Введение к работе
Актуальность темы В последние десятилетия 20 века в теории классов Харди был разработан новый аппарат, основанный на методах вещественного анализа и повлекший за собой значительные результаты Описание вещественных классов Яр, 0 < р < 1, в терминах различного рода максимальных операторов и атомных разложений прояснило свойства функций из этих классов и в то же время предоставило универсальные средства для оценки сингулярных интегральных операторов Это привело к новым утверждениям о мультипликаторах Фурье Отметим лишь следующий замечательный факт, имеющий прямое отношение к содержанию диссертации и обнаруженный в середине 1980-х годов Рубио де Франсиа и Бур-гейном "половина" неравенства Харди-Литтлвуда (верхняя //"-оценка для соответствующей квадратичной функции) сохраняется при 1 < р < 2 для любого разбиения спектра на интервалы
Возможности этих новых методов отнюдь не исчерпаны, а многие важные вопросы ожидают своего решения В упомянутой выше теореме Рубио де Франсиа и Бургейна неясно было, например, как обстоит дело при 0 < р < 1 (полный ответ дан в диссертации, при этом существенную роль в доказательстве играют атомные разложения) За пределами шкалы Нр, впрочем, и о самих атомных разложениях было известно недостаточ-его среди классов Харди-Лоренца Нр ч при р ^ q = сю (в диссертации этот пробел до некоторой степени восполнен) Выяснилось также, что даже в таком классическом утверждении, как теорема Марцинкевича о мультипликаторах, можно получить новую информацию, относящуюся к показателю р — 1 Все сказанное свидетельствует об актуальности выбранной темы
Цели работы 1. Доказательство теоремы об атомном разложении для пространств Харди-Лоренца Hlq при 1 < q < со
2. Поиск (и доказательство) вариантов теоремы Марцинкевича о мультипликаторах Фурье в случае показателя р, равного 1
3. Доказательство аналога неравенства Литтлвуда-Пэли для произвольных интервалов в случае показателя р Є (0,2]
Общая методика работы. В работе применялись методы анализа Фурье и комплексного анализа, использовалась теория интерполяции Использовались также классические результаты функционального анализа
Основные результаты работы. Впервые получено атомное разложение для пространств Харди—Лоренца Н1'4 при 1 < q < со Впервые доказан вариант теоремы теоремы Марцинкевича для показателя р = 1, утверждающий, что оператор, рассматриваемый в классической формулировке, отображает пространство Н1(Ш) в пространство НІ1(Ш). Изучение вопросов, связанных с неравенством Литтлвуда-Пэли для произвольных интервалов, привело к распространению результатов Л Рубио де Франсиа и Ж Бургейна на случай произвольного показателя р Є (0,2] Доказательство основано на атомных разложениях пространств Нр и теории сингулярных интегральных операторов и позволяет рассмотреть весь указанный интервал значений р единообразно, ранее техника, применяемая при р > 1 (Рубио де Франсиа) существенно отличалась от того, что проделал в случае р = 1 Вургейн
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер Результаты и методы диссертации могут быть использованы в близких вопросах анализа Фурье Ряд утверждений также может быть применен при исследовании ограниченности сингулярных интегральных операторов на различных классах функциональных пространств
Апробация работы Результаты диссертации докладывались на семинаре по математическому анализу ПОМИ РАН и СПбГУ, а также на международной конференции "Новые тенденции в комплексном и гармониче-
ском анализе", 7-12 мая 2007 г, Восс, Норвегия
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в трех научных статьях [11, 12, 13] Две статьи опубликованы в журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав
