. Обобщения теоремы Эмха на пучки окружностей 61
1.7. Доказательство многомерной теоремы Эмха с помощью инвариантной меры 65
1.8. Связь теоремы Понселе для коник с теоремой Эмха 69
Глава 2. Универсальная мера пучка коник и большая теорема Понселе 71
2.1. Введение 71
2.2. Универсальная мера пучка коник 76
2.3. Геометрические свойства -универсальной меры 82
2.4. Выравнивающее отображение и доказательство большой теоремы Понселе 89 2.4.1. Случай вырожденной коники 94
2.5. Классификация инвариантных мер на кониках 97
2.6. Связь большой теоремы Понселе для пучков коник с большой теоремой Эмха 99
2.7. Большие теоремы Понселе и Эмха в плоскости Лобачевского 105
Глава 3. Некоммутативные теоремы о замыкании 107
3.1. Проективные инволюции на конике 108
3.2. Некоммутативный аналог большой теоремы Понселе 112
3.2.1. Усиленная теорема Понселе на абсолюте плоскости Лобачевского 113
3.3. Проективные преобразования, сохраняющие конику, и их связь с универ
сальной мерой 114
3.4. Шкатулки с замкнутыми ожерельями 116
3.5. Автоморфизмы Мёбиуса и отображение Понселе в модели Пуанкаре 117
3.6. Некоммутативный аналог большой теоремы Эмха 120
3.7. Элементарное доказательство большой теоремы Эмха 121
3.8. Теорема о замыкании с подвижной «орбитой» 123
Глава 4. Аналитические условия замыкания траекторий 130
4.1. Введение 130
4.2. Инвариантная мера и условия замыкания траекторий Понселе 132
4.3. Метрические свойства ломаных Понселе 139
4.4. Комбинаторное доказательство теоремы Понселе для коник 148
Заключение 150
Список литературы 151
Публикации автора по теме диссертации
- Многомернвіе циклидві Дюпена
- Геометрические свойства -универсальной меры
- Усиленная теорема Понселе на абсолюте плоскости Лобачевского
- Метрические свойства ломаных Понселе
Многомернвіе циклидві Дюпена
Во второй главе мы получим классификацию инвариантных мер на кониках, выведем явную формулу инвариантной меры для двух произволвных коник2, докажем свойство ее универсальности для пучка, проходящего через две данные коники и распространим конструкцию Кинга [64] инвариантной меры на большую теорему Понселе.
Пусть а и (3 - две различные коники, возможно вырожденные. Отображением Понселе на конике а относительно коники (3 будем называть такое отображение j/з: х ь- у7 что прямая ху касается коники (3. Так как к конике (3 можно провести две касательные, то для нее есть два отображения Понселе jl и ji. Они определены на подмножестве ар коники а, из точек которого можно провести касательную к конике [3. Через через Pа(ж) и Pр(х) обозначим квадратичные формы коник а и (3 в некоторой декартовой системе координат. В Теореме 33 мы докажем, что мера на конике а с плотностью инвариантна относительно отображений Понселе коники (3.
Рассмотрим теперь пучок коник F, содержащий конику а. Мера на а называется F-универсальной если она инвариантна относительно отображений Понселе всех коник пучка F Мы докажем, что мера (4) является F-универсальной. С использованием этого в Разделе 2.4 мы построим выравнивающее отображение #, которое переводит отображения Понселе jp всех коник (3 пучка F в повороты на окружности. А именно, будет доказана
Вид такой меры автору сообщил А. Г. Хованский, профессор факультета математики университета Торонто. Теорема 40 Каждой конике (3 пучка У соответствует некоторое число ср такое, что отображения Понселе jl ujl после применения выравнивающего отображения $ перейдут в сдвиги на вектора ±с#. Точнее, для к Є {1,2} диаграмма
Это распространяет конструкцию Кинга на большую теорему Понселе (Теорема 31), с помощью чего получается простое ее доказательство. Следующая теорема дает классификацию инвариантных и универсальных мер на кониках: Теорема 43 Пусть а и [5 - произвольные невырожденные коники, J - пучок коник, порожденный а и [5. 1. Если траектории Понселе коника и [5 не замыкаются, то существует единственная j -инвариантная борелевская мера. При этом, она абсолютно непрерывна относительно меры Лебега и J-универсальна. 2. Если траектории Понселе коник а и [5 замыкаются, то существует бесконечно много инвариантных борелевских мер. Каждая такая мера ц однозначно определяется своим заданием на произвольной дуге (а,Ь), где Ь -такая точка орбиты а под действием jp, что на дуге (а, Ъ) нет других точек этой орбиты.
В третьей главе мы сформулируем и докажем две теоремы о замыкании, в которых фигурируют новые семейства коник и окружностей, отличные от пучков. Большие теоремы Понселе и Эмха имеют свойство коммутативности траекторий. Поясним его на примере большой теоремы Понселе. В ней рассматриваются коники a,/31,... ,/Зп, принадлежащие одному пучку JF, и строится ломаная, вписанная в конику а так, что ее стороны последовательно касаются коник /З1,..., (Зп (г-ая сторона касается (ЗІ). Тогда при "вращении" ломаной прямая, проходящая через ее первую и последнюю вершину, тоже касается некоторой коники (Зп+1 пучка 9\ Свойство коммутативности заключается в том, что порядок касания сторон ломаной с кониками /З1,... , (Зп может быть произвольным, а результирующая коника (Зп+1 при этом не меняется.
Для данной коники а обозначим через (a) семейство коник, каждая из которых дважды касается а. При этом касание может быть и мнимым. Например, две концентрические окружности касаются в точках с координатами (1,±г,0) бесконечно удаленной прямой комплексной проективной плоскости. Кроме того, будем считать, что (a) содержит также и все точки плоскости (как вырожденные коники). Оказывается, что в большой теореме Понселе можно вместо наборов коник из одно пучка брать наборы коник семейства (а), а именно:
Теорема 58 (Некоммутативный аналог большой теоремы Понселе) Пусть а - невырожденная коника, /З1,...,/Зп Є (a). Для произвольной точки a 1 Є а построим ломаную Понселе a1a2 .. .aп+1, у которой aa+1 касается (ЗІ. Тогда при движении точки a 1 по конике а прямая a1an+1 тоже касается фиксированной коники (Зп+1 Є (a) (рис. 6).
При этом, траектории Понселе коник семейства (a) не имеют свойства коммутативности: если касание сторон ломаной с кониками /З1,... ,/Зп происходит в другом порядке, то результирующая коника/Зп+1 Є (a) тоже другая. Эта теорема имеет одно любопытное следствие: Рис. 6. (Усиленная теорема Понселе на абсолюте) Пусть ш\, Ш2,..., шп - произвольные циклы в плоскости Лобачевского. Выберем точку V\ на абсолюте и построим вписанную в него ломанную V\V i.. .vn+\, у которой г-ая сторона V{V{+\ касается цикла Ш{, г = 1,п. Тогда при двиоісении точки V\ по абсолюту прямая V\Vn+\ касается некоторого фиксированного цикла.
Мы также найдем связь между проективными преобразованиями на конике а с фиксированной прямой Штейнера и универсальной мерой на а относительно пучка коник Шаля этих преобразований (Теорема 60).
Рассмотрим шкатулку Г2{с , (ЗІ}=0 И произвольную окружность 5. Назовем 5-ожерелъями шкатулки Г2{с , А}=0 такие цепочки {71, , 7п} из нее, которые обладают следующим свойством: 7« и 7«+1 пересекаются на окружности 5 для всех і = 1, п — 1. Назовем ( -ожерелье замкнутым, если его первая и последняя окружности 71 и 7п тоже пересекаются на 5. Определение 2. Будем, говорить, что шкатулка Q обладает свойством, замыкания на окружности 5, если из того, что какое-нибудь одно ее Ь-ожерелье замкнуто, следует, что в Q существует гомотопно эквивалентным класс замкнутых 5-ожерелий. То есть, можно непрерывно изменять 5-ожерелъе так, чтобы оно оставалось в шкатулке и было замкнутым.
Существуют ли такой набор окружностей {а1, /З1}, {«2, /З2}, ..., {ап, /Зп}, шкатулка Q{ai, (ЗІ}=0 которого обладает свойством замыкания? Большая теорема Эмха (Теорема 24) утверждает, что если окружности а1,..., ап принадлежат одному пучку Т1 и окружности /З1,..., /Зп принадлежат одному пучку .7-2, причем пучки Т1 и J 2 имеют общую окружность 5: то шкатулка Г2{с , (3{}=0 обладает свойством замыкания на окружности 5.
Свойством коммутативности обладают также и ( -ожерелья из большой теоремы Эмха. Суть его в том, что свойство замыкания шкатулки Г2{с , А}"=0 не зависти от порядка множителей в декартовом произведении M1 х ... х Mп, т. е. неважно, в каком порядке идут пары {а1, /З1}, {«2, /З2}, ..., {ап, /Зп} Мы предлагаем другую шкатулку, которая обладает свойством замыкания, но не является коммутативной.
Теорема 63 (Некоммутативный аналог большой теоремы Эмха) Пусть п пучков, порожденных парами окружностей {а1}/З1}; {о2/З2}; ; {«n,/3n}; содержат общую окружность 5, которая для всех і = 1,п лежит в кольце между а.{ и [5і. Тогда существует еще одна пара соосных с 5 окружностей {an+1,/3n+1} такая, что шкатулка {о Д;}=+01 обладает свойством, замыкания на окружности 5. Коммутативность большой теоремы Понселе объясняется тем, что она может быть доказана с помощью инвариантной меры. Если бы такое доказательство существовало и для Теоремы 58, то замыкание не зависело бы от порядка касания с кониками. Поскольку для разных порядков результирующие коники все же различны, скорее всего ее невозможно доказать с помощью инвариантной меры. Их доказательство требует новой техники.
Четвертая глава посвящена условиям замыкания траекторий Понселе. А. Кэли в 1854 году полностью решил задачу нахождения условий для двух данных коник, при которых их траектории Понселе замыкаются через п шагов. Он дал ответ на этот вопрос, получив явные формулы в терминах отпределителей специальных матриц [25].
Геометрические свойства -универсальной меры
Циклида Дюпена обладает одним замечательным свойством: все ее линии кривизны1 - это окружности. Многомерные поверхности с таким свойством изучались в литературе [60-63]. В работе [61] была получена полная их классификация, и ввиду аналогии между свойствами этих поверхностей
Циклида Дюпена в Е и свойствами трехмерных циклид Дюпена они были названы многомерными циклидами Дюпена. Например, было показано, что многомерные циклиды Дюпена являются конформным образом одной из трех типов гиперповерхностей: тора, конической поверхности или цилиндрической поверхности.
Докажем утверждение, например, для сферы ио1: множество точек ее касания со сферами семейства W образует окружность, плоскость которой проходит через прямую . Пусть сфера и/ Є W касается ш1 в точке ж (и/). Рассмотрим радикальную гиперплоскость р(ш ) сфер ш и ш1, которая касается их в точке ж(и/). Для плоскости ц = р(ш ) П 7Г имеем dim 7] = п — 3. Каждая точка плоскости г] имеет равные степени относительно сферы ио1 и всех сфер и/ Є W. Следовательно, плоскость г] принадлежит всем гиперплоскостям р(ш ), ш Є W. По принципу полярной двойственности, точка ж (и/) сопряжена относительно сферы ио1 всем точкам плоскости г]. Это означает, что точка ж (и/) лежит в пересечении полярных гиперплоскостей всех точек плоскости г]. Заметим, что каждая такая гиперплоскость проходит через точки касания сферы ио1 с любыми двумя сферами ш[,ш 2 Є W, и следовательно, содержит их центр подобия ОШІШІ . Поэтому, пересечение всех таких гиперплоскостей содержит прямую . Так как dim 77 + dim ту = п — 1, a dim ту = п — 3, то dim г] = 2. Следовательно, г] - двумерная плоскость, проходящая через прямую , а точка ж (и/) при W EW пробегает окружность ш1 П
Доказательство. Для каждой точки ж Є Т существует сфера ш х Є W, проходящая Через ТОЧКу Ж. РаССМОТрИМ ЄЩЄ Три ПрОИЗВОЛЬНЫе Сферы 6 4,6о 2, 3
семейства W. По Лемме 1.10 при сечении сфер семейства W любой плоскостью, проходящей через прямую , попарные касательные расстояния сохраняются. В частности, они такие же, как и для плоскости, содержащей окружность Дюпена S(UJ1) сферы ш1. Эта плоскость пересекает сферы ш х}ш 1}ш2} по окружностям S(UJ X), S(UJ[)} s( x 2), S(UJ 3), которые все касаются окружности Дюпена S(UJ1). Тогда по теореме Кейзи (1.4) и для любой другой плоскости, проходящей через прямую , в ее сечении сфер ш х, uo 1, бо 2, 3 буДУт получаться такие четыре окружности, для которых существует пятая окружность в этой плоскости, касающаяся их. Так и при сечении плоскостью 7ГЖ, проходящей через точку х и прямую , получим окружности SX(UJX),SX(UJ[),SX(UJ2),SX(UJ 3): для которых существует касающаяся их окружность sx. Поскольку все попарные центры подобия сфер семейства W лежат на прямой , плоскость 7ГЖ пересекает все сферы семейства W под равными углами. Поэтому, через окружность sx можно провести сферу шХ: которая, так же как и окружность sX: касается сфер ш х,ш[,ш 2,ш 3.
Так как сферы ш[, ш 2, оо 3 были выбраны произвольно из семейства W, мы теперь фиксируем ш[,ш2, а сфера ш3 пусть пробегает все семейство W. При этом, в плоскости 7ГЖ соответствующая ей окружность SX(UJ 3) будет касаться окружности sx. Значит и сфера ио 3 будет всегда касаться сферы шх. Иными словами, сфера иох касается всех сфер семейства W, то есть иох Є W .
Предложение 14. Множество точек касания сфер семейства W с каждой сферой W EW является пересечением сферы и/ с некоторой гиперплоскостью, то есть образует сферу размерности п — 2.
Рассмотрим циклиду Дюпена Т, описанную около сфер UJ1, х 2, , шп. Циклида Дюпена является дважды каналовой гиперповерхностью. Рассмотрим сначала случай, когда окружность 5 целиком вложена в один канал цик-лиды Ттак, что ее нельзя гомотопно стянуть в точку не выходя из него. Плоскость окружности 5 в таком случае пересекает циклиду Т по двум кривым, которые с окружностью 5 образуют вложенную систему кривых (окружность 5 лежит в кольце между ними). Назовем окружность 5 с таким расположением вложенной. В этом случае при всяком малом шевелении сферы и/ точки х и у движутся в одном направлении. Значит, dx и dy всегда имеют один знак, и равенство (1.14) становится таким p(x)dx = p(y)dy. Интегрируя, получаем т(ху) = const. Таким образом, все сферы W EW вырезают дуги одинаковой массы т на окружности 5. В частности, в многомерной теореме Эмха (Теорема 2) выполняется равенство m(xkXk+1) = т для всех к. Следовательно, цепочки сфер замыкаются через п шагов тогда и только тогда, когда п т является целым кратным т(5). Это доказывает многомерную теорему Эмха в случае вложенной окружности 5. Таким образом, само существование инвариантной меры влечет Теорему 2 для случая вложенной окружности 5. Сначала мы докажем, что такая инвариантная мера действительно существует, а затем, в разделе 1.7, мы рассмотрим общий случай взаимного расположения сфер бо 1, бо 2,..., шп и окружности 5.
Усиленная теорема Понселе на абсолюте плоскости Лобачевского
Отметим, что функция fix) = , стремится к бесконечно му (x) (V (x) сти, если точка x приближается к конике (3. Но для невырожденной коники а функция f(x) ограничена вне любой окрестности коники /3, и поэтому интегрируема вдоль любой гладкой кривой (даже не ограниченной, поскольку функция f(x) на бесконечности имеет интегрируемую особенность). Если же некоторая гладкая кривая L имеет с коникой (3 общие точки, то интеграл от функции f(x) по кривой L можно рассматривать как несобственный интеграл. Сходиться он будет в том и только в том случае, когда кривая L не имеет точек касания с коникой (3. Действительно, функция /(ж) на кривой L в окрестности ее общей с коникой (3 точки а?о имеет особенность. Если коника и кривая в точке Жо пересекаются, то это интегрируемая особенность вида — ( "77 а если касаются - неинтегрируемая особенность вида О (j).
Поэтому, мера /І# определена корректно и в случае пересекающихся коник, а в случае касания коник а и (3 можно считать ее определенной вне сколь угодно малой окрестности точки касания. Таким образом, для невырожденных коник меру fi/з можно нормировать.
Если коника а вырождена в пару прямых, то функция /(ж) имеет неин-тегрируемую особенность в вершине Р коники а. В этом случае мера /І бесконечна, но она конечна на всех множествах, замыкание которых не содержит точку Р.
Итак, инвариантные относительно отображений Понселе меры существуют. Для каждой коники 7 пучка JF рассмотрим меру /І7.
Результаты этого параграфа позволят нам в дальнейшем дать геометрическое описание модулей векторов сдвигов, в которые перейдут отображения Понселе после применения выравнивающего отображения.
Напомним некоторые определения проективной геометрии. Пусть а -невырожденная коника. Через произвольную точку Р проводятся прямые. В точках пересечения каждой такой прямой с коникой а строятся касательные к конике а. ГМТ точек пересечения таких касательных - это прямая р: которую называют полярой точки Р относительно коники а. Точку Р называют полюсом прямой р. Полюс прямой - это точка пересечения поляр всех точек этой прямой.
Если каждая сторона некоторого треугольника является полярой противоположной вершины, то такой треугольник называется автополярным относительно коники а.
Отображение і на конике является проективной инволюцией тогда и только тогда, когда для всех точек X коники прямые Хі{Х) пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Фрежъе инволюции і (подробнее об этом см. в Разделе 3.1).
Существует не более трех критических значений параметра А, при которых коника 7А = Аа + (3 становится вырожденной. Это действительные корни кубического уравнения det(A\) = О, где А\ - матрица коники 7А- Коника 7А вырождается либо в точку, либо в пару прямых. Назовем вершиной вырожденной коники точку, в которую вырождается коника, либо точку пересечения пары прямых, в которую вырождается коника, либо произвольную точку коники, если коника вырождается в пару совпадающих прямых. Касательная к вырожденной конике - это прямая, проходящая через ее вершину. Т.е. отображения Понселе jj и jf относительно вырожденной коники 6 совпа дают с инволюцией на конике а, точка Фрежье которой - это вершина коники 5. Мера /І является также -инвариантной.
Предложение 35. Пусть коники а и [5 пересекаются в точках А}В}С} D, касательные в которых к конике [5 вторично пересекают а в точках а, 6, с, d соответственно (см. рис. 2.3). Тогда fi(Ab) = fi(Ba) = fi(Cd) = fi(Dc).
Доказательство. Поскольку прямая PQ - это поляра точки R относительно коники а7 она проходит через точки пересечения касательных ВЬ и Ос, Аа и Dd. Тогда из принципа двойственности следует, что полюс прямой PQ относительно коники (3 - это точка пересечения прямых be и ad. Аналогичное рассуждение для прямых PR и QR показывает, что треугольник PQR является диагональным и для четырехвершинника abed.
Метрические свойства ломаных Понселе
Для произвольных окружностей а и (3 существует два семейства касающихся их окружностей: А4о(а,(3) - окружности с индексом касания 0 и Л4\(а,(3) - с индексом касания 1. Если окружности а и (3 ориентировать, то семейство Л4(а, (3) касающихся их окружностей определяется однозначно. Будем называть его бусами окружностей {а,(3}.
Пусть на плоскости имеется п пар окружостей Пусть также Ж{ - бусы пары {CKJ, (ЗІ}. ИХ декартово произведение {Мі х ... х Мп} = {{7і,...,7п}: Ті Є Мь...,7п Є Mn} назовем шкатулкой набора {с ,А}Г=о и будем обозначать Q{cti, /Зг}=0 или просто Q7 если понятно о какой шкатулке идет речь. Произвольный набор окружностей І7і, ,7п} назовем цепочкой из шкатулки Q.
Рассмотрим шкатулку Г2{с , А}Г=о и произвольную окружность . Назовем 5-ожерелъями шкатулки Г2{с , А}=0 такие цепочки {71, , 7п} из нее, которые обладают следующим свойством: 7« и 7«+1 пересекаются на окружности 5 для всех г = 1,... ,п — 1. Назовем ( -ожерелье замкнутым, если его первая и последняя окружности 71 и 7п тоже пересекаются на 5. Ооісерельем Штейнера назовем такую цепочку, соседние звенья которой касаются.
Будем говорить, что шкатулка Q имеет свойство замыкания на окружности 5: если из того, что какое-нибудь одно ее ( -ожерелье замкнуто, следует, что в Q существует гомотопно эквивалентный класс замкнутых ( -ожерелий. То есть, можно непрерывно изменять ( -ожерелье так, чтобы оно оставалось в шкатулке и было замкнутым. Аналогично определяется свойство замыкания ожерелий Штейнера шкатулки.
В этих терминах большая теорема Эмха для пучков окружностей будет звучать так: В этом разделе под автоморфизмами Мёбиуса мы будем подразумевать аналитические автоморфизмы Aut(D) единичного круга D = {\z\ 1} комплексной плоскости. Как известно, все они являются дробно-линейными отображениями и имеют вид
Два отображения /і, /2 Є Aut(D) будем называть сопряженными и обозначать f\ j l-, если существует такое g Є Aut(D), что f\ = g l о f2 о g.
В [105] показано, что всякое дробно-линейное отображение / раскладывается в композицию четырех инверсий. При этом, если / имеет инвариантную окружность (т.е. не является локсодромическим), то / раскладывается в композицию двух инверсий относительно окружностей, ортогональных инвариантной окружности.
Предложение 61. Пусть f(z) = егф-——, где ф Є Ш, а Є D = {\z\ 1}. Тогда в плоскости Лобачевского с абсолютом 3D прямые zf(z) для всех z Є 3D касаются одного цикла. Если f является эллиптическим, т. е. имеет две неподвижные точки ZQ Є D и —, то f(z) e z, где и в м,одели Пуанкаре цикл cif, которого касаются прямые zf\z), является окружностью с центром в точке ZQ и гиперболическим радиусом
Доказательство. Разложим / в композицию двух инверсий. Окружности этих инверсий ортогональны сШ, и поэтому каждая из них действует на 3D как проективная инволюция. Следовательно, их композиция / является проективным преобразованием на окружности 3D. Тогда по теореме Шаля (Теорема 57) прямые zf(z), z Є 3D касаются некоторой коники из Q(3D) (т.е. дважды касающейся 3D), которая является циклом в модели Клейна с абсолютом 3D.
Из равенства (3.5) следует, что прямые g(z)g(f(z)) в модели Пуанкаре касаются одной окружности с центром в точке z = 0, причем угол парал-лельности2 точки z = 0 относительно прямой g(z)g(f(z)) равен —. Так как дробно-линейные отображения являются движениями в модели Пуанкаре, то прямые zf(z) тоже касаются одной окружности, центр которой находится в точке g l(0) = Zo с таким же углом параллельности относительно прямой zf(z). Таким образом, имеем ф = 2П(р/), откуда получаем (3.3).
Таким образом, действие всякого автоморфизма Мёбиуса f(z) = ё1 -—— на единичной окружности 3D = {\z\ = 1} совпадает с отображением Понсслс относительно некоторого цикла (ij в модели Пуанкаре с абсолютом 3D.
Попутно заметим, что из соотношения (3.6) получаем такое
Напомним, что углом, параллельности а точки a относительно прямой / на плоскости Лобачевского называется половина угла между двумя прямыми, проходящими через a и параллельными /, т.е. пересекающимися с / на абсолюте. Если расстояние от точки a до прямой / равно ж, то верна формула а = П(ж), где П(ж) = 2arctg(e_a;/4) - функция Лобачевского
Доказательство. Можно считать, что 5 = 3D. Пусть первая окружность ( -ожерелья, которая касается пары {а1, /З1}, пересекает 5 в точках Z1 и z2. Тогда в модели Пуанкаре с абсолютом 5 прямые Z1Z2 касаются фиксированной окружности, соосной (i1 и (31. А из Предложения 61 следует, что отображение Эмха Z1 ь- z2 пары {а1, (31} совпадает с действием на 3D некоторого автоморфизма Мёбиуса. Поэтому композиция п отображений Эмха пар окружностей {аі,/3і}: і = l,n - это тоже автоморфизм Мёбиуса и по Предложению 61 прямые Пуанкаре Z1Zn+1 касаются некоторого цикла ап+1 а следовательно, и симметричного ему относительно 3D цикла (Зп+1- Получаем, что у шкатулки ІЇ{СУІ, А} о все -ожерелья тоже замкнуты.
В работе [8] было получено обобщение теоремы Эмха на пучки окружностей. У нас это обобщение сформулировано в Теореме 24. В Разделе 2.6 мы показали, что из нее следует большая теорема Понселе для пучка коник. В этом разделе мы покажем, что большая теорема Эмха следует из большой теоремы Понселе для пучков окружностей.
В дальнейшем нам неоднократно понадобится следующее вспомогательное утверждение, возможно, имеющее и самостоятельный интерес.
Предложение 65. Пусть окружности а, [5 и 7 принадлежат одному пучку 3\ Хорда АС окруоісности а касается [5. Окруоісность ш проходит через точки А и С, касаясь 7 некоторым фиксированным (внутренним или внешним) образом. Тогда все такие окружности ш касаются некоторой фиксированной окружности, концентричной а.
Доказательство. Пусть К - точка касания ш и 7, Е - точка пересечения их обшей касательной в точке К с прямой АС. Окружность v с центром в точке в Е7 проходящая через К, ортогональна 7иш. Значит, Аи С инверсны относительно v: а, поэтому, окружности а и v ортогональны. Таким образом, окружность v ортогональна всему пучку JF и, следовательно, v (3. Поэтому v проходит через точку X касания (3 с АС. Окружность г, вписанная в угол ХЕК7 касающаяся его сторон в точках X и К, касается ш. Значит, окружности 7, тиш гомотетичны относительно точки К, и касательные в точках вторичного пересечения прямой КХ CJ-BLUCUJ-BDK ЭТИМ окружностям