Содержание к диссертации
Введение
1 Оценка разности спектральных функций для степе ни оператора Лапласа 25
1.1 Необходимые определения и утверждения 25
1.2 Свойства собственных чисел степени оператора Лапласа 29
1.3 Оценка разности спектральных функций 35
2 Обратные задачи спектрального анализа для оператора Лапласа 44
2.1 Постановка задачи 44
2.2 Оценка ядерной нормы резольвенты оператора Тр 48
2.3 Обратные задачи спектрального анализа и интерполяция по Л. Карлесону 53
2.4 Восстановление потенциала в обратной задаче спектрального анализа для возмущенной степени оператора Лапласа в пространстве R2 61
2.5 Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа с потенциалом в пространстве RN 72
Список литературы 79
- Свойства собственных чисел степени оператора Лапласа
- Оценка разности спектральных функций
- Оценка ядерной нормы резольвенты оператора Тр
- Восстановление потенциала в обратной задаче спектрального анализа для возмущенной степени оператора Лапласа в пространстве R2
Введение к работе
Диссертация посвящена решению прямых и обратных задач спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных: изучению спектральной функции и получению формулы первого регуляризованного следа для возмущенной степени оператора Лапласа, а также решению обратной задачи спектрального анализа для этого оператора.
Актуальность проблемы. Многие вопросы математической физики приводят к проблеме спектрального анализа дифференциальных операторов, то есть к исследованию спектра и разложению заданной функции по собственным функциям дифференциального оператора. Спектральный анализ дифференциальных операторов является основным математическим аппаратом при решении многих "прямых" задач квантовой механики.
Характерным подходом в исследовании спектра является изучение асимптотики спектральной функции и вычисление регу-ляризованных следов дифференциальных операторов. Хорошо известно, что сумма собственных значений матрицы легко вычисляется и равна сумме диагональных элементов. В классической работе В.Б. Лидского [44] установлено, что матричный след совпадает со спектральным следом у ядерных операторов. Его доказательство основано на s-числах операторов и методах теории функций комплексного переменного. Возникает вопрос об аналоге этих теорем для неограниченных операторов. В этом случае спектральный и матричный следы оператора не существуют. Поэтому возникает понятие так называемых "регуляризованных следов". Проблема вычисления регуляризованных следов восходит к работе И.М. Гельфанда и Б.М. Левитана [8], опубликованной в 1953 г. Они рассмотрели оператор Штурма-Лиувилля, порожденный краевой задачей: -У"(х) + Я(х)у(х) = ^2/0*0, цч
2/(0) = у(тг) = 0, яЄ[0,тг], где q(x) — дважды непрерывно дифференцируемая функция на отрезке [0,7г]. Асимптотика упорядоченных по возрастанию собственных чисел этого оператора выражается формулой Цп = п2 + -Jq(x)dx + O(jjj), (2)
В силу этого ряд (первый регуляризованпый след оператора) Y, [Цп - я - со), где со = - / q{x)dx л=Л Я" б сходится. И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном .в [8] была установлена следующая формула: ^ (/ія - n - Со) = -со . (3)
71=1 * 4
В работе [12] Л.А. Дикого были вычислены регуляризованные следы регулярного оператора Штурма-Лиувилля высших порядков и исследована дзета-функция оператора. Затем в работе [13] им было показано, что формула (3) эквивалентна абстрактному равенству (Ип -гС - (qvn, vn)) = 0, (4) где скалярное произведение рассматривается в пространстве Ьг[0, я"], vn — собственные ортонормированные функции оператора, порожденного краевой задачей -v"{x) = Аф), v(0) = і/(тг) = 0, хе [0,7г].
В 60-е годы теория регуляризованных следов регулярных обыкновенных дифференциальных операторов была практически завершена работами В.Б. Лидского и В.А. Садовничего [46], [45], [60]. Им удалось вычислить регуляризованные следы произвольных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений любых порядков со сложным вхождением параметра. Приведем условия, при которых достигается результат, полученный в этих работах.
Пусть / — целая функция, которая при каждом целом h > 0 допускает представление вида где ah — комплексные постоянные, а Pkh(z) ~ *"* $*>*-" + о(г"*"Л) при z —> 0. Здесь njt — некоторые целые числа, a / ^ 0. Числа а^: и @1к) называют параметрами асимптотики функции /. Предполагается, что комплексную плоскость можно покрыть конечным числом открытых секторов, содержащих начало координат, в каждом из которых функции Pkh являются аналитическими при \z\ > С. Функции / с описанными выше свойствами называются функциями класса К.
Функции класса К возникают при решении дифференциальных уравнений, содержащих параметр z. Например, в краевой задаче для дифференциального уравнения -j^- + ai(x,z) dJ\ + + flnfoz)y{x) = 0, 0<я?<1,-коэффициенты которого имеют вид Jtк ak(x, z) = zkYl,z Jakj(x), к — 1, n, j=o с граничными условиями, которые также полиномиально зависят от z: Uj(y) = Ezuu?(y) = o, i = i,n, где Uj — линейные формы вида:
Щ(у) = Е Wfc2/("-!)(0) + 6^-^(1)} + J atj{x)y(x)dx. A-=l 0
Если коэффициенты уравнения и функции Ы<(х) бесконечно дифференцируемы по х, а также ajto(x) имеет вид аьо{х) = с*о т(х) (к = 1,п), где г (я) > 0 и многочлен р( А) = Ап + сюА"~Ч не имеет кратных корней, то уравнение для определения собственных чисел задачи имеет вид f(z) = 0, где / Є К. Существенно, что при этом параметры асимптотики / явно выражаются через коэффициенты уравнения и коэффициенты граничных условий.
В работах В.Б. Лидского и В.А. Садовничего [46], [45] построен метод, позволяющий находить тп-ый регуляризованный след — суммы вида Y\z? - Am{l)] = sm, і где zi — корни функции / (т.е. собственные числа краевой задачи), Ат{1) — некоторые вполне определенные числа, обеспечивающие сходимость рядов, т — любое натуральное число. Однако применяемые здесь методы существенно используют простую асимптотику решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие эта проблематика получила в работах В.А.Садовничего и его учеников [66], [67].
Значительно менее исследованными являются классы операторов, содержащие дифференцирование по нескольким переменным. Различные результаты в этом направлении были получены в работах А.Г. Костюченко [32], М.Г. Гасымова [6], В. Гийемина [84]. Трудность задачи состоит в том, что для уравнений с частны- ми производными резольвента имеет сложное строение и трудно точно описать целые функции, корнями которых являются собственные числа и потому неизвестна точная асимптотика всех собственных чисел. В работах В.А. Садовничего и В.В. Дубровского [64], [15], [16] предложен подход к проблеме следов через поправки теории возмущений. С помощью методики, предложенной М.Г. Гасымовым в работе [6], можно вычислять регуляризованные следы дискретных самосопряженных операторов, используя их спектральную функцию. Пусть М — область в Rn, пусть А — самосопряженный эллиптический оператор порядка т на М, такой что главный символ ат(х,) >0 при. f ^ О, тогда оператор А полуограничен снизу [81]. Обозначим через Xj его собственные значения, занумерованные в порядке возрастания (с учетом кратности), а через Vj(x) — соответствующие собственные функции, образующие ортонормированную систему. Спектральной функцией оператора А назовем функцию в{х,у,\)= Vj(x)Vj(y).
Проблеме вычисления асимптотики спектральной функции дифференциальных и псевдодифференциальных самосопряженных операторов посвящены работы многих математиков: [43], [49],[31],[77].
Асимптотика спектральной функции самосопряженного эллиптического оператора в R" изучалась Л. Хёрмандером [77]. Им показано, что спектральная функция оператора Л удовлетворяет неравенству \0{х,х,\)-{2тг)-п J d^^CX^, А>1, хеМ, ат(х)<Х где постоянная С не зависит от а: и А. В работах В.А. Садовниче-го и В.В. Дубровского [17], [18], [62], [63] изучено асимптотическое поведение спектральной функции самосопряженного оператора с дискретным спектром с применением методов теории возмущений. Пусть на области М задан полуограниченный снизу самосопряженный дискретный оператор Т, действующий в Н — Li(M%dx), где dx — мера Лебега, Р — самосопряженный ограниченный оператор в Н. Предположим, что собственные числа оператора Т удовлетворяют асимптотике \п — Спа + О(п0), где а > (5 > О, С > 0. Обозначим через vn соответствующие им ортонормированные собственные функции, через ип — собственные ортонормированные в Н функции оператора Т+Р, отвечающие собственным числам цп. В предположении, что |г/п(а;)| < Сгі7, х Є М, а ип(х) — ограничены на М (не обязательно в совокупности), в работе [63] доказано, что если А Є (Anm + ||Р||, АПт+1 - ||Р||) и а > 3/2, то Km ||Єг+р(*. у, А) - вт(х, у, А)||2 = 0, (5)
А—>эо где Qt+p и 0j — спектральные функции операторов Т и Т + Р, соответственно.
Поскольку практический интерес в квантовой механике представляют операторы, полученные из оператора Лапласа в результате "малого" возмущения, требуется получить асимптотику спектральной функции^ а также регуляризованный след для данного оператора. Однако полученный результат (5) переносится только на степень оператора Лапласа а > 3/2. Естественным образом встает задача о нахождении асимптотики спектральной функции и регуляризованного следа для степени оператора Лапласа как можно более близкой к единице.
Наряду с "прямыми" задачами, важную роль играют обратные задачи спектральной теории дифференциальных операторов. Обратные задачи квантовой механики, например, такие как определение внутриатомных сил по заданным уровням энергии, то есть по спектру (который может быть найден экспериментально), приводят к обратной задаче спектрального анализа. Под обратными задачами спектрального анализа понимают задачи восстановления оператора по тем или иным его спектральным характаристи-кам: спектрам (при различных граничных условиях), спектральной функции распределения, и другие. Центральное место в исследовании указанных задач занимают проблемы существования, единственности, устойчивости, а также создание "эффективных" методов их решения. Что касается проблемы существования, то до настоящего времени нет критериев глобального решения этого вопроса, что связано со значительными трудностями в исследовании уравнений, как правило нелинейных, к которым сводятся обратные задачи. Следует заметить, что вообще говоря, многие обратные задачи имеют неединственное решение. Поэтому одним из основных моментов в исследовании проблемы единственности некорректных обратных задач является выявление дополнительных условий, накладываемых на решения, обеспечивающих их единственность.
Наиболее полно изучены методы решения некорректных задач, записываемых в форме операторных уравнений первого рода: Ки — /. Однако при решении некорректных задач для дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений, оператор К, получаемый при сведении задачи к операторному уравнению первого рода, оказывается слишком сложным. Поэтому требуются методы, которые учитывают дифференциальную специфику таких задач. Такие методы регуляризации краевых задач рассмотрены в монографиях В.К. Иванова, И.В.Мельниковой, А.И.Филинкова [28],[87].
Наиболее полные результаты в теории обратных задач получе- ны для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля f -tf{?) + q{x)y{x) = Ху{х), \ у'{а) - hy(a) = 0, у'(Ъ) + Ну(Ь) = О в случае, когда функция q(x) непрерывна на конечном отрезке [а,Ь]. Собственные числа этой задачи образуют счетную последовательность {Аи}^! с единственной точкой сгущения +СО. Соответствующие им собственные функции vn{x) всегда можно нормировать условием t7„(a) = l, v'n(a) = h. (7)
Обратная задача Штурма-Лиувилля ставится следующим образом. Известна спектральная функция'распределения р(Х) задачи (6), требуется найти q(x). Функция р(\) — это неубывающая, кусочно-постоянная функция, определенная на всей числовой оси А и такая, что р{—со) = 0, она постоянна для А, заключенных между двумя соседними собственными числами Ап-1 и Ап, и в точке Ап имеет конечный скачок, численно равный ||г>п||_2> где ||г;п|| — норма в L/2[a, b] функции vn(x), подчиненной условиям (7). Таким образом, две последовательности чисел {Ап}^! и {H^nlD^Li полностью определяют функцию р(А).
Обратные задачи для дифференциальных операторов (6) исследовались в работах В.А. Амбарцумяна, Г. Борга, И.М. Гель-фанда, Б.М. Левитана, М.Г. Крейна , Н. Левинсона, В.A. Map- ченко, В.А. Садовничего, А.Н. Тихонова, Л.Д. Фаддеева и других. (см.[82], [83], [7], [8], [34], [86], [73])
Первый результат в этом направлении принадлежит В.А. Ам-барцумяну Им доказано, что если собственные значения задачи Штурма-Лиувилля -У" + q{x)y = \У (q{x) Є С[0, тг]), уЩ = у'(п) = О, суть А„ = п2, п = 0,1,2,..., то q(х) = 0. Однако, в общем случае один спектр оператора Штурма-Лиувилля функцию q (то есть оператор) не определяет, поэтому результат В.А. Амбарцумяна является исключением из общего правила. Г. Боргом в работе [83] показано, что два спектра оператора Штурма-Лиувилля (при различных граничных условиях) однозначно его определяют. Вскоре Н. Левинсон в работе [86] предложил более простые доказательства некоторых результатов Г. Борга. Эффективному построению оператора Штурма-Лиувилля по двум спектрам посвящена работа [40] Б.М. Левитана, М.Г. Гасымова. В 1952 году в работе [47] В.А. Марченко был получен следующий результат: спектральная функция оператора Штурма-Лиувилля (заданного на полупрямой или на конечном промежутке) однозначно определяет оператор. В работе [7] И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана был указан метод восстановления оператора Штурма-Лиувилля по спектральной функции распределения р(Х) и указаны достаточные условия для того, чтобы заданная монотонная функция являлась спектральной функцией распределения оператора Штурма-Лиувилля (на прямой или на конечном промежутке). В дальнейшем работа И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана [7] послужила образцом для эффективного решения других обратных задач. Полностью теория обратной задачи Штурма-Лиувилля изложена в монографиях Б.М.Левитана [39], Б.М. Левитана, И.С. Саргасяна [41], В.А. Марченко [49].
Обратным задачам для уравнений с частными производными и их приложениям посвящено достаточно много работ. В многомерном случае обратные задачи исследовались Ю.М.Березанским, А.М.Бухгеймом, М.М.Лаврентьевым, Л.П.Нижником, В.Г.Романовым и др. (см.[1], [2], [3], [37], [56]).
В [61] В.А. Садовничим и В.В. Дубровским доказана теорема единственности решения обратной задачи для абстрактных операторов только по одному спектру и при условии "малости" возмущающего оператора. Результаты применяются к степени оператора Лапласа , заданного на прямоугольнике П с потенциалом из г(П). К этой работе по своей тематике и методам примыкает работа [23]. Здесь сформулированы условия, при которых может быть восстановлен потенциал в классе ограниченных по максимуму функций. В [24], [26] разработан метод восстановления потенциала и доказана его единственность. Результаты этих работ можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим в г(П) краевую задачу:
Ти = Ли, и \ап= О, где Т = — Д — оператор Лапласа, дії — граница прямоугольни-ка П = {(#, у) | 0 < х < а, 0 < у < Ь}, (р- — иррациональ- но). Введем оператор Тр = J X0dE(\) (JE7(A) — спектральное раз- о ложение единицы, порожденное оператором Т) и обозначим через Vkmn (k,m,n = 1,2,...) его собственные ортонормированные функции, отвечающие собственным значениям Ajtmn, расположенным в порядке возрастания. Обозначим dk = min ІА* — A J. Пусть s,s-k
Р — оператор умножения на функцию (назовем ее потенциалом) р Є С (И), удовлетворяющую условиям р(а -х,у) = р(х, у) = р(а?, 6-у), (ж, у) Є П, (9) п а п (m,n = 0,1,...,со). (10)
11 Р(я> у) cos dxdy = // р(х, у) cos —-—dxdy = 0,
Если р > 3, 53 ^fc1 < и Е |& - ^Jfcl ^ Сє (N < со), с некоторой константой С, то в замкнутом шаре 7(0, є) = {р(х, у) : ||р||оо < є} существует один и только один потенциал, удовлетворяющий условиям (9), (10), и такой, что числа & являются собственными значениями оператора Тр+Р. Если же в качестве оператора возмущения Р рассмотреть оператор умножения на функцию р Є г(П), удовлетворяющую условию (9) и условию fjp(x,y)dxdy = 0, (11) то при (3 > 2,5, для последовательности чисел такой, что ( Ы2+ Ё Ш2У <би( Ып\2У < й, чт=1 п=1 7 чт,п=1 ' где Si = Ji(:), J2 = 32(є), в шаре /(0,є) = {р(х,у) : \\р\\2 < є} существует единственный потенциал, удовлетворяющий условиям (9),(11) и такой, что числа & являются собственными значениями оператора Тр + Р. Таким образом, как и в "прямых" задачах, важным является решение обратной задачи для степени оператора Лапласа как можно более близкой к единице. Цель работы,
Исследовать асимптотику спектральной функции оператора Тр + Р, заданного на квадрате или на равнобедренном прямоугольном треугольнике П и действующего в пространстве 1/2(П), для /3, возможно более близкого к единице.
Вычислить первый регуляризованный след для оператора Тр+ Р.
Решить задачу восстановления потенциала только по одному спектру возмущенной степени оператора Лапласа при J3 > 1, заданного на прямоугольнике краевыми условиями Дирихле.
Обобщить задачу восстановления потенциала только по одному спектру возмущенной степени оператора Лапласа на iV—мерный параллелепипед.
Метод исследования. В диссертационной работе используются методы теории возмущений, спектральной теории операторов, различные методы функционального анализа, теории функций комплексного переменного.линейных операторов. Различные методы теории возмущений основаны на изучении систем, слабо отклоняющихся от некоторой более простой системы, которая исследована полностью. Свое развитие эта теория получила в работах Т.Като [30], М.Рида и Б. Саймона [57] и др.
Пусть А и В — самосопряженные операторы, действующие в гильбертовом пространстве, До — изолированная m-кратная точка спектра оператора A, d — расстояние от До до остального спектра А. Хорошо известна формула теории возмущений (А + єВ)-1 = A-1 Z (-1) кек{ВА~1)к (12)
Проекционый оператор на подпространство собственных функций оператора А, отвечающих точке Ло, имеет вид
2тгг Г где Г — кривая в комплексной плоскости, пересекающая действительную прямую в точках Xo—d/2, Xo+d/2. При достаточно малом є проекционный оператор Р\0{А + єВ) имеет размерность т и
РХо(А + еВ) = ±-1{А - ХЕ)-1 (-1)^ [В(А - \E)-l)kd\ где 7 — окружность с центром До и радиусом d/2. Следовательно, собственные значения оператора А + є В внутри j и соответствующие собственные функции совпадают с собственными значениями и собственными функциями оператора (A + eB)±J(A - ХЕ)-1 (-1)V [В(А - XE)-fd\, (14) который можно рассматривать на подпространстве размерности т. Таким образом, задача сводится к отысканию собственных функций и собственных значений симметрической матрицы порядка т. Полученные ряды для собственных функций и собственных значений оператора А + еВ называют рядами теории возмущений. В данной работе будет рассматриваться только случай, когда спектр оператора А дискретный.
Краткое содержание диссертации. Данная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Первая глава . состоит из трех параграфов и посвящена изучению асимптотики спектральной функции возмущенного оператора Тр + Р, где оператор Тр — степень оператора Лапласа, заданный на квадрате или на равнобедренном прямоугольном треугольнике П с краевыми условиями Дирихле и действующий в пространстве 1^2(П). В качестве возмущения рассматривается самосопряженный ограниченный оператор Р, действующий в том же пространстве. Первый параграф главы I носит реферативный характер. В нем, согласно [58], [9], приведены различные спектральные свойства самосопряженных дискретных операторов. Во втором параграфе, используя второй член асимптотики собственных чисел оператора Лапласа, а также результаты о числе целых точек в круге ([85]), доказаны свойства собственных чисел оператора Тр. В третьем параграфе сформулирована и доказана основная теорема данной главы — об оценке разности спектральных функций операторов Тр и Тр + Р. {^nm}m=i — такая подпоследовательность собственных чисел оператора Тр, что Anm+i - АПт > Cm*"1, (15) где С\ - некоторая положительная постоянная
Теорема 0.1. ПустьЄТі3+р{х,У,Ь)= ик(х)щ(у), т0{х,у,\) = 53 у к (x)vk(y) — спектральные функции операторов Тр + Р, Тр со- ответственно. Если {3 > іЩ, l
Используя теорему 0.1 и методику, предложенную М.Г.Гасымовым ([6]), удалось вычислить первый регуляризованный след для этих операторов. Задачу решена для степени /3 > іЩ, что усиливает результаты, полученные ранее [27].
Предложение 0.1. Пусть /3 > іЩ, Р -оператор умножения на вещественную функцию р Є оо(П). Тогда „JjlRo (A*i - Л; - (Pvj> vi)) = -
Полученная формула является аналогом формулы (4) для возмущенной степени оператора Лапласа".
Вторая глава состоит из пяти параграфов и посвящена решению обратной задачи спектрального анализа для степени оператора Лапласа с потенциалом из Ь^,, заданного на прямоугольнике либо на N— мерном параллелепипеде. Для решения задачи используется принцип сжимающих отображений. В первом параграфе вводятся необходимые операторы и на потенциалы накладываются дополнительные условия: симметричности и равенства нулю некоторых коэффициентов Фурье. Здесь также сформулирована теорема Л. Карлесона об интерполяции, используемая в дальнейшем. Во втором параграфе получена оценка ядерной нормы резольвенты оператора Тр, которая будет использована при дальнейшем решении обратной задачи. В третьем параграфе сформулирована и доказана локальная теорема существования обратной задачи спектрального анализа для степени оператора Лапласа (3 > 3/2, заданного на прямоугольнике. При доказательстве используется оценка ядерной нормы оператора {Тр—\Е)~1 и теорема Л. Карлесона об интерполяционной последовательности, сформулированная в первом параграфе. В четвертом параграфе на основе леммы о числовых рядах из работы [65], доказана теорема о восстановлении потенциала для степени оператора Лапласа /3 > 1. Кроме того, удалось ослабить ограничения, накладываемые на потенциал: на него наложены только условия симметрии. Таким образом, удалось существенно усилить ранее полученные результаты ([23], [26]).
Пусть оператор Тр — степень оператора Лапласа, заданного на прямоугольнике П граничными условиями Дирихле. Пусть Р — оператор умножения на вещественную, измеримую по Лебегу, существенно ограниченную функцию р(х,у) с областью определения П. Допустим, что функция р(х,у) удовлетворяет еще двум ограничениям: р(а -х,у) = р(ж, у) = р(х, Ь-у) (16) для почти всех (х, у) Є П и Jfp{x,y)dxdy = 0. (17)
Введем целые, ограниченные по модулю (но не в совокупности) в правой полуплоскости Re\ > 0 функции /jt(A), такие, что fk(\j) = 6Jk, sk = sup (|Д(A)I |A|2) < oof
ЛеЛ>0 где Sjk - символ Кронекера, j, к = 1,2,..., oo. Положим A Обозначим / N 4 /2nmx\ (2irny\ - ,,„,. Tpk(m,n){X, У) = ~/=ї C0S V~V~J C0S V—6—У ' Ш' П = ' ' ^ ' где функции занумерованы в соответствии с собственными числа-A*(m,n) = I —— + ~йГ) оператора Тр. В работе доказано, что последовательность & = Yl 4>k(v-j)— 5Z ^(Aj) может быть представлена в виде к = ОСт + Тп + 7m,n, (19) оо оо оо Y, \ат\2 < СО, \Тп\2 < О, |7пі,п| < оо. т=1 п=1 т,п=1 Здесь 6П, — некоторая подпоследовательность положительных чисел, выбираемая специальным образом по спектру оператора Тр, Ьщ —> со при I —> оо. Теорема 0.2. Пусть ft > 1, a2/b2 —иррациональное число, {&} — последовательность вида (19), для которой выполняется неравенство оо || (& - Oim - Г„) V'Jfclloo < Є- Тогда в шаре U(0,e) = {p{x,y)\\\p\\oo Мм)- В пятом параграфе теорема о восстановлении потенциала для степени оператора Лапласа обобщена на N—мерный случай: оператор задан на iV— мерном параллелепипеде и теорема доказана для степени оператора Лапласа /? > N/2. Апробация результатов Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всероссийских научно-практических конференциях вузов Уральской зоны (г. Магнитогорск, 1999 г., г,Челябинск, 2001 г.), на конференции по математическому моделированию и краевым задачам в СГТУ (г. Самара, 2000 г.), на научно-исследовательском семинаре под руководством доктора физико-математических наук, профессора Дубровского В.В. в Магнитогорском государственном университете (г. Магнитогорск, 1996—2000), в Магнитогорском государственном университете (г. Магнитогорск, 1996—2000 г.), на 62-й научно-технической конференции в МГТУ (г. Магнитогорск, 2003 г.), а также на семинаре по дифференциально - операторным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора Мельниковой И.В. в Уральском государственном университете. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [88] — [94]. Выступление автора на конференциях отражено в тезисах докладов [95] — [98]. Из работ, опубликованных в соавторстве, в диссертацию вошли только результаты автора. Автор хотел бы почтить память своего научного руководителя профессора Владимира Васильевича Дубровского, и выразить огромную благодарность за доброжелательное руководство, за ценные советы и консультации. Также автор очень благодарен научному руководителю профессору Марии Викторовне Бушмановой за внимательное и чуткое руководство, за поддержку и интерес, проявленные к работе. Пусть П — равнобедренный прямоугольный треугольник или квадрат из R2. Будем пользоваться следующими обозначениями: х — Kii6)i У = (Vum), Ук = faf, )- Рассмотрим в 2(П) оператор Т, порожденный краевой задачей Дирихле: известно,что оператор Т является дискретным самосопряженным полуограниченным снизу оператором ([11, с.910]). Введем оператор оо Тр = /\0dE(X), где Е(Х) — спектральное разложение единицы о оператора Т, (3 0. Пусть Р — самосопряженный ограниченный оператор, действующий в 1 2(П). Обозначим через {An} , {/} собственные числа операторов Тр и Тр + Р соответственно, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности; через vn и ип — ортонормированные собственные функции операторов Тр и Тр + Р соответственно, отвечающие п—м собственным числам. Воспользуемся асимптотикой для собственных чисел уп оператора Лапласа с краевыми условиями Дирихле [80, с.37]: где дП. — граница П, А = - + тг — оператор Лапласа. Хорошо где сі О, С2 0 — некоторые константы. Тогда для собственных чисел Лп = { іп)в оператора Т$ получаем следующую асимптотику: \п = Сщ0 + С2п0 "2 + О(п0 27/40), (23) где Сі О, С2 0 — некоторые константы. Для собственных чисел оператора Тр верна следующая Теорема 1.1. Пусть {An}Li —собственные числа оператора Тр. Если \к-п\ С3пи/40+6, гдеС2 0,0 6 27/40, тогда А - А„ const max{ -27/40+ J, n 27/40 }, const 0 (24) Доказательство. Пусть к п — Сзп13/40+ 5. Тогда, используя асимптотическую формулу (23), имеем: В случае & п + Сзп13/40+ найдется константа С 0 такая, что п к — Ск13/40+5. Используя асимптотическую формулу (23), из которого следует утверждение теоремы. Пусть {гст} =1 — такая подпоследовательность натуральных чисел, что где С\- некоторая положительная постоянная (см.[16]). Введем в рассмотрение следующие вертикальные прямые: Теорема 1.2. Если 0 є 1;0 5 27/40; (1 - є){(5 - 27/40 + 5) 1/2, тогда при А Є ГПт выполняется неравенствоч Доказательство. Разбиваем рассматриваемый ряд на три слагаемых: В этой оценке мы воспользовались неравенством а2Л-Ь2 С(є)а2єЬ2 1 є\ где а 0, 6 0и0 є 1с некоторой постоянной С(е) 0. Со гласно предложению 1.1 для слагаемых из суммы 1\ имеем: Учитывая, что число слагаемых в І\ меньше, чем nm, имеем: Оценим 12. Если Ап АПт,тогда Если А„ АПт+і, то получим такое же неравенство с другой константой. В силу (25) для слагаемых из 12 имеем: Учитывая, что число слагаемых в 12 не превосходит 2Csnffl40+5, а также, что Сз можно взять сколь угодно малой, получаем: Далее, для слагаемых из /ограниченный оператор, действующий в 1 2(П). Обозначим через {An} , {/} собственные числа операторов Тр и Тр + Р соответственно, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности; через vn и ип — ортонормированные собственные функции операторов Тр и Тр + Р соответственно, отвечающие п—м собственным числам. Воспользуемся асимптотикой для собственных чисел уп оператора Лапласа с краевыми условиями Дирихле [80, с.37]: где дП. — граница П, А = - + тг — оператор Лапласа. Хорошо где сі О, С2 0 — некоторые константы. Тогда для собственных чисел Лп = { іп)в оператора Т$ получаем следующую асимптотику: \п = Сщ0 + С2п0 "2 + О(п0 27/40), (23) где Сі О, С2 0 — некоторые константы. Для собственных чисел оператора Тр верна следующая Теорема 1.1. Пусть {An}Li —собственные числа оператора Тр. Если \к-п\ С3пи/40+6, гдеС2 0,0 6 27/40, тогда А - А„ const max{ -27/40+ J, n 27/40 }, const 0 (24) Доказательство. Пусть к п — Сзп13/40+ 5. Тогда, используя асимптотическую формулу (23), имеем: В случае & п + Сзп13/40+ найдется константа С 0 такая, что п к — Ск13/40+5. Используя асимптотическую формулу (23), из которого следует утверждение теоремы. Пусть {гст} =1 — такая подпоследовательность натуральных чисел, что где С\- некоторая положительная постоянная (см.[16]). Введем в рассмотрение следующие вертикальные прямые: Теорема 1.2. Если 0 є 1;0 5 27/40; (1 - є){(5 - 27/40 + 5) 1/2, тогда при А Є ГПт выполняется неравенствоч Доказательство. Разбиваем рассматриваемый ряд на три слагаемых: В этой оценке мы воспользовались неравенством а2Л-Ь2 С(є)а2єЬ2 1 є\ где а 0, 6 0и0 є 1с некоторой постоянной С(е) 0. Со гласно предложению 1.1 для слагаемых из суммы 1\ имеем: Учитывая, что число слагаемых в І\ меньше, чем nm, имеем: Оценим 12. Если Ап АПт,тогда Если А„ АПт+і, то получим такое же неравенство с другой константой. В силу (25) для слагаемых из 12 имеем: Учитывая, что число слагаемых в 12 не превосходит 2Csnffl40+5, а также, что Сз можно взять сколь угодно малой, получаем: Далее, для слагаемых из /з» с использованием предложения 1.1, получим: Пусть Тр — степень оператора Лапласа, введеная в предыдущем параграфе, Р — самосопряженный ограниченный оператор, действующий в 2(П).Пусть { Пт}т=1 —такая подпоследовательность собственных чисел оператора Тр, что выполняется 25. Пусть Г — замкнутый регулярный контур, охватывающий только собственные числа Аі,Л2,...,ЛПт и ОТСТОЯЩИЙ от них на расстоянии не менее, чем — -. Выбор такого контура возможен в силу (25). Например, в качестве такого контура можно взять отрезок и полуокружность Обозначим ядра резольвент операторов Тр и Тр+Р через Кт0(х, у, А) и і 7 +я( ,У, А), соответственно. Введем следующие обозначения: причем оператор Р действует на функцию Q(z, у, А) как на функцию от z. Теорема 1.3. Пусть Тр — степень оператора Лапласа, заданного на її, Р — самосопряженный ограниченный о на расстоянии не менее, чем — -. Выбор такого контура возможен в силу (25). Например, в качестве такого контура можно взять отрезок и полуокружность Обозначим ядра резольвент операторов Тр и Тр+Р через Кт0(х, у, А) и і 7 +я( ,У, А), соответственно. Введем следующие обозначения: причем оператор Р действует на функцию Q(z, у, А) как на функцию от z. Теорема 1.3. Пусть Тр — степень оператора Лапласа, заданного на її, Р — самосопряженный ограниченный оператор. Если (0 — 1)(& + 1) 13/80, 1 q 2, тогда имеет место равенство: пп Доказательство. При Л cr(Tp)Ucr(T0+P), используя тождество Гильберта RX{T0 + Р) - RX(T0 + Р) = -RX{T0)PRX(TP + Р), получим равенство = [ЯдрМР] -1 / ИКф, уи \)РКфи у, A) dyA v(y)dy Используя полученное выражение для [R\(Tp)P]lR\(Tp)v(x) при переходе от операторов в равенстве (32) к их ядрам, получим Проинтегрируем это равенство по контуру Г. Используя разложения (21),(22), по теореме Коши о вычетах, получим По теореме об устойчивости корневой кратности внутри контура Г число собственных чисел оператора Тр + Р равно числу собственных чисел оператора Тр. Поэтому Поэтому возможен переход от контура Г к контуру ГПт в формуле (30). Используя равенство Парсеваля и теорему 1.2, оценим величину \\шк+і(х,у,Х)\\2 на прямых Гп . Имеем, что Продолжим преобразования, учитывая, что Р — ограниченный, #АР ) й\—лтгтт ([58], с.270), где d - расстояние от Л до спектра оператора Тр. Поскольку Л Є ГПт, в силу неравенства (27), имеем: Далее, используя дважды эквивалентность норм в двумерном векторном пространстве, получаем где Се, Сд - некоторые положительные константы. Используя неравенство Гельдера получаем Теорема доказана. В качестве следствий из доказанной качестве такого контура можно взять отрезок и полуокружность Обозначим ядра резольвент операторов Тр и Тр+Р через Кт0(х, у, А) и і 7 +я( ,У, А), соответственно. Введем следующие обозначения: причем оператор Р действует на функцию Q(z, у, А) как на функцию от z. Теорема 1.3. Пусть Тр — степень оператора Лапласа, заданного на її, Р — самосопряженный ограниченный оператор. Если (0 — 1)(& + 1) 13/80, 1 q 2, тогда имеет место равенство: пп Доказательство. При Л cr(Tp)Ucr(T0+P), используя тождество Гильберта RX{T0 + Р) - RX(T0 + Р) = -RX{T0)PRX(TP + Р), получим равенство = [ЯдрМР] -1 / ИКф, уи \)РКфи у, A) dyA v(y)dy Используя полученное выражение для [R\(Tp)P]lR\(Tp)v(x) при переходе от операторов в равенстве (32) к их ядрам, получим Проинтегрируем это равенство по контуру Г. Используя разложения (21),(22), по теореме Коши о вычетах, получим По теореме об устойчивости корневой кратности внутри контура Г число собственных чисел оператора Тр ператор. Если (0 — 1)(& + 1) 13/80, 1 q 2, тогда имеет место равенство: пп Доказательство. При Л cr(Tp)Ucr(T0+P), используя тождество Гильберта RX{T0 + Р) - RX(T0 + Р) = -RX{T0)PRX(TP + Р), получим равенство = [ЯдрМР] -1 / ИКф, уи \)РКфи у, A) dyA v(y)dy Используя полученное выражение для [R\(Tp)P]lR\(Tp)v(x) при переходе от операторов в равенстве (32) к их ядрам, получим Проинтегрируем это равенство по контуру Г. Используя разложения (21),(22), по теореме Коши о вычетах, получим По теореме об устойчивости корневой кратности внутри контура Г число собственных чисел оператора Тр + Р равно числу собственных чисел оператора Тр. Поэтому Поэтому возможен переход от контура Г к контуру ГПт в формуле (30). Используя равенство Парсеваля и теорему 1.2, оценим величину \\шк+і(х,у,Х)\\2 на прямых Гп . Имеем, что Продолжим преобразования, учитывая, что Р — ограниченный, #АР ) й\—лтгтт ([58], с.270), где d - расстояние от Л до спектра оператора Тр. Поскольку Л Є ГПт, в силу неравенства (27), имеем: Далее, используя дважды эквивалентность норм в двумерном векторном пространстве, получаем где Се, Сд - некоторые положительные константы. Используя неравенство Гельдера получаем Теорема доказана. В качестве следствий из доказанной качестве такого контура можно взять отрезок и полуокружность Обозначим ядра резольвент операторов Тр и Тр+Р через Кт0(х, у, А) и і 7 +я( ,У, А), соответственно. Введем следующие обозначения: причем оператор Р действует на функцию Q(z, у, А) как на функцию от z. Теорема 1.3. Пусть Тр — степень оператора Лапласа, заданного на її, Р — самосопряженный ограниченный оператор. Если (0 — 1)(& + 1) 13/80, 1 q 2, тогда имеет место равенство: пп Доказательство. При Л cr(Tp)Ucr(T0+P), используя тождество Гильберта RX{T0 + Р) - RX(T0 + Р) = -RX{T0)PRX(TP + Р), получим равенство = [ЯдрМР] -1 / ИКф, уи \)РКфи у, A) dyA v(y)dy Используя полученное выражение для [R\(Tp)P]lR\(Tp)v(x) при переходе от операторов в равенстве (32) к их ядрам, получим Проинтегрируем это равенство по контуру Г. Используя разложения (21),(22), по теореме Коши о вычетах, получим По теореме об устойчивости корневой кратности внутри контура Г число собственных чисел оператора Тр + Р равно числу собственных чисел оператора Тр. Поэтому Поэтому возможен переход от контура Г к контуру ГПт в формуле (30). Используя равенство Парсеваля и теорему 1.2, оценим величину \\шк+і(х,у,Х)\\2 на прямых Гп . Имеем, что Продолжим преобразования, учитывая, что Р — ограниченный, #АР ) й\—лтгтт ([58], с.270), где d - расстояние от Л до спектра оператора Тр. Поскольку Л Є ГПт, в силу неравенства (27), имеем: Далее, используя дважды эквивалентность норм в двумерном векторном пространстве, получаем где Се, Сд - некоторые положительные константы. теоремы, получаем следующие утверждения. Следствие 1.1. ПустьЄТі3+р{х,у,Х) - Е (2:) (2/), 9 (#,?/, A) E Vk(x)vk(y) — спектральные функции операторов Тр+Р, Тр со-А Л ответственно. Если (3 \Щ, I q 2 и то имеет место соотношение: Предложение 1.5. Если @ іЩ, Р -оператор умножения на вещественную функцию р Є оо(П), то Доказательство. Воспользуемся неравенством, установленным в работе [б] : Обозначим через Цк собственные числа оператора Тр+Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности, к"= 1,2,..., со; щ — соответствующие ортонормированные собственные функции этого оператора. Наша задача — по спектру возмущенного оператора а(Тр + Р) = U А1 восстановить потенциал р{х, у). Во втором параграфе доказана локальная теорема о существовании решения данной обратной задачи спектрального анализа. Для решения поставленной задачи была использована интерполяционная-теорема Л. Карлесона: Теорема 2.1 (Л. Карлесона). [5, с.285] Пусть {ZJ} — последовательность точек правой полуплоскости. Тогда следующие два условия равносильны: (а) Последовательность является интерполяционной: каждая интерполяционная задача f(zj) = aj, J = 1,2, —, о,- Є loo, разрешима в пространстве аналитических, ограниченных в совокупности в правой полуплоскости функций. (b) При некотором г О п Zk - Zj Zk + Zj г, для любого к = 1, Постоянная г и константа интерполяции М = sup inffll/Цоо : f(zj) = aj} j IMloo связаны неравенствами - Af -(l-lnr) r r = 1,2, с абсолютной постоянной с. 2.2 Оценка ядерной нормы резольвенты оператора Тр Предложение 2.1. Пусть {An}Li — собственные числа оператора Тр. Если \к — п\ Сіу/п, где С\ О, тогда А - Ап const max{ -1/2,n "1/2}, const О Доказательство. Пусть к- = п — [Gjn1/2], где [а] — целая часть числа а. Тогда А _ = С,{к-У + С2(к.) 2 + o{ki-112) = = Схп (1 - [С4п1/2] п-1)0 + С2п -1 2 (1 - [С4п1 2] n-l)P 1/2 + о(п 2) = = Cm - рСгСУ-1 2 + o{n0-V2)+ +C2n0-V2 -{(3- l/2)C2CAn -1 + 0(7/-1) + оіп0-1 2) = = Сщ0 + C2n0-1 2 - (ЗС&п0-1 2 -((3- l/2)C2CAn 1 + oin0-1 2). Отсюда следует, что существует const 0 такая, что Ап — A _ const-п 112. Но тогда и при всех к к- будет выполняться требуемое равенство. В случае к п + САп112 найдется константа С О такая, что п к — С к1 2. Используя асимптотическую казано. Предложение 2.2 (Оценка ядерной нормы оператора R\(Tp)). Пусть {Ajk}JtLi — собственные числа оператораТр, О S 1; (1 — 8)((3 — 1/2) 1, тогда на вертикальных прямых выполняется неравенство Доказательство. Разбиваем рассматриваемый ряд на три слагаемых: где пі = / — С4&/ , П2 — h + С4&/ , С4 0 и произвольно мало. {Аг/} -! — такая подпоследовательность натуральных чисел, что выполняется (36). Оценим 1\. Для оценки воспользуемся неравенством справедливым для любых а 0, 6 0и0 5 1с некоторой постоянной С 0. Если А Є Г ,, тогда предложению 2.1 для слагаемых из суммы 1\ имеем: А - Ajtl"1 const k l-6){0-1/2){\p\ + Сък0Г1 2У\ canst 0. Учитывая, что число слагаемых в 1\ меньше, чем ki, имеем: Аналогичные неравенства получаются, если А А /+і, а также если Afc = Xkt или Afc = Xki+i- В силу (36) для слагаемых из її имеем: Учитывая, что число слагаемых в І2 не превосходит 2C4kj/2, а также, что С\ — произвольно мало, получаем: Слагаемые из суммы 7з оцениваются аналогично 1\ по предложению 2.1: Отсюда, с учетом соотношения (1 — 5){f3 — 1/2) 1, для суммы із получаем: Предложение доказано. 52 » Пусть { k,)T=i интерполяционная последовательность в смысле Л. Карлесона спектра (т(Тр) оператора Тр в правой полуплоскости Re\ О, то есть существует такое число г = т({Хк,}) 0, что Тогда по теореме Л. Карлесона существуют такие аналитические, ограниченные в совокупности в правой полуплоскости функции, что где Sjs - символ Кронекера. Положим tpk, (A) = J fks (z) dz. о Введем полную ортонормированную систему функций в 1 2(Щ): Фтп,п(Х У) = Ктп,п cos ( J COS ( —г— J , m, n = О, оо (42) где /fm,n = -=, К0 п = Кт,о = -т== при т 0, п 0, К0у0 = - =. Если pm n — коэффициенты Фурье функции р(х,у) относительно ipm)n, то с учетом условий (37) и (38) отличны от нуля будут только те, для которых т 0ип 0. В этом случае будем нумеровать эти функции одним индексом к в соответствии с числами 7г т п п \ —2—Ь Р2 I ЯВЛЯЮІДИМИСЯ в этом случае собственными числами оператора Тр, занумерованными в порядке возра стания их величин: . Пусть - — иррациональное число, степень оператора Лапласа Р 3/2, {Ajt,} і — интерполяционная последовательность, тогда существует є 0, зависящее отт = r({Ajt,}) О, такое, что если для произвольной последовательности {а} выполняется неравенство Тогда в замкнутом шаре U(Q,e) С оо(П) , существует один и только один потенциал р(х, у), удовлетворяющий условиям (37), (38), JJp(x, у)фк(х, у) dxdy = 0 при к ф к3, к = 1,2,..., со п4 и такой, что собственные числа jij оператора Тр + Р удовлетворяют соотношениям /, kq 4 k.(Vj) - 4 к,( ч) = & 5 = 1,2,..., со, кія-і ks klq. Пусть оператор Тд — тот же, что и ранее: степень оператора Лапласа, заданного на прямоугольнике П граничными ограниченную функцию р(х, у) с областью определения П. Допустим, что функция р(х, у) удовлетворяет еще двум ограничениям: для почти всех (х, у) Є П и Обозначим через / — собственные числа оператора Тр + Р, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, к = 1,оо. Обратную задачу о восстановлении потенциала будем решать с использованием леммы о числовых рядах, доказанной в статье [65]: Лемма 2.1. Пусть {к}Т=1 — последовательность положитель них чисел для которой 2 -г- оо. Тогда существует последова телъность чисел {bn}%Li, Ьп — -foo при п — со, такая, что Использование этой леммы позволяет существенно усилить результат, полученный в предыдущем параграфе и решить обратную задачу для степени оператора /? 1. Для доказательства теоремы нам понадобится лемма, доказанная в статье [26]: Лемма 2.2. Если некоторая последовательность {Vm,n}mn=i мо жет быть представлена в виде где Под единственностью представления понимаем здесь то, что Последовательности {огт}т=И {rn}n =l и {7т,п}т)П=1 ОПрЄДЄЛЯЮТСЯ однозначно и каждый член последовательности {rjm,n}m,Ti=i может быть представлен в виде суммы соответствующих членов последовательностей {am}m=H іТп}п=1 и {7m,n}m,n=l Введем целые, ограниченные по модулю (но не в совокупности) в правой полуплоскости ReX 0 функции fk{X), такие, что где Sjk - символ Кронекера, j, к = 1,2,..., со. В качестве функций Л (А) можно взять, например, такие: где числа Ck Ф О выбраны из условия /t(Ajt) = 1( = 1,2,...,со). Положим При (3 1 ряд 5Z т сходится, поэтому по лемме 2.1 суще-fc=iAfc ствует последовательность положительных чисел {bn} Li такая, что = Пусть є 0 — некоторое фиксированное число. Выберем из последовательности {бп} такую подпоследовательность {&п,}/ і чтобы сходился ряд причем сумма ряда должна быть достаточно мала по сравнению с є (через qi обозначено число собственных чисел Ajt оператора TJj, меньших чем bn„ qo — 0). Такое число S и подпоследовательность {ЬП1}\ можно выбрать в силу (55). Теорема 2.3. Пусть (3 1, а2/Ь2 — иррациональное число, {&} — последовательность вида (54), для которой выполняется неравенство Тогда в шаре существует один и только один потенциал р, удовлетворяющий условиям(52),(53) такой, что собственные числа fij оператора Т/з 4- Р удовлетворяют соотношениям Доказательство. Как уже отмечено выше, при /? 1 по лемме 2.1 существует условиями Дирихле. Сохраним все ранее принятые обозначения. Пусть Р — оператор умножения на вещественную, измеримую по Лебегу, существенно ограниченную функцию р(х, у) с областью определения П. Допустим, что функция р(х, у) удовлетворяет еще двум ограничениям: для почти всех (х, у) Є П и Обозначим через / — собственные числа оператора Тр + Р, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, к = 1,оо. Обратную задачу о восстановлении потенциала будем решать с использованием леммы о числовых рядах, доказанной в статье [65]: Лемма 2.1. Пусть {к}Т=1 — последовательность положитель них чисел для которой 2 -г- оо. Тогда существует последова телъность чисел {bn}%Li, Ьп — -foo при п — со, такая, что Использование этой леммы позволяет существенно усилить результат, полученный в предыдущем параграфе и решить обратную задачу для степени оператора /? 1. Для доказательства теоремы нам понадобится лемма, доказанная в статье [26]: Лемма 2.2. Если некоторая последовательность {Vm,n}mn=i мо жет быть представлена в виде где Под единственностью представления понимаем здесь то, что Последовательности {огт}т=И {rn}n =l и {7т,п}т)П=1 ОПрЄДЄЛЯЮТСЯ однозначно и каждый член последовательности {rjm,n}m,Ti=i может быть представлен в виде суммы соответствующих членов последовательностей {am}m=H іТп}п=1 и {7m,n}m,n=l Введем целые, ограниченные по модулю (но не в совокупности) в правой полуплоскости ReX 0 функции fk{X), такие, что где Sjk - символ Кронекера, j, к = 1,2,..., со. В качестве функций Л (А) можно взять, например, такие: где числа Ck Ф О выбраны из условия /t(Ajt) = 1( = 1,2,...,со). Положим При (3 1 ряд 5Z т сходится, поэтому по лемме 2.1 суще-fc=iAfc ствует последовательность положительных чисел {bn} Li такая, что = Пусть є 0 — некоторое фиксированное число. Выберем из последовательности {бп} такую подпоследовательность {&п,}/ і чтобы сходился ряд причем сумма ряда должна быть достаточно мала по сравнению с є (через qi обозначено число собственных чисел Ajt оператора TJj, меньших чем bn„ qo — 0). Такое число S и подпоследовательность {ЬП1}\ можно выбрать в силу (55). Теорема 2.3. Пусть (3 1, а2/Ь2 — иррациональное число, {&} — последовательность вида (54), для которой выполняется неравенство Тогда в шаре существует один и только один потенциал р, удовлетворяющий условиям(52),(53) такой, что собственные числа fij оператора Т/з 4- Р удовлетворяют соотношениям Доказательство. Как уже отмечено выше, при /? 1 по лемме 2.1 существует последовательность положительных чиселСвойства собственных чисел степени оператора Лапласа
Оценка разности спектральных функций
Оценка ядерной нормы резольвенты оператора Тр
Восстановление потенциала в обратной задаче спектрального анализа для возмущенной степени оператора Лапласа в пространстве R2
Похожие диссертации на Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных
