Введение к работе
Актуальное^ тямі. * -алгебра (инволютивная алгебра) - эта i\,& ; <;$< . Представлением х-алгабрн называется гаыамарфизм, согласоваивый о инваладивй, этза алгебри в алгебру Й/У/ ограниченных оператарзв в камплекснаы гильбертовом пространства // (или в некоторую другую инвалютивную алгебру, вооб-(да гаворя, неограниченных операторов в пространства Р ). Рассматрш некоторые классы *-алгабр, для которых оснавпие задачи теории представлений решались ранее: *) Д » CL*1 - алгебра полиномов о одним самосопряженным образующим лт*г 5г , Задачу унитарной клаоои|шсаций представлении твкай алгебры ограниченными (неограниченными) операторами решает спектральная, теорема для одного ограниченного (иеаграниченногз) самосопряженного оператора; , 2) Jf- * 3) изучение представлений групп Да во мзгоы оввцится к исследованию представлений их алгебр Ли. О пзслзцаих мэгшо гзвзрить в терминах х-алгебр - нх универсальных обортиваюцих. Нэиривэшгмиа представления жзмппктннх групп - конечномерны. В случая иекзмяакг-ннх групп Ля пуки а рассматривать представлення пх плгчбг; Ли н-ч;1- ранвчвнными операторами. Простейший пример - алгебра канонических коммутационных соотношении не. имевшая представлении ограниченными операторами; теория представлений бесконечномерных групп (груші петель, индуктивных пределов конечномерных, группы диффеоморфизмов окружности) тесно связана со *-представлениями соответствующих бесконечномерных алгебр Ля (алгебр Каца-Муди, Вирасоро и т.д.). Отметим такие ~Zt-градуированные алгебры Ли, интерес к -представлениям которых связан с сугарсимметричнымн моделями в физике; бесконечные наборы самосопряженных операторов, связанных соотношениями коммутации, антикоммутации и близких к ним рассматривали LGitzcZ/irj , 4.^'иі^тяп (1954), И.М.Гельфанд, Н.Я.Виленкин (1961), Ю.М.Березанский (1976), Ю.С.Самойленко (1984) и др. Такие наборы возникают при рассмотрении физических спстем с бесконечным числом степеней свободы. Ивтерео к более иироким классам * -алгебр возник в последам десятилетие в связи с квантовім методом обратной задачи (Е.К. Скляиин, Л.А.Гахгаджян, Л.Д.Фадцвев, 1979) и появлением затем понятия квантовой группы (Дринфельд В.Г. (1985), Tim 1,0 М. (1985), 4isrcnow.'c$ S.i. (1987)); дальнейшим применением их к точна решаемым моделям математической физики, в теории специальных функций (см., например, Н.Я.Виленкин, А.У.Климык, 1991) и др. Значительное число работ связано с изучением представлений квантовых групп. Отматпм результаты, лзгяческкґнопосредственно предшествовавшие настоящему исследованию. В 1982-83 гг. Е.К.Склянин в сеязи с рвЕвнием квантового уравнения Янга-Бакстара рассмотрел цвупара-кгтркческэв семейство -*-алгебр. (В внрзкценном случав это се- -Сімейство совпадает о однородной формой квантовой алгебри C^(iul2))), Для этих алгебр он построил три серии процстпвлвний, включая деформацию неприводимых представлений для Хч(г) . А.Н. Вершин (I984J ебрацал внимание на вакнооть исследования квадратичних алгебр и кх представлений, приводил ряд примеров, исследовал структуру и * -представления некоторых алгабр. fl.I. Островский, Ю.С. Самзйленко Ц9аа; исследовала представления «-алгебр с двумя самосопряженными образующими х-^х' , і => і,г, и зцнш самосопряженным соотношением второго порядка 4 * Проведена классификация таких "некоммутативных квадрик" на ведает-венной плоскости 1«іО канэнических форм).' В каждом из і9 невырожденных случаев получено полное описание непрнвзциішх представлений, вообие говоря, неограниченными операторами, доказаны структурные теоремы. Представления отдельных .*-алгебр, заданных образущпми и СООТНОПеНИЯМИ, И ИХ Семейств ИЗуЧаЛИ %.L, \f/ezCt!d!UVCj в его ученики, К. Sm'uJqcn р М, ft/ftS . ряд киевских математп- хов и др. Дель работы, I. Выделить новые естественные с точки зрения теории представления классы *-алгебр. Развить методы иссладованпя представлений «(-алгебре Исследовать представления некоторых классов конечнопорождеиньк *-алгебр, отллчных ог групповых и универсальных ебертыващих: определить типа $ак?аряредстзвлвяий ("ручпзсть" - "дихясть"), в "ручном" случае описать классы, унитарной эквивалентности пеаряяи-дшнх препстааіенвй, доказать структурные теоремы и т.д. Истздпкз исследования. В работе используется техника "систем импримитивности", развитая Q. Mackiy (1949-52) для случая индуцированиях представлений груші, а также различные ее модификации и частичные обобщения ("ког.щутативные модели", "метод динамических спстем"), относящиеся к целому ряду работ цо теории представлений. Все опп основали на том, чтобы свести изучение представлений * -алгебри Л к рассмотрели*) се пзцалгобры Ла в иакотэрогз действия группы (полугруппы) или некоторого отнзпенпя на спектре этой подалгебры. Удобным оказывается расширить класс задач (аналогично точу, как это делалось в теории конечномерных ассоциативных алгебр) и рассматривать представления к-катогзрий. Например, представление V алгебри я~ , спектр которого прп ограничении на подалгебру дискротвн, можно рассматривать как представление * -категории, объекты когврой - точки спектра, j^« .' Н;»члая новизна, теоретическая и практическая ценность." В диссертации изложены основные понятия и конструкции, связанные с представлениями #-алгебр и #—категорпЗ. ЕцнназбразпыЛ пздхоц к известным задачам унитарной классифх-г.ацип а) наборов подпространств (зртзпрзекторов), б) алгабрапчес-кпх операторов, в) представлений некоторых свободных инволютивпых полчапов позволил исследовать представления конкретных #-алгебр с двумя образующий. Развита технике индуцированных представлений для скрзценних ііг'лізвпдеїшП *-алгебр с кзнечтшл группами автоморфизмов. Дяя п-'т г і і ^-алгебр, mcuyiz обі^з рас^інрелпе, мекду категориями их н:ч-:',с7аглсшіа строятся гага сопряжении* функторов. Эти категории мзячг гсслг"цгт<а7'', одггвремнпз. С',,?П\,тїп rr/i^i::-",\:}Т: глгебрі; І'?$<*.(?)] , построенное -5-В.К. Склпдиндо, параметризуются эллиптической кривой и точкой на неіі. Для алгебр, соответствующих тачкам второго порядка, получена полная унитарная классификация представлений. Это обобщает и уточняет результати A.M. Верцнка, С.А, Кругляка. Виделвнц и пзучепц некоторые класси соотношений для наборов ортзпрзектзрзв (лшю , бплппаЛные аніиспшетрпчіша).' Такие со-атнэаония, в частпоотп, овязанц о некзтзршли пзвимп нвадратичниш алгебрами Пуанкара-Бпркгзіра-Внтга. Результати, связанные о "методом динамических систем" для со-втнаиенпй вица Л б = В?(А) , гдо А - оамзсзпряхетшЯ опера-гор (набор коммутирующих самосопряженішх операторов), збобцены на бэлео широкий класс "полулинейных соотношений": Последние возникают в теории ортогональних полиномов, между генераторами некоторых ишергрупп. Аггезбаипя езбзтп. Результати доїшзцшзалиоь на шкалах по теории операторов: Boponeis U990), Ульщіавок Ц990), Нижний Новгород (1991>, па конференции по теории представлений: Киев (1991), на семинарах по теории представления в Института математике и Институте теоретической физики АН Украины. Публикации, По тема диоевртацпи опубликовала 7 pay»? i-7j . Результаты совместной работ \1~\ вбзбцены в диссертации. В сав-местной работа [4 7 автору принадлежат результати о рлз:«ряэот;к неприводимых представлений, чпсть результатов, евпзпшнк со'сиз^т— рзлыш.га характеристиками представлении. Структура а эбъе:; работ::.! Диссертация состоит из ягч^'Нія, Р. параграфов, разбитых на 14 пунятзп, списка лгтзргтури из 32 ми;'-'~ пзванкй, указатели збоопа'ієниП. Обь?" работы - НО стряниц t-o:a»*4-пісного текста.
пара, состоящая из унитальнай алгебры & над полам С и инволю
ция - отображения *:/ — >* , уцзвлетворящега условиям
^,.!i;'aiT«iV/''
Похожие диссертации на Наборы операторов в гильбертовом пространстве, связанных соотношениями
