Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Вспомогательные понятия и предложения 14
1. Псевдообратный оператор 14
2. Задача псевдообращения 24
Глава II. Задача связанного псевдообращения 28
3. Задача п-связанного псевдообращения: постановка и разрешимость 28
4. Регуляризованная задача п-связанного псевдообращения 40
5. Сходимость регуляризованных решений 44
6. Устойчивость регуляризованных решений 48
Глава III. Выбор параметра г из вспомогательного регуляризирующего алгоритма 58
7. Вспомогательный регуляризирующии алгоритм 59
8. Вспомогательные функции 63
9. Критерии выбора параметра регуляризации 68
9.1. Принцип невязки 69
9.2. Обобщенный принцип невязки 71
9.3. Принцип сглаживающего функционала 74
9.4. Принцип квазирешений 76
10. Вспомогательная функция р(г); продолжение 77
11. Алгоритм вычисления параметра регуляризации в принципе невязки 84
Глава IV. Последовательный выбор параметров регуляризации. Конечномерная аппроксимация вариационной задачи 92
12. Общий регуляризирующий алгоритм при фиксированном г 92
13. Критерии последовательного выбора параметров регуляризации 96
14. Проекционный способ вычисления регуляризовапных решений 104
Приложение 109
- Регуляризованная задача п-связанного псевдообращения
- Вспомогательные функции
- Принцип сглаживающего функционала
- Алгоритм вычисления параметра регуляризации в принципе невязки
Введение к работе
Потребности практики вопреки известному высказыванию Ж. Ада-мара привели к необходимости изучения некорректных задач. Часто абстрактной моделью этих задач служит линейное операторное уравнение
Ах = у (0.1)
с оператором Л, действующим между гильбертовыми пространствами X и К, и необязательно непрерывным. По уравнению (1) требуется найти нормальное псевдорешение х:
х Є Argmin \\Ах - у\\ = ХА,
^D(A) (0.2)
х = argmin |[ж||.
хЄХА
Если А+ - псевдообратный к оператору А, то нормальное псевдорешение
х - А+у, 0.3)
и задачу его отыскания можно назвать задачей псевдообращения.
Не останавливаясь на истории вопроса, отметим, что одним из наиболее важных методов решения задачи псевдообращения является метод регуляризации Тихонова, состоящий в аппроксимации решения (3) семейством {ха}, а > 0, экстремалей функционала
Фа(х) = \\Ах-у\\2 + а\\х\\2. (0-4)
Теория методов регуляризации решения уравнения (1) хорошо развита и нашла отражение в монографиях А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина [30], М.М. Лаврентьева [14], В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы [11], Ф.П. Васильева [6], а также в работах [1], [5], [8], [15], [16], [21], [23], [26], [28], [32] и многих других.
Начиная с 1970 года, стали появляться практические задачи, абстрактной моделью которых служит уравнение (1), но неизвестная х - не произвольный вектор пространства X, а удовлетворяет некоторым линейным связям, которые можно описать с помощью другого линейного уравнения
Вх = z (0.5)
с оператором В, действующим между гильбертовыми пространствами X и Z. По уравнениям (1) и (5) требуется найти элемент х*, удовлетворяющий условиям:
х* Є Argmin ||Вх - z\\ = Х\,
х* Є Argmin || Аг - y\\ = XA1 (0.6)
x* = argmin ||x||,
xeXA
где D - общая часть областей определения операторов А її В. Эту задачу по аналогии с предыдущей будем называть задачей связанного псевдообращения, а ее решение х* нормальным связанным псевдорешением уравнения (1).
Впервые задача связанного псевдообращения (б) поставлена в работе [56] японских математиков N. Minamide и К. Nakamura. В этой работе авторы ввели понятие суженного псевдообратного оператора и с его помощью представили решение х* задачи (6) в виде, равносильном формуле
х* - B+z + (APN(m)+(y - AB+z), (0.7)
где РЩВ) - ортопроектор на ядро N(B) оператора В.
К задаче связанного псевдообращения независимо пришли также В.А. Морозов и Н.Н. Кирсанова в работе [24]. Их цель состояла в обобщении классической задачи псевдообращения: вместо второго условия
в (2) они потребовали условие
х = argmin \\Вх — z\\,
xtXA
которое при В = I и z = 0 переходит в прежнее. Очевидно, что в постановке В,А. Морозова и Н.Н. Кирсановой нет определенности (единственности х) и для ее достижения на операторы Ли В они накладывают так называемое условие дополнительности операторов:
3Т>0: ||Ля;||2+||Вя:||2>72И2, Vz Є D. (0.8)
К решению поставленной частной задачи связанного псевдообращения В.А. Морозов в [22] применяет метод регуляризации, используя функционал А.Н. Тихонова (4) с естественной заменой стабилизирующей его части на \\Вх — z\\2.
Решению задачи связанного псевдообращения методом регуляризации посвящены работы ряда авторов [3], [10], [19], [25], [51], [53], [54], но во всех этих работах предполагается выполненным условие (8) дополнительности операторов Л и В. Принципиально новые результаты получены Р.А, Шафиевым в работах [33], [35], [37] и других, которые вошли в монографию [36]. Главное достижение состоит в построении двупараметрического регуляризирующего функционала
Фга(х) = т\\Вх - zf + \\Ах - yf + a\\xf, г, а > 0. (0.9)
При выполнении условия (8) в функционале (9) можно положить а = 0, при этом полученный таким образом функционал с точностью до параметризации совпадает с функционалом В.А. Морозова [22]. Кроме того, в [36] задача (6) обобщена на случай, когда имеется не одно уравнение связи (5), an уравнений: требуется найти элемент х*, удо-
влетворяющии условиям
х* Є ATgmm\\BkX - Zk\\ = Хь, к = 1,2,...,n, Xq = D,
x* Є Argmin |[Ar - i/|[ = XAi 0.10)
xeA'n
x* = argmin||rc||.
хЄХд
Эта задача называется задачей н-связанного псевдообращения, а ее решение х* - нормальным n-связанным псевдорешением уравнения (1). Построен п + 1-параметрический функционал, на базе которого исследован метод регуляризации решения задачи п-связанного псевдообращения.
В дайной диссертационной работе продолжены исследования метода регуляризации решения задачи связанного псевдообращения на основе двупараметрического функционала (9). Предполагается, что А'.Х —У У, В:Х -* Z - замкнутые линейные операторы с непустой общей частью областей определения D, всюду плотной в X, удовлетворяющие условию обобщенной дополнительности:
37>0: [jAc||2 + ||Bx||2>72|N|2, Vz DL. (0.11)
где DL = D Г\ [N(A) П N(B)) . Вопросы разрешимости задачи, свойства решений, регулярный алгоритм решения в диссертации рассматриваются сразу для общей задачи п-связанного псевдообращения. Полученные для п-связанного псев до обращения результаты обобщают соответствующие результаты из [36] на случай замкнутых операторов (3 и 4). Вывод этих результатов основан на известных фактах из теории псевдообратных операторов и теории некорректных уравнений (глава I, 1 и 2). Из общих результатов следует: при выполнении условия (11) задача связанного псевдообращения имеет единственное
решение х* є D1 при любых ?/ЄУи2 R(B)R(B)-L (следствие 3.16); экстремали функционала (9) хга, г, а > 0, определяются однозначно при любых у и z, причем хга Є D1 (теорема 4.1, замечание 4.2). При выполнении условия (11) установлена сходимость регуляризованных решений: \хга — х*\ —у 0 при независимом стремлении а —> 0, г —> оо, где |:г|2 = Ща;||2+ ||Вгк||2+ ]|а;||2 (теорема 5.1). По-видимому, условие (11) является и необходимым для сходимости хга к х*, когда а —> О, г — оо независимо. Без предположения (11) доказано: \хга — ж*| —> О при а -> 0, г* -» оо и (аг)-1 —> 0 (теорема 5.3), что подтверждает высказанную выше гипотезу.
В случае, если известны приближенные данные задачи: Af, Bjt, уТ) zsj то предполагаются выполненными следующие условия аппроксимации:
\\у-Ут\\<т, \\z-z6\\<8, \\Гх - Txf < (? + Л2) (\\х\\* + ||Гх||2) Ух Є D,
||f «/ - Г*5||2 < (t2 + Л2) (1Ы12 + ||Pfff) V5 Є z?(r*), 37 = 7(І,Л)>0: |И^||2 + ||Л/(а:||2>72||2;||2 Vx Є D1,
где, как и прежде, D1 = D Г) (N(At) П N(Bji)) (см. замечание 6.1), а операторы Г:Х->ЯхУиГ:Х-> Z х У определяются равенствами:
При выполнении условий (11) и (12) установлена устойчивость регуляризованных решений: \хга — х*\ —> 0 при a,5,r,tth —> 0, г — оо и выполнении условия согласования rh + л/г -» 0 (теорема 6.7).
В диссертации впервые рассматривается проблема алгоритмического выбора параметров в двупараметрическом методе регуляризации. Предложен алгоритм последовательного выбора параметров ре-
гуляризации: параметр г выбирается из вспомогательного регуляри-зирующего алгоритма с использованием различных известных принципов выбора; параметр а - из исходного алгоритма, в котором параметр г фиксируется выбранным значением, и также с использованием известных принципов выбора параметра регуляризации.
Вспомогательный регуляризиругащий алгоритм определяется на основе функционала
Fr(x) = г\\Вх - zf + ||Аг - у\\2, г > О, (0.13)
как метод, состоящий в аппроксимации х* семейством {а;г} решений вариационной задачи:
Fr(xr) = inf FJx).
Исследование этого метода представляет и самостоятельный интерес, так как он рассмотрен ранее В.А. Морозовым в [22] при более сильном, чем (11) ограничении (8).
Вспомогательному регуляризирующему алгоритму (13) посвящена третья глава диссертации, состоящая из пяти параграфов (7-11). Оказалось, что принципы выбора параметра регуляризации, рассмотренные в [22], -это принцип невязки, обобщенный принцип невязки, принципы сглаживающего функционала и квазирешений, - применимы и в этом более общем случае. Некоторые из принципов исследованы в случае точных данных, некоторые - при возмущенных данных ( 8 и 9).
Далее, исследуются дифференциальные свойства функции-невязки
р(г) = \\Вхг - z\\
и ее степеней. Для этого рассматриваются сначала вопросы дифференцирования регуляризованных решений хг по г. С помощью опера-
тора Гг: X -ї Z х Y = G и вектора дг Є G:
± f*X --
y/vBx Ax
9r =
y/rz
У J
регуляризованные решения записываются в виде:
хг — 1 г дг.
(0.14)
Используя представление псевдообратного
-її
г+ = (д + г;гггт;, Q = pNin
(теорема 1.2, замечание 1.11), установлена двукратная непрерывная дифференцируемость абстрактной функции (14) в каждой точке г > 0 и получены формулы
(лемма 10.2, следствие 10,3). Это позволило установить, что функция р(г) дважды непрерывно дифференцируема и р3(г) при Vs > 0 убывающая выпуклая вниз функция, а при — 1 < s < 0 - возрастающая выпуклая вверх (теоремы 10.5 и 10.6). С помощью этих резлгльтатов установлено, что при s > — 1 для приближенного решения скалярного уравнения
\\Вхг - z\\s = Д3, s^0, (0.15)
которое возникает при выборе параметра регуляризации по принципу невязки, может быть примемен метод Ньютона, причем при s = — 1 скорость сходимости метода Ньютона наибольшая (следствие 11.1, лемма 11.2). Результаты, касающиеся дифференциальных свойств функции р{г) и приближенного решения уравнения (15), остаются справедливыми и для возмущенного случая.
Возможность применения метода Ньютона для приближенного решения уравнения (15) рассмотрена В.А. Морозовым в [22] лишь в конечномерном случае и при выполнении более сильного условия (8).
Зафиксируем г = г и перепишем функционал (9) в виде:
Фга(я) = \\Ггх - gf\\2 + а\\х\\2, (0.16)
Очевидно, алгоритм, состоящий в построении экстремалей функционала (16), является методом регуляризации Тихонова вычисления ре-гуляризованного решения (14):
Xf = 1 f Qf
задачи связанного псевдообращения (6).
После нахождения параметра г из вспомогательного алгоритма параметр а находится с помощью метода регуляризации Тихонова по принципу невязки или по принципу сглаживающего функционала. Свойства функций
tp(a) — \\ГгХга - gf\\, ф(а) = \\Tfxfa - gf\\2 + a||icfQ)|2
и, вообще, все нужные факты теории метода регуляризации Тихонова в диссертации выводятся из построенной в главе III теории для вспомогательного регуляризирующего алгоритма (12). Критерии последовательного выбора параметров регуляризации формулируются и обосновываются в 13 главы IV,
Рассмотрена проекционная схема численного нахождения регуляри-зованных решений задачи связанного псевдообращения. Для этого множество D аппроксимируется семейством конечномерных пространств Dn и определяется оператор проектирования. Найдены
условия, при которых точки минимума а4а функционала (9), рассмотренного на Dn, аппроксимируют регуляризованное решение хга. Эти результаты получены как в невозмущенном, так и в возмущенном случаях (теоремы 14.4 и 14.5).
В заключение отметим, что формулировки некоторых практических задач, абстрактной моделью которых служит задача связанного псевдообращения, можно найти в [53]. Одна из этих задач рассмотрена в [56]. Суть этой задачи состоит в том, что требуется найти управление системой обыкновенных дифференциальных уравнений, которое за заданное время Т переведет эту систему из начального состояния x(t0) в состояние ar(fj, , = tQ+T, наименее уклоняющееся от заданной точки уз (О фазового пространства, и при этом минимизирующее энергетические затраты. Приведенное в [56] решение связано с обращением ряда операторов (см. замечание 15.3). В главе V диссертации эта задача решена методом регуляризации и его конечномерным аналогом. Приводится пример.
В диссертации принята следующая система нумерации. Нумерация параграфов в работе сквозная. Формулы в работе занумерованы двумя числами, разделенными точкой. Первое число в номере формулы - номер параграфа, в котором приводится данная формула, второе - номер формулы в параграфе. Во введении номер формул начинается с нуля. При ссылке на формулы внутри параграфа указывается только ее номер в данном параграфе. Нумерация определений, теорем, следствий, лемм и замечаний единая в параграфе и состоит из двух чисел, разделенных точкой. Первое число - номер параграфа, в котором сформулировано предложение, второе - номер предложения в параграфе. При ссылке на предложение указывается полный его
номер.
Основные результаты диссертационной работы являются новыми и вносят определенный вклад в теорию методов решения некорректных задач. Они опубликованы в [38] - [50] и докладывались на Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (г. Екатеринбург, 2001 г.), на IV, V, VII Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки) (г. Саров, Нижегородская область, 1999, 2000, 2002 г.г.), на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета (1998-2002 г.г.)^ на научном семинаре кафедры математического анализа Нижегородского государственного педагогического университета (1998, 1999, 2002, 2003 г.г.).
Регуляризованная задача п-связанного псевдообращения
Следствие 3.15. Если операторы А и В ограничены, тої - нормальное п-связанное псевдорешение уравнения (3) тогда и только тогда, когда х удовлетворяет соотношениям: операторов А и В существуют ограниченные сопряженные операторы А и В , а поэтому систему (18) можно записать в виде (19) (см. лемму 2.9). 5. В заключение для удобства чтения приведем все результаты, касающиеся частного случая п = 1. По определению х - нормальное связанное псевдорешение уравнения (3), если Следствие 3.16. Пусть операторы А и В удовлетворяют условию (6). Тогда нормальное связанное псевдорешение х 1. существует и единственно при Уу Є У, если множество Х\ ф 0, или, если z Є D(B+); при этом Относительно существования и единственности точек минимума сильно выпуклого функционала (1) можно было бы сослаться на книгу Ф.П. Васильева [7], но мы приведем короткое доказательство этого факта, так значит, {хт}, {Ахт}, {ВіХт} (і — 1, п) - фундаментальные последовательности; следовательно, они сходятся. Пусть Jim хт = жо, lim Acm — уо» um jSf m — zi0 (г = 1) ") Так как А, ВІ замкнуты, то XQ Є D, AXQ — уо, BIXQ = ZJO, (г = 1, п), при этом, в силу выбора {xm}t Фт(хо) = к, т.е. решение задачи (2) существует и xra = XQ. Замечание 4.2. Искомые элементы xrQ лежат в D1. т.е. т не является решением задачи (2), Отсюда, если хга - решение задачи (2), то хга Є DL. Замечание 4.3. Если операторы А и В удовлетворяют условию: N(А) П N(B) = {0}, то в функционале (1) можно положить а == 0. 2. Введем в рассмотрение оператор ТГ:Х — G и вектор #г Є 7, определенные равенствами: Последнее соотношение называется уравнением Эйлера для функционала (1). Определение 4.4. Элементы хга будем называть регуляризован-ными решениями задачи n-связанного псевдообращения (3.2). В случае ограниченных операторов сходимость хга при определенных условиях к нормальному n-связанному псевдорешению при произвольном п установлена в [36]. В случае замкнутых операторов этот вопрос остается открытым. Следует отметить, что функционал (1) по форме напоминает регу-ляризирующий функционал
Тихонова, но по существу он сильно отличается от последнего. Функционал Тихонова при значении параметра, равного нулю, переходит в функционал невязки уравнения, в нахождении экстремали которого заключается исходная задача. Функционал (1) этим свойством не обладает, и в этом состоит главная трудность исследования регуляризирующего алгоритма, основанного на базе функционала (1). В следующем параграфе будет установлена сходимость хгп к х для значения п — 1. 1. Установим сходимость регуляризованных решений к х - нормальному связанному псевдорешению уравнения (3.3). В этом случае п = 1и функционал (4.1) принимает вид: Теорема 5.1. Пусть операторы А к В замкнуты и удовлетворяют условию обобщенной дополнительности (3.6). Тогда a:rft — х \ -» 0 при а -» 0f г - со, где сс2 = Лх2 + \\Вх\\2 + \\х\\2. Доказательство. Так как хта - точка минимума функционала (1), то отсюда где ftD и fJ.A определены в (3.21). Но х - нормальное связанное псевдорешение, и значит, х Є Хі, определенному в (3.20). Поэтому Из (2) и (3) следует ограниченность семейств {Вхга} и {Лхта}, а учитывая, что {хга} С DL, то в силу обобщенной дополнительности операторов А и В ограниченным будет и семейство {хга}. Так как пространства X, У и Z гильбертовы, то семейства {Вхга}, {Ахгп} и {хгп} слабо компактны. Пусть ап О и гп 0 - любые последовательности такие, что ап — 0, гп - со при п —У со. Без ограничения общности можно считать, что последовательности хп — г„а„, уп — Ахп, zn — Вхп слабо сходятся Операторы Л и Л замкнуты, следовательно, они слабо замкнуты. Тогда получаем, что BXQ = «го, AXQ = уо, а из (2), (3) и (4) в силу слабой полу непрерывности снизу нормы гильбертова пространства имеем Из первого неравенства (5) следует, что \\BXQ — г = р.п, и значит, ЇО Є її. В силу этого, используя второе неравенство (5), имеем дЛ \\AXQ —1/ fj,A, Следовательно, \\AXQ — у\\ = fiA, то есть XQ является решением задачи (3.2), или иначе, XQ - связанное псевдорешение уравнения (3.3). Так как согласно (4) хп -3 х$ и в силу замечания 4.2 хп ё .О1, то XQ Є /)Х. А такое связанное псевдорешение единственно и по теореме 4.6 является нормальным связанным псевдорешением, то
Вспомогательные функции
Выбор параметра регуляризации - одна из центральных проблем в исследовании метода регуляризации. Рассматривая с этой точки зрения регуляризирующий функционал (5.1), на основе которого строится алгоритм решения задачи связанного псевдообращения, видим, что он зависит от двух параметров г и а. Поэтому здесь в отличие от известных случаев мы столкнулись с проблемой выбора двух параметров регуляризации. Изучая эту проблему, мы пришли к идее разделить регуляризирующий алгоритм (5.1) на два. Вспомогательный регуляризирующий алгоритм строить по функционалу, зависящему только от параметра г и, некоторым образом выбрав г, использовать его в алгоритме (5.1), который будет иметь тогда тоже один параметр - а, В этой главе рассматривается вспомогательный регуляризирующий алгоритм. Исследование этого метода представляет и самостоятельный интерес, так как он рассмотрен ранее В,А. Морозовым [22] при более сильном ограничении - условии дополнительности операторов А и В (см. замечание 6.2). Полученные нами в этой главе результаты обобщают соответствующие результаты из [22], а результаты, связанные с исследованием дифференциальных свойств функции-невязки и применением метода Ньютона в процедуре выбора параметра по принципу невязки в бесконечномерном случае, являются новыми и в условии дополнительности операторов An В, рассмотренном В.А. Морозовым. Вспомогательный регуляризирующий алгоритм определим как метод, состоящий в построении семейства {хг} экстремалей функционала (1), лежащих в D1 — {N(A) П N(B)) П D то есть хг - это решение вариационной задачи Fr{xr) = inf Fr(x). (7.2) В этой главе, не оговаривая это всякий раз, считаем, что операторы А и В обобщенно дополнительные (условие (3.6)). С помощью оператора ГГ:Х — G и вектора дг Є G, определенных равенствами (4.4) при п = 1, функционал (1) можно записать в виде:
Таким образом, решение хг вариационной задачи (2) - это нормальное псевдорешение уравнения Ггх = дг, которое согласно теореме 2.5 имеет вид: Покажем, что при условии обобщенной дополнительности операторов An В псевдообратный оператор Г " - ограниченный. Действительно, как было отмечено в начале 6, условие (3.6) равносильно нормальной разрешимости оператора Г. Так как то из замкнутости образа R(Г) следует замкнутость образа /?(ГГ) и в силу теоремы 1.6 ограниченность Г . Следовательно, решение (4) вариационной задачи (2) существует и единственно при любых у Є Y, z Є Z. Таким образ рассматривается вспомогательный регуляризирующий алгоритм. Исследование этого метода представляет и самостоятельный интерес, так как он рассмотрен ранее В,А. Морозовым [22] при более сильном ограничении - условии дополнительности операторов А и В (см. замечание 6.2). Полученные нами в этой главе результаты обобщают соответствующие результаты из [22], а результаты, связанные с исследованием дифференциальных свойств функции-невязки и применением метода Ньютона в процедуре выбора параметра по принципу невязки в бесконечномерном случае, являются новыми и в условии дополнительности операторов An В, рассмотренном В.А. Морозовым. Вспомогательный регуляризирующий алгоритм определим как метод, состоящий в построении семейства {хг} экстремалей функционала (1), лежащих в D1 — {N(A) П N(B)) П D то есть хг - это решение вариационной задачи Fr{xr) = inf Fr(x). (7.2) В этой главе, не оговаривая это всякий раз, считаем, что операторы А и В обобщенно дополнительные (условие (3.6)). С помощью оператора ГГ:Х — G и вектора дг Є G, определенных равенствами (4.4) при п = 1, функционал (1) можно записать в виде: Таким образом, решение хг вариационной задачи (2) - это нормальное псевдорешение уравнения Ггх = дг, которое согласно теореме 2.5 имеет вид: Покажем, что при условии обобщенной дополнительности операторов An В псевдообратный оператор Г " - ограниченный. Действительно, как было отмечено в начале 6, условие (3.6) равносильно нормальной разрешимости оператора Г. Так как то из замкнутости образа R(Г) следует замкнутость образа /?(ГГ) и в силу теоремы 1.6 ограниченность Г . Следовательно, решение (4) вариационной задачи (2) существует и единственно при любых у Є Y, z Є Z. Таким образом доказана Теорема 7.1. Вариационная задача (2) при Vr 0 и при любых у Є У и z Є Z имеет единственное решение хт Є D . 2. Относительно сходимости и устойчивости регуляриз о ванных ре шений имеют место теоремы, аналогичные теоремам 5.1 и 6.7. Теорема 7.2. При г —У Ч-оо \хг — х { -» 0. Рассмотрим теперь вспомогательный регуляризирующий алгоритм в случае возмущенных данных. Пусть выполнены условия (6.1)-(6.3), (6.5) аппроксимации правых частей и операторов и пусть хг - решение возмущенной задачи (2). Так как возмущенные операторы At и Bh в силу предположения (6.3) обобщенно дополнительные, то существование и единственность хт Є DL при любых ут и Z5 следует из теоремы 7.1. Теорема 7.3ом доказана Теорема 7.1. Вариационная задача (2) при Vr 0 и при любых у Є У и z Є Z имеет единственное решение хт Є D . 2. Относительно сходимости и устойчивости регуляриз о ванных ре шений имеют место теоремы, аналогичные теоремам 5.1 и 6.7. Теорема 7.2. При г —У Ч-оо \хг — х { -» 0. Рассмотрим теперь вспомогательный регуляризирующий алгоритм в случае возмущенных данных. Пусть выполнены условия (6.1)-(6.3), (6.5) аппроксимации правых частей и операторов и пусть хг - решение возмущенной задачи (2). Так как возмущенные операторы At и Bh в силу предположения (6.3) обобщенно дополнительные, то существование и единственность хт Є DL при любых ут и Z5 следует из теоремы 7.1. Теорема 7.3. \хг — хч\ —\ 0, если г — -foo, 5, т, h7 Ї — 0 и выполняется условие согласования гh + л/г8 — 0. Доказательства теорем 7.2 и 7.3 с очевидными изменениями повторяют доказательства теорем 5-ій 6.7 соответственно. 3. Исследуем поведение семейств {хг} и {хг} при г — 0. С этой це лью рассмотрим задачу, двойственную к исходной задаче связанного псевдообращения: найти элемент а: , удовлетворяющий условиям
Принцип сглаживающего функционала
Рассматриваемая нами задача связанного псевдообращения в некоторых частных случаях является классической задачей псевдообращения уравнения Гх = д. В замечании 8.4 приводится условие: при выполнении которого этот факт имеет место. В этом случае, как показано в замечании 8.2, регуляризованиые решения хга при а = 0 не зависят от г. Поэтому в регуляризирующем функционале (12.1) следует взять f = 1, а второй параметр а выбрать так, как это делается в методе регуляризации Тихонова [29], [31]. При этом от операторов Г и Г можно не требовать жестких условий их нормальной разрешимости (3.6) и (6.3). Таким образом, для нас представляет интерес случай выбора параметров, когда цв ив, то есть тот случай, когда задача связанного псевдообращения не вырождается в задачу псевдообращения. В дальнейшем это условие предполагается выполненным. Имеется еще один частный случай, когда регуляризованные решения хта зависят от одного параметра. Этот случай характеризуется в замечании 4.3 условием, что операторы А и В дополнительные (замечание 6.2). При условии дополнительности операторов А и В можно положить а = О, а параметр г выбирать с помощью одного из критериев, рассмотренных в 9. Однако здесь следует заметить, что хотя в этом случае оператор Г имеет обратный, но задача обращения оператора Г может быть плохо обусловленной и тогда выбор параметра а осуществляется по критериям, приведенным ниже. Итак, операторы А и В дополнительные (замечание 6.2). При условии дополнительности операторов А и В можно положить а = О, а параметр г выбирать с помощью одного из критериев, рассмотренных в 9. Однако здесь следует заметить, что хотя в этом случае оператор Г имеет обратный, но задача обращения оператора Г может быть плохо обусловленной и тогда выбор параметра а осуществляется по критериям, приведенным ниже. Итак, помимо условия fxu vR, предположим, что операторы А и В удовлетворяют обобщенному условию дополнительности (3.6), а в возмущенном случае - выполнены условия аппроксимации (6.1)-(6.3), (6.5).
Рассмотрим следующие критерии выбора параметров. 1. Критерии (/ ; р), [р\ фу. в качестве параметра г примем число гд, найденное по принципу невязки как корень уравнения (9.6): где Д - число, определенное в (9.5): В качестве параметра а примем корень а.а уравнения в критерии (р; ф) или уравнения в критерии (р; ф)} где Прежде всего установим, что выбор параметров по критериям (р; ф), (/?; яр) осуществим. При \ьв ип возможность выбора параметра г = гл установлена в 9, п.9.1. Так как свойство нормальной разрешимости оператора Г? сохраняется и в случае возмущенного оператора ГУ, то функции ф(а) и ф{Ы) имеют те же свойства, что и функции р(а) и ф(а). Поэтому согласно замечанию 12,7 как уравнение (3), так и уравнение (4) с сг, удовлетворяющим соотношениям (5), имеет единственное решение, которое обозначено через аа. Теорема 13.1. Пусть параметры гд и аа выбраны по одному из критериев (р; ф) или (р; ф). Тогда где введены обозначения хг а г — хйа) fir = Дд. Доказательство. В теореме 9.3 доказано, что семейство [xr = хА] регуляризованных решений с параметрами, выбранными по принципу невязки, сходится в норме графика оператора Г к решению задами связанного псевдообращения: Следовательно, для произвольного є 0 Зи 0 такое, что Зафиксируем є и Д, удовлетворяющие (б), и рассмотрим хА(7, Пусть сначала ха выбран как корень уравнения (3). Тогда согласно (3), (5) и экстремальному свойству хА(Т имеем Если аа выбран как корень уравнения (4), то имеем снова получаем неравенства типа (7); Из (7) следует, что семейства {Гд5д:7}, {дСГ}, зависящие от одного параметра ег, ограничены. Приведем далее схему дальнейших рассуждений. Следовательно, при а — Дд помимо условия fxu vR, предположим, что операторы А и В удовлетворяют обобщенному условию дополнительности (3.6), а в возмущенном случае - выполнены условия аппроксимации (6.1)-(6.3), (6.5). Рассмотрим следующие критерии выбора параметров. 1. Критерии (/ ; р), [р\ фу. в качестве параметра г примем число гд, найденное по принципу невязки как корень уравнения (9.6): где Д - число, определенное в (9.5): В качестве параметра а примем корень а.а уравнения в критерии (р; ф) или уравнения в критерии (р; ф)} где Прежде всего установим, что выбор параметров по критериям (р; ф), (/?; яр) осуществим. При \ьв ип возможность выбора параметра г = гл установлена в 9, п.9.1. Так как свойство нормальной разрешимости оператора Г? сохраняется и в случае возмущенного оператора ГУ, то функции ф(а) и ф{Ы) имеют те же свойства, что и функции р(а) и ф(а). Поэтому согласно замечанию 12,7 как уравнение (3), так и уравнение (4) с сг, удовлетворяющим соотношениям (5), имеет единственное решение, которое обозначено через аа. Теорема 13.1. Пусть параметры гд и аа выбраны по одному из критериев (р; ф) или (р; ф). Тогда где введены обозначения хг а г — хйа) fir = Дд. Доказательство. В теореме 9.3 доказано, что семейство [xr = хА] регуляризованных решений с параметрами, выбранными по принципу невязки, сходится в норме графика оператора Г к решению задами связанного псевдообращения: Следовательно, для произвольного є 0 Зи 0 такое, что Зафиксируем є и Д, удовлетворяющие (б), и рассмотрим хА(7, Пусть сначала ха выбран как корень уравнения (3). Тогда согласно (3), (5) и экстремальному свойству хА(Т имеем Если аа выбран как корень уравнения (4), то имеем снова получаем неравенства типа (7); Из (7) следует, что семейства {Гд5д:7}, {дСГ}, зависящие от одного параметра ег, ограничены. Приведем далее схему дальнейших рассуждений. Следовательно, при а — Дд
Алгоритм вычисления параметра регуляризации в принципе невязки
Суть задачи состоит в том, что требуется найти управление, которое за заданное время tt — tQ переведет управляемую систему из начального состояния х0 в состояние х(1г), наименее уклоняющееся от заданной точки фазового пространства (0 и ПРИ этом минимизирующее энергетические затраты. 2. Для того чтобы выразить функционалы (2) и (3) в явном виде, мы должны найти решение системы (1). С этой целью приведем некоторые факты из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений Лемма [2] (с. 191). Если матричная функция U(t) порядка пхпи n-мерная вектор-функция b(t) измеримы и интегрируемы на отрезке [tQ, і,], то любая задача Коши для уравнения (6), поставленная в момент времени toi имеет единственное решение, и это решение продолжается на весь отрезок [i0, ij. Рассмотрим соответствующую (6) однородную систему Определение [2] (с. 193). Фундаментальной матрицей Ф(, s) решений системы (7) называется матричная функци ограниченный. В терминах операторов В, А и векторов z Є Н\л у Є Н\ х Яг, определенных равенствами (9) и (10), соотношения (11) примут вид: В дальнейшем индексы у норм писать не будем. Используя равенства (12), переформулируем определение 15.1: и0 Є Я] - оптимальное управление, если Покажем, что на самом деле и0 удовлетворяет еще равенству Для этого достаточно показать, что множество ХА одноэлементно. В силу леммы 3.8 множество Хл, если не пусто, состоит из элементов вида: где элементы Mj N{B)L, щ є (N (В) П N (А))1- и определяются однозначно. Поэтому Хд одноэлементно, если N(B)C\N(A) = {0}. Найдем ядро оператора А. Из равенств (10) имеем Следовательно, N(A) — {0}, и значит, N(B) Г) N(A) = {0}. Таким образом, uQ - нормальное связанное псевдорешение, определенное соотношениями (3.20). Теорема 15.2. Задача оптимального управления имеет единственное решение при любых я порядка п х п, определенная на [t0, і,] X [tQ, ij и являющаяся решением задачи Коши Теорема [2] {с. 193). Если матричная функция U(t) интегрируема на отрезке \t0, ,], то фундаментальная матрица Ф(,з) системы (7) существует и непрерывна на квадрате [t0) j х [t0, і,], причем: 1) Ф( , г)Ф(т, 5) н Ф( , s) W, 5, г [ 01 ,]; 2) Ф(, 5) при каждом і является решением дифференциального урав нения 3)
Если b(t) интегрируема на отрезке [t0, ,] и y{t) - решение системы 3. Выразим решение задачи (1) через правую часть с помощью фундаментальной матрицы Ф(і, s) решений однородной задачи Коши, соответствующей (1). В силу предположений матричные функции \V{t) и V{i) интегрируемы с квадратом на отрезке [tQt tj, и потому вектор-функция b(t) — V(t)u(t) интегрируема на [t0, tj]. Следовательно, к уравнению (1) применима приведенная выше теорема из [2], откуда следует существование и непрерывность фундаментальной матрицы Ф(, s) и представление Итак, решение уравнения (1) найдено и мы можем найти явный вид функционалов. Для этого запишем функционалы (2)-(4) в виде где Р1/2, QlI2{t), Rl/2(t) - положительные квадратные корни из соответствующих матриц, и подставим вместо x(t) его выражение из (8). Получим (Au)(t) = RV2{t)u{t) Если ввести пространство #2 = 2(( 5 J; ) c обычным скалярным произведением [х, у]2 = J(x(t)t y{t))KVdt то равенства (10) определяют линейные ограниченные операторы К: Ні -» #2 и Л: Hi — Hi х Нъ Линейность оператора Я" очевидна, а ограниченность следует из оценки АЧ 2 = N J \\(Ku)(t)\\ldt ft L SUP {\\Qlf4t)LA\4 s)\U\R-4 )U \]\\V(3)\\lda o— S— i 1/2 U 113 Поэтому оператор А также линейный и ограниченный. В терминах операторов В, А и векторов z Є Н\л у Є Н\ х Яг, определенных равенствами (9) и (10), соотношения (11) примут вид: В дальнейшем индексы у норм писать не будем. Используя равенства (12), переформулируем определение 15.1: и0 Є Я] - оптимальное управление, если Покажем, что на самом деле и0 удовлетворяет еще равенству Для этого достаточно показать, что множество ХА одноэлементно. В силу леммы 3.8 множество Хл, если не пусто, состоит из элементов вида: где элементы Mj N{B)L, щ є (N (В) П N (А))1- и определяются однозначно. Поэтому Хд одноэлементно, если N(B)C\N(A) = {0}. Найдем ядро оператора А. Из равенств (10) имеем Следовательно, N(A) — {0}, и значит, N(B) Г) N(A) = {0}. Таким образом, uQ - нормальное связанное псевдорешение, определенное соотношениями (3.20). Теорема 15.2. Задача оптимального управления имеет единственное решение при любых z Є R" и у Є Н\ X Яг. Доказательство проведем, опираясь на следствие 3.16. Согласно (13) имеем что означает, что операторы А и В удовлетворяют условию дополнительности, то есть условию (З.б). Остается проверить условие z & D(B+), Но образ R(B) оператора В - линейное многообразие в конечномерном пространстве, а потому замкнут. Согласно первом} равенству из (1.2) имеем D{B+) = R{B) ф R(B)X = R(B) Ш R(B)1- = R". Замечание 15.3. В [56] оптимальное управление и0 фактически вычисляется по формуле (14), которая в предположениях статьи [56] принимает вид: 5. Оптимальное управление будем искать методом регуляризации. В качестве регуляризирующего функционала примем функционал: Так как операторы А и В ограниченные, то задача нахождения экстремалей функционала равносильна решению его уравнения Эйлера (4.8): при п = 1 имеем
