Введение к работе
3
Общая характеристика работы
Актуальность темы
В последние годы наблюдается значительный интерес к теории вариационных сходимостей, обусловленный главным образом ее успехами в приложении к задачам усреднения дифференциальных операторов 1. Однако сложность основных понятий и конструкций теории затрудняет должное ее использование, а также ее разработку и изучение.
Один из путей преодоления этой трудности — использование нестандартного инфинитезимального анализа, известного своими эффективными упрощающими процедурами 2, основанными на технике элиминации кванторов и возможными благодаря привлечению специфических внешних понятий.
Анализ литературы показывает, что до сих пор приложение нестандартного инфинитезимального анализа в теории вариационных сходимостей было случайно и фрагментарно и никак не решало указанную проблему 3. Таким образом, представляется целесообразным проведение систематического анализа вариационных сходимостей методами и средствами нестандартного инфинитезимального анализа.
Цель работы
Цель работы состоит в получении и разработке характерных для области вариационных сходимостей нестандартных понятий, позволяющих сократить сложность основных конструкций теории
'См. Attouh Н., Variational Convergence for Functions and Operators, Pitman, New York, 1984; Attouh H., Усреднение, Труды семинара H. Бурба-ки за 1988 г.: Сб. статей, Мир, М., 1990; Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А., Усреднение дифференциальных операторов, Физматлит, ГЛ., 1993.
См. Нельсон Э., Радикально элементарная теория вероятностей, Изд-во ин-та математики СО РАН, Новосибирск, 1995; Кутателадзе С.С, Нестандартный анализ касательных конусов, Докл. АН СССР, 284, 525-527(1985).
Более подробно об этом см. в предисловии к диссертации.
Общая характеристика работы
и, как следствие, упростить формулировки и доказательства ее утверждений. В качестве промежуточного этапа предполагается получение нестандартных критериев основных понятий теории.
Методика исследования
Методика исследования состоит в использовании характерных для инфинитезимального анализа техник и приемов (элиминация кванторов, актуализация, индивидуализация и пр.).
Научная новизна
1. Введено и исследовано понятие стандартизации и ассоцииро
ванной с ней сходимости, позволяющее в ряде случаев заме
нить классические сходимости их нестандартными аналога
ми — стандартизациями. На этом пути
(а) предложен нестандартный критерий псевдотопологии —
одного из основных типов сходимости, и
(б) показано, что класс сходимостей, ассоциированных со
всевозможными стандартизациями, совпадает с классом
всех псевдотопологий. 4
2. Предложен аппарат вариационных стандартизации как ис
следовательский инструмент в теории вариационных сходи
мостей. В том числе
(а) Определен ряд стандартизации, естественно возникаю
щих в теории вариационных сходимостей.
(б) Установлена связь вариационных сходимостей со сходи-
мостями, ассоциированными с вариационными стандар
тизациями.
4 Этот результат проливает свет на кажущуюся необоснованность выделения псевдотопологии в один из основных классов сходимости наряду с топологиями и предтопологиями.
Общая характеристика работы
(в) Исследованы свойства вариационных стандартизации. Показано, что большинство известных свойств вариационных сходимостеи являются их прямым следствием.
3. Дана нестандартная характеризация топологий вариацион
ных сходимостеи.
(а) Введено и исследовано понятие микрозамыкания отно
сительно семейства подмножеств. В отдельных случаях
установлена его связь со стандартным микрозамыкани
ем.
(б) На основе этого понятия дана характеризация монад
фильтров окрестностей точек гиперпространств, снаб
женных топологиями виеторисского типа.
(в) В отдельных случаях (топологии Моско и Фелла) эти
топологии охарактеризованы в терминах стандартного
микрозамыкания.
(г) Дана характеризация равномерных топологий: Аттуша-
Ветса и хаусдорфовой метрики.
4. Выделен ряд утверждений, названных теоремами об инфи-
нитезималъном продолжении аффинных функционалов. На
их основе дано нестандартное доказательство теорем Вира о
непрерывности преобразования Юнга-Фенхеля по отношению
к топологиям Моско и Аттуша-Ветса.
Теоретическая и практическая значимость
Результаты автора представляют интерес для специалистов, использующих в своей работе вариационные сходимости, как альтернативный (более элементарный в сравнении с традиционным) подход к исследованию вариационных сходимостеи и к изложению соответствующей теории.
Общая характеристика работы
Результаты, касающиеся связи стандартизации и псевдотопологий, могут быть использованы в общей теории сходимости в качестве одного из исходных пунктов ее построения.
Подход автора к характеризации вариационных топологий (суть этого подхода — в выделении двух типов микрозамыкания: стандартного микрозамыкания и микрозамыкания относительно семейства подмножеств — с последующим установлением их взаимосвязи) может применяться в общей топологии и функциональном анализе в качестве методики исследования подходящих классических объектов. Отметим здесь же, что предложенные автором критерии гипертопологий могут одновременно служить и базой для их классификации. 5 (Поиску последней посвящено определенное число работ.)
Специалисты по функциональному анализу обратят также внимание на близкие по духу к классическим теоремам отделимости Хана-Банаха утверждения, названные автором теоремами об ин-финитезималъном продолжении аффинных функционалов.
Структура диссертации и публикации
Диссертация выполнена с использованием пакета программ MfcX, содержит 84 печатных страницы и состоит из предисловия, трех глав и библиографии. Последняя содержит 59 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1, 2,3,4].
5В самом деле, в диссертации показано, что все рассматриваемые в ней гипертопологии (Фелла, Моско, Аттуша-Ветса и т.д.) разнятся по существу лишь типом точек, участвующих в их нестандартном определении (это соответственно компактные, слабо компактные, конечные и т.д. точки).
