Введение к работе
Актуальность темы. Работа «Экстремальные полиномы на нескольких отрезках» посвящена оптимальным и экстремальным рациональным функциям на нескольких отрезках. Первым исследованием по теории экстремальных (наименее уклоняющихся от нуля) полиномов была работа П.Л. Чебышёва 1853 года, в которой, а также в нескольких последующих работах П. Л. Чебышёв нашёл точные решения некоторых задач по этой тематике. Многочлены Чебышёва исследуются в многочисленных монографиях, и ни одна книга по теории приближений не обходится без раздела, посвященного многочленам Чебышёва и их свойствам. Впоследствии, однако, в силу того, что число точных решений задач теории приближений невелико, исследовались в большей степени приближение функций различными методами, сравнение этих методов между собой и т.д. Но точные решения и классических, и вновь возникающих задач имеют многочисленные приложения в различных областях науки. Назовем лишь некоторые из них: вычислительная математика, электротехника, квантовая химия, математическая физика, физика твердого тела, математическая статистика. Рассмотрим полиномы по чебышевским системам, наименее уклоняющиеся от нуля, а именно действительные рациональные функции, наименее уклоняющиеся от нуля на
/ заданной конечной системе отрезков Е = [j [а~ . i,6U .]е№,тоесть
7=1 3~ J
xn+hxn-l+... + b
R (x,E,Q ) = і ^-, (1)
rr '*nJ Q (x) '
n \
где Qft{x)= Y\ (l + ^-*)5 єС\Е,к = \,...,П - заданный действительный полином,
k=l К ак
такие что
—>min
C(E)
Задача поиска рациональных функций вида (1) тесно связана с другой задачей теории приближений, а именно поиском оптимальных рациональных функций на нескольких отрезках, то есть функций, наименее уклоняющихся от нуля и имеющих вид:
4(x,d,E,Qn) = ^ 1— "-, (2)
sd„ \x)
где Qn(x)= Y\ 0- + &ігХ\ єС\(8иЦ)Д = 1,...,й - заданный действительный
к=\ К ак
полином, причём условие нормировки функций вида (2) имеет вид Rfj(d,d,E,Qn) = 1.
Более того, именно такие функции находят приложение в вычислительной линейной алгебре при построении итерационных методов (см, например, или ).
Лебедев В.И. Об итерационных методах решения операторных уравнений со спектром, лежащим на нескольких отрезках // Журн. выч. матем. иматем. физ. 1969. Т.9. С. 1247-1252.
Lebedev V.I. Extremal polynomials with restrictions and optimal algorithms II Advanced Mathematics: Computations and Applications (eds. A.S.Alekseev andN.S.Bakhvalov). Novosibirsk:NCS Publ., 1995. P.491-502.
Если Е = [—1,1], Qn - действительный многочлен, то в случае R%(x,d,E,Qn)= Если d Є С \ Ш, то задача становится существенно сложнее, её решение в терминах эллиптических функций было получено лишь в 1999 году B.C. Виденским. Б. Фишером было доказано (см.3), что для іі=[-1,а]и[6,1],й?є[-1,1]/іі тождество: R^(x,d,E,l)^ (3) выполняется тогда и только тогда, когда Rn имеет на Е максимальное число точек уклонения, то есть п + 2 . Этот результат нетрудно переносится и на случай произвольного знаменателя Qn . Таким образом, даже для двух отрезков вопрос о точном виде решения задачи поиска оптимальных рациональных функций для произвольного d Є (flf,Z>) оставался открытым. Известна роль, которую играет в численных методах решение задачи о наилучшем приближении функции х-а многочленами. В частности, в работе М. Хассона приводится вид многочлена почти наилучшего приближения — на [—b,— а\ LJ[<2,&]. Точное решение задачи отсутствовало. Возвращаясь к многочленам Чебышёва, отметим, что одним из ракурсов их многочисленных применений является их экстремальность в задаче об оценке производной многочлена на отрезке. Пусть Рп - полином степени не выше n . Тогда Р (х) С([-1Д]) ,Х є (—1,1) - неравенство С.Н. Бернштейна Р (х) Р п С([-1Д]) ,Х є [—1,1]-неравенство А. А. Маркова. Fisher В. Polynomial Based Iteration Methods for Symmetric Linear Systems. Wiley-Teubner. 1996. Hasson M. The degree of approximation by polynomials on some disjoint intervals in the complex plane II J. Approx. Theory. 2007. V.144. P. 119-132. 5 Приведём также результат И. Шура (1919, см., например,5): P Ax) n-V J n-\ ГТ_1 11 Если для всех X є (—1,1) В частности, из неравенств Бернштейна и Шура немедленно получается неравенство Маркова. Как известно, именно неравенство Маркова и его тригонометрический аналог (неравенство Бернштейна), а также их обобщения особенно важны в обратных теоремах теории приближений. Целью работы является поиск обобщения теоремы Фишера для рациональных функций с фиксированным знаменателем на нескольких отрезках действительной оси, получение явного вида для оптимальных рациональных функций на нескольких отрезках действительной оси, получение точного решения задачи о виде полинома, наименее уклоняющегося от — на симметричной системе отрезков [—1,— а\ VJ [а,\] и обобщение X неравенства Шура для рациональных функций с произвольным знаменателем на нескольких отрезках действительной оси. Методика исследования. В диссертационной работе широко используется аппарат теории приближения функций, методы теории функций комплексного переменного, а также общие результаты теории потенциала. Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем: 1) обобщена теорема Фишера для рациональных функций с фиксированным знаменателем на нескольких отрезках действительной оси; 2) получен явный вид решения экстремальной задачи для оптимальных рациональных функций с фиксированным знаменателем на нескольких отрезках действительной оси; 3) получено точное решение задачи о приближении — полиномами на [—1,— а\ VJ [<2,1]; 4) обобщено неравенство Шура для рациональных функций с фиксированным знаменателем на нескольких отрезках действительной оси, причём это обобщение включает как частный случай классическое неравенство Шура. Теоретическое значение и практическая ценность. Результаты предложенной работы вносят вклад в теорию приближения функций. Основные результаты диссертации носят теоретический характер и могут найти применения в теории приближений, теории квадратурных формул, вычислительной линейной алгебре. Borwein P., Erdelyi Т. Polynomials and polynomial inequalities. N.Y.: Springer, 1995. Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 11-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения», посвященной памяти выдающихся профессоров МГУ Н.К. Бари и Д.Е. Меньшова (Саратов,2002); на Международной конференции «Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании» (Саратов-Энгельс, 2002); на 12-й и 13-й Саратовских зимних школах «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2004, 2006); на научно-практических конференциях СГУ в 2003, 2004 и 2006 годах, а также на семинарах кафедры теории функций и приближений СГУ (руководитель - д.ф.м.н. доцент Лукашов А.Л.). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[5]. Структура и объём диссертации. Диссертационная работа изложена на 106 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 107 наименований.R^X>E>Qn\ Rl(d,E,Qn)Rl^EA) ЯЖЕ,\)Похожие диссертации на Экстремальные полиномы на нескольких отрезках
