Введение к работе
Актуальность темы.
Работа посвящена исследованию Lp— разделимости дифференциальных операторов класса Трибеля при 1 < р < +оо и получению соответствующих коэрцитивных неравенств.
Термин разделимость и фундаментальные результаты по разделимости обыкновенных дифференциальных операторов принадлежат В.Н. Эверит-ту и М.Гирцу. В своих работах они, в основном, изучали разделимость оператора Штурма-Лиувилля и его степеней.
Впоследствии эта тематика была развита в работах К.Х. Бойматова, П.И. Лизоркина, М. Отелбаева, Ф.В. Аткинсона, В.Д. Эванса, А.Цеттля и других математиков.
Разделимость обыкновенных дифференциальных выражений более высокого порядка исследовалась в работах А.А. Абудова, А. Биргибаева, М. Отелбаева, К.Х. Бойматова, С.А. Исхокова и др.
Случай обыкновенных дифференциальных выражений с матричными коэффициентами рассматривалась в работах Б.И. Алиева, СМ. Исмои-лова, М.Байрамоглы, К.Х. Бойматова, А. Шарифова, А.С. Мохамеда и ДР-
Цель работы.
Изучить в пространстве Lp(Q), 1 < р < +оо, Q = (а, Ь), —оо < а < Ь < +оо, разделимость обыкновенного дифференциального оператора класса Трибеля с очень сильным вырождением коэффициентов вблизи границы (и на бесконечности).
Методы исследования.
Основными методами исследования являются современные методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и функционального анализа. Доказательство теорем разделимости основывается на построении правого регуляризатора; применяется модифицированный К.Х. Бой-матовым метод Титчмарша. Также используется метод интегрирования по частям, впервые примененный В.Н. Эвериттом и М. Гирцом. Разделимость в Loo- пространствах устанавливается предельным переходом при р —> +оо.
Научная новизна.
Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
получены оценки резольвенты оператора класса Трибеля;
установлена Lp - разделимость для обыкновенных дифференциальных операторов класса Трибеля на конечном интервале, на полуоси, на всей оси и на произвольном интервале, где доказано, что константы, фигурирующие в оценках коэрцитивности, не зависят от р;
установлена разделимость дифференциальных операторов класса Трибеля в пространстве L^;
получено интегральное представление функций из весовых пространств С.Л. Соболева.
Теоретическая и практическая ценность.
Результаты, полученные в диссертации, имеют теоретическое значение и могут быть использованы в теории гладкости решений, а также в спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов.
Апробация результатов.
Результаты, представленные в диссертации, прошли апробацию на межреспубликанской научно-практической конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики - вторые боголюбовские чтения"(г. Киев, 1992г.); международной конференции "Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами" (г. Душанбе, ТГНУ, 1996 г.); республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов (г. Курган-Тюбе, 1991 г.); республиканской научной конференции "Математика и информационные технологии" (г. Душанбе, Институт математики (ИМ) АН РТ, 2006 г.); республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений"(г. Душанбе, 2007 г.); научно-исследовательском семинаре отдела теории функций и функционального анализа ИМ АН Республики Таджикистан "Спектральная теория и разделимость дифференциальных операторов"(руководители доктор физ.-мат. наук, академик АН РТ, профессор, Бойматов К.Х. и доктор физ.-мат. наук, профессор Исхоков С.А.), 1991-2008 гг.; общеинститутском семинаре Института математики АН Республики Таджикистан (руководитель
семинара доктор физ.-мат. наук, член-корреспондент АН РТ, профессор Рахмонов З.Х.).
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в восьми научных работах, список которых приведен в конце автореферата [1-8].
Структура и объём работы.
Диссертация изложена на 113 страницах и состоит из введения, двух глав и списка литературы. Главы подразделены на 10 параграфов. Система нумерации параграфов сквозная, каждая из них имеет двойную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером параграфа, а второй указывает на порядковый номер определения, леммы, теоремы или формулы в данном параграфе. Библиография насчитывает 68 наименований.
