Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Разбиение единицы на бесконечномерных дифференцируемых многообразиях 25
1. Разбиение единицы на гладком банаховом многообразии 25
2. Разбиение единицы на /ip-многообразии Фреше 32
Глава 2. Векторные расслоения и касательные пространства 42
3. Векторные расслоения над /Зip -многообразиями Фреше 42
4. Касательные пространства /ip-многообразий Фреше 50
Глава 3. Группы Ли класса Cip и /Зip-главные связности 58
5. Построение группы Ли класса Cip 58
6. Связность на /Зip -расслоениях 69
7. /Зip-главные связности 73
Заключение 79
Обозначения 81
Литература 83
- Разбиение единицы на /ip-многообразии Фреше
- Векторные расслоения над /Зip -многообразиями Фреше
- Касательные пространства /ip-многообразий Фреше
- Связность на /Зip -расслоениях
Разбиение единицы на /ip-многообразии Фреше
Функтор т: Ыт — Тор, описанный на с. 10 -11, ограниченный на подкатегорию bLimVS С Ыт, является функтором, вводящим на борно-логическом векторном пространстве сходимости топологию замыкания Мак-ки. Причём этот функтор г является (с. 10) левым обратным к функтору вложения f: Тор — Ыт, т.е. т о f = id.
В этой связи А. Фрёлихер и А. Кригль [52] ввели пространства, названные ими удобными (convenient) векторными пространствами. Это сопряжённые пространства к векторным пространствам, а их топология — это топология замыкания Макки. Она определяется как финальная топология относительно всех сходящихся последовательностей Макки S: А о = A U{oo} — Е (см. [52]). Подмножество U удобного пространства Е открыто относительно этой топологии тогда и только тогда, когда выполнено следующее свойство: если Хоо Є U является пределом сходящейся последовательности Макки в Е, то существует индекс п Є N такой, что Xk Є U для всех к п. Открытые и замкнутые в этой топологии множества называются Л4 -открытыми и Л4 -замкнутыми соответственно.
В дальнейшем мы будем иметь дело с пространствами Фреше и Банаховыми пространствами, которые являются борнологичными. Борнологию на них образуют ограниченные множества (множество А из топологического векторного пространства называется ограниченным, если для любой окрестности нуля U(0) существует А Є Ж. такое, что А С А U(0)). Поэтому, если F— пространство Фреше, то f(F) Є bLimVS. Тогда r(f(F)) = F Є Top и топология замыкания Макки на F совпадает с исходной топологией пространства Фреше F.
Далее, пусть Е и F — два удобных векторных пространства и Е — сопряжённое пространство к Е. Кривая а: К. — Е называется дифференцируемой, если производная g (t) = lima(t + a)-a(t) S O S существует при любых t. Она называется С -кривой, если её производ ные вплоть до А;-го порядка существуют и являются непрерывными. Она называется гладкой, или С00-кривой, если у неё есть производные всех порядков. Эта кривая называется локально липшицевой кривой, если каждая точка г Є Ж. имеет окрестность U такую, что множество [ait) — a(s) . тт] KJf_sK J :t s,t,seUl ограничено [52]. Это значит, что кривая удовлетворяет условию Липшица на каждом ограниченном промежутке, поскольку для приращений (ti) величина a(tn) - a(tp) _ ti+i - U a(ti+i) - a(tj) лежит в абсолютно выпуклой оболочке конечного объединения ограниченных множеств.
Далее, для 0 к оо, согласно [52] функция /: К. — К. называется к раз липшицевой дифференцируемой тогда и только тогда, когда её разностное отношение (разделённая разность) порядка к + 1 ограничена на ограниченных множествах. Кривая а называется Lip -кривой в Е} если для любого / Є Е суперпозиция / о а: К. — К. является к раз липшицевой дифференцируемой. В случае конечного к старшая производная (при к = 0 — сама функция) предполагается локально липшицевой; в [52] такие кривые называются дифференцируемыми по Липшицу. Отображение д: Е — F называется Сірк -отображением, если для каждой Сірк -кривой а: К. — Е суперпозиция д о а: К. — F является Сірк -кривой в F. На открытом подмножестве U в Е эти понятия вводятся следующим образом: отображение /: Е 1Э U — F представляет собой Сірк -отображение, если /оси есть Lip -кривая и это очень слабое условие, поскольку это означает, что (i l{U) открыт в К. для любой Cipk-кривой а: К. — Е (см. [52]).
Кроме того, в работе [52] дифференциал Cipk+l -отображения д: Е — F векторных пространств с топологией замыкания Макки определяется как Сгрк-отображение dg: Е х Е — F, dg{x)h) = {д{% + th))\t=o- И соответственно, дифференциал п-го порядка для п к + 1 dng: En+l — F, dng(x,hi,...,hn) = ft{dn lg{x + thn, hh ..., /in-i)) =o- В случае, когда E,F — банаховы пространства (и, как было отмечено выше, топологии замыкания Макки в Е, F совпадают с топологиями, индуцированными нормами ), дифференциал dg совпадают с дифференциалом Гато ( см., например, определение дифференциала Гато монографии Колмогорова А.Н., Фомина СВ. [12] ). Мы считаем, что в этом и в более общим случае, когда E,F являются пространствами Фреше ( при этом топология замыкания Макки на пространстве Фреше совпадёт с топологией пространства Фреше), для наших целей удобнее использовать определение дифференциала ( производной ) п-го порядка из работы [18, с. 43] Dng: х Є Е — Dng{x) Є Ln(E,F), Dng(x) = D(Dn lg)(x), где E,F —псевдотопологические удобные ( « пригодные » в терминологии монографии [18] векторные пространства, наделённые локально выпуклой топологией, ассоциированной с песвдотопологией). В случае, когда E,F — банаховы пространства, это определение дифференциала совпадает с определением дифференциала Фреше (см.,например, [13]). А если Е, F — пространства Фреше, то хотя Ln{E, F) таковым не является, но оно может быть наделено структурой псевдотопологического пространства. При этом на исходных пространствах Фреше Е, F, которые одновременно являются и псевдотопологическими, ассоциированная топология совпадает с исходной. Дифференциал Dg, в отличие от dg, обладает многими свойствами классического дифференциала: выполняется « цепное » правило дифференцирования сложного отображения, отображение « вычисления » (x,f) Є F х L(F,G) — f(x) Є G дифференцируемо, существует аналог теоремы о конечных приращениях ... Определение Сгр -отображения пространств Фреше мы сохраним таким, каким оно было дано выше. Отметим, что между множествами Сгр -отображений и С -отображений двух пространств Фреше имеются включения: Ck+l С Cipk С Ск, к Є {0} U N, Сір = С.
Векторные расслоения над /Зip -многообразиями Фреше
Пусть X— паракомпактно и Lip -нормально, и рассмотрим произвольное открытое покрытие UJ пространства X. Пусть г] = {Us}ses локально конечное открытое покрытие, вписанное в UJ. Поскольку X пара-компактно, то оно регулярно и по лемме 5.1.6 из [19, с. 446] найдется замкнутое покрытие {Fs}s,s пространства X, такое, что Fs С Us при всех s Є S. Поскольку X Lip -нормально следует, что для каждого s Є S можно найти Lipk- функцию gs: X — R, такую, что gs{x) = 0 при х Є X \ Us и gs(x) = 1 при х Є Fs. Так как семейство Г] локально конечно, то полагая g(x) = ss gs(:r), мы получаем Cipk - функцию g: X — R. Легко видеть, что семейство {fs}ses где fs = g.s \ д является локально конечным Cip -разбиением единицы, подчиненным г] и это означает, что X Сір параком-пактно.
Теорема 4. Если Е — ненормируемое пространство Фреше, то его топология имеет базис, являющийся счётным объединением локально конечных семейств множеств {carr(f) := {х : f(x) ф 0} : / Є Cipk}. Доказательство. Если Е — ненормируемое пространство Фреше, то оно метризуемо. Следовательно оно паракомпактно. В силу замечания 2 Е Cip -нормально и в силу теоремы 3 оно Cip -паракомпактно. Теперь пусть Un — покрытие, образуемое всеми открытыми шарами с радиусом —. Поте скольку Е Cip -паракомпактно, то существует Cip -разбиение единицы А, подчиненное этому покрытию. Множества {carr(f) : / Є А} образуют локально конечное измельчение Vn покрытия Un. Поскольку объединение всех Un является базой топологии пространства і?, то и объединение элементов Vn является базой топологии пространства Е.
Пусть Е — топологическое векторное пространство Фреше. Карта (U, ф) на множестве М представляет собой биективное отображение U — (fi(U) С Е подмножества U С М на открытое подмножество (fi(U) пространства Фреше Е (ТО есть (fi(U) открытое в топологии замыканий Макки ) Cipk -атлас (или атлас класса Cipk) на множестве М представляет собой семейство карт {с7а, tpa}aeA такое, что вместе они покрывают М и для любых двух карт (иа,(ра) и (U{3,(p{3) на М отображение ipaj3 = іра о ip-1 : VpiUa П U/з) — (pa(Ua П U/з) является Cipk-отображением, а множества (р/з(иаГ\ир) и (ра(иаГ\Щ) открыты.
Два Cip -атласа на множестве М называются Cip -эквивалентными, если их объединение дает Cip -атлас. Класс эквивалентности Сір -атла са иногда называется Cip -структурой на М. Объединение всех атласов в классе эквивалентности, в свою очередь, является атласом, который называется максимальным атласом для этой Cip -структуры.
Cip -многообразие с модельным пространством Е (или многообразие Фреше класса Cipk, или Cipk -многообразие Фреше) есть множество М вместе с его Cip -структурой. Другими словами, — это множество М вместе с классом эквивалентности Cip -атласов на М или, что эквивалентно, с максимальным Cip -атласом.
Пример 4. Пусть X — компактное многообразие и Y — конечномерное гладкое многообразие. Пространство Submf(X, Y) подмногообразий многообразия У, которые диффеоморфны X, является гладким многообразием, моделируемым на пространствах Фреше. В силу предложения (4-7.7) из [52], Submf(X,Y) является гладким многообразием, моделируемым на удобных векторных пространствах.
Пример 5. Пусть X и Y — те же, что и в примере 4- Пространство Emb(X, Y) вложений многообразия X в Y является гладким многообразием, моделируемым на пространствах Фреше. В силу предложения (4-7.6) из [52], Emb(X,Y) является гладким многообразием, моделируемым на удобных векторных пространствах.
Заметим, что все многообразия отображений, которые мы рассмотрели выше, на самом деле моделируемы на ненормируемых пространствах Фреше. Пространства моделей являются пространствами сечений конечномерных векторных расслоений. Эти пространства сечений являются пространствами Фреше. Их ненормируемость следует из того факта, что C(U Ш.т) ненормируемо, если U С Шп открыто (см. [59, с. 498]).
Касательные пространства /ip-многообразий Фреше
Для х Є М множество DXM := А м{х) называется /2ф -операторным касательным пространством в ж, или слоем над х Lip -операторного касательного расслоения. Оно несет каноническую Lip -структуру, индуцированную Dx((pa) := D(pa\DxM: D x)Ea = D0(Ea) при некотором (эквивалентно, при любом) а таком, что х Є Ua.
Теперь построим Lip -кинематическое касательное расслоение. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности на дизъюнктном объединении: (J Ua х Еа х {а}, аєА (x,v,a) (y,w,6) &х = у и d( paS){ fis{x))w = v. Lip -кинематическим касательным расслоением многообразия М назовем соответствующее фактор-множество, обозначим его ТМ. Пусть Лм: ТМ — М задается формулой AM([X,V,O\) = ж, пусть TUa = Ам(иа) С ТМ, и пусть Т(ра: TUa - (pa(Ua) х Еа задано формулой T(pa([x,v,a\) = ((fia(x),v). Таким образом, T fia([x,w,6]) = { fia{x),d{ fiaS){ fis{x))w). Поскольку переход между картами можно задать отображением Tifa О {Tif) 1 = (ps(Uas) X Е (Pa(Uas) X Еа, {X,V) !- { paS{x),d{ paS{x).v), то карты {TUaiTifa) образуют Lipk l-атлас для ТМ. При этом из формулы замены карт следует, что Lip -структура на ТМ зависит только от класса эквивалентности Lip -атласа для М.
Отображение Ам - ТМ — М является Lipk l. Оно называется проекцией (на опорную точку) в М. Естественная топология автоматически является хаусдорфовой; это следует из свойства расслоения и доказывается так же, как и для DM выше.
Для х Є М множество ТХМ := А м{х) назовем /Зф -1-кинематическим касательным пространством в ж, или слоем над х Lip -касательного расслоения. Оно несет каноническую Lip -структуру, индуцированную Тх((ра) = Тсра\ТхМ: ТХМ — {х} х Еа = Еа при некотором (эквивалентно, при любом) а таком, что х Є Ua.
Пусть / : М — N является Lipk -отображением многообразий. Тогда / индуцирует линейное отображение Dxf: DXM — Df N для каждого х Є М по правилу (DJ dx){h) = dx(h о /), /і Є Lipk l{N Э {/(ж)},М). Откуда мы получаем отображение D/: DM — DN. Если ([/, (/?) — карта в х и (У, ф) — карта в f(x), то Di\) о Df о (Dtp) 1 = И(ф о f о (f l) — класса Lip по лемме 5. Таким образом, Df: DM — DN является Lipk l и Df сужается до Lipk l -отображения Тf: ТМ — TN.
Пусть 7г: S — Б является /др -векторным расслоением со сложени-ем в слое 0 : S Xg S — S и умножением на скаляр в слое /i": S — S. Тогда касательное расслоение Л : TS — многообразия само является векторным расслоением со сложением в слое ФТЕ и умножением на скаляр в слое /ІТ".
Если {(Ua,(pa: E\Ua = А г(иа) - Ua х V)}aeA — атлас векторного расслоения для S и {( а: « фа(иа) С F}av4 — атлас многообразия Б, то {(S[/Q,, ср а)}аеА — атлас многообразия S, где Л = (Фа х Idv) oifa:E\Ua UaxV i/ja(Ua) xV С F xV. Таким образом, семейство {(T(Z\Ua),Tip a: T(E\Ua) -+ Т(фа(иа) xV) = (фа(1/а) xV)xFx V)}aeA является атласом, описывающим каноническую структуру векторного расслоения Л : TS — S. Функции перехода: paS{x,v) = ((pao(pjl)(x,v) = (x,XaS{x)v), где x Є Ua С В и XaS{x)- линейный непрерывный изоморфизм стандартного слоя V описанный в определении 7. (Фа Ф ){у) = Фаб(у) , ГДЄ у Є ( ) С F РаЛ ) = ( а Ю_1)(2/ ) = ( Фаз(у)Лаб( Фз1(у)Ю, (Т р ао(Щ)-1)(у,у;гі,) = = (ll as(y)Aa5( sl(y))Vi d( аб) [у)г], (d(XaS О 1 1(у)г])у + Ха6{ф {у))). Таким образом, мы видим, что для фиксированной пары (y,v) функции перехода линейны по (?7,) Є F х V. Это характеризует структуру касательного расслоения векторного расслоения Л : TS — S. При фиксированных (у; 7) функции перехода TS также линейны по (f,) Є У х У. Этим задается структура векторного расслоения на Ттг: TS — Т . Его послойное сложение мы будем обозначать T(s): T(S Xg S) = TS Xyg TS — TS, поскольку это касательное отображение к 0s. Аналогично, умножение на скаляр в нем обозначим Т(ц ). Можно сказать, что структура векторного расслоения на Ттг: TS — Т является производной от исходной структуры на S.
Подрасслоение {х Є S : Ттг.х = 0 в ТВ} = (Ттг) 1(0) С TS обозначается У!Е! и называется вертикальным расслоением над S. Локальная форма вертикального вектора х есть Va-X = (у,г ;0,), а функции перехода выглядят следующим образом:
Они линейны по (v, ) EV xV при фиксированном ж, откуда VE — векторное расслоение над В. Оно совпадает с обратным образом Og(TS, Ттг} ТВ) расслоения TS — Т над нулевым сечением. Можно рассмотреть канонический изоморфизм I /E : XgS — У, называемый вертикальным лифтом и задаваемый формулой vl (uX}vx) := -уто(иж + ж)? н является линейным в слое над В. Локальное представление вертикального лифта: {TcpaOvho (сра X (fa) l) {{х, U) {х, v)) = (x,U,0,v). Отображение ф: (Si,7Ti, i) — (S2, 7Г2, $2) является гомоморфизмом векторных расслоений тогда и только тогда, когда vl 2 (Ф ХЙ! ф)=Тфо vlEl: Si xBl Si - 1/S2 С TE2. Таким образом, vl — естественное преобразование между определенными функторами категории векторных расслоений и их гомоморфизмов.
Отображение vpr- = рТ і v называется вертикальной проекцией. Отметим также соотношение рг\ о vl = тгЩУВ.
Все сказанное выше верно и для второго касательного расслоения Т2М = ТТМ многообразия М класса Cipk, к 2, но теперь для него у нас есть более естественная структура. Каноническая инволюция Км Т2М — Т М определена локально по правилу (т2ф о км от ф- х х) = (х т О, где (U, ф) — карта на М. Действительно, это определение инвариантно относительно замены карт. Инволюция Км обладает следующими свойствами: (1) KN о T2f = T2f о Км для каждого / Є Cipk{M, N). (2) Т(Ам) о Км = Лтм (3) Атмо Км = Т(АМ). (4) Км1 = Км. (5) Км — линейный изоморфизм. Он переставляет две структуры касательного расслоения на ТТМ: Т(Ам) = ТТМ ТМ, где Км - ТМ — М. и Атм = ТТМ ТМ. (6) Км является единственным Lip -отображением ТТМ — ТТМ} удовлетворяющим равенству Qi-Q c(t,s) = KM-QiQic(t,s) ДЛЯ каждой Cipk -функции с: М2 — М. Теорема 8. Пусть 7г: S — В является Lipk -векторным расслоением со стандартным слоем L. Тогда тотальное пространство является Lipk -паракомпактным, если базовое пространство В моделируется на ненормируемом пространстве Фреше.
Доказательство. Пусть В моделируется на ненормируемом пространстве Фреше F, тогда В является Lip -паракомпактным и метризуемым. Поскольку стандартный слой L является метризуемым и Lip -паракомпактным, то произведение В xL является Lip -паракомпактным. Пусть {Ua}aeA является открытым покрытием . Выберем 1 С Is С 15 в В так, чтобы {ls}deB было открытым покрытием В и (/j) было открытым покрытием, тривиализующим для векторного расслоения и областей определения карт для В. Выберем разбиение единицы fs на В, подчиненное Is. Тогда S 15 = 15 х L является диффеоморфным открытому подмножеству Lip -паракомпактного векторного пространства F х L. Рассмотрим открытое покрытие F х L, состоящее из {Ua П S / 5}аЄА и (F \ supp(fs)) х L. Выберем также подчиненное разбиение единицы, состоящее из (gas)a и одной произвольной функции. Поскольку gas обладают носителями по отношению к / в Uа П S Is, они продолжаются до /lip -функций на всем . Тогда (T,s9as(fs ))a является разбиением единицы, подчиненным { а}аєА- Отсюда следует, что тотальное пространство S является Lip -паракомпактным.
Связность на /Зip -расслоениях
Замечание 9. В доказательстве леммы 12 можно заметить, что атлас Сір -главного локально тривиального расслоения ("Р, 7Г, , G) определен, как только мы задаем семейство Сір -сечений Р, чьи области определения покрывают базу В. Лемма 12 может служить эквивалентным определением главному расслоению. Из этой леммы следует, что обратный образ f V относительно Сір - отображения f: А —В также является Cip -главным локально тривиальным расслоением.
Для фиксированной группы G класс G -пространств является классом объектов некоторой категории, морфизмы которой называются эквивари-антными отображениями. Эквивариантное отображение (или (7-отображение) - это отображение ср: X — Y одного G -пространства в другое, которое коммутирует с действиями группы, т. е. ip{g{x)) = g{tp{x)) для всех g Є G и всех х Є X. Эквивариантное отображение ср: X — Y, являющееся также гомеоморфизмом, называется эквивалентностью G-пространств ( см. [4, с. 44]) В этом случае обратное к if отображение if тоже эквивариантно, так как если у = ip(x)} то l(g(y)) = 1{сЛ {х))) = ip-l{ip(g{x))) = д(х) = g(if-\y)). ,00
Пусть Л: (V,7T,B,G) — (V ,7r ,B , G) является гомоморфизмом Cip главных локальных тривиальных расслоений, то есть /лр(7-эквивариант ным отображением Л: V — V .Тогда, диаграмма
В коммутирует для единственным образом определенного Сір -отображения [5: В — В . Для любого х Є В отображение Хх := X\VX: Vx — Р в(х) яв ляется G-эквивариантным, и поэтому, диффеоморфизмом. Следовательно диаграмма выше является диаграммой обратного образа.
Однако более общее понятие гомоморфизма Cip00 -главных расслоений следующее. Пусть Q: G — G — гомоморфизм групп Ли-Фреше. A: (V}TT}B}G) — (V }7r }B } G ) называется гомоморфизмом над G Сгр -главных расслоений, если А: V — V является Сір -отображением и \{и д) = A (it) 0(g)- В таком случае А сохраняет слои и диаграмма выше снова коммутирует, но уже в общем случае не является диаграммой обратного образа.
Если G является подгруппой группы G, то А называется редукцией структурной группы G к G для Cip -главного расслоения (V ,7r , В , G ). Название наследуется из случая, когда G — вложение подгруппы.
По универсальному свойству обратного образа любой общий гомоморфизм A Cip -главных локально тривиальных расслоений над гомоморфизмом групп может быть записан как композиция редукции структурных групп и гомоморфизма обратного образа следующим способом (здесь мы также выделяем структурные группы):
В Пусть ї] = (,7Г, В} W) является Lip -локально тривиальным расслоением как в определении 16. Рассмотрим линейное в слоях касательное отображение Ттг: TS —ТВ и его ядро ker Ттг := VE,, называемое вертикальным расслоением . Оно является локально разбиваемым векторным под-расслоением касательного расслоения TS. Рассмотрим вертикальное под-расслоение AS: VE = { Є TS : Ттг. = 0} — S касательного расслоения TS.
Предложение 7. Пусть (V}TT}B}G) является Cip00 -главным локально тривиальным расслоением с Сір -главным правым действием г: Vx G — V. Тогда вертикальное расслоение (Л: W — "Р, ) Игр00 -главного расслоения тривиально как Сгр -векторное расслоение над V : УР = Vxg.
Доказательство. Отображение (и,Х) ь-» Те(ги) X = Т и еу (0и,Х) является изоморфизмом Cip00 -векторных расслоений V х g — VV над V.
Пусть (V,ir,B,G) является Сір -главным локально тривиальным расслоением. Напомним, что (общая) связность на V — это проекция слоев A: TV — VP, рассматриваемая как 1-форма в Ql(V,W) С Ql(V,TV). Такая связность А называется Cip -главной связностью, если она является G-эквивариантной для главного правого действия г: V х G — Р, таким образом, Т(г9)-А = А-Т(г9) и А являются г5-связанными с самими собой.
Согласно предложению 7 с помощью главного действия вертикальное расслоение Р тривиализуется как векторное расслоение Р. Тогда о (Хи) := Те(ги) .А(Хи) Є g и, таким образом, мы получаем -значную 1-форму о" Є Г2 (P,g), называемую (алгебра Ли значной) формой связности связности А. Напомним из замечания 8 об отображении фундаментального векторного поля (: g — Х(Р) для главного правого действия. Определяющее уравнение для а может быть записано как А(Хи) = Са(хи)(и) Лемма 13. Если А Є Ql(V,W) является Сгр00 -главной связностью на Сгр00 -главном локально тривиальном расслоении (V}TT}B}G)} то форма связности обладает следуют/ими тремя свойствами: (1) а воспроизводит генераторы фундаментальных векторных полей, и мы имеем о ((х(и)) = X для всех X Є g; (2) а является G-эквивариантной, ((г9) о )(Хи) = о (Ти(г9) Хи) = Ad{g l) о (Хи) для всех g Є G и Хи Є TUV; (3) для производной Ли имеем С ха = —ad(X).o . Обратно, 1-форма а Є Q}(V,g), удовлетворяющая (1), определяет связность А на V формулой А(Хи) = Te(rM)a"(XM), являющуюся главной связностью тогда и только тогда, когда выполняется (2). Доказательство. (1) Te(ru)-a{(x{u)) = A(CxW) = (х{и) = Те(ги)-Х. Результат следует из того, что Te(ru): g — VUV является изоморфизмом. (2) Обе импликации обосновываются следующим соображением: Te{rug) а{Ти{г9) Хи) = (а{ти{гаухи)(щ) = Д(ТиИ Хи), Te{rug)-Ad{g-l)-a{Xu) = (Ad{g-.ya{Xu)(ug) = Tu(rg)-(a{Xu)(u) = Tu{r9)-A{Xu). (3) Пусть g(t) является Cip -кривой в G, причем g{0) = е и —— Іо С ) = X. Тогда (fit(u) = r(u,g(t)) является Cip-кривой диффеомор д д физмов на V, причем тНо А = (х, мы получаем С хи = -7r\o(rg yt ) a = — \0Ad(g(t)-l)a = -ad(X)a. Теорема 9. Любое Сір -главное локально тривиальное расслоение ("Р, 7Г, , G) с базой В} моделируемой на ненормируемом пространстве Фреше, допускает Сгр00 -главные связности.
Доказательство. Поскольку В моделируется на ненормируемом пространстве Фреше, то оно Сгр00-паракомпактно. Пусть {(Ua,(pa: V\Ua — Ua х G)a}aeA является атласом Cip -главного локально тривиального расслоения. Определим a(Tif l( x,Temg.X)) := X для х Є TxUa и X Є д. Простое вычисление с учетом замечания 9 показывает, что 7« & \P\Ua-,9) удовлетворяет требованиям леммы 13 и, таким образом, является Cip -главной связностью на V\Ua. Пусть теперь (fa) является Сір-разбиением единицы на , подчиненным открытому покрытию {Ua}aeAi и пусть о" := Sa(/ao7r)7a- Поскольку оба требования леммы 13 инвариантны относительно выпуклых линейных комбинаций, то о" является Cip -главной связностью на V.