Квазигиперболические отображения и их обобщения Латфуллин, Тагир Гумерович

Введение к работе

Актуальность темы. В 80 годы 20 столетия в область интересов специалистов по квазиконформным отображениям попали квазигиперболические гомеоморфизмы, то есть гомеоморфизмы, ограниченно изменяющие квазигиперболическое расстояние. Стимулом к этому, вероятно, послужили работы Альфорса [14], Карлесона [16], Тукиа и Вяйсяля [25] о продолжении квазиконформного гомеоморфизма гиперпространства і?"^-1 в полупространство Я", и упомянутая работа [25] в которой также доказьшается возможность аппроксимации квазиконформных гомеоморфизмов квазигиперболическими. Эти работы показали близость класса квазигиперболических (QH) гомеоморфизмов классам квазиконформных гомеоморфизмов (QC) и квазиизометрических (QI) гомеоморфизмов. Класс QH занимает промежуточное положение между классами QI и QC, QI С QH С QC, и унаследовал лучшие свойства того и другого класса. Граничные свойства гомеоморфизмов класса QH такие же как у гомеоморфизмов класса QC, однако, внутри области определения гомеоморфизмы класса QH устро-эны также как гомеоморфизмы класса QI, точнее говоря, они локально <вазиизометричны.

Квазигиперболические гомеоморфизмы обычно использовались как нн-

:трумепт при изучении квазиизометрических гомеоморфизмов. Их приме-

[ение основано на эффекте обнаруженном Л.Альфорсом [2], заключаю-

цемся в том, что квазигиперболический гомеоморфизм, квазиизометри-

іеский на границе (в случае достаточно протяженной границы) является

вазиизометрическим. Позднее этот эффект был использован в работах ав-

ора (3], [4], [5], П.Тукиа и Ю.Вяйсяля [26], Д.С.Джерисоиа и С.Е.Кенига

Ю], Ю.Вяйсяля [27].

В основном исследования квазигиперболических отображений и при-

ожений квазигиперболической метрики ведутся американскими (школа

'.Геринга) и финскими математиками (школа Ю.Вяйсяля).

Цели работы. Изучение свойств квазигиперболических отображений,

их обобщений и приложений.

Методика исследования. В работе использованы методы, применяемые в теории отображений с ограниченным искажением. Для оценки искажений отображений развивается новый метод пробных конденсаторов.

Научная новизна. Основные результаты диссертации. Перечисленные результаты диссертации являются новыми.

1. Класс QH квазигиперболических гомеоморфизмов расширен до класса, содержащего негомеоморфные отображения. Отображения постоянной ориентации, содержащиеся в расширенном классе QH являются отображениями с ограниченным искажением.

2. Разработан метод локальной пошаговой аппроксимации локально инъ-ективных отображений с ограниченным искажением.

3. Установлено, что любое локально инъективное отображение с ограниченным искажением сильно топологически эквивалентно некоторому отображению класса QH.

4. Доказана теорема о том, что для любой квазиконформной инволюции (р : Rⁿ -» Rⁿ, п ф 4, существует квазиизометрическая инволюция ip : Rⁿ -» Rⁿ, множество неподвижных точек которой совпадает со множеством неподвижных точек инволюции if (обобщение теоремы Альфорса о квазипзометрическом отражении [2]).

5. Доказана топологическая эквивалентность класса комплексных многочленов и класса неоднолистных квазиизометрических отображений, сохраняющих ориентацию (BLD-отображений в терминологии Ю.Вяйсяля).

6. Получены необходимые и достаточные условия на регулярные функции, заданные в полуплоскости, для того, чтобы эти функции были сильно топологически эквивалентны квазиизометрическим отображениям.

7. Найден класс эллиптических уравнений в областях R⁷¹, решения которых можно представить в виде композиции решения некоторого уравнения и негомеоморфного отображения класса QH.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Разработанный метод локальной пошаговой аппроксимации отображений с ограниченным искажением является аналогом метода "разбиения единицы", применяемого для аппроксимации числовых функций, метод не зависит от способа аппроксимации на канонических областях и может быть применен к другим задачам.

Предложенный метод пробных конденсаторов позволяет корректно исследовать локальное поведение отображений, чьи координатные функции принадлежат пространствам С.Л.Соболева L\. Использование пробных конденсаторов аналогично использованию финитных функций в задачах, связанных с суммируемыми функциями.

Найденные весовые пространства С.Л.Соболева, связанные с квазигиперболическими отображениями позволят перейти к двойственным задачам.

Результаты работы имеют теоретическое значение и могут служить основанием для развития теории отображений.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях: Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРЙМ - 2000) (Новосибирск, 2000 г.); Международная конференция по анализу и геометрии, посвященная 70-летию академика Ю.Г.Решетняка (Новосибирск, 1999 г.); Третий Сибирский конгресс по ірикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ - 98) (Новосибирск, 1998 г.); Второй Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ - 96) (Новосибирск, 1996 г.);

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ. Основные >езультаты содержатся в работах [30 - 40].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из оглавления, введения, пяти глав, списка обо-начений, предметного указателя и списка литературы. Объем работы 201

страница, библиография — 78 наименований.