Содержание к диссертации
Введение 3
1 Полнота пространства сепарабельных мер в метрике Канторовича-
Рубинштейна 14
1, Основные определения 15
2. Метризация пространства мер 18
3. Основные теоремы о полноте пространства мер 22
4, Приложения теоремы о полноте 27
2 Некоторые метрические свойства ципперов 30
1. Ципперы и их параметризации 31)
2, Жордаповы ципперы с ограниченным искривлением 35
3. ВерИПШЫ ПОрїїОГО И ПГирОГО 1ИН0В 39
4> Основные теоремы о еамиполобных жордановых ципперах 43
3 О гладкости самоаффинных ципперов 45
1. Наборы линейных операторов, сжимающие конус 45
2, Гладкие самоаффиппые ципперы 63
3. Примеры 71
Литература 75
Приложение А 79
Введение к работе
История вопроса. Основные направления. Хоти гсомеїрическаи теория множеств целой и дробі [oft размерности развивалась с начала прошлого века, но бурное развитие се развитие началось после публикации Мапдельброта 1975 г. (см. |39|)э впершлс применившего эти множества для описании широкого круга научных явлений от молекулярных до астрономических, например: броуновское движение частиц, турбулентность и жидкостях, рост растении, география побережий и горных поверхностей, распределение галактик во вселенной и скачки при па фондовой бирже. Множества дробноГі размерности встречаются во многих областях математики, таких как теории чисел и нелинейные дифференциальные уравнения.
Введенный Маидсльбротом чермнп «фрактал* происходит ог латинских слов (Yaeftis дробный и frangero - ломать, что отражает суть фрактала, как «неломанного*, нерегулярного множества, Мандельброт дал «пробное» определение фрактала как множества, Хаусдорфова размерность которого строго больше топологической размерности. Но Мандельброт также указал, что данное определение неудовлетворительно и не включает некоторые нерегулярные множества, которые необходимо рассматривать как фракталы.
Одним из крупнейших разделов фрактальной геометрии является теория самоподобных фракталов, берущая своё начало со статьи Дж. Хатчинсона «Fractals and Self Similarity* (см, [34]), и превратившаяся сегодня в обширный раздел математики с множеством ответвлений и приложений. Хатчинсон ввел понятие инвариантного множества в полном метрическом пространстве как компактного множества, составленного из своих образов под действием некоторого конечного па-бора сжимающих отображении данного метрического пространства и себя. Такие наборы сжимающих отображений принят называть системами итерируемых функций (IFS), а их инвариантные множества аттракторами (см. рис. 5 0), Аттрактор системы сжимающих подобий называется самоподобпым множеством, и, аналогично, аттрактор системы сжимающих аффинных отображений в банаховом пространстве называется самоаффинным множеством.
Хатчинсоном было предложено условие открытого множества (OSC), выделяющее в классе самоподобных множеств такие, которые имеют непулевую конечную
меру Хауедорфа. Дня множеств удовлетворяющих OSC размерность Хауедорфа совпяджп с размерностью подобия, вычисляемой ho простом формуло. Обобщения OSC, названные условиями оідо:шмосі п, псс.іедовалпсь Бшідтом (cm, (2()|), Шнфом (cm. [42(,(431), Зсрвсром (см- |-16|). Шнфом была также установлена связь между различными условиями отделимости. Для систем аффинных отображений Фалконсром была введена аффинная размерность, совпадающая в случае выполнения OSC с размерностью Хаусдорфа инвариантного множества.
Для более детального изучения аттракторов IFS Хатчинсон предложил рассматривать меры на фракталах и ввел инвариантные меры системы сжимающих отображений, называемые также само подобны ми мерами. Изучению самоподобных мор посвящено большое число статей, в частности, Бапдіа, Графа, Фал колера, Мора па и Репя и др.
Некоторые из инварианты* множеств являются пепрерьпшычп кривыми (гм. рис. 7). Достаточное условие, когда аттрактор IFS является непрерывной кривой, было предложено Хатчинсоном. Первые примеры самоподобных кривых были построены Кохом (1904) и Леви (1938). Самоиодобныс и самоаффлиные кривые изучались Аелала, Бедфордом, Асеевым, Шалагиновым.
Одним из наиболее интересных классов фракталов являются самоподобные и самааффшшые тайлы, изучавшиеся Бандтом (см, [211,(22),(23(), Лагариасом и Байтом (см. |35|,[36Ц37|), Дуваллом (см. [29]) и др. Самоподобпос (самоаффшшое) множество, имеющее внутренность и удовлетворяющее OSC, называется самопо-добным (самоаффшшым) таилом (от атігл. tile — черепица) (ем. рис. 8)> Известно, что образами любого самоподобного таила под действием отображений подобия
МОЖНО ПОКрЫТЬ ВСЮ ПЛОСКОСТЬ К2 1ПК, ЧЮОЫ ЕШутреіШОГПТ ОГДСЛЬПЫХ обра.ЮЕІ
таііла не пересекались и их минимальный диамеїр был строго больше нуля.
Известны различные обобщения IKS, такие как бесконечные системы итерируемых функций (IIFS) (см. |33]). конформные системы итерируемых функции* Среди различных обобщений особо стоит отметить богатую теорию графоориеити-рованных сисгсм итерируемых функций (Digrapli IFS), развиваемую Маулдином и Виллнамсом (см. [41]), Дасом, Нгаи, Эдгаром (см. [27|т[28]) и др.
Методы фрактальной геометрии широко применяются в компьютерной графике, математическом моделировании, при построении новых разделов анализа,
решении дифференциальных уравнений. В частности, самоподобные кривые используются Л'ш аппроксимации жорданопых кривых и границ областей. Современная теория фракталов имеет такие важные приложения, как сжатие изображений, моделирование трафика и компьютерных сетях; применяется в экономике при анализе колебаний курса валют
О содержании диссертации
Диссертация выполнена в издательской системе ЬМ^Х, содержит 82 страницы и состоит из введения, трёх глав и списка используемой литературы. Иллюстрации созданы с помощью оригинальной программы IFS Ппікіег 3d, написанной автором еогшестно с выпускником НГУ Мсхонцешлм Д. КХ
Первая глава состоит из четырёх параграфов. В ней изучается свойство полноты пространства сепарабельных мер в метрике Канторовича-Рубинштейна. Б 1 вводятся оспоттые определения.
Для любого отображения S : Л\ -> Л-> метрических мрострашчи (Л\./)\). [№>,fh) константой лшпппцп-юсти называется число
Отображение S называется липшіщєвилі, если Lip 5 < ос, и называется сжима-ющили если Lip5 < 1.
Пусті» (Х,р) — метрическое пространство. Будем обозначать 1їра(А") — про-странство всех вещественных липшицевых ограниченных функций паХ, и Сь(Х) — прострапсіію ііссх вещественных непрерывных ограниченных функций па Л",
Определение 1.1 Л Пусть метрическое нрострпиетно (Х,р) полно и пусть
S — {,?!,..,, ..9^} конечная система ежнмиющпх отображении просгрангїш X
в себя. Инвариантным множеством пли аттрактором системы S ниіьшпеїся такое
компактное множество К С Л', что пиню/піясіся рппспстію
и K = \JSX(K).
Мерой па метрическом пространств!* [Х,р) Пудом называть исществснпуюнеотрп цательную счётно-аддитиппую функцию, удовлетворяющую равенству ^(0) = О, заданную на а-адгсбре В(Х) пссх борслевских подмножеств пространства А". Мера р называется сепарабслъной, если существует борслспскос оспарабсльпос множество А С X такое, что /;(А\Л) = 0. Мера р называется кпппчптХ если р(Х) < -Ьсю. Пространство Л/(АГ) определяется как множество всех сепарабельпых мер /л заданных на борелевекой гт-алі ебре В[Х) и удовлетворяющих сшнктвам И А") = 1 н fx р(х$,х) dv < ос д; і л некоторой ючкн ,Го Є А'. На пространстве М{Х) задаётся метрика Кгшторшича-Рубишпгсйпа но формуло
fdu~ / fdp
х J.x
И ('Л/0 = sup
:/lip(.Y), Lip/SlL
В 2 изучается связь метрики Канторовича-Рубинштейна со слабой сходимостью мер.
Последовательность конечных мер pf. называется слабо сходящейся к конечной мере р> если Jv / dpi* —> JA- / do для любой (функции / Є (?й(А)< Последовательность мер {^nj^Li называется слабо фундаментальной, если для любой функции / Є С&(А") фу идамеї пальна последовательность ^ f (bsv. Мпожссию moji П называется слабо полным, сели любая слабо фундаментальная іюследснаїель-пость мер {г^д} из этого множества слабо схолпгси к некоторой" мере из П.
Теорема 1.2Л Сходимость в метрике II сильнее слабоїі сходимости. Если (Наш А' < оо. то сходимость в метрике 11 и слабая сходимость эквивалентны.
В процессе доказательства данной теоремы доказаны следующие утверждения.
Лемма 1,2,2 Для любой функции f Съ[Х) существует последовательность [фп] Функций яз Пр(А'), такая что *рп-I f па X.
Векторной решёткой называется частично упорядоченное векторное пространство (с отношением порядка, согласованным с ш-кюрпой сірукгурон), vc;\\\ каждое его непустое конечное подмножество имеет свою точную верхнюю II НИЖНЮЮ грань. Линейный функционал F : V —У К на векторной решетке V называется секвенциально о-жпрсръшиъш пли секвенциально пирядкиио непрерывным, если для любоіі монотонно убывающей последовательности ип элементов V такой, что
inf ип — 0, выполняется F(un) —> 0 при п —> оо.
Лемма 1,2.3 Пусть V — векторная решётки, и Vq такое подмножество V, что дли любого элемента, v є V найдется убывающий последопптслі,иость элементов t*jt Є То, к = 1,2,..,, такая что п\їи^ = v. Если последовательное-гь линейных секиепцивільно о-нспрсрывпых положительных функционалов Fn : V —> R7 л — 0,1.,., поточечно сходится к F[) па множестве 1q, ю последовательность [F7l) поточечно сходится к Р(! и па псём ] .
Следствие 1.2.-1 Пусть последовательное п> конечных мер {pn} и конечная мера р таковы, что для любой функции f Є Upc(A") выполнятся fx f dpn —> fx f dfi тогда последовательность {ftn} слабо сходится к мерс р.
В 3 формулируются и доказываются критерии полноты и слабой полноты пространства М(Х).
Теорема 1.3.1 Если пространство X полно, то пространство конечных сепа-рабелъных мер па X слабо полно.
Основной релліпат первой сливы форму/шруеісн в след> \01\[<'п іеореме.
Теорема 1,3.2 Пространство М{Х) полно в метрике II югда и только тогда, когда полно пространство X.
В 4 рассматриваются приложения теоремы 1.3,2 в теории само подобных фрак-талон.
Обозначим М*(А) пространство всех сепарабельных внешних мер v на Л", удовлетворяющих условиям v(X) — 1 и fxp(xo,x) dv < оо для некоторой точки Ти X. Дли пространства М*(Х) доказан аналог теоремы 1.3,2
Теорема 1,4.1 Пространство М*(Х) полно в метрике Н тогда и только тогда, когда полно пространство X,
Носитель меры v есть множество
spt v = X \ и{Л С А" : А открыт п и{А) = 0].
(
Пространство всех внешних мер и Є АГ(Х) с ограниченным нос и іг л ем обозначим Мюс(А-).
Рассмотрим вектор р = (рі, -.. ,рп) такой, что p. Є (0,1) и $2Г-і??* ~ 1* Опре-делим отображение (Ф,/>) : Міос(Л") —^ М]ос(Лг), задаваемое следующей формулой дли любой меры и Є М|ог(Х) и любого множества Л Є #(А')
(4.,3-)(^1(.4) = ^^/,(571^)).
Положим (*,p)V) - у и (<М')*(") - (*,;')((*,/')* " V)) rW\ "<сх А- с N. Теорема (Хатчинсона, см. [34, 4.4.(1)]). (і) (Ф,р) : Mtoc(A*) — M[n(-(.Y) являете*! сжимающим отображением в метрике
(и) Существует едннствсітя мера р Miot(-V) такая, что {Ф.р)р = р. Если v M|or(.Y), тогда (*I\p)fci/ —> р в метрике 1І и, таким образом, в топологии сходимости относительно непрерывных функций с компактным носителем.
Меру р, инвариантную относительно отображения (Ф-.р), принято шныиать инвариантной ліврой (иногда иеподьпют термин самопоОобиал мера). В доказательстве данной теоремы ска -who. ч го (її) непосредственно еледуе г it і f і), 1 Імееп-я ввиду, что необходимо применить теорему Банаха о неподвижной точке, требу-юпгую полноту пространства М]ОС(А'). В то же время, докачагедьспю полноты М|0г(Л") Хатчинсоном предоставлено не было. Более того, в 1 доказывается^ что в общем случае пространство Ми,с(Л") не полно.
Замена пространства Міш;(Х) на более широкое М"(Х) и применение' теоремы 1.4,1 позволяет исправить доказательство теоремы Хатчинсона.
Следующая теорема усиливает результат Хатчинсона, распространяя его на случай счётных систем сжимающих отображений.
Теорема 1,4.3 В полном мпричічком иростраистве (Л*,/;), дли любой счётной системы S = {$j}iai сжимяющих отображении (Si : А' —> X, Lip 5, < 1 для і Є N) с ипноднпжпымп точкллш Xj и для любого игройпюеиюта нектара р = {р\, /^,.,.)
(TlttflPi = 1*Рі ^ ^ 'и1Я l ^ NJ, уДОПлеЛНОряиШеТО \СЛОВНЮ ^^п Pip{x{, Xj) < 'JO,
СуіЦЕСТПуСТ вДИНСТВСННаЯ МС]Н\ V (z М (Л"), ТНКІЇН что
і/{A) = y]pjSf*(A)^JiH всех v — измеримых А С Л\ ї=і
