Введение к работе
Актуальность темы
Топология наборов координатных подпространств представляет интерес в различных областях математики: в торической и комбинаторной топологии, в теории торических многообразий, где дополнения к наборам координатных подпространств выступают в роли пространств однородных координат для таких многообразий, в теории интегральных представлений голоморфных функций и вычетов в многомерном комплексном анализе, где наборы координатных подпространств выступают в роли сингулярных множеств ядер интегральных представлений'.
В книге M. Горески и Р. Макферсона был разработан универсальный комбинаторный метод вычисления когомологий для дополнений к произвольным наборам плоскостей, однако этот метод трудно применим для реализации явных конструкций базисных элементов когомологий и часто ведет к довольно громоздким вычислениям. Исследования в области торической топологии, в частности работы В.М. Бухштабера и Т.Е. Панова1 и других авторов позволили найти методы вычисления групп когомологий дополнений к координатным наборам комплексных подпространств, которые в ряде случаев проще универсальных методов и позволяют получать некоторую дополнительную информацию. Надо заметить, что топологии дополнений к координатным наборам вещественных подпространств было уделено меньше внимания.
Теория многомерных вычетов, также как и теория интегральных представлений голоморфных функций, основана на некоторых модельных дифференциальных формах и двойственных контурах (циклах) интегрирования. Исторически первыми были многомерное ядро и интегральное представление Коши, доказанное А. Пуанкаре в 1887 году, а также ядро и интегральное представление Бохнера-Мартинелли, доказанное в 1938, 1943 годах. Эти интегральные представления явились эталонными, из них впоследствии на основе гомологических и когомологических процедур был построен ряд других интегральных представлений. А.К. Цих в
1999 году предложил стратегию построения эталонных вычетов и интегральных представлений на основе ядер с сингулярностями на наборах координатных плоскостей. Его идея получила развитие в более поздних статьях'. Для реализации указанной стратегии, а также для решения названных выше задач многомерного комплексного анализа важным является изучение топологии дополнений к наборам координатных плоскостей, в частности, изучение групп гомологий и когомологий дополнений к таким наборам.
Задача построения ядер интегральных представлений голоморфных функций также связана с вычислением фильтрации Ходжа на когомоло- гиях. Фильтрация Ходжа - это одно из основных понятий теории Ходжа. Для компактных кэлеровых многообразий, в частности, для проективных многообразий теория Ходжа позволяет напрямую связать аналитические свойства пространства, выраженные его когомологиями Дольбо, с топологическим свойствами, выраженными когомологиями де Рама. Особенную эффективность и завершенность теория Ходжа получила для компактных кэлеровых многообразий. Для некомпактных многообразий эта связь устроена сложнее и изучена мало.
Для приложений в комплексном анализе, в частности, в теории многомерных вычетов, полезной оказывается двойственность Александера- Понтрягина'. На практике она позволяет заменять в интегралах от замкнутых форм циклы на гомологичные им циклы, по которым интеграл вычисляется проще. Поэтому явное описание двойственности Александера-Понрягина представляет определённый интерес для аналитических приложений.
Цель диссертации
Целью работы является изучение когомологий дополнений к наборам координатных подпространств (как комплексных, так и вещественных), а именно, вычисление кольца когомологий дополнения к набору вещественных координатных подпространств, явное описание двойственности Александера-Понтрягина, а также вычисление фильтрации Ходжа на дополнении к набору комплексных координатных подпространств и построение ядер интегральных представлений голоморфных функций.
Методы исследования
В работе используются методы алгебраической топологии, многомерного комплексного анализа и торической геометрии. Большую роль играет техника построения изоморфизмов и квазиизоморфизмов между обычными и двойными комплексами.
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность
Результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в многомерном комплексном анализе, алгебраической топологии и комплексной алгебраической геометрии.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на
-
Красноярских городских научных семинарах по комплексному анализу (под руководством проф. А.М. Кытманова и проф. А.К. Циха) и по алгебраической геометрии (под руководством проф. А.К. Циха) (20072013, СФУ);
-
Семинаре отдела геометрии и топологии МИАН "Геометрия, топология и математическая физика" (Москва, 2008);
-
Международной научной конференции "Аналитические функций многих комплексных переменных" (Красноярск, 2009);
-
IV российско-армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Красноярск, 2012).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 3-х статьях [1-3] ( все в журналах из перечня ВАК) и 2-х тезисах [4-5]. Статья [1] написана в соавторстве с А.В. Казановой, в диссертацию включены лишь те результаты статьи, которые принадлежат лично автору.
Структура и объём работы
Диссертация состоит из введения, главы предварительных сведений и трех глав основного текста. Список литературы содержит 28 наименований. Работа изложена на 107 страницах. Результаты второй главы опубликованы в работах [1], [2], [4]. Результаты третьей главы опубликованы в работах [3], [5]. Результаты четвертой главы опубликованы в работах [1], [2].
