Введение к работе
Актуальность темы.
Рассматривается произвольное множество X с некоторой алгеброй или сг-алгеброй его подмножеств Е, т е измеримое пространство (X, Е) В некоторых случаях X предполагается топологическим пространством с топологией г и с борелевской алгеброй я/ — srf% или сг-алгеброй её = 3'х, порожденными топологией т Используются следующие обозначения
В(Х, Е) — банахово пространство всех вещественных ограниченных Е-измеримых функций / X —> R1 с sup-нормой
С(Х) — банахово пространство всех вещественных ограниченных непрерывных функций / X ~ R1 с sup-нормой (для топологического X)
Ьа(Х,Т,), са(Х,И) — банаховы пространства вещественных ограниченных мер р, Е —> R1 с вариационной нормой, соответственно конечно аддитивных и счетно аддитивных
rba(X, Е), rca(X, Е) — банаховы пространства — подпространства регулярных мер, соответственно в Ьа(Х, Е) и са(Х, Е) (для топологического X)
На измеримом пространстве (X, Е) задается функция двух переменных р X х Е —* R1, р (х,Е), которая является Е-измеримой по первой переменной и счетно аддитивной мерой по второй переменной
р X х Е-> [0,1], р{,Е)еВ(Х,Т), УЯєЕ,
р(х, ) Є са(Х, Е), Vz Є X, р(х,Х) = 1, \/х Є X
Такая функция называется переходной функцией или переходной вероятностью для порождаемой ею классической цепи Маркова (ЦМ) на "фазовом" пространстве (X, Е)
Переходная функция р (х, Е), как интегральное ядро, однозначно порождает два линейных оператора Т и А, которые мы будем называть марковскими операторами
Т В(Х,Е) -+ В(Х Е), (Tf)(x) = Tf(x) = f f(y)p(x,dy), feB(X,E),xeX:
A ca(X, E) -> ca(X,E), (A/j,)(E) = Afi(E) = Jp(x, Z)(i(dx), M Є ca(X,S), Ее E
В рамках настоящей'работы цепи Маркова отождествляются с итерационной процедурой ип = Ajin-i при той или иной начальной счетно аддитивной вероятностной мере д% Описание ЦМ на языке случайных величин (элементов) в работе не используется
Марковский оператор А может быть продолжен (расширен) с сохранением своего аналитического вида с пространства счетно аддитивных мер на пространство конечно аддитивных мер (сохраняем обозначение)
A ba(X, S) -J- ba(X, ), (Ац)(Е) = /р(ж, S)M(cte)
Поскольку сопряженное пространство В*(Х, ) = 6а(Х, ), то продолженный оператор А является топологически сопряженным к оператору Т Т* = А (этим свойством не обладает исходный оператор А на са(Х, ))
Переходная функция р(ж, Ё) также может рассматриваться как конечно аддитивная мера по второму аргументу р(х, ) є ba(X,T), \/х X Она также порождает пару марковских операторов Т и А с тем же интегральным видом, причем Т В(Х, ) -4 В(Х, ), А Ьа{Х, ) -> 6о(Х, ) іГ"=4 Конечно аддитивной переходной функции соответствуют конечно аддитивные цепи Маркова, также понимаемые как итерационные процедуры цп — Ацп-и гДе Мо Ьа(Х, ), ц0 > О, MoW = 1
Предметом изучения в работе являются марковские операторы, порождаемые переходными функциями на произвольных и топологических измеримых пространствах {Х,Т,) Рассматриваются как счетно аддитивные, так и конечно аддитивные переходные функции, а также определяемые ими цепи Маркова (ЦМ) на фазовом пространстве (X, )
Исследования в настоящей работе проводятся в рамках операторного подхода к изучению цепей Маркова, позволяющего использовать конструкции и методы функционального анализа, который был впервые в главных чертах разработан Иосидой и Какутани1 в 1941 году
Задачей настоящего исследования является изучение асимптотического поведения ЦМ, понимаемого как описанные выше итерационные операторные процедуры в пространствах мер К асимптотическому поведению последовательностей мер здесь относится также и поведение всевозможных средних, в частности, средних по Чезаро Сходимость рассматривается в различных сильных и слабых топологиях
Указанная проблема составляет существо классической эргодической теории для марковских операторов, т е для цепей Маркова, а конкретные теоремы, дающие решение относящихся сюда вопросов, называются эргодическими или предельными
Эргодические теоремы обычно доказывают при тех или иных предположениях Типичными являются следующие ограничения
Ограничения на фазовое пространство - конечность, счетность, топологические свойства и т п
Условия на марковские операторы - компактность, квазикомпактность, феллеровость и т п
Предположение о существовании инвариантной вероятностной
1 Yosida К , Kakutani S Operator-theoretical treatment of Markoff's process and mean ergodic theorem - Ann Math , v 42, № 1, 1941 P 188-228
меры Это предположение присутствует почти во всех основных эргоди-ческих теоремах, полученных Феллером и Иоеидой2, и у многих других авторов "Априорная" инвариантная вероятностная мера перешла из общей эргодической теории, где ее существование является естественной физической предпосылкой в статистической физике С другой стороны, постулируемое существование инвариантной вероятностной меры /л позволяет рассматривать марковские операторы в пространствах Лебега LP(X, Е, ц) Наличие хорошо развитой теории линейных операторов в пространствах Лебега и обеспечивает построение развернутой эргодической теории для таких ЦМ (см , например, статьи Хоровина3'4)
В настоящей работе в основных результатах почти нет ограничений на фазовое пространство Некоторые результаты будут связаны с предположениями второго типа Что же касается предполооюений третьего типа, то именно их критический пересмотр обусловил появление данного исследования
В работе ставится и в определенной степени решается задача изучить асимптотическое поведение итераций от марковских операторов, во-первых, вне носителей инвариантных вероятностных счетно аддитивных мер, а, во-вторых, при отсутствии таких мер
Цель работы
Разработать новые методы исследования марковских операторов, базирующихся на активном использовании общей теории конечно аддтив-ных мер
Научная новизна.
Проведено продолжение марковских операторов со счетно аддитивным ядром основных классов счетно аддитивных цепей Маркова с пространства счетно аддитивных мер на пространство конечно аддитивных мер и установлен методологически общий для всех таких операторов факт о существовании инвариантных конечно адитивных мер Данный результат обобщает подобные полученные ранее результаты других авторов
Рассмотрены марковские операторы с конечно аддитивным ядром и соответствующие им конечно аддитивные цепи Маркова Доказаны новые общие теоремы о существовании инвариантных конечно аддитивных мер у всех таких операторов
2Иосида К Функциональный анализ М , Мир, 1967 — 624 с
3Horowitz S Loo - Limit theorems for Markov processes — Israel J of Math V 7, N
1, 1969 P 60-62
4Horowitz S Transition Probabilities and Contaction of Loo - Z Wahr und verw
Geb В 24, H 4, 1972 P 263-274
3 На основе известного представления банаховой алгебры
В(Х Е) через пространство C(Q), где Q — ее пространство максимальных идеалов (или множество двузначных конечно аддитивных мер), введена гамма-компактификация ysX произвольного измеримого пространства (X, ) Исследовано топологическое строение гамма-компак-тификации исходного пространства Изучены особенности продолжения измеримых ограниченных функций до непрерывных и конечно аддитивных ограниченных мер до счетно аддитивных при расширении исходного измеримого пространства до его гамма-компактификации В частности, даны условия выметания носителей исходных мер в нарост гамма-компактификации при продолжении мер
Введено новое понятие — гамма-расширение точки (не имеющее аналогов в общей топологии) при вложении топологического борелев-ского пространства в его гамма-компактификацию Изучено устройство гамма-расширения точки и ее гамма-нароста для различных топологий в исходном пространстве, дано их представление в терминах двухзначных мер, и исследованы другие свойства При некоторых условиях доказано, что гамма-компактификация исходного топологического пространства совпадает с объединением гамма-расширений всех его точек тогда и только тогда, когда X компактно.
Произвольной конечно аддитивной цепи Маркова на общем, вообще говоря, нетопологическом фазовом пространстве поставлена в соответствие некоторая феллеровская цепь Маркова на компакте - "гамма-цепь Маркова на гамма-компактификации" исходного фазового пространства Переход от исходной цепи к феллеровской и обратно хорошо оснащен набором соответствующих отображений, дающих явные формулы перехода Полученная конструкция позволяет трансформировать различные утверждения, верные для феллеровских цепей Маркова на компакте, в соответствующие утверждения для произвольных цепей
Доказано, что классу всех феллероских цепей со счетно аддитивной переходной функцией на гамма-компактификации произвольного измеримого пространства биективно соответствует класс всех цепей Маркова на данном измеримом пространстве с конечно аддитивной переходной вероятностью, подкласс которого образуют классические цепи со счетно аддитивной переходной вероятностью В терминах классов марковских операторов указанное соответствие является изометрическим изоморфизмом
В рамках разработанного автором подхода доказан набор теорем эргодического типа с альтернативными условиями, в которых асимптотическое поведение в различных топологиях средних по Чезаро от марковских последовательностей мер при всевозможных предположениях
увязывается со свойствами инвариантных конечно аддитивных мер марковских операторов
8 Введено понятие семейства конечно-осредненных цепей Маркова (и их операторов) для исходной цепи Это позволило на основе полученных автором теорем эргодического типа для произвольных цепей Маркова доказать ряд новых теорем об условиях сильной сходимости средних по Чезаро для конечно-осредненных и исходных цепей Маркова
8 частности, доказана эквивалентность следующих двух условий
1)для произвольной цепи Маркова ее конечно-осредненная цепь удо
влетворяет условиям Дуба-Деблина (те соответствующие марковские
операторы квазикомпактны),
2)все инвариантные конечно аддитивные меры (они всегда существуют) исходного марковского оператора счетно аддитивны (одновременно доказано, что в этом случае существует лишь конечное число линейно независимых инвариантных мер)
9 В последних теоремах работы даются необходимые и достаточные
условия слабой сходимости средних по Чезаро для марковских операто
ров к счетно аддитивной вероятностной мере Суть условий при тех или
иных предположениях сводится к тому, чтобы все инвариантные конеч
но аддитивные меры попадали в один класс эквивалентности в слабой
топологии с данной предельной счетно аддитивной мерой
При этом учтены марковские операторы, не имеющие инвариантных счетно аддитивных мер Их асимптотическое поведение (средних по Чезаро) характеризуется свойствами инвариантных чисто конечно аддитивных мер
Методика исследований
В работе используются методы теории линейных операторов в банаховых пространствах, теории компактных расширений топологических и измеримых пространств, общей теории меры, элементы теории банаховых алгебр и ряда других разделов функионального анализа
Теоретическая и практическая значимость.
Представленная работа носит теоретический характер Полученные результаты могут быть использованы в дальнейшем развитии теории марковских операторов и теории компактных расширений Доказанные теоремы эргодического типа могут быть применены в эргодической теории цепей Маркова
Апробация Полученные в диссертации результаты докладывались автором в разное время на следующих научных семинарах и конференциях на семинаре в ТашГУ по функциональному анализу (Ташкент, 1978,
рук академик АН УзССР Т А Сарымсаков), на семинаре в Институте математики АН УзССР по теории вероятностей (Ташкент, 1978, рук академик АН УзССР С. X Сираждинов), на IV школе по теории операторов в функциональных пространствах (Новосибирск, 1979), на семинаре Института прикладной математики и механики АН Укр-ССР "Поведение систем в случайных средах" (Донецк, 1980, рук член-корреспондент АН УкрССР И И Гихман), на семинаре Института математики АН УкрССР по теории вероятностей (Киев, с 1980 по 1992 г, рук академик АН УкрССР В С Королюк), на семинаре Института математики и кибернетики АН ЛитССР по теории случайных процессов (Вильнюс, 1981, рук член-корреспондент АН ЛитССР В И Гри-гелионис), на III Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1981), на VIII Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Рига, 1983), на семинаре МГУ по общей топологии (Москва, 1985, рук д ф -м н , профессор В И Пономарев), на Всесоюзной школе-семинаре (первой) по эргодической теории марковских процессов (Кызыл, 1987), на семинаре Института математики АН УкрССР "Вероятностные распределения в бесконечномерных пространствах "(Киев, 1987, рук академик АН УкрССР А В Скороход), на XIII Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Куйбышев, 1988), на выездной сессии Научной комиссии АН СССР по теории вероятностей и математической статистике (Юрмала, 1988, преде академик АН СССР Ю В Прохоров), на V Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1989), на II Всесоюзной школе-семинаре по эргодической теории марковских процессов (Черновцы, 1989), на семинаре Института математики и механики Уральского научного центра АН СССР по экстремальным задачам (Свердловск, 1989, рук дф-мн, профессор, А Г Ченцов), на семинаре Рижского технического университета по теории вероятностей (Рига, 1991, рук дф-мн, профессор, Е Ф Царьков), на семинаре Института математики СО РАН по теории вероятностей и математической статистике (Новосибирск, 1998, 2000, 2006, рук академик РАН А А Боровков), на Международной конференции "Математика в восточных регионах Сибири" (Улан-Удэ, 2000), на семинаре Института математики СО РАН по математическому анализу и геометрии (Новосибирск, 2006, рук академик РАН Ю Г Решетняк)
А также неоднократно докладывались на других различных семинарах и конференциях в разное время в Латвийском госуниверситете, Рижском техническом университете, Киевском госуниверситет, Тывинском госуниверситете
Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]—[11] Более или менее полное изложение результатов автора, представленных в диссертации, а также исследования по ряду смежных вопросов, представлено в монографии автора [12] (рецензенты д ф -м н С Г Фосс и д ф -м н А Е Гутман - ИМ СО РАН) Список публикаций приведен в конце автореферата
Структура и объем диссертации Работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, списка литературы и приложения Нумерация определений, лемм, теорем и следствий тройная (номер главы, номер параграфа, порядковый номер внутри параграфа отдельно для определений, лемм, теорем и следствий) Библиография содержит 124 названия Объем работы 217 страниц
Похожие диссертации на Конечно аддитивное расширение Марковских операторов и эргодические теоремы
