Инвариантные подпространства и линейные операторные уравнения Шульман Виктор Семенович

Введение к работе

Актуальность темы диссертации. Значение и актуальность исследования строения инвариантных подпространств операторно алгебраических систем обусловлены возможностью их использования для анализа основных свойств (спектральных характеристик, геометрических инвариантов, неприводимых представлений) этих систем. В частности, весьма существенным оказывается возможность использования результатов об инвариантных подпространствах для исследования линейных операторных уравнений и (в свою очередь) их приложений к дифференциальным уравнениям и теории псевдодифференциальным операторов. Большой интерес к этим вопросам вызывается и наличием плодотворных связей между теорией инвариантных подпространств и такими разделами функционального анализа как теория банаховых алгебр, спектральная теория операторов, теория структур, бесконечномерная геометрия, теория меры, теория приближений, гармонический анализ (в частности, спектральный синтез), асимптотика операторных полугрупп, структурная теория бесконечномерных алгебр Ли. Актуальность тематики подтверждается, также, активным участием многих ведущих исследователей в ее развитии. Скажем о некоторых рассматривающихся в работе вопросах более подробно.

1. Триангуляция (то есть, нахождение максимальных цепочек инвариантных подпространств) операторных алгебр, полугрупп и алгебр Ли, и, как ее первый шаг, выработка критериев нетривиальности решеток инвариантных подпространств. Эти вопросы имеют первостепенную важность для классификации представлений соответствующих алгебраических структур, исследования спектральной структуры операторных систем, строения их подсистем, идеалов и факторов. Интерес к проблемам триангулируемости возник уже в конце девятнадцатого века, вместе с теорией конечных групп и конечномерных алгебр Ли. Первые бесконечномерные результаты связаны с именами Гильберта, Шмидта, Вейля, фон Неймана, Стоуна, Халмоша, Л.С.Понтрягина, М.Г.Крейна. Важным этапом развития тематики явилась работа В.И.Ломоносова, за которой последовали работы Д.А.Гурария и Л.А.Ваксмана, Войтынь-ского, Раджави, Розенталя и многих других математиков. Избранный в диссертации подход потребовал серьезного продвижения в теории банаховых алгебр (теория совместного спектрального радиуса) и исследования асимптотики компактно порожденных полугрупп, что само по себе имеет большое значение. Еще одно направление, в котором, в результате этого подхода, стал возможен существенный прогресс — это

спектральная теория операторных уравнений с компактными коэффициентами.

2. Выяснение условий непрерывности основного в теории инвариантных подпространств отображения Lat, сопоставляющего алгебре операторов ее решетку инвариантных подпространств. Интерес к проблемам непрерывности Lat объясняется, прежде всего, тем, что ее наличие стабилизирует задачи описания решеток инвариантных подпространств и, тем самым, делает возможным "аппроксимационный" подход к их решению. Результаты о непрерывности оказываются полезными при изучении области значений Lat, то есть, тех решеток подпространств, которые имеют вид Lat(M) для некоторого семейства операторов М; такие решетки принято, следуя Халмошу, называть рефлексивными. Таким образом, в круг рассматриваемых задач входит поиск достаточно удобных критериев рефлексивности решеток подпространств, то есть, изучение тех свойств, которые выделяют решетки инвариантных подпространств среди всех решеток подпространств. Следует отметить, что исследование непрерывности Lat выявляет топологическую подоплеку ряда фундаментальных результатов теории операторных алгебр , таких как теорема Арвесона о коммутативных решетках или теорема Ларсона - Андерсена о кратности инвариантных цепочек.

Вопрос о непрерывности Lat приводит к необходимости изучения геометрии решеток подпространств, а также пространственных тензорных произведений таких решеток и, в частности, исследования проблемы Хоппенвассера - Крауса о нахождении условий на операторные алгебры А и В, при которых решетка инвариантных подпространств их тензорного произведения совпадает с тензорным произведением их решеток. Заметим, что двойственная задача — нахождение оболочки тензорного произведения решеток — также привлекала и привлекает большое внимание; в частности, для ее решения в случае симметричных решеток была построена теория Томиты - Такесаки, вызвавшая революционный прогресс в современной теории С*-алгебр.

Впервые вопросы непрерывности Lat, в неявном виде, возникли в работах фон Неймана, рассматривавшего "почти инвариантные" подпространства и "почти триангулирующие" цепочки подпространств. Позднее это направление получило развитие в работах Апостола, Фо-яша, Войкулеску, Халмоша, Конвея, Хэдвина, Дэвидсона и др.. При этом основное внимание уделялось алгебрам с одной образующей; рассматриваемый в диссертации общий случай имеет принципиальные отличия и требует новой техники. Структура решеток инвариантных подпространств активно исследовалась в работах Диксмье, Калиша,

М.С.Бродского, Донохью, Г.Э.Кисилевского, Н.К.Никольского, Дома-ра, Д.В.Якубовича и многих других математиков.

3. Исследование структуры операторных бимодулей над максимальными самосопряженными коммутативными алгебрами операторов и соответствующих им проекторных систем (бирешеток). Рассматриваемые здесь вопросы можно разделить на два класса — те, которые связаны с разработкой чисто операторной (бескоординатной) техники в теории бирешеток, независимой от ограничений типа сепарабельности или счетной разложимости, и те, которые возникают при координатном подходе — они связаны с вопросами теории меры, емкости, спектрального анализа — синтеза и других классических областей анализа. Координатный подход впервые возник в работах Арвесона, который изучал специальный класс бимодулей — CSL-алгебры. Он же поставил (в основном, в алгебраической ситуации) множество задач как общеоператорного, так и координатного характера; некоторые из них рассматриваются и решаются в диссертации. На долгое время после работ Арвесона теория CSL-алгебр оказалась в центре внимания специалистов по теории операторных алгебр (среди которых можно выделить особенно значительный вклад Дэвидсона, Эрдеша, Ларсона, Андерсена). Необходимость изучения общемодульной ситуации выявилась в последнее десятилетие, в связи с потребностями теории линейных операторных уравнений, возникающих, в свою очередь, в теории представлений квантовых групп, уравнений в свертках, интегральных уравнений, линейных уравнений в частных производных. Рассмотрение этой тематики в диссертации потребовало создания и разработки нового аппарата: теории операторного синтеза, теории аппроксимативных обратных сплетений, теории псевдотопологических пространств.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка эффективного аппарата спектрального и триангуляционного (то есть, основанного на изучении структуры инвариантных подпространств) анализа операторно алгебраических систем — операторных алгебр, полугрупп, алгебр Ли, бимодулей над операторными алгебрами. Для этой цели в диссертации решаются задачи классификации представлений таких систем, изучения их решеток инвариантных подпространств, задачи совместной триангуляции, задачи выделения геометрических и аналитических инвариантов, удобных для анализа таких систем, изучения асимптотики компактно порожденных полугрупп, задачи спектрального и операторного синтеза, изучения топологических свойств (непрерывность, стабилизация, аппроксимативность) основных конструкций, рассматриваются проблемы теории меры и теории емко-

стей, исследуется строение ядер и образов операторов в шкалах банаховых пространств, анализируются спектральные характеристики операторов умножения в симметрично нормированных идеалах и, как следствие, операторов свертки и дифференциальных операторов в частных производных.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются операторно алгебраические системы (алгебры, группы, полунруппы, алгебры Ли, бимодули операторов, действующих в гильбертовых или банаховых пространствах). Предмет исследования — алгебраические, геометрические (триангуляционные, в частности), спектральные свойства этих систем, их подсистем и связанных с ними систем линейных операторных уравнений.

Гипотеза. Основные результаты диссертации получены при исследовании справедливости следующих гипотез:

1. Алгебра Ли вольтерровых операторов имеет инвариантное подпространство (гипотеза Войтыньского).

2. Решетка проекторов тензорного произведения алгебр фон Неймана совпадает с тензорным произведением решеток проекторов сомножителей (гипотеза Хопенвассера)

3. Борелевское подмножество прямого произведения компактов содержит носитель ненулевого оператора тогда и только тогда, когда оно не является маргинально нулевым (гипотеза Арвесона).

4. Решетка подпространств, порожденная решеткой конечной ширины и коммутирующей с ней синтезируемой решеткой, является синтезируемой (гипотеза Арвесона).

5. Транзитивный бимодуль над максимальной абелевой симметричной алгеброй операторов ультраслабо плотен в пространстве всех операторов (гипотеза Дэвидсона).

6. Коммутатор компактного и нормального оператора имеет, в случае его ядерности, нулевой след (гипотеза Вейсса).

7. Пространство решений линейного операторного уравнения с коммутирующими нормальными коэффициентами совпадает с пространством решений формально сопряженного уравнения (гипотеза Вейсса).

Методология и методы проведенного исследования. В диссертационной работе используются методы классического анализа, теории операторов, теории банаховых алгебр, теории С*-алгебр, теории меры, теории емкостей Шоке, геометрии банаховых пространств, теории спектрального синтеза, теории симметрично нормированных операторных алгебр, теории представлений, теории структур. Специально для реше-

ния рассматриваемых в диссертации задач были разработаны аппарат теории псевдотопологических пространств, техника аппроксимативных сплетений, теория операторного синтеза.

Научная новизна полученных результатов. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. В тех случаях, когда изложение требует воспроизведения результатов и конструкций, принадлежащих другим математикам, это специально оговаривается и подчеркивается. В комментариях после каждой главы указывается, где опубликованы помещенные в этой главе результаты.

Рассмотрим, с этой точки зрения, каждую главу диссертации. Понятие совместного спектрального радиуса, являющееся основным техническим инструментом во второй главе, было введено в работе Рота и Стрэнга (1960 г). Однако применений к триангуляционным и спектральным задачам в этой работе не предполагалось, и потому ничего, кроме первого определения, в диссертацию из нее не вошло. Не только использование в теории инвариантных подпространств, операторных полугрупп и алгебр Ли, но и фундаментальные аналитические свойства, такие как субгармоничность совместного спектрального радиуса, не были установлены до работ автора и его ученика Ю.В.Туровского.

В третьей главе диссертации речь идет о непрерывности основного в теории инвариантных подпространств отображения Lot. Хотя ап-проксимационные методы в теории инвариантных подпространств были инициированы еще фон Нейманом и концептуально близки к теории возмущений, теории рассеяния и т.д., принятый в диссертации подход, основанный на изучении геометрических свойств решеток проекторов и их тензорных произведений, является новым. Применения результатов о непрерывности к проблеме рефлексивности решеток (то есть, характеризации решеток инвариантных подпространств) также впервые появились в работах автора.

Начиная с четвертой главы, в изложении активно используется разработанный автором аппарат теории псевдотопологических пространств, ассоциированных с произведением двух пространств с мерой. Хотя вопросам эффективного описания алгебр, содержащих masa (максимальные коммутативные алгебры операторов), посвящена большая литература, особое место среди которой занимает статья Арвесо-на \ техника псевдотопологии позволила значительно продвинуться в этом направлении, поскольку оказалась применимой для одновременного анализа различных masa-бимодулей. Как следствие, это позволило получить ответы на ряд открытых ранее вопросов теории masa-

'W. Arveson, Operator algebras and invariant subspaces, Ann. of Math., 100 (1974), 433 - 532

бимодулей и теории коммутативных решеток проекторов.

Теория операторного синтеза masa-бимодулей, развитая в пятой главе диссертации, также является новой, хотя связь между классическим спектральным синтезом и теорией инвариантных подпространств была открыта ранее Арвесоном. Ее построение позволило, в частности, решить ряд поставленных в (¹) проблем. Связь между спектральным и операторным синтезом представляет сама по себе плодотворное направление исследований, на котором уже удалось установить ряд результатов, полезных как для теории операторов, так и для гармонического анализа.

В шестой главе диссертации обнаруживаются взаимно обогащающие связи между индивидуальным операторным синтезом и линейными операторными уравнениями. В связи с этим, разработан новый аппарат аппроксимативных обратных сплетений (АОС), позволяющий сравнивать поведение "родственных" операторов в шкалах банаховых пространств. Применения его к линейным операторным уравнениям, тензорным алгебрам и теории дифференциальных уравнений позволили получить новые результаты и в этих областях.

Практическая значимость полученных результатов. Результаты работы имеют теоретический характер. Они могут применяться к операторным алгебрам, линейным операторным уравнениям и представлениям алгебр Ли, возникающим в механике и теоретической физике.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Получение результатов о существовании инвариантных подпространств операторно алгебраических систем на основе разработанного автором аппарата совместного спектрального радиуса, в том числе решение проблемы Войтыньского о нетранзитивности энгелевых алгебр Ли компактных операторов.

2. Исследование непрерывности зависимости решетки инвариантных подпространств от семейства операторов, а также разработка эффективных топологических и геометрических критериев, выделяющих решетки инвариантных подпространств в классе общих решеток подпространств.

3. Построение теории операторного синтеза, и основанное на ее результатах решение ряда задач теории инвариантных подпространств, в том числе выше формулировавшихся задач поставленных У.Арвесоном (¹) и К.Дэвидсоном ²

а) проблемы характеризации носителей бимодулей над максимальными абелевыми симметричными алгебрами,

²К. R. Davidson, Nest algebras, Longman, 1988

б) проблемы плотности транзитивных бимодулей, и с) проблемы существования минимальной ультраслабо замкнутой алгебры с заданной коммутативной решеткой инвариантных подпространств.

4. Разработка аппарата аппроксимативных обратных сплетений и получение, на его основе, описания пространств решений линейных операторных уравнений, позволивших ответить на ряд нерешенных вопросов теории таких уравнений, поставленных Г.Вейссом ³, а также получение приложений к характеризации пространств ограниченных решений некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных.

Апробация результатов диссертации. Вошедшие в диссертацию результаты докладывались на конференции по операторным алгебрам в Пифагорио (Греция) в 1996 году, на семинаре А.Я.Хелемского по теории банаховых алгебр (МГУ), на семинаре Е.А.Горина и В.Я.Лина по теории банаховых алгебр (МГУ), на семинаре Н.К.Никольского и В.П.Хавина по теории функций и теории операторов (ЛОМИ) в 1983, 1985 и 1986 годах, на совместном англо-российском симпозиуме по теории операторов в Ленинграде в 1996 году, на семинарах Д.П.Желобенко и А.И.Штерна по теории представлений в МИАН и МГУ, на симпозиуме по банаховым алгебрам в Белефельде (1997), на конференции по бесконечномерный линейным задачам в Словении (Блед 2001, 2005, Краньска Гора 2008), на конференции по банаховым алгебрам в Бедлево (Польша, 2003), на конференции по теории операторных алгебр в Эдмонтоне (Канада, 2003), на конференции IWOTA в Ньюкасле (2002), на семинарах по теории операторов и функциональному анализу в университетах Лондона, Оксфорда, Кембриджа, Лидса, Ланкастера, Эдинбурга, Ньюкасла, Белфаста, Дублина, Копенгагена, Ґетеборга, Эгейском университете (Самос), университетах Гераклио (Крит), Афин, Торонто, Халифакса (Канада), Кента (США), Бордо, Белграда, Ленинграда, Минска, Институтах Математики Азербайджана, Украины, Белоруссии, на семинаре профессора Карлесона в Шведской Королевской Технической Школе (Стокгольм), на Воронежских Зимних Школах по функциональному анализу и Крымских Осенних Школах по спектральной теории; по ним были прочитаны курсы лекций в Афинском университете и в Банаховом центре института математики Польской АН.

Опубликованность результатов. По теме диссертации опубликована монография и 31 статья в научных журналах. Все результаты дис-

³Gary Weiss, The Fuglede commutativity theorem modulo the Hilbert-Schmidt class and generating functions for matrix operators. II. J. Operator Theory 5 (1981), no. 1, 3-16

сертации содержатся в этих работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из шести глав (включая Введение), заключения и списка используемых источников. Список насчитывает 260 наименований. Полный объем диссертации составляет 264 страницы, в том числе список используемых источников занимает 20 страниц.