Введение к работе
Актуальность темы. Развитие теория поля в последнее время вызывает новый интерес к исследованиям спектральных свойств операторов Шредингера, а также подобных им оперзторов. При исследования бесконечночастичных систем в статистической физике выкристаллизовался некоторый общий класс линейных операторов, названных в научной литературе кластерными операторами. Математически кластерные операторы обладают рядом замечательных . свойств, заслуживающих самостоятельного изучения уже вне какого-либо физического контекста. К кластерным операторам относятся широкий класс операторов: резольвенты многочастичных опзраторов Шредингера, псевдодифференциальные оператрры, многомерные теп-лицевц матрицы и т.д. При исследования перечисленных операторов приходится исследовать спектральные свойства операторов, аналогичных операторам Шредингера. В частности, исследовать дискретный спектр одно- и двухчастичных операторов Шредингера. Данная диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию и углублению этой тематики.
Цель работы. Цель» работы является исследование дискретного спектра одночастичного оператора Шредингера и.получение оценок относительно потенциала, обеспечивающих пустоту множества его собственных чисел: получение условий, обеспечивающих отсутствие двухчастичных связанных состояний у двухчастичного оператора Шредингера с потенциалом взаимодействия частиц и с внешними полями и доказательство существования для ядра этого оператора представления, аналогачного представлению ядра самого оператора,
заданного в импульсном пространстве.
Методы исследования. В работе используются некоторые методы теории функций действительного и комплексного переменных, компактных операторов, обобщенных функций, интегральных уравнений и сингулярных интегралов. '
Научная новизна. В работе получены следующие новые результа-ты: а) определены условия на потенциалы, при выполнении которых дискретный спектр одночастинного оператора Шредингера пуст, а у двухчастичного оператора Шредингера отсутствуют двухчастичные связаннее состояния ;
б) исследована резольвента двухчастичного оператора Шредингера во внешнем поле, заданного в импульсном представлении. Для ее ядра получено конкретное представление, имеющее такую же структуру, что и само ядро исходного оператора.
Практическая и теоретическая.ценность. Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших теоретических исследованиях спектральных свойств операторов Шредингера, кластерных операторов и некоторых других операторов математической физики: при решении- интегральных уравнений для выяснения вопроса существования их решений. В прикладных вопросах при вычислении дискретного спектра результаты работы могут быть применены для предварительного выяснения их наличия.
Апробация. Основные результаты диссертации использовались при чтении спецкурсов, докладывались на итоговых научных конференциях и на объединенном семинаре математического факультета ДГУ ам. В.И.Ленина, на семинарах кафедры ТФФА. механико-математического факультета МІУ им. М.В.Ломоносова, на первой и третьей
Сізьеьо-К .: .-..чзоспх региональных конференциях по функцнонально-ді:фЬ;р.'.м:;,:пльні:м уравнениям и их приложениям, на П Всесоюзном семинаре "Магнитные разовые переходы и критические явления", состоявшихся в городе Махачкале соответственно в 1986, 1990 и 1991 годах.
Публикации. Основные результаты-диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце реферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Диссертация изложена на 79 машинописных страницах. Библиография содержит 56 наименований.
