Введение к работе
Актуальность темы. Теория однолистных функций является центральной темой исследований в теории конформных отображений. Классы однолистных функций, нелинейные по своей структуре, оказываются весьма трудными объектами исследования. Наиболее актуальные задачи з этих классах формулируются как экстремальные задачи об областях значений непрерывных функционалов или сводятся к ним.
Одной из центральных тем исследований является проблема коэффициентов, относящаяся к классическим проблемам геометрической теории функций комплексного переменного. Экстремальным задачам, связанным с оценкой коэффициентов и коэффициентных функционалов, а также с описанием множеств значений коэффициентных функционалов, посвящено множество статей и монографий известных математиков, среди которых отметим Л.Бибербаха, К.Лёв-нера, Г.М.Голузина, И.Е.Базилевича, И.А.Александрова, Д.В.Прсхо-рова, О.Тамми.
Среди методов ретиения экстремальных задач геометрической теории функций выделим параметрический и вариационный, приведшие к наиболее значительным результатам. В последнее время успешно' применяется и метод оптимального управления, основанный на принципе максимума Понтрягина и разработанный в рамках параметрического метода. Впервые этот метод был применён в работах Г.Гудмана, Й.А.Александроза, В.И.Попова. Наиболее успешно метод стал разрабатываться в работах Д.В.Прохорова.
Цель работы, получение описания множества значений начальных коэффициентов ограниченных однолистных функций, а именно, описание свойств граничной гиперповерхности проекции шестимерного тела коэффициентов в пятимерное пространство. Целью работы является также описание некоторых свойств граничной гиперповерхности проекции (2га — 2) * мерного тела коэффициентов в (2п — S) -мерное пространство а решение некоторых экстремальных задач,
связанных с оценкой коэффициентов и коэффициентных функционалов, в классах ограниченных однолистных функций.
Методика исследования. Выводы диссертации являются достоверными и обоснованными, доказанными в соответствии с современными представлениями о строгости математических доказательств. Доказательства проводятся параметрическим методом, основанным на представлении всюду -плотного подкласса однолистных функций интегралами дифференциального уравнения Лёвнера, и развитыми в рамках этой теории приложениями метода оптимального управления, принципа максимума Понтрягина, динамического программирования Бэллмана и алгоритмов построения достижимых множеств .управляемых систем дифференциальных уравнений.
Научная новизна . Все основные результаты работы являются новыми. В диссертации: 1) впервые получено описание свойств граничной гиперповерхности тела коэффициентов размерности выше трёх; 2) показано, что граничная гиперповерхность проекции (2п — 2) - мерного тела коэффициентов в (2гс — 3) - мерное пространство является аналитической всюду, за исключением множества особых точек алгебраического характера, имеющего меньшую размерность. Этот результат обобщает результаты К.И.Бабенко; 3) приведено решение некоторых экстремальных задач, связанных с оценкой коэффициентов ограниченных однолистных функций.
Теоретическое значение и практическая ценность. Результаты и методы работы работы могут найти применение в геометрической теории функций комплексного переменного, в теории оптимального управления, динамического программирования, построении достижимых множеств, а также в прикладных вопросах, где используются конформные отображения и методы оптимизации. Доказанные положения могут быть использованы при чтении спецкурсов по геометрической теории функций комплексного переменного в Саратовском, Казанском, Томском, Кубанском государственных университетах и Саратовском государственном пединституте.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались:
на Саратовском городском научном семинаре по геометрической теории функций комплексного переменного (руководитель профессор Прохоров Д.В.), на 7-й и 8-й Саратовских зимних школах по теории функций и приближений (Саратов, 1994 г. и 1996 г.), на школе-конференции МГУ и КГУ "Теория функций и её приложения'' (Казань, 1995 г.). В целом работа докладывалась на объединённом научно-исследовательском семинаре кафедр теории функций и приближений, дифференциальных уравнений и прикладной математики, математического анализа, математической физики и вычислительной математики в Саратовском государственном университете имени Н.Г.Чернышевского (1996 г.). Работа по диссертации была поддержана 'грантом Государственного комитета по высшей школе РФ № 2-12-7-25 "Оптимизация в задаче о коэффициентах однолистных функций".
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх работах, список которых приводится в конце автореферата. Структура и объём диссертации. Диссертационная работа изложена на 94 страницах машинописного текста и состоит из введения и двух глав, разбитых на десять параграфов. В диссертации имеется 9 рисунков и библиографический список, содержащий 82 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.
