Методы гармонического анализа в спектральной теории операторов Струков Виктор Евгеньевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. О спектральной теории операторов и банаховых модулях 25

1.1. Некоторые сведения из теории топологических групп, банаховых алгебр и банаховых модулей 25

1.2. Некоторые определения, обозначения, результаты и примеры из теории банаховых пространств 33

1.3. Основы спектральной теории линейных отношений и линейных операторов 35

1.4. Базовые понятия и факты из теории представлений, групп и полугрупп операторов 37

Глава 2. Гармонический анализ векторов из банаховых модулей над алгеброй 1(R) 41

2.1. Банаховы 1(R)-модули. Однородные пространства функций 41

2.2. Спектр Бёрлинга вектора 51

2.3. Спектр Карлемана вектора 57

2.4. Локальный спектр вектора 62

2.5. Сравнение спектров 65

Глава 3. Оценки элементов матриц обратных операторов 74

3.1. Теорема Винера и наполненность подалгебр 74

3.2. Матрицы и ряды Фурье операторов 75

3.3. Теорема Бохнера-Филлипса 83

3.4. Оценки элементов матриц и рядов Фурье обратных операторов 86

3.5. О наполненности некоторых алгебр операторов 92

Список литературы

• Некоторые определения, обозначения, результаты и примеры из теории банаховых пространств
• Базовые понятия и факты из теории представлений, групп и полугрупп операторов
• Спектр Карлемана вектора
• Теорема Бохнера-Филлипса

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Классическая спектральная теория ограниченных функций, имеющая давнюю историю (начиная с работ Н. Винера), относится к спектральной теории в банаховом пространстве непрерывных ограниченных комплекснозначных функций Сь(Ш), рассматриваемых как банахов модуль над алгеброй L¹ (Ш) суммируемых на вещественной прямой Ж. комплекснозначных функций (модульная структура на Сь(Ш) определяется свёрткой функций из L^K) и С&(К)). Впервые понятие спектра функции было введено Н. Винером в монографии, изданной в 1933 году. Определение спектра функции, существенно ограниченной на вещественной прямой К, было дано А. Бёрлингом в статье 1945 года как совокупность вещественных точек А Є 1, для которых функция t ь-> e^tXt : К. —> С принадлежит Ь¹(М)-замыканию линейных комбинаций сдвигов рассматриваемой функции. Затем, с использованием преобразования Лапласа, Карлеманом было дано определение спектра функции. Доказательство совпадения спектров Бёрлинга и Карлемана комплекснозначных функций на К. представлено во втором томе монографии Н. Данфорда и Дж.Т. Шварца. В своей монографии В. Арендт, Ч.Дж.К. Бэтти, М. Гибер и Ф. Нойбрандер проводят сравнение локального спектра, спектра Карлемана и носителя преобразования Фурье (по сути - частного случая спектра Бёрлинга) для равномерно непрерывных ограниченных функций на К. со значениями в банаховом пространстве. Естественным образом возникла задача о распространении известных спектров на случай функций из широкого класса функциональных пространств и, более общо, векторов из банаховых Ь¹(М)-модулей, а также задача о сравнении вводимых в рассмотрение спектров.

Классическая теорема Н. Винера об абсолютно сходящихся рядах Фурье и её различные обобщения обладают множеством применений в численном анализе, теории вейвлетов, фреймов и сигнальных отсчётов, частотно-временном анализе, в пространствах полиномиальных сплайнов и инвариантных относительно сдвига по дискретной решётке функций и распределений.

В 90-х годах прошлого столетия началось активное развитие теории линейных операторов, тесно связанной с обобщением и дальнейшим развитием теоремы Н. Винера о периодических функциях с абсолютно сходящимся рядом Фурье. По счётной системе проекторов, действующих в банаховом пространстве и образующих разложение единицы, для заданного линейного ограниченного оператора строится матрица оператора и определяется двусторонняя по-

следовательность чисел, характеризующая убывание внедиагоналвнвгх элементов матрицы оператора. Вводятся в рассмотрение несколько алгебр линейных операторов в зависимости от характера убывания внедиагональных элементов матрицы изучаемого оператора (операторы с суммируемыми диагоналями; диагоналями, суммируемыми с некоторым весом; двух- и трёхдиагональные и т.д.). В выделенном пространстве операторов вводится в рассмотрение периодическое представление группы вещественных чисел, определяется ряд Фурье оператора. Использование вводимых в рассмотрение спектров приводит к понятию памяти оператора и развитию определённых аналогов матричного исчисления линейных ограниченных операторов, действующих в банаховых пространствах. Для широкого класса линейных ограниченных операторов А.Г. Баскаковым, И.А. Кришталом с помощью спектра Бёрлинга операторов было введено понятие памяти оператора и были получены оценки памяти обратных операторов. Использование методов гармонического анализа позволяет получить конкретные оценки элементов матриц обратных операторов, доказать наполненность соответствующих подалгебр операторов. Естественным образом возникает вопрос об уточнении известных к настоящему времени оценок элементов матриц обратных операторов, приложении полученных результатов к конкретным классам линейных операторов (в частности, к интегральным, дифференциальным и т.д.). Современные исследования по такой тематике проводились А.Г. Баскаковым, В.Г. Курбатовым, И.А. Кришталом, А. Альдруби, И.А. Блатовым.

Из изложенного следует актуальность темы диссертации.

Цель работы.

1. Доказательство теоремы о совпадении спектров Бёрлинга, Карлемана и локального спектра векторов из банаховых Ь¹(М)-модулей.

2. Доказательство теоремы о генераторе невырожденного банахова

Ь¹(М)-модуля.

3. Доказательство теоремы о совпадении спектров Бёрлинга, Карлемана и локального для функций из однородных пространств.

4. Получение оценок элементов матриц для обратных линейных ограниченных операторов.

¹ Баскаков А.Г., Криштал И.А. Гармонический анализ каузальных операторов и их спектральные свойства Изв. РАН. Сер. матем. - 2005. - Т. 69. - № 3. - С. 25.

5) Доказательство наполненности алгебры, порождённой интегральными операторами.

Методы исследования. Основными методами исследования являются методы гармонического и функционального анализа, спектральной теории операторов и теории изометрических представлений.

Научная новизна. В настоящей диссертации получены следующие новые результаты:

1. Доказана теорема о совпадении спектров Бёрлинга, Карлемана и локального спектра векторов из банаховых Ь¹(М)-модулей.

2. Доказана теорема о генераторе невырожденного банахова Ь¹(М)-модуля.

3. Доказана теорема о совпадении спектров Бёрлинга, Карлемана и локального для функций из однородных пространств.

4. Получены оценки элементов матриц для обратных линейных ограниченных операторов.

5. Доказана наполненность алгебры, порождённой интегральными операторами.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего развития методов гармонического анализа, расширения сферы их применения в спектральной теории операторов, исследования методов решений некоторых классов интегральных, разностных и дифференциальных уравнений. Также они могут быть использованы при чтении спецкурсов в университетах для студентов математических специальностей и применяться специалистами в области гармонического и функционального анализа при исследовании вопросов, связанных с тематикой диссертации.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2010, 2012, 2013, 2014, 2016, на Крымских осенних математических школах 2010, 2011, 2012 (Украина, Севастополь), на XV Летней диффеотопической школе 2012 (Польша, Гдыня), на Крымской международной математической конференции 2013 (Украина, Судак), на математическом интернет-семинаре ISEM-2013 (Германия, Блаубойрен), на международной конференции, посвященной 100-летию со

дня рождения Б.М. Левитана 2014 (Москва), на семинарах А.Г. Баскакова, а также на научных сессиях Воронежского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в работах [-]. Работы [-] опубликованы в журналах из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместной работы [] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав и библиографии. Общий объем диссертации 110 страниц.

Некоторые определения, обозначения, результаты и примеры из теории банаховых пространств

В данном парагргафе приведены общеизвестные определения и некоторые факты из теории алгебраических структур, которые, хотя и не являются первоочередными объектами изучения в рамках данной диссертации, однако, периодически встречаются на страницах данной работы и использованы в каркасе основного исследования. Были использованы книги и работы М.А. Наймарка [21], А.И. Кострикина[18], Н. Бурбаки [11], С. Морриса [20], А.Г. Баскакова [3, 7, 10], Д.П. Желобенко [16], М. Атья, И. Макдональда [1] и И.М. Гельфанда, Д.А. Райкова, Г.Е. Шилова [12].

Кольцо А называется кольцом с единицей, если А является моноидом относительно умножения и 0 ф е, 0, є Є А. Кольцо коммутативно, если умножение в нём коммутативно. Кольцо с единицей, в котором все ненулевые элементы обратимы (относительно умножения), называется телом. Коммутативное (по умножению) тело называется полем, его элементы - числами, единица обозначается символом 1, а числа вида ab l - символом а/Ь. Поля вещественных и комплексных чисел обозначим по традиции, соответственно, К. и С.

Определение 1.1.3 ([10, 7]). Абелева группа (кольцо) А называется линейным или векторным пространством (алгеброй) над полем К, если задано отображение (а, а) ь- аа : К х А — А, причём для любых а, (З Є К, а, Ъ Є А имеют место равенства (а + (3)а = аа + /36, а{а + Ъ) = aa + ab, (а(З)а = а((3а) = (3(аа), 1а = а (и a(ab) = (aa)b = a(ab) в случае кольца). Если вместо кольца в определении алгебры используется коммутативное кольцо (кольцо с единицей или коммутативное кольцо с единицей), то алгебра называется коммутативной (соответственно, алгеброй с единицей или коммутативной алгеброй с единицей).

Определение 1.1.4 ([21, стр. 162-163,177], [10, 7,определение 12]). Подмножество из группы (кольца, алгебры и т.д.) А называется подгруппой (соответственно, подкольцом, подалгеброй и т.д.), если отображения, введённые на группе (кольце, алгебре и т.д.) не выводят за пределы .

Определение 1.1.5 ([21, стр. 189]). Центром кольца (алгебры) А называется подмножество элементов Z(A) С А, умножение которых с любым другим элементом из А коммутативно.

Определение 1.1.6 ([10, 7, определение 4]). Элемент а из кольца (алгебры) А с единицей называется обратимым, если существует Ъ Є А такой, что аЪ = Ьа = е. Элемент Ь называется обратным к а и обозначается символом а 1.

Определение 1.1.7 ([11, стр. 11]). Подалгебра А С В называется наполненной в алгебре В, если каждый элемент а Є А, обратимый в алгебре В, обратим также в подалгебре А.

Определение 1.1.8 ([3, определение 3.1],[1, стр. 10]). Подгруппа по сложению I из кольца (алгебры) В называется идеалом, если аЪ Є I для любых а Є I, Ъ Є В. Если I ф В, то I называется собственным идеалом. Максимальным идеалом называется собственный идеал, который не содержится ни в каком большем собственном идеале.

Определение 1.1.9 ([3, определение 3.4]). Радикалом алгебры А называется пересечение всех максимальных идеалов этой алгебры. Если радикал алгебры нулевой, то алгебра А называется полупростой. Определение 1.1.10 ([10, 7, определение 5]). Пусть A, B – кольца. Отображение : A B называется гомоморфизмом колец, если для любых , A выполнены условия

Определение 1.1.12 ([18, стр. 182]). Ядром Ker гомоморфизма : A B колец (алгебр) A,B называется множество элементов кольца (алгебры) A, переходящих при гомоморфизме в нулевой элемент кольца (алгебры) B.

Определение 1.1.13 ([10, 7, определение 11]). Взаино-однозначный гомоморфизм групп (алгебр, колец) будем называть изоморфизмом групп (алгебр, колец), а сами группы (алгебры, кольца) при этом – изоморфными.

Определение 1.1.14. Множества гомоморфизмов групп (колец, алгебр и т.д.) A,B будем обозначать символом Hom(A, B).

В анализе одними из фундаментальных понятий являются понятия непрерывности, сходимости и предела. Для того, чтобы использовать введённые выше алгебраические структуры, дополним их определения с помощью топологии и нормы (см., например, [22, гл. III,IV]).

Определение 1.1.15 ([20, стр. 7],[16, стр. 113], [39, определение 8.2.1]). Полугруппа (группа) G называется топологической полугруппой (группой), если 1) она является топологическим пространством, 2) отображение ( ?1, #2) ь 9192 : GxG- G непрерывно отображает прямое произведение GxG(с топологией произведения) на G, 3) в случае группы отображение д ь- g_1 : G — G непрерывно. Непрерывность отображений на (полу)группе обеспечивается, например, в хау-сдорфовом топологическом пространстве. Топологическая группа называется локально компактной, если локально компактно топологическое пространство, которым она является, т.е. каждая точка обладает окрестностью с компактным замыканием.

Отметим, что на любой локально-компактной абелевой группе существует единственная (с точностью до константы) мера Хаара (см. [38, гл. XI]).

Определение 1.1.16 ([20, стр. 42]). Пусть G - абелева топологическая группа, непрерывный комплексный гомоморфизм 7 : G — Т = {z Є С : \z\ = 1} называется характером группы G. Множество всех характеров группы G называется группой характеров или двойственной группой группы G и обозначается символом G. Двойственная группа G становится абелевой, если для любых 172 Є определить (7172)(#) = 71( )72(5 ) для всех g Є G.

Определение 1.1.17 ([3, определение 1.1]). Множество В называется банаховой алгеброй, если оно является алгеброй и одновременно банаховым пространством (см., например, [22, гл. III]) и справедлива оценка а6 а& для любых а, Ъ Є В. Если алгебра В является алгеброй с единицей еєВие = 1, то В называется банаховой алгеброй с единицей и коммутативной банаховой алгеброй, если алгебра В коммутативна.

Базовые понятия и факты из теории представлений, групп и полугрупп операторов

Подпространство L С Ь(Ж) будем называть L1 (Ж)-замкнутым в Ь(Ш), если любая L1 (Ж)-сходящаяся последовательность {хп}пещ из подпространства L имеет свой предел в подпространстве L. Спектром Бёрлинга (или спектральным множеством) функции / Є Ь(Ж) называется множество всех характеров группы Ж (функций t ь- e tA, t, А Є Ж), содержащихся в L1 (Ж)-замкнутом подпространстве пространства Ь(Ж), порожденном сдвигами функции /. Приведённому определению спектра Бёрлинга соответствует следующее более общее Определение 2.2.2. Спектром Бёрлинга вектора х из банахова Ь1(М)-модуля (X, Т) называется множество А(х) = {А Є Ж: fx Ф 0 для всех / є L (Ж) таких, что /(А) Ф 0}, являющееся дополнением вік множеству {А Є Ж : существует / Є L (Ж) со свойством /(А) ф 0 такая, что fx = 0}.

Пример 2.2.1. Банахова алгебра І (Ж) со свёрткой в качестве умножения является банаховым Ь1(Ж)-модулем, удовлетворяющим определению 2.1.1. Покажем, что спектр Бёрлинга А(д) функции д Є І (Ж) совпадает с suppg. Пусть Ао ф. suppg. Поскольку suppg - замкнуто, то #(А) = 0 для всех А Є [/1, где U1 - некоторая открытая окрестность точки Ао- Тогда для всех / Є І (Ж) со свойством /(А) = 0 на множестве M\1 справедливо равенство /д = 0. Следовательно, / д = 0 почти всюду и точка Ао Л(д). Пусть теперь Ао Л(д), тогда выберем такую функцию / Є (Ж), что /(Ао) Ф 0 и f д = 0. Возьмём преобразование Фурье от обеих частей последнего равенства и получим f д = 0. Поскольку / Є 0 (К) для функции / Є L K), то в некоторой открытой окрестности ІІ2 С Ж. точки Л0 функция / отлична от нуля. Но тогда, в силу равенства нулю функции f д в открытой окрестности ІІ2, число Л0 не содержится в носителе suppg преобразования Фурье функции д. Таким образом, А(д) = suppg.

Используемые далее результаты из спектральной теории банаховых модулей можно найти в [7, 8, 24, 43, 46]. Лемма 2.2.1. Пусть (Х,Т) - банахов Ь1(Ш)-модуль, удовлетворяющий условиям определения 2.1.1. Справедливы следующие утверждения: 1) спектр А(х) замкнут для любого вектора х Є X и А(х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0 ; 2) А(Ах + By) С А(х) U А(у) для всех операторов А, В є EndX; перестановочных с операторами T(f), f Є L K) ; 3) A(fx) С supp/ П A(x) для всех x Є X, f Є L K) ; 4) если функция f Є L K) такова, что f = 0 в некоторой окрестности множества А(х), то fx = 0; 5) если функция f Є L K) такова, что f = 1 в некоторой окрестности множества А(х), то fx = x. Доказательство. Докажем свойство 1). Покажем, что дополнение к спектру Бёрлинга А(х) вектора х Є X открыто. Пусть Л0 Л(ж), х Є X, тогда по определению 2.2.2 найдется / Є L K) со свойством /(Л0 ) = 0 такая, что справедливо равенство fx = 0. Поскольку преобразование Фурье / : К. — С функции / из L K) является непрерывной функцией, то функция / будет иметь отличное от нуля преобразование Фурье и в некоторой открытой окрестности U точки Ао, т.е. окрестность U входит в К\Л(ж). Таким образом, множество К\Л(ж) открыто, и поэтому А(х) - замкнутое множество.

Пусть А(х) = 0. Тогда для каждого А Є Ж. существует / є L K), такая, что /(А) ф 0, a fx = 0. Рассмотрим линейную оболочку сдвигов таких функций и получим двусторонний идеал 1Х функций, обнуляющих вектор х и таких, что не существует ни одной точки А Є К, в которой равняются нулю преобразования Фурье всех функций из 1Х. Согласно теореме Винера об . -замкнутости ([2, гл. II 1.76]) идеал 1Х совпадает со всем пространством L K). В силу невырожденности банахова Ь1(М)-модуля (X, Т) получаем, что х = 0.

Обратно, если х = 0, то fx = 0 для всех / Є L K). Для любого А Є Ж. найдется функция / Є L K) со свойством /(А) 0, но при этом для х = 0 справедливо fx = 0. Таким образом, А(х) = 0.

Докажем свойство 2). Пусть Ао ф А(х) U Л (у), тогда существуют функции /, д Є L K) такие, что справедливы равенства /(Ао) ф 0, #(Ао) т 0 и /ж = 0, ду = 0. Пусть функция h = f д: тогда /г(Ао) = /(Ао)д(Ао) т 0 и справедливо равенство /г(Лж + By) = hAx + /i y = T(h)Ax + T(h)By = = AT(h)x + BT(h)y = A(f ?)ж + (/ g)y = Ag(fx) + Bf(gy) = 0. Таким образом, Ао Л(Лж + By), и поэтому имеет место включение А(Ах + By) С Л(ж) U Л(у).

Докажем свойство 3). Пусть Ао supp/, тогда найдётся такая открытая окрестность U точки Ао, что U П supp / = 0. Рассмотрим функцию д Є L K) такую, что supp д С 7 и #(Ао) т 0. В силу того, что / д(Х) = /(А)д(А) = 0, справедливо равенство g(fx) = (/ ?)ж = 0. Таким образом, Ао ф A(fx).

Пусть теперь Ао ф А(х). Тогда, по определению 2.2.2, существует функция д Є L K), такая, что ?(Ао) ф 0 и дх = 0. Таким образом, получим g{fx) = (/ 9)х = ІІ9Х) = 0, т-е- о Ф Л(/ж). Доказательство свойства 4) вытекает из утверждения 3) данной леммы. Докажем свойство 5). Фиксируем такую функцию / Є L K), что / = 1 в некоторой окрестности U спектра Бёрлинга А(х) вектора х. Поскольку для произвольной функции д Є L K) имеет место равенство д — fg = 0 в окрестности U спектра Бёрлинга А(х) вектора ж, то д(х — fx) = {д — f д)х = 0 в силу свойства 4) данной леммы. Из невырожденности банахова Ь1(М)-модуля следует равенство fx = х. Лемма доказана.

Определение 2.2.3. Пусть Act- замкнутое подмножество. Линейное подпространство Х(А) = {х Є X : А(х) С А} называется спектральным подмодулем. Символом Хсотр обозначим подмодуль из L1 (М)-модуля X, состоящий из всех векторов х Є X с компактным спектром Бёрлинга. Обозначим Хф = {fx : х Є X, f Є L IR)}, т.е. подмодуль векторов, допускающих факторизацию. Отметим, что спектральный подмодуль Х(А) является замкнутым подмодулем из (X, Т). Определение 2.2.4. Ограниченная направленность {еа} С L K), а Є Q, где Q - некоторое направленное множество, называется ограниченной аппроксимативной единицей (о. а. е.) алгебры L K), если выполнены следующие условия

2) если функция до Є L K) такова, что до(Х) = (z — iX) l, z Є С\гЛ(ж); в некоторой окрестности множества А(х) вектора х Є Хсотр, тогда дох = R(z, іА)х .

Доказательство. Докажем утверждение 1). Пусть h(X) = X на некоторой окрестности Щ С Ж. спектра Берлинга А(х) вектора х. Рассмотрим бесконечно непрерывно дифференцируемую функцию g Є L K), обладающую производной первого порядка из L K) и такую, что g = — і на Щ. При таких условиях, а также с учётом леммы 2.1.11 и того, что igx = ж, будет иметь место равенство T(t)x — х T(t)(igx) — igx S(t)ig — ig , lim = lim = lim x = ig x = iAx} t- oo t i- oo t i- oo t из которого следует, ЧТО X Є D(A). Из равенства (А) = iX g(X) = А в окрестности Щ: а также из равенства д х = Ах следует, что hx = д х = Ах. Докажем утверждение 2). Пусть 7о(А) = (z — iA)_1, z Є С\гЛ(ж), в некоторой окрестности спектра Берлинга А(х) вектора х. Рассмотрим функцию ho Є L K) такую, что ho(X) = z — iX в некоторой окрестности спектра Берлинга Л(ж), тогда согласно свойству 1) из леммы 2.2.3 и свойству 5) из леммы 2.2.1 справедливо равенство hox = (zl — iA)x. Таким образом, g0h0 = 1 в некоторой окрестности U спектра Берлинга А(х) вектора ж, а также имеет место равенство

Спектр Карлемана вектора

Отметим, что в окрестности произвольной точки Ло Є С\Ж функция Rx : С\Ж — X голоморфна по определению. Также в некоторой окрестности U(Xo) точки Ло определена локальная резольвента / : U(Xo) — D( ) вектора х относительно генератора %А. В силу свойства однозначного распространения генератора А (согласно лемме 2.4.2) на каждом пересечении окрестностей точек из С\сг (ж) локальные резольвенты вектора х совпадают, поэтому существует единственная голоморфная функция /, являющаяся локальной резольвентой вектора х относительно генератора %А и определённая на множестве РІА(Х) С\Ж.

Применяя лемму 2.1.11 в совокупности со свойством однозначного распространения генератора Д на множестве С\Ж получим совпадение функций / = — Rx. Более того, распространяя равенство / = — Rx на множество С\о" (ж), получим голоморфное продолжение функции Rx в этих точках. Таким образом, іАс(х) С ОІА(Х).

Теперь, поскольку в окрестности каждой точки множества С\іАс(х) функция Rx допускает голоморфное продолжение, а в окрестности каждой точки из множества (С\І(ТІА(Х)) С (С\іАс(х)) совпадает с локальной резольвентой / вектора ж, то в окрестности точек СГІА(Х)\АС{Х) функция / может быть голоморфным образом продолжена по формуле / = — Rx.

Пусть Ло Є М\Лс(ж), тогда в любой непустой окрестности U(iXo)\iM. точки іЛо образ Rx(U(iXo)\iWl) С D(A) и функция — Rx является локальной резольвентой вектора ж, т.е. (іА — XI)(—RX(X)) = ж, Л Є (U(iXo))\iWl. Функция Rx допускает голоморфное продолжение в окрестности точки іЛо Є г(М\Лс(ж)), поэтому имеет место сходимость по норме пространства X следующих величин

Пусть вектор ж Є X имеет компактный спектр Бёрлинга Л(ж), тогда, согласно свойству 2 леммы 2.2.3, для произвольной точки Д Є С\гЛ(ж) и функции дх Є L K) такой, что g x(z) = (Д — iz) l в некоторой окрестности множества Л(ж), z Е ffi, справедливо равенство д\х = R(X,iA)x: х Є X, Д є С\гЛ(ж), где А - генератор модуля X. Отметим, что отображение Д ь- (—д\х) является голоморфной функцией на множестве С\гЛ(ж) и для неё справедливо равенство (іА — Х1)(—д\х) = ж, Д є С\гЛ(ж). В этом случае Д Є РІА{Х) = С\г тд(ж) и, таким образом, для векторов с компактным спектром Бёрлинга доказано, что тд(ж) С А(х). Теперь рассмотрим произвольный вектор х Є X, а также аппроксимативную единицу {еа}ае С L K), Q - некоторое направленное множество, такую, что для всех а Є Q множество supped является компактным. Тогда, в силу утверждения 3 леммы 2.2.1 векторы еаж, а Є Г2, обладают компактным спектром Бёрлинга А(еах): причём А(еах) С А(х) для всех а є Q.

Пусть До Є С\Л(ж) и gx(z) = (Д — iz) l в некоторой окрестности U(iA(x)) такой, что для некоторой окрестности U(iXo) точки іДо справедливо равенство U(iA(x)) П U(iXo) = 0. Поскольку еах имеют компактные спектры Бёрлинга, то для них справедливо включение (7А(еах) С А(еах): поэтому ІАо Є Ріл{еа%) и {і А — ХІ)(—дх(еах)) = еах, а Є Г2, А Є U(i\o). Преобразуя последнее равенство, получим, что для А Є U(i\o) lim іА(д\(еах)) = lim(Xgx(eax) — еах) = Хд\х — х. Учитывая замкнутость генератора А согласно лемме 2.1.11 и то, что \іт д\(еах) = gxx, получаем, что для каждого А Є U(iXo) вектор дхх Є D(A) и справедливо равенство (іА — Х1)(—д\х) = х. Покажем теперь голоморфность функции А ь- дхх. Поскольку векторы д\(еах): а Є О, А Є U(iXo): имеют компактные спектры Бёрлинга, а функция дх обладает преобразованием Фурье gx(z) = (X — iz) l в некоторой окрестности U(iA(x)) U(iA(eax)), то д\{е-а%) = R{X/iA)(eax). Поскольку направленность д\(еа)х — дх, а Е Q, и \\д\Єа%\\ И А Ц, то направленность {дхеах} является равномерно ограниченной в окрестности точки іАо- В силу теоремы Вейерштрасса о сходимости [13, гл. III.14, стр. 249] предельная функция А ь- дх С\іА(х) — X также будет голоморфной в окрестности точки гАо, то есть Ао ф О А{Х).

Теперь докажем, что А(х) = ОА(Х). Предположим, что А(х) ф СГА{%) И пусть Ао Є Л(ж)\ тд(ж). Рассмотрим функцию д Є L K) с компактным носителем преобразования Фурье и такую, что #(Ао) ф 0 и suppg П (ТА{Х) = 0. Тогда дх ф 0, поскольку функция д имеет ненулевое преобразование Фурье на спектре Бёрлинга вектора х. С другой стороны, из включения тд(ж) С А(х) и свойства 3 леммы 2.2.1 справедливо включение 7д(дж) С А(дх) С supp дТ\А(х). Из условий на функцию д получаем, что 7д(дж) = 0. Согласно утверждению 2 леммы 2.4.1 получаем, что дх = 0 и Ао Л(ж), что противоречит предположению. Следовательно, А(х) = тд(ж). Теорема доказана.

Следствием теоремы 2.5.2 в случае однородных функциональных пространств (удовлетворяющих определению 2.1.5) является Теорема 2.5.3. Пусть #" = (Ш,Х)- однородное пространство функций. Тогда для любой функции ер Є #" справедливы равенства Л((/?) = Лс((/?) = то ( /?)

Напомним, что спектр Карлемана Лс((/?) функции ер Є #"(М,С) понимается в смысле определения 2.3.2, а оператор дифференцирования —i-n = D : D(D) С является генератором L1 (М)-модуля (#", 5 ). Глава 3 Оценки элементов матриц обратных операторов

В данной главе диссертации вводятся понятия наполненности, матрицы и ряда Фурье линейного ограниченного оператора, действующего из банахова пространства X в банахово пространство Y. Приведены следствия из теоремы Бохнера-Филлипса о наполненности некоторых подалгебр алгебры линейных ограниченных операторов. Проводится систематический анализ результатов статьи А.Г. Баскакова [5] и получены теоремы, уточняющие результаты данной статьи. Результаты о наполненности подалгебр и об оценках матричных элементов обратных операторов применяются в основной теореме третьей главы о наполненности подалгебр алгебры операторов, порождённых интегральными операторами и действующих на пространстве функций С (І С).

Теорема Бохнера-Филлипса

Качественным результатом данной теоремы является отражение свойства сохранения одностороннего расположения диагоналей обратного оператора при малых значениях величины а\. Данное свойство может быть использовано при исследовании структуры обратных операторов с помощью представлений операторов.

Из группы вещественных чисел К. выделим подгруппу 2-7rZ - чисел, кратных 2-7Г и порождённых всеми целыми числами. Не ограничивая общности, можно также считать, что вместо 2тт взято любое число из Ш+. Рассмотрим факторгруппу вращений окружности (также, группу одномерного тора) Т = M/2-7TZ. Обозначим символом р проекцию группы К. на группу Т, которая каждому ІЄІ ставит в соответствие класс t + 2-7rZ. Роль такой проекции может играть отображение р : t ь- elt, t Є Ж.

Подобные рассуждения позволяют каждой 2-7г-периодической функции (например, 2-7г-периодическому представлению группы Ж) взаимно-однозначно соотнести функцию на группе Т с помощью формулы / = д о р (например, представление группы Т). В связи с этим рассматриваемые в данном параграфе объекты гармонично встраиваются в общую теорию матриц и рядов Фурье операторов.

Коэффициенты Фурье оператора А совпадают с коэффициентами оператора К за исключением нулевого коэффициента, имеющего вид AQ = al + Ко.

Используя замену переменных в формуле /Сп получаем, что К,п(т + u,v + it) = /Сп(т, -и) для всех u,r,v Є К, откуда следует, что /Сп(т, v) = К,п(т — -и, 0) = /С (т — -и), то есть функция /Сп зависит, в действительности, от разности аргументов.

Определение 3.5.2. Пусть оператор А Є GioC KjC) удовлетворяет одному из условий 1)-7) убывания норм диагоналей из определения 3.2.7. Для совокупностей операторов из GioC KjC), удовлетворяющих таким условиям, введём обозначения по аналогии с определением 3.2.8 о подпространствах операторов абстрактного пространства Hom(X, Y). То есть, будем пользоваться символами GioiC27r(K, С), GiOaC K, С), Gio(gCr27r(K, С), Gio(?Cr27r(K,C), Gio7C27r(K,C) для операторов, удовлетворяющих, соответственно, условиям 1)-5).

Отметим, что совокупности операторов из определения 3.5.2 являются подалгебрами банаховой алгебры GioC KjC).

Доказательство. Докажем данное утверждение с помощью теоремы Арце-ла, то есть покажем, что оператор К отображает единичный шар (0,1) С End С -(К, С) в равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное множество. В силу оценки а также из того, что к, Є С К, L IR, С)), следует, что множество if (0,l) является равностепенно непрерывным. Лемма доказана.

Лемма 3.5.2. Рассмотрим в пространстве Ь\ж оператор сдвига S : К. — End L (К, С). Совокупность функций {S(r)(JC(t,s)) = /C(,r + s), г, , s Є М} равностепенно непрерывна по норме пространства L IR, С) относительно переменной г Є Ш.

Доказательство. Для доказательства данного факта достаточно показать равностепенную непрерывность при г = 0. Зафиксируем є 0. Сначала докажем, что семейство функций {к(), Є Ш} = {/С(, ), Є М} является предком-пактным множеством в L- K, С). Поскольку функция к непрерывна по норме пространства L IR, С), и периодична, то она равномерно непрерывна по норме пространства L IR, С), в силу чего выберем 5\

Поскольку множество непрерывных функций плотно в Ь\ж [17, гл. VII, 1.2,теорема 2], для каждой функции / Є L IR, С) можно подобрать последовательность непрерывных периодических функций {/то} С C27r(K,C), такую, что / — /тоі,2тг —Ї 0 при m — сю. Для величины є/9 выберем такое то = mo (є/9, /), что для всех m mo / — /ті,2тг є/9. В силу равномерной непрерывности периодической функции fmo выберем такое 5 = 5(є/9, fmo) О, что для всех г Є К, \т\ д: справедливо, что \\fmo — 5,(т)/т0IIі,2тг є/9. Таким образом, для произвольной функции / Є ЬІп(Ш,(С) и произвольного числа гЄІ, \т\ д: из соотношения следует, что / — 5,(т)/і,2тг є/З. Теперь для каждой функции из указанной выше конечной є/3-сети {K{tk)}k=o найдем указанным выше образом величины и функции mo{e/9,K{tk)), /mo(/9,K(tfc)), (e/6,/mo(/9,K(tfc))) и выберем

При этом из условия \т\ 62 для всех к = 0,п будет следовать, что к( ) — S(r)K,(tk)\\ є/З. Фиксируем произвольное t Є [0,27г], выберем соответствующее tk0 Є { }fc=o такое5 чт0 \\K{t) к( )і,2тг є/З, возьмем также #з = minj i, } и И з- Из соотношения \\K (t) — S(r)K,(t) \\і:2тг \\K (t) — l (tк) \\і,2тг + \\K{tk) — S (r)K,(t к)\\і,2тг + S ( r)K( ) — S(r)K,(t) i; 2тг для произвольного Є [0, 27г] и произвольного т 5s получим, что к() — 5,(г)к(/:)і;27г Є. Лемма доказана.

Лемма 3.5.3. Для рассматриваемого оператора К Є End С (К, С) функция Фк непрерывна в равномерной операторной топологии. Доказательство. Для доказательства данного факта достаточно проверить непрерывность в нуле. Фиксируем произвольное є 0. Справедливо соотношение

В силу свойства 3 ядра оператора К, можно подобрать такое д1 0, что при \t\ д1 первое слагаемое в правой части выражения выше будет меньше, чем є/2. В силу леммы 3.5.2 можно выбрать величину 0 такую, что для всех t, \t\ 82 второе слагаемое будет меньшим є/2. Выберем 5 = min{#1, 62}, тогда для всех t, \t\ д, будет справедливо Фл:( ) Фл:(0) є. т.е. функция Ф непрерывна в равномерной операторной топологии. Лемма доказана. Определение 3.5.3. Пусть функции еп Є C KjC), п Є Z, определены формулой en(t) = emt, t Є Ш. Символом Еп Є End C27r(K, С), п Є Z, обозначим оператор (поточечного) умножения на экспоненту: Епх = епх, п Є Z, t Є Ш.

Лемма 3.5.4. Пусть Ап - коэффициенты Фурье некоторого оператора А Є EndC K) с непрерывной в равномерной операторной топологии функцией ФА(І), тогда операторы АпЕ_п перестановочны со сдвигом при всех п Є Z. Доказательство. Покажем, что S(uj)AnS(— ш) = ewwAn при всех шЄІи для любого п Є Z. Рассмотрим произвольное wGl.

Лемма 3.5.5. Для того, чтобы оператор А Є EndC K, С) был перестановочен со сдвигом, необходимо и достаточно, чтобы функции еп были его собственными функциями, т.е. Аеп = апеп для всех п Є Ъ, где ап Є С. Доказательство. Необходимость. Пусть оператор А перестановочен со сдвигом, те. S(t)A = AS(t) для всех f G 1. Рассмотрим функцию хп = Аеп и ее сдвиг S(h)xn

Соотношение выше останется справедливым, если заменить еп элементом Фтож для произвольного х Є X. В виду сильной сходимости последовательности {Фто} к тождественному оператору для всех х Є X справедливо соотношение S{h)AS{—h)x = Ах, т.е. оператор А перестановочен со сдвигом. Лемма доказана. Лемма 3.5.6. Пусть D Є End С - компактный перестановочный со сдвигом оператор. Тогда D и Фп перестановочны и Фп-0 — D\\ — 0 при п — оо в равномерной операторной топологии. Доказательство. Поскольку оператор D перестановочен со сдвигом, из леммы 3.5.5 вытекает его перестановочность с аппроксимативной единицей Фп.

Для произвольного х Є -8(0,1) оценим величину \\D nx — Dx\\ = \\ nDx — Dx\\. Пусть у = Dx. Фиксируем произвольное є 0 и в силу компактности оператора D построим конечную є/3-сеть DB/s образа единичного шара D(B(0,1)). Для рассмотренного у выберем элемент сети уо Є DB/:i такой, что \\у 2/о11 є/3. Поскольку множество DB/:i конечно, найдем такое щ Є N, что для всех п щ и для любого уо Є DBi?i выполнялось 11 Фпуо — 2/о 11 є/З. Тогда

Данная оценка не зависит от конкретного ж Є 5(0,1), поскольку щ выбирается только по 6/3 - сети, зависящей, в свою очередь, только от 6 и оператора D. Лемма доказана. Теорема 3.5.1. Пусть D - компактный перестановочный со сдвигом опера тор из пространства EndC KjC), тогда он имеет вид (Dx)(t) = j f(t — о s)x(s)ds, где f Є L l C) ( т.е. является оператором свертки с суммируемой функцией ). Доказательство. Покажем, что 4fnDx = fn х для всех х Є C KjC). Рассмотрим данный оператор на функциях е . В силу перестановочности со сдвигом согласно лемме 3.5.5 получаем, что Dek = otk k, к Є Z, причем ak — 0 при к — оо в силу компактности оператора D. Тогда

Покажем, что последовательность {/«,} сходится. В силу того, что (-ОФп D4/n+m)x = (fn — fn+m) х для всех х Є C KjC), получаем, что Н-ОФп — )Фп+т = \\fn /п+т1,2тг, а из сходимости последовательности D4fn к оператору D по норме пространства End С2-(К, С) (лемма 3.5.6) следует ее фундаментальность. Тогда последовательность {/«,} также будет фундаментальной, что в силу полноты пространства L2 K) означает ее сходимость.