Содержание к диссертации
Введение
1. Предварительные сведения 20
1.1. Интегральное представление Бохнера-Мартинелли 20
1.2. Метрика и форма объема Фубини-Штуди на проективном пространстве 21
1.3. Конструкция торического многообразия 23
1.4. Моментное отображение 28
1.5. Конус Кэлера 33
2. Ядра, ассоциированные с торическими многообразиями 36
2.1. Постановка задачи 36
2.2. Ядра интегральных представлений 38
2.3. Аналог формы объема Фубини-Штуди 44
24. Интегральное представление 48
2.5. Ядра, ассоциированные с двумерными выпуклыми веерами . 53
2.6. Пример с невыпуклым веером , 59
3. Ядра интегральных представлений как усреднения ядер Копій 64
3.1. Формула Бохнера-Мартинелли как усреднение формулы Коши 64
3.2. Общие усреднения ядер Коши 66
Список литературы 74
- Метрика и форма объема Фубини-Штуди на проективном пространстве
- Аналог формы объема Фубини-Штуди
- Пример с невыпуклым веером
- Общие усреднения ядер Коши
Введение к работе
Метод интегральных представлений для голоморфных функций играет важную роль как в самом комплексном анализе (см. [1, 8, 9, 11]), так и в ряде других областей, например, в алгебраической геометрии [5, 10], и математической физике [9, 17]. Если речь вести об интегральных формулах вида
г в которых ядра и>((, z) являются замкнутыми дифференциальными формами, а множествами интегрирования Г служат циклы, то можно заметить тесную связь концепции интегральных представлений с теорией вычетов [1, 10]. Здесь дело в том, что формула (1) эквивалентна тому, что вычет относительно цикла Г для ядра w = cj(C,0) (т.е. интеграл и по Г) равен единице. Исторически первыми интегральными представлениями были:
- формула Коши для полицилиндра, доказанная А.Пуанкаре [33] в 1887г.
- формула Бохнера-Мартинелли для шара [30] (1938), [18] (1943).
Соответствующие ядра указанных формул в n-мерном пространстве сле
дующие:
ик = /0 Лп г Л ... Л —-,
В каком-то смысле эти две формулы явились эталонными, из которых впоследствии на основе гомологических и когомологических процедур был построен ряд других интегральных представлений (формулы Вейля, Коши-Фантапье и т.д.).
В 1999г. А.К.Цих [34] заметил, что эталонные ядра to = ик и lo = ujbm обладают свойством:
со регулярна в области, наивысшая нетривиальная группа когомологий которой имеет одну образующую, представленную формой со.
Так, ядро Коши шд- регулярно в комплексном торе (С х {0})", который гомотопически эквивалентен вещественному тору Тп, и ядро Бохнера-Мартинелли регулярно в проколотом пространстве С" \ {0}, гомотопически эквивалентном сфере 52n_1. Таким образом, гомотопические типы областей регулярности указанных форм представляются связными ориентируемыми компактными многообразиями, поэтому для комплексного тора наивысшая нетривиальная группа когомологий есть #((С\ {0})"), а для проколотого пространства —группа Я2п_1(С" \{0}), причем эти группы одномерны. Еще одна общая специфика ядер юк и совм состоит в том, что их сингулярностями являются наборы из координатных подпространств: наборы гиперплоскостей {Сі = 0}, ...,{(„ — 0} для ядра Коши и набора из одного нульмерного подпространства {( = 0} = {Сі = 0,... ,Cft = 0} — для ядра Бохнера-Мартинелли. В связи с этим в [34] было введено следующее
Определение [34], [35]. Набор (координатных) плоскостей {Е„} С С* (не обязательно равных размерностей) называется атомарным, если наивысшая нетривиальная группа когомологий их дополнения является одномер-
ной, т.е.
(о, к > ко
для некоторого к0. Образующая си группы #*(С* х U-^") называется ядром для набора {Еи}.
Примером не атомарного набора плоскостей служит тройка координатных прямых {2 = Сз = 0}, {Сі = Сз = 0}, {Сі = Са = 0} в пространстве С3.
Для атомарности набора плоскостей необходимы ограничения комбинаторного характера на их взаимное расположение. Оказывается, если набор кодировать определенным образом в помощью веера (многогранного конического полиэдра bR"), то он будет атомарным. Таким образом, атомарные наборы тесно связаны с теорией торических многообразий (о теории таких многообразий см. книги Оды [31], Фултона [23], а также [6], [19]-[22], [27], [28]). Частным случаем торических многообразий является комплексное проективное пространство СР«. Известно, что ядро Бохнера-Мартинелли в <Сп+1 тесно связано с формой объема для метрики Фубини-Штуди проективного пространства СР„ (см. [5] или [8]). А именно, при диагональном действии одномерного тора С \ {0} на С+1 ч. {0}
С->А(
форма и>вм преобразуется к виду
и.-С<) = уЛыо([С1)
с инвариантной формой шо([С]) ~ формой объема Фубини-Штуди. Общее n-мерное торическое многообразие X, ассоциированное с веером С R", подобно проективному пространству, получается как фактор
X=[C\Z()]/C;,
где "() —объединение атомарного набора плоскостей, aQ — комплексный тор (Сч{0})г.
Целью диссертации является:
- построение форм объема Чї([С]) на торических многообразиях X (ана
логов форм Фубини-Штуди) и эталонных форм w(() на Vі \ Z(Z), где Z{Z)
представляет собой объединение некоторых координатных подпространств в
С;
- построение интегральных представлений в d-круговых полиэдрах с эта
лонными ядрами.
В основе исследования диссертационной работы лежит теория торических многообразий. Свойство атомарности набора Z{T,) координатных плоскостей в С* обеспечивается возможностью введения действия группы G ~ С (комплексного тора) на С* \ Z(11), для которой совокупность орбит
[С1 \ Z{L)]/G =: X
представляет собой компактное торическое многообразие, аС^ч Z[12) гомо-топически эквивалентно расслоению над X со слоем — вещественный тор
ТГ = {АС; :^1 = 1,...,^1 = 1}.
Атомарный набор плоскостей Z(T.) и группа G определяются по вееру из R", при этом G строится только по одномерным образующим
vu... ,vdEZnCUn
веера (при этом размерность G равна г = d—п), а в конструкции Z(T) участвуют конусы других размерностей. Проиллюстрируем вначале конструкцию ядра и для Z(T,) и формы объема u>q для X на примере проективного
пространства X = GPn, для которого веер определяется в R" с помощью d = п + 1 образующих
П- (1,0,... ,0),... ,vn = (0,... ,0,1),и„+1 = (-1,... ,-1),
при этом любой набор из і векторов определяет г-мерный конус (г = 0,1,... ,п) в Е. Между образующими г>,- есть единственное (с точностью
до линейной зависимости) соотношение:
1 г?і + ... + 1 гг„ + 1 vn+i = 0.
Вектор (1, -.. ,1,1) из коэффициентов этого соотношения порождает действие одномерного тора С, на Vі:
A-C=(A1-Cb---,V-Cn+i), АЄС, СєС.
Как следует из общей конструкции (см. 1.3) для рассматриваемого веера набор Z{L) состоит из одной координатной плоскости размерности нуль, т.е. из начала координат 0 Є С"+1. Мы знаем, что ядром для набора Z(T.) = {0} может служить форма Бохнера-Мартинелли (которую мы запишем без традиционного нормировочного коэффициента)
_E{QAd<;
Ш~ |С|Ап-ы) > (2J
где dQ — d^i Л ... Л dCn+i) а "(С) — дифференциальная форма Эйлера
E{Q = ^(-l)*"1^^] (здесь [А:] — знак пропуска d(k в dQ. В свою очередь, форма объема метрики Фубини-Штуди на X = СР„ равна
_ E(QAE(Q
^O(KJ) - |С|2(„+1)
В случае общего веера в Rrt искомое ядро для набора Z(E) в С* имеет бистепень (d,n) и, подобно (2), представляется в виде
где h(Q — (п,0)-форма, обобщающая форму Эйлера E(Q, а /((, 0 — по_ лином, имеющий подходящую палистепень однородности и обращающийся в нуль в точности на Z(E). Форма h(Q, как и группа G, определяется только по образующим г^,,.. ,г\* веера Е, а полином д, как и Z[H) — по всему вееру . А именно, обозначим через V матрицу из вектор-строк г>і,... , г>^, а через Л = (йо)і=Т7'і=Т5 "— левый аннулятор матрицы V (т.е. А V — 0), представляющий решетку соотношений между векторами v^ Заметим, что согласно Предложению 1.1 матрицу А можно выбрать с неотрицательными элементами a,j. Каждому упорядоченному набору J = (ji,... ,jn), где 1 ^ Л < < in ^ d поставим в соответствие минор Aj матрицы А, полученный вычеркиванием столбцов с номерами jl}... ,jn. Тогда аналог формы Эйлера — это форма
мо = E't-1)1'1"^^^]^, (4)
где суммирование ведется по всем упорядоченным мультииндексам J, а через [J] и dC,j обозначены произведения
Отметим, что по внешнему виду введенная здесь форма h{Q отличается от ранее рассмотренного аналога формы Эйлера (см. [20]), в котором вместо числовых коэффициентов (-l)^~lAj ставились Vj — миноры матрицы V, составленные из строк с номерами ji,... ,jn. Выражение (4) оказалось для
нас более предпочтительным, хотя Лемма 3.1 утверждает, что оно отличается от определения из [20] лишь числовым множителем.
Для определения полинома д (знаменателя ядра и>) предположим, что веер 2 симплициальный, примитивный и выпуклый. Пусть ат; та = 1,... , А/ — набор всех конусов веера 2 размерности п. Для всякого конуса аш с образующими vmi,... ,vmn определим d целых чисел
п и1П := - X dct(vn», і > Um.'-i і vhvmi+l, - - , Vmn ) , I = 1, - . - , d,
с помощью которых составим полином
М / d \
ж,ОЕ IIioF+1) " (5)
то=1 \!=1 /
Выпуклость веера 2 обеспечивает полиномиальность д, т.е. что все мономы имеют положительные степени.
Наконец, укажем, что действие группы
G : (С* ч Z(E)) хС;-у^\ Z(E)
определяется с помощью матрицы A = {av) формулой
(СД)^(А?"....-АГ Чь...,АГ<-...-АГ<-С0. (6)
Теперь мы можем сформулировать основные результаты второй главы. Напомним, что мы предполагаем 2 симплициальным, примитивным и выпуклым.
Теорема 2.1. Дифференциальная {d,n)-0opMa
MQAdC
и = —-—=—
Ж, О
с формой Эйлера (4) в числителе и знаменателем (5) является ядром для
набора Z(2). При действии (6) ядро и преобразуется к виду
d\i d\T
oj —У —— Л ... Л —— Л шо + ьь>і
Xi ХТ
с положительной формой (аналогом формы Фубини-Штуди)
Щ л цр "*- Ж.<") '
нулевой степени однородности по действию группы G, и формой w1; которая не содержит сопряженных дифференциалов dX, и в каждом из своих слагаемых имеет не более, чем (г — 1) дифференциалов d\j.
Для описания двойственного {по Де Раму) ядру и цикла Г определяющую роль сыграет моментное отображение и конус Кэлера для многообразия X.
Моментное отображение \і : С* -* Rr для пространства С* со стандартной симплектической структурой и действием группьі G (по формуле (6)) определяется матрицей А = (а^) следующим образом;
МО,--- ,С0 = (рь--. ,рг),
[ aii|Ci|2 + --- + aw|Cd|2 = Pi
< ! (7)
, вгІІСі І2 + + ard\Cd\2 = Pv
При фиксированном р — (pi,... , рг) Є Rr соотношения (7) определяют множество Г = Т(р) — р_1(р).
Цикл Г(р) обладает нужными для нас свойствами, когда р принадлежит конусу Кэлера многообразия X.
Для описания конуса Кэлера напомним [21], что набор векторов t'fci,- ,Vkm веера S называется примитивным, если он не определяет конуса в S, но любой его собственный поднабор определяет конус в Е.
Для каждого примитивного набора векторов v^,... , ь%т представляем их сумму в виде
vkl + ...+ vkm - chv4 + ... + ctjiv,n, c(l,... ,Ci„ Є Q+,
где V{it... ,vin образуют конус, в который попадает эта сумма.
Конус Кэлера К представляет собой образ при моментном отображении (7) множества в С*, определенного системой неравенств
lull2 + + I0J2 - ch\Cn Г - - - - сіяКія\2 > 0, (8)
причем неравенств столько, сколько примитивных наборов. Неравенства (8) будем называть условиями кэлеровости.
Заметим, что для р Є К цикл Г = Т{р), определяющийся системой (7), лежит вС\ Z() и расслаивается над X со слоями, изоморфными действительным торам Тг, а именно
., , r(p)/GR = X,
Ся := {(AT" ..... А»'*,..., А?" ... - A»-) :^1 = 1, ; = 1,...,г},
(см. [20] или [21]). Отсюда, как следствие, получаем, что Г не гомологичен нулю в С* \ Z(T,). Этот факт также подтверждает следующее утверждение, вытекающее из Теоремы 2.1.
Следствие 2.1. j и; — f wq — С, где С есть некоторая константа,
г ж
отличная от нуля, выражающая объем торического многообразия X относительно формы Ufa.
В 2.4 вначале доказывается интегральное представление в нуле.
Предложение 2.3. (Воспроизводящее свойство ядра и) Пусть функция /() голоморфна в окрестности нуля V, р — (pi,... ,рг) принадлежит конусу Кэлера и настолько мало, что цикл Г(р) С U. Тогда справедливо интегральное представление
До) = ± J /(CMC), (9)
Цр) 12
где С = J и>о — константа нормировки, ж Далее рассматривается область D = Dp в пространстве G* переменных z,
определенная системой неравенств
Ы2 + --- + |ги2<<;::±(Я (ю)
где каждое неравенство соответствует примитивному набору v^,... , ffcm веера , а ^''"'^(р) —образ выражения из левой части (8) при моментном отображении (7). И для функций, голоморфных в d-круговом полиэдре W = Wp, определенном системой неравенств
an|(i[2 + .-- + aid|0!2i
і (П)
доказывается
Теорема 2.2. Пусть функция /(С) голоморфна в области IV, определяющейся неравенствами (11), и непрерывна в замыкании W. Тогда в пересечении DDW, где область D, определяется неравенствами (10), справедливо интегральное представление
/(*) = /яс-*мо,
г где цикл Г = Г(р) определяется равенствами (7),
Далее в 2.5 и 2.6 рассмотрены два примера построения эталонных форм и форм объема на комплексно-двумерных торических многообразиях заданных с помощью выпуклого и невыпуклого вееров.
Первое торическое многообразие задано двумерным веером с образующими Щ = (1,0), rj = (0, 1), 1-3=(-1,0), 1*4 = (-1, -1), 1'5 = (0,-1).
В этом случае множество Z(E) — = {Сі - Сз = 0} и {Сі = С4 - 0} и (С2 = (а = 0} и Кг = Сз = 0} и {<-3 = С* = 0}.
Группа G есть 3-параметрическая поверхность
{(АіАг,АіЛз,А2,Аі,Аз) : Ay Є С} С (С,)5 Моментное отображение pi : С5 -л R3 здесь следующее
Рі = |СіР + ІС2|2 + |С4|2
(12)
/>2 = 1Сі]2-НСз|2
I P3 = |C2|2 + lCs|2
При фиксированном р = (рі,р2іРз) Є М2 соотношения (12) определяют множество Г(/>) =^-1^).
Конус Кэлера для данного торического многообразия задается следующими неравенствами
Р\ > Р2
Рі>рз (13)
Р2 + РЗ > р\-
При соотношениях (13) цикл Г не пересекает Z(E).
Эталонная форма вС5\ Z() (аналог формы Бохнера-Мартинелли) имеет бистепень (5,2) и представляется в виде (3) с числителем
МС) =
-Oj&CsdCi Л й(,2 + С2СзСб^Сі Л d+ СзСзС4С?Сі л d(5 - CidCsd^ л d(z~ -<і(з('Ж2 Л d(4 - QiQi^dd Л d(4 - СіСаС^Сз Л d(5 - 1(2(3 Л d(5. и знаменателем
5((,0 =
ІСіҐЮПСзІ2 + Кі\%\%\2 + КА%\%\4 + \Сг\%\%\2 + ІСз!4|С4І6|С5|4.
Константу нормировки с7, участвующую в интегральном представлении (9) и выражающую объем торического многообразия X в виде 4-кратного
интеграла /хЧь можно выписать с помощью однократных интегралов:
2r% — r^
-16тг^
arctg I 2i
С = (2тп)=
^/(2^-^)(^ + 2^+4)
r3 + 2r2 + 4
/
cti—
+00
-27Г2 / -r^=
J л/(г3-
д/гз _ 2r2 + vV3 + 2r2 + 4
V(r3-2r3)(r3 + 2r2+4)
Vr3 - 2r2 ~ л/гз + 2r2 + 4
В формулировке теоремы 2.2 для данного примера области D и IV определяются следующими неравенствами:
Ы2 + |*з12 <Р2
h|2 + k5|2 <рз Ы2 + Ы2 <рі-рз
|z2|2 + |г4р < р\ - р2
|2з|3 + Ы2 <Я2 + ЯЗ-,01 ' |<іГ + |<2|2 + |С4|2<Рі
- 2 + ІСз|а<Л
і ІС2|2 + |С5|2<Рз.
Б случае, когда торическое многообразие задается невыпуклым веером, возникает сложность с тем, что множество особенностей формы ю может не совпадать с множеством Z{T). В 2.6 рассмотрен конкретный невыпуклый веер и показано, что несмотря на вышеуказанную проблему, форма ш является ограниченной вблизи своих особых точек, не лежащих в ІГ(), и интегральное представление существует, как и в случае выпуклого веера.
Рассматривается торическое многообразие, заданное двумерным веером с образующими ui=(l,0), ^=(-2,1), и3=(—1,0), t'4=(-2,-1).
В этом случае множество
Z(E) = {Сі = Сз = 0} и К2 = и = о}.
Группа G есть 2-параметрическая поверхность
{(Ма^АьАз.ао^єсЛсОС*)4.
Моментное отображение р, : С4 — R2 следующее
Р1=4ІС1|2 + |С2|2 + |С4|2
Р2 = |СіР-н|Сз|2-
При фиксированном р = (рирг) Є R2 соотношения (14) определяют множество Г(р) = рг1{р).
Конус Кэлера для данного торического многообразия будет задаваться следующими неравенствами:
Г & >
(15)
Pi > 4рг-
При соотношениях (15) цикл Г не пересекает Z(T,).
Эталонная форма в С4 ч Z(T,) (аналог формы Бохнера-Мартинелли) имеет бистепень (4,2) и представляется в виде
и(0 - «к. а
Здесь аналог формы Эйлера
Л(С) = ~СзС4^а Л d(2 + СгСз^Сі Л dQ - CiC4^2 Л d(3-
-4СіСз^С2 л d(4 - dC^C:, л dC4,
знаменатель
ff(C,0 = К.ПС2І4 + ICi[4[C4|4-ь ІСгГ6ІСз|4[С4І4 н- ІС2І41Сз|4|С4І16,
а добавочный весовой коэффициент д — это моном |С2І4|С4І4-Множество
Z« := {Сі = (з - 0} U {С2 = 4 = 0} U {Сі - С2 = 0} U {Сі = С4 = 0}
особенностей формы ш (нули знаменателя g((,Q) не совпадает с множеством Z'(E) из-за невыпуклости веера S. Цикл Г может пересекать плоскости {G — С2 = 0} и {(i = 4 = 0}. Однако доказано, что форма и> является ограниченной вблизи плоскостей {0 = Сг = 0} и {(х = (4 = 0} и, следовательно, интегрируема по циклу Г.
Константу нормировки С в данном случае можно вычислить до конца:
47Г5 г-
л/3
В формулировке теоремы 2.2 для данного примера области D v\ W определяются следующими неравенствами:
|СіІ2 + Кз|22
ІС2І2 + [(4|2<Р1-4Р2
4|Сі|2 + |С2|2 + |С4і2<рі Кі|2 + Кз[2<р2.
Третья глава посвящена получению интегральных представлений (9) путем усреднения ядер Коши по некоторым положительным мерам da.
В 3.1 указанное усреднение иллюстрируется на примере ядра Бохнера-Мартинелли.
В 3.2 приводится построение положительной меры da в общем случае и доказывается теорема о реализации интегрального представления (9) в виде усреднения ядер Коши по мере da.
Введем необходимые обозначения. Прежде всего заметим, что знаменатель /((,0 зависит только от переменных ef = , = ]j2, і = 1,... ,d.
Таким образом
m=l 17
5(C,C):=ff() = EP<7m+I'
Также пусть h(e) — форма (4). Рассмотрим п-форму
h(, Y!{-^-lAje[J\dej
a(s) м
m=l
Через Др обозначим пересечение с положительным октантом R.+ = {є = (є"ь. . . , d) ' j ^ 0} плоскости
anil-... + aid5d = pi
; (16)
ftrl^l + - - + O-rd^d ~ Pr-
Согласно предложению 3.1 форма da (є) представляет собой положительную меру на Др.
Через Td(e) обозначим вещественный тор \z\\2 = Єї,... , |^|2 — єа-Теорема 3.1. Пусть р — (pi,... ,рг) достаточно мало и принадлежит конусу Кэлера. Тогда справедливы равенства
w-mvI'^-ukrJ*** I /(c)f Л-Л о-
где К = /д da {є). Таким образом, интегральное представление (9) реализуется в виде усреднения формул Коши по положительной мере da на Ар.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [Зб]-[45]. По материалам диссертации делались доклады:
- на международной конференции "Математические модели и методы их исследования1' (Красноярск, 2001);
на международной школе-конференции по геометрии и анализу (Новосибирск, 2002);
на XL и XLI международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2002, 2003);
на международной конференции "Многомерный комплексный анализ" (Красноярск, 2002),
а также на городском научном семинаре по многомерному комплексному анализу при Красноярском госуниверситете (Красноярск, 2001-2003).
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Августу Карловичу Циху за постановку задачи и внимание к работе.
Метрика и форма объема Фубини-Штуди на проективном пространстве
Рассмотрим комплексное проективное пространство Р„ = СР,, и однородные координаты = (ь... ,n+i) Cre+l ( ф 0) точки [] Є Рп. При этом [] = [г], если (,г6 С"+1 связаны соотношением z = А для некоторого Л Є С. Стандартная метрика в Р„ вводится так (см., например, [12], [11, с. 322]). В областях Uj = {[] Є Pn : fj 7 0} с локальными координатами (f. = —, к = 1,... , п + 1, к ф j, берутся функции В пересечениях Uj ҐІ 1?ь имеем pj = РкііІІ-і поэтому ddhipj = ддЫрк-Таким образом, глобально определена дифференциальная форма (индекс j опущен, суммирование ведется по & от 1 до та + 1 с учетом того, что (j = 1 в Uj. В однородных координатах эта форма имеет вид Соответствующая эрмитова форма равна где круглые скобки обозначают эрмитово скалярное произведение. Форма ds2 положительно определена и поэтому определяет метрику; кроме того, da О, так что метрика кэлсрова. Эта метрика называется метрикой Фубини-Штуди, При п 1 форма а принимает вид т.е. ds2 — - і іул1 совпадает со сферической метрикой вР = С. (Нормированная) форма объема и )[] метрики Фубини-Штуди равна (см. Как известно, ядро интегрального представления Бохнера-Мартинелли в C"+I тесно связано с формой объема метрики Фубини-Штуди для проективного пространства Р„ следующим образом; (см., например, [5, с. 400]; [8, с. 162]). Форма Бохнера-Мартинелли есть "эталонная" форма степени 2и + 1 в множестве C"+1 N {0}, иными словами, из является целочисленной образующей группы Я2п+1(С+1 ч {0})- А это множество есть расслоение над Р„, слой которого является одномерным тором С . Другими словами, Рл = [С"+1 ч {0}]/G, где G = {(А,... , Л) Є С"+1 : Л Є С} — группа преобразований, образованная диагональными матрицами с одним и тем же элементом на диагонали. Торические многообразия кодируются веерами (многогранными конусами) в МЛ
Существует несколько определений торического многообразия (см., например, книги Фултона [23] и Оды [31]). Методы исследования настоящей диссертации базируются на определении торического многообразия с использованием однородных координат (см. [19]). Конусом, порожденным системой векторов (образующих конуса) к 1)---) Є Z ч {0}, называется множество а — {Y1 JVJ fy 0} в R. Вектора i i,... , ь\ называются образующими конуса. Гранью конуса а называется подмножество сг, для которого некоторые bj = 0. Размерностью конуса называется размерность минимального подпространства, содержащего данный конус. Веером называется всякая совокупность конусов такая, что 1) пересечение любых двух конусов из этой совокупности есть конус из этой совокупности, являющийся гранью каждого из этих конусов; 2) если конус принадлежит данной совокупности, то все его грани также принадлежат данной совокуп ности. Размерностью веера называется максимальная размерность конусов, принадлежащих вееру. Замечание. Всякий n-мерный веер полностью определяется набором своих конусов размерностей 1,2,... ,га — 1. Таким образом двумерный веер полностью определяется набором своих векторов {одномерных образующих). Определение 1.1. Конус веера называется симплициалънъш, если его размерность совпадает с числом его образующих. Веер называется симплици-алъным, если в нем все конусы симплициалъные. Определение 1.2. n-мерный веер С Rn, порожденный набором векторов vi,... ,i d, называется примитивным, если матрица из вектор-столбцов всякого набора векторов г? ,... ,V{n) составляющих конус максимальной размерности, унимодулярна. Определение 1.3. n-мерный веер Е С Ип называется полным, если объединение всех его конусов есть W1. Определение 1.4. n-мерный веер S С М", порожденный набором векторов г»!,... ,г1, , назовем выпуклым, если все концы векторов Vi,... , лежат на границе своей выпуклой оболочки.
Аналог формы объема Фубини-Штуди
Лемма доказана. В силу лемм (2.1) и (2.2) числитель формы ш при действии (2.10) преобразуется к виду т г Щ A dC - Д л«и+-+-.--1 Yl А" il+-+a%ttdXi A...Ad\rA h(() A h(0 + фи где і= ПА + Щл . Поскольку для функции действие группы G совпадает с действием 5 (см. (2.7)), то, в силу теоремы 2.1, знаменатель д при таком действии также преобразуется к виду Отсюда получаем основное утверждение данного параграфа. Теорема 2.1. При действии (2.10) форма и преобразуется к виду с положительной формой (аналогом формы Фубини-Штуди) нулевой степени однородности по действию группы G и формой ui, которая не содержит сопряженных дифференциалов d\{ и в каждом из своих слагаемых имеет не более, чем (г — 1) дифференциалов d\j. Заметим, что для р Є А цикл Г = Г(р), определяющийся системой (1.3), лежит в С \ Z{) и расслаивается над X со слоями, изоморфными действительным торам ТГ (Т = {z Є С : \z\ = 1}), а именно где (см. [21, Теорема 4.1]). Отсюда, как следствие, получаем, что Г не гомологичен нулю в С N Z(E) . Следствие 2.1. J w — /ыо = С) где С есть некоторая константа, от г х личная от нуля, выражающая объем торического многообразия относительно формы W0. Доказательство. В силу (2.11) и (2.12) имеем; Последний интеграл есть положительное число в силу положительности фор- _ мы wo, что и требовалось доказать. D Предложение 2.3. (Воспроизводящее свойство ядра ы) Пусть функция /(С) голоморфна в окрестности нуля U, р = (р\,... ,рТ) принадлежит конусу Кэ-лера и настолько мало, что цикл V(p) С U. Тогда справедливо интегральное представление где С = J Wo — константа нормировки. ж Доказательство. Так как форма fu является 9-замкнутой, то интеграл (2.13) не зависит от pi,... ,рг. Представим этот интеграл в форме = С/(0) + (/(С) - /(0))w(C). г Покажем, что последний интеграл равен нулю. Сделаем замену С —» г С такой замене цикл Г перейдет в цикл Гт: Применяя рассуждения полностью аналогичные рассуждениям предложения 1.2, получим, что цикл Гт не пересекается с Z{T.).
Это означает, что циклы Г и Гт гомологичны в Vі \ Z(E). Поэтому интегралы по этим циклам от формы, замкнутой вСі\ - ( ), равны. Получаем oj( V) = u (). Поскольку последний интеграл не зависит от т, то мы можем перейти к пределу при г — 0. Поскольку все sk положительны, lim f((r") = /(0). Получаем, что T-fO Предложение доказано. Поставим теперь вопрос о нахождении области D, такой что для любой точки z Є D будет справедливо интегральное представление г Рассмотрим область D DPB пространстве С переменных г, определенную системой неравенств где каждое неравенство соответствует примитивному набору v ,... , Vkm веера Е, а Л " )„(?) — образ выражения из левой части (1.6) при моментном отображении (1.3). Заметим, что область D непуста, если выполнены условия кэлеровости (1.6). Обозначим через 7г(Т) сдвиг z+ Z(L): Обозначим через область Wip область вида (2.1), где в правых частях неравенств стоят, соответственно, 2pi,... т2рг. Лемма 2.3. Для всякого z D цикл Yz лежит в W2P, причем если выполнены условия кэлеровости (1.6), то в области \Угр \ ZZ(H) имеет место гомология Г,-Г. Доказательство. Рассмотрим следующую гомотопию циклов Г и 1\: где 0 t 1. Покажем, что при любом t из отрезка [0,1] цикл (2.16) не пересекает ZZ{H). Учитывая (1.3), перепишем (2.16) в виде rd(Cf - tzdf - \Q\2) = 0. Поскольку данная система аналогична (1.2), из равенства (1.4) получаем Цикл (2.16) не пересекается с плоскостью { — zkl = ... = fcm — zkm = 0} из ZZ(Z). Действительно, подставляя ее в (2.17), получаем: В силу того, что є D, имеем Подставляя в последнее равенство, получаем: Поскольку [(1 - t)2 - l](Ct2 + Cf - CfelC !2 - c,+1a+1[2) 0 в силу (1.6) и того, что t Є [0,1], получаем, что цикл (2.16) не пересекается с произвольной плоскостью {Ot, - zkl — ... — Cim — zkm = 0} из ZZ(E). Лемма доказана. Таким образом доказано интегральное представление (2.14) в D для функций /, голоморфных в Wip.
Покажем, что для справедливости указанного представления достаточно, чтобы / была голоморфна в \VP и непрерывна в замыкании Wр. Действительно, будучи выпуклым, компакт Wр является полиномиально выпуклым множеством (см., например, [4, гл 3,1]). По теореме Ока-Вейля (см., например, [9, 2, стр. 43]) всякая функция, голоморфная в окрестности Wp, равномерно на Wp приближается голоморфными полиномами. Поскольку всякая функция f{z), голоморфная в Wp и непрерывная на Wp, равномерно на \VP приближается функциями f(rz) (при г — 1 — 0), т.е. функциями, голоморфными в окрестности Wp, то получаем что функцию }{z) можно приблизить полиномами в замыкании XV р, для которых интегральное представление (2.14) доказано. В итоге мы приходим к следующему результату. Теорема 2.2. Пусть функция f(Q голоморфна в области XV, определяющейся неравенствами (2.1), и непрерывна в замыкании XV. Тогда в пересечении D П W, где область D, определяется неравенствами (2.15), справедливо интегральное представление (2.14), где цикл Г = Г(р) определяется равенства-ми (1.3).
Пример с невыпуклым веером
В случае, когда торическое многообразие задается невыпуклым веером, возникает сложность с тем, что множество особенностей формы w может не совпадать с множеством Z{H). В данном пункте рассмотрен конкретный невыпуклый веер и показано, что несмотря на вышеуказанную проблему, форма и; является ограниченной вблизи своих особых точек, не лежащих в 2"(), и интегральное представление существует, как и в случае выпуклого веера. Торическое многообразие, рассматриваемое в данном пункте, задано двумерным веером с образующими V]=(1,0), i 2—(-2,1), v3—(—1,0), v4=(—2, —1) (см. рис. 4). Для него Независимыми соотношениями между Vi являются следующие тем самым, базис решетки соотношений составляют вектора ц\ = (4,1,0,1), j22 — (1,0,1,0). Группа действия G есть 2-параметрическая поверхность изоморфная тору (С,)2. Моментное отображение (см. 1.4) р. : С4 — R2 будет выглядеть следующим образом: где При фиксированном р = (рьРг) Є R2 соотношения (2.25) определяют множество Т(р) = р 1{р). Конус Кэлера для данного торического многообразия будет задаваться следующими неравенствами (см. (1.6)) соотношениях (2.26) цикл Г(р) не пересекает Z[H). Эталонная форма в С4 \ Z(Y.) имеет бистепень (4,2) и представляется в аналог формы Эйлера, знаменатель а добавочный весовой коэффициент д — это моном ІСгН&І4-Как уже отмечалось в начале параграфа, множество особенностей формы и (нули знаменателя #(С С)) не совпадает с множеством Z(E). Поэтому цикл Г может пересекать плоскости {Сі — Сг = 0} и {Сі = (4 = 0}. Докажем Предложение 2.4. Форма ш является ограниченной вблизи плоскостей {Ci = Доказательство. Покажем, что форма о? ограничена вблизи плоскости {следующим образом: где При фиксированном р = (рьРг) Є R2 соотношения (2.25) определяют множество Т(р) = р 1{р). Конус Кэлера для данного торического многообразия будет задаваться следующими неравенствами (см. (1.6)) соотношениях (2.26) цикл Г(р) не пересекает Z[H). Эталонная форма в С4 \ Z(Y.) имеет бистепень (4,2) и представляется в аналог формы Эйлера, знаменатель а добавочный весовой коэффициент д — это моном ІСгН&І4-Как уже отмечалось в начале параграфа, множество особенностей формы и (нули знаменателя #(С С)) не совпадает с множеством Z(E). Поэтому цикл Г может пересекать плоскости {Сі — Сг = 0} и {Сі = (4 = 0}. Докажем Предложение 2.4. Форма ш является ограниченной вблизи плоскостей {Ci = Доказательство. Покажем, что форма о? ограничена вблизи плоскости {Сі = и 2. Поскольку при таких 0t имеем - - а выражение Л.(С) Л dC огра ничено, получим, что форма ш ограничена вблизи плоскости {Ci = (,2 = 0}. Аналогично показывается ограниченность формы вблизи {Сі — & — 0}. П В силу предложения 2.4 форма w интегрируема по циклу Г. Следствие 2.2. J и — С, где С есть некоторая константа, отличная от г нуля.
В данном случае константу С можно вычислить до конца. Пусть / = т /ш. При действии 6 = (А Лз, АІ5 А2,Лі) Є G этот интеграл по теореме г Фубини примет вид: В локальной карте переменных d,C2 (считаем Сз = & = 1) данный интеграл запишется в виде У ICil для данного примера получаем утверждение теоремы 2.2 из 2.4. Формулу интегрального представления Бохнера-Мартинелли можно получить как усреднение формулы Коши по мере do- (см. [32]), действующей на множестве параметров є, которые соответствуют радиус-векторам для остовов из формулы Коши. Здесь мы, следуя [32], воспроизведем доказательство этого факта как иллюстрации частного случая более общей теоремы об усреднении, приведенной в следующем параграфе. ИтакСі = и 2. Поскольку при таких 0t имеем - - а выражение Л.(С) Л dC огра ничено, получим, что форма ш ограничена вблизи плоскости {Ci = (,2 = 0}. Аналогично показывается ограниченность формы вблизи {Сі — & — 0}. П В силу предложения 2.4 форма w интегрируема по циклу Г. Следствие 2.2. J и — С, где С есть некоторая константа, отличная от г нуля. В данном случае константу С можно вычислить до конца. Пусть / = т /ш. При действии 6 = (А Лз, АІ5 А2,Лі) Є G этот интеграл по теореме г Фубини примет вид: В локальной карте переменных d,C2 (считаем Сз = & = 1) данный интеграл запишется в виде У ICil для данного примера получаем утверждение теоремы 2.2 из 2.4. Формулу интегрального представления Бохнера-Мартинелли можно получить как усреднение формулы Коши по мере do- (см. [32]), действующей на множестве параметров є, которые соответствуют радиус-векторам для остовов из формулы Коши. Здесь мы, следуя [32], воспроизведем доказательство этого факта как иллюстрации частного случая более общей теоремы об усреднении, приведенной в следующем параграфе. Итак, пусть
Общие усреднения ядер Коши
Пусть р {р\,... fpT) достаточно мало и принадлежит конусу Кэлера. Тогда справедливы равенства где К = /д rfcr(e). Таким образом, интегральное представление (2.18) реализуется в виде усреднения формул Коши по положительной мере da на Ар. Вначале докажем, что h(є) не обращается в нуль и не меняет знака на многограннике Ар. Обозначим через Vj = V ..._,-„ определитель матрицы из вектор-столбцов Лемма 3.1. ДЛЯ каждого упорядоченного набора J : 1 j\ ... jn d определители Aj и Vj связаны соотношениями константа С ф 0 не зависит от J. Доказательство. Введем обозначения: Тогда соотношения (1.2) можно трактовать как ортогональность векторов щ и J, т.е. 0(,i)J = 0 Vi,j- Поскольку соотношения (1.2) независимы и г — d — n, то, в силу последнего равенства, линейная оболочка векторов Vі,... , г?" есть ортогональное дополнение к линейной оболочке векторов 5i,... ,йг. В данной трактовке Vj есть ориентированная площадь проекции на п-мерное координатное подпространство х,, = 0, і J параллелепипеда, натянутого на векторы V1,... ,vn. Соответственно, (—l)lJl Mj есть ориентированная площадь проекции на r-мерное координатное подпространство ХІ = 0, і Є J параллелепипеда, натянутого на векторы aj,... , аг, с учетом ориентации проекций векторов их,--- ,аг, согласованной с ориентацией проекций векторов г)1,... , vn. Для удобства введем в рассмотрение угол между подпространствами M.d. Пусть Ei, Е2 — некоторые подпространства Rd. Если Е\ П Е2 = {0}, то Пусть ЕіГ\Е2 = Е\г СК и Е 2 — ортогональное дополнение к Еі2. Обозначим Ej : Е}Г\Е{-2, І = 1,2. Тогда Угол между Ei и E2 определим следующим образом: Теперь заметим, что угол между линейной оболочкой векторов Йі,. .. ,йг и координатным подпространством а:; = 0, г J равен углу между линейной оболочкой векторов г?1,... , v и координатным подпространством х, =0, і fi J. Площади проекций этих параллелепипедов на соответствующие координатные подпространства равны площадям параллелепипедов, умноженным на косинусы углов между линейными оболочками параллелепипедов и координатными подпространствами, на которые они проектируются. Поэтому отношение площадей соответствующих проекций этих параллелепипедов равно отношению площадей самих параллелепипедов.
Обозначив через С отношение площади параллелепипеда, натянутого на векторы Йі,... , аг к площади параллелепипеда, натянутого на векторы v1,... ,vn, получим утверждение леммы. Доказательство. Так как система (1.2) линейно независима, то ранг матрицы А равен г = d — п. Поэтому найдется хотя бы один отличный от нуля минор Д,!,..., - Без ограничения общности считаем, что А :— Лі.,.п ф О-С помощью системы (3.2) выразим $j, п + 1 j . d через Єї,... ,єп: Єі Представляя последний определитель в виде суммы п + 1 определителей (раскладываем j-ft столбец), вынося Єї,... ,„ из соответствующих определителей и переставляя в них j-й столбец на первое место, получим, что при п + 1 j d где N[k] — упорядоченный набор 1.. .п с пропущенным номером fc, а некоторая константа. Отсюда получаем выражения для дифференциалов dej, п + 1 j d— —j из промежутка [1,п] дает равенство Заметим, что определенные ранее миноры Д-г...,„ для упорядоченных наборов г\ ... гп, можно определить для любых гь .,. , г„ следующим образом где Т(ЇІ) ... r(i„) — подстановка, а (—1)т — знак, определяемый ее четностью. Поскольку, при таком определении AM\J\,J = (—l)J "Av, а формула (3.4) превращается в тождество de} — dj, то формулу (3.3) можно теперь рассматривать для всех 1 j d. Рассмотрим как выражается произвольный набор dej — ds Л ... Л dsjn через Преобразуем определитель, стоящий справа. Для этого разложим каждый определитель VN[i\tjh по последней строке в виде ]( —l)n+ uj AVlvfl- Здесь vXjk «=1 — i-R координата вектора Vjk, vq — соответствующий ей минор с вычеркнутым г -тым столбцом. Получим Заметим, что если ik г г, к ф /, то последний определитель равен нулю. Поэтому в последней сумме останутся только компоненты, где все г і,... , г„ попарно не равны между собой. Упорядочив их по возрастанию, получим, что последняя сумма равна Таким образом получаем формулу для выражения dej через de Так как все є% 0, то выражение в скобках положительно. Поскольку перед скобкой стоит величина, независящая от є, приходим к заключению, что форма h(e) сохраняет знак и не обращается в нуль на Др. П Поскольку знаменатель д(е) очевидно положителен на Ар, получаем Теперь согласно следствию можно записать Применяя формулу Коши, получаем (Последнее равенство есть теорема Фубини, оно справедливо в силу тоґо, что р принадлежит конусу Кэлера.) Здесь форма /І(СС) получается из формы h(s) подстановкой ЄІ = С.Си г = 1,... ,d:
