Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Весовые пространства дифференцируемых функций 18
1.1. Теоремы вложения для весовых пространств 18
1.2. О граничных значениях и о "зануленных" классах
1.3. Пространства
Глава II. Теоремы существования и единственности 41
2.1. Модельная задача 41
2.2. Аналог первой краевой задачи с однородными граничными данными 47
2.3. Вопросы существования и единственности обобщенного решения общей первой краевой задачи для вырождающегося уравнения 53
Глава III. Регулярность решения вырождающегося эллиптического уравнения 63
3.1. Теорема о локальной гладкости , 63
3.2. Дифференциальные свойства обобщенного решения первой краевой задачи для вырождающегося уравнения с однородными граничными условиями 65
3.3. Теорема о гладкости в случае неоднородных краевых условий
Список литературы 88
- О граничных значениях и о "зануленных" классах
- Аналог первой краевой задачи с однородными граничными данными
- Вопросы существования и единственности обобщенного решения общей первой краевой задачи для вырождающегося уравнения
- Дифференциальные свойства обобщенного решения первой краевой задачи для вырождающегося уравнения с однородными граничными условиями
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена некоторым вопросам теории весовых пространств дифференцируемых функций многих переменных и приложениям этой теории к исследованию первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения. При этом основное внимание уделено указанным приложениям: исследуются вопросы существования и единственности обобщенного решения, вопросы связанные с дифференциальными свойствами этого решения. Попутно получены некоторые результаты дополняющие известные факты теорий весовых пространств; в частности, рассмотрены пространства \\Гр ' » которые при р =2 характеризуют класс решений в зависимости от гладкости граничных данных.
Краевые задачи для вырождающихся уравнений, интерес к которым вызван их большим прикладным значением, рассматривались многими авторами. Один из плодотворных подходов к исследованию такого рода задач основан на использовании теории весовых пространств. Первые систематические исследования по теории весовых пространств и приложениям этой теории к вырождающимся уравнениям проведены в монографий Л.Д.Кудрявцева /16/. Там, в частности, было исследовано эллиптическое уравнение 2-го порядка со слабым вырождением. Дальнейшее развитие теория весовых пространств получила в работах С.В.Успенского, П.И.Лизоркина, Г.Н. Яковлева, Я.С.Бугрова, О.В.Бесо-ва, Я.Кадлеца А.Куфнера, В.Р.Портнова и др. (см.библиографию по этому вопросу в книге /I/ и обзоре /15/ ).
4.
Существенный вклад в теорию весовых пространств внесла монография С.М.Никольского /І/, в которой на основании единого метода, разработанного автором (т.н.метода "регулярных мостов"), получены основные факты теории весовых пространств в ограниченных областях.
Приложениям теории весовых пространств к вырождающимся уравнениям посвящены работы А.А.Вашарина, П.Й.Лизоркина, Б^В.Мирошина, И.Г.Матвеевой, М.О.Отелбаева, Ю.В.Рыбалова.
Большое значение в развитии методов исследования вырождающихся уравнений на базе весовых пространств имела работа С.М.Никольского /II/. В этой работе были проведены исследования (начатые в заметке /12/) первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка. Была доказана теорема существования обобщенного решения, изучены дифференциальные свойства этого решения (в случае уравнения 2-го порядка). В последующих совместных работах П.И.Лизорішна и С.М.Никольского /13/, /14/ эти исследования были продолжены; в частности, была разработана методика позволяющая изучить коэрцитивные свойства решений вырождающихся эллиптических уравнений порядка 2НІ (при YY\> 1).
В настоящей диссертации часть посвященная приложениям к вырождающимся уравнениям представляет собой обобщение и дополнение результатов работ /II/ - /14/.
Диссертация состоит из трех глав.
В главе I содержатся сведения о весовых пространствах дифференцируемых функций, определенных в ограниченной области^ И - мерного евклидова пространства щ, . Границу Г7
5.
области Sac: считаем достаточно гладкой. Расстояние точки xeQ до Т7 обозначается символом <$(?) , Через (С будем обозначать поле комплексных чисел. Пусть ITI - неотрицательное целое число, ОС - действительное. Функция 1Л(х) по определению
принадлежит классу "W"^* (Q)» если 1А(ЭС) в|_2.(^) » У
нее существуют обобщенные (по Соболеву) производные порядка УИ , и конечна норма
1= Си/і2г../ии) j Ц\ = Ц+іг+...+ іи j '
В диссертации существенно используются следующие известные утверждения
Утверждение I. Если
\ А
-~ <.сс < m-j (і)
a S0- наименьшее натуральное число такое, что
- \ о(-Уи + 0< (2)
то на функциях из w 2 о( (ffi) определен оператор "следа"
действующий линейно и непрерывно из
Доказательство этого факта и определения классов Бесова. В 2. , а также описание других свойств классов \л[2 ^ (Q)
6.
можно найти в монографии С.М.Никольского /I/. Отметим, что если ^удовлетворяет условию (I), можно рассматривать класс \[л &) ~ подпространство функций из \ЛІ ^ (Q) , имеющих на V нулевые следы до порядка ^о"^ включительно.
Утверждение 2 С см./12/). Пусть оС и в0 определены в (I) и (2), кроме того
«+\ Ф *,,...,>" (3)
а 0 >vv\ (4)
Тогда существуют
Ил
Уие^лСЗД веРН0
\С^5ы loW^* «dJL i(fc^bVxix (5)
Далее, пусть L - целое число, & - действительное. Введем в рассмотрение классы \[2 о, (^2) .По определению
IAGV2. ft С) пи *- ^0 » если Для нее конечна норма
4,>^ J HUE Я
Если U0,to уг%(Ф) = [г;>с^ґ;
т.е. пространство у 2. f» (Q) определяется в этом случае как пространство, сопряженное к \І2 -6 С^О Основные свойства и структура этих классов (в более общей ситуации) изучены в /14/.
Скажем, что Of {ОС) является в ограниченной области Ьс весовой функцией "дастанционного" типа, если
7.
1. Q (pi) определена измерима и положительна всю
ду в 2. .
2, v компакта г С S? существуют положительные кон
станты ACF) я Ь(F) такие что
ACF) * $(.«>* В №) VoceT (6)
3. Существуют положительные числа и и С и функция $ (^) , зависящая только от расстояния до границы, такие что в приграничном слое "толщины" о :
выполнены неравенства
С (^4g(ocKd$(<^ VxePS (7)
При этом естественно назвать ( веса <^(рО Совокупность весовых функций "дистанционного" типа обозначим через Если #(рО 6! G » то совокупность функций из Lip(2) Ср> I) обладающих обобщенншли (по Соболеву) производными порядка с. с конечной нормой [Hull обозначим символом ~\д/"р (g С?) В диссертации получен следующий результат. Теорема I. Пусть в области Ьс* с границей I & *-рассматриваются классы \Jry (й }Qd) и Wp (hjbt?) , где 8. П(х) и к (ОС)- весовые функции "дистанционного" типа; IА\л- натуральные числа такие, что i^W. Если существует система функций "дистанционного" типа такая что 3. Эквиваленты <р< 3...,w-+-i соответственно функций Ч,\ ) ) Чул-л-\ Б приграничном слое Г связаны х i. S і *% U $І№СІІР [ J Ь\« C^ Jsl<^i ^-І,»^-ї (9) (здесь p+"S, - 1 ) Тогда имеет место непрерывное вложение получен . такне следующий Для классов результат о граничных значениях. Теорема 2. Пусть VW и ?> с - натуральные числа ма "дистанционных" весов такая что $М)"->$И1-0+< 2. аГ^ЬрЧ) 9. 4. Эквиваленты Si^«--j^m-s+1 соответственно функций Qa ... Яки-с -н в пРЙГРаничном слое ' S связаны между собой соотношением х I/ S ; L# 0<х<8 0 х То на функциях класса определен линейный оператор "следа" Ил действующий непрерывно из п в: P(D Для описания решений первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения нами введено следующее пространство. Определение I. Пусть -- торые целые неотрицательные числа; t = и^сос (*г}(Ґ) yU= імллс (0,^- (Ґ) .Функция 1Л(ос)6"\у/"?,(ГСЙ) если Ф (х^ Є V^+yu С^) » такие что Норму в зададим следующим образом tt'cer '** ІНг^в»+ ll*»vP%> Ы (із) 10. где ітіімииі берется по всем представлениям функции Ц (х^) вида (II). В дальнейшем параметры оС и S0 удовлетворяющие (I) - 14) будем для кратности называть регулярными. Нами доказана следующая теорема. Теорема 3. Если параметры оС и в0 - регулярные, то в пространстве \J*p (Q.) норма (12) эквивалентна норме {Т. U?*V>lD4ic»l)polx + +ві%«ігі;гй-"-'Г Используя теорию весовых пространств функций и, в частности, упомянутые выше результаты при Р =2, в главах П и Ш изучается первая краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения. В главе П изучаются вопросы существования и единственности обобщенного решения следующей краевой задачи. Рассмотрим интегродифференциальную форму (ІЗ) в предположении, что: I. Коэффициенты G и (ос) измеримы в Q и la^WUMi^ (ос) з xeQ;ILl;l]l $Yv\ (14) п. Доказывается, что если <* удовлетворяет условию (I), то форма (13) коэффищюнты которой подчинены неравенствам (14), определена и непрерывна.в', W^ ot(Q^ эт«е- Задача L)0 . Пусть о( и >0- регулярные параметры. О Jr^\ В классе \д] () ищется функция ІД. (ос}, удовлетворяющая соотношению О ууі ai^A^)^ <{)&> VffsVI^Ca) (i5) ИЛ ,Л4^ # где 4- принадлежит пространству сопряженному к v\| _ Л (^ . Символом <^- j* > обозначается отношение двойственности. Замечание. При регулярных о< и S0 классы W2 <* (2) и V г <* (.S2) совпадают с точностью до эквивалентности норм (см. /23/), поэтому в (15) можно считать |є"\Гг_о< (^) Кроме того, в силу плотности Со С^) в WeotO^) можно требовать выполнения (15) на функциях tf (ос^ CT(Q\ Задача и0 связана со следующей краевой задачей Ам сю sZ Hf tf(aцwbW^=I (0=5, **9 , -^-.0 jk=o,v..,V.. (I7) Именно, если Ц1гЧ^^ и Q^-ed^CQ) , 12. yv\ а решение ищется среди функций , облада- ющих производными до порядка 2 W\ из , то за- дача lj п совпадает с краевой задачей (16), С17). Если же (Х[-Шd"* (&) ^или т ^ *-*2. 0=2) , то тогда говорят о краевом задаче, понимая уравнение (16) в смысле соотношения (15). При этом оператор А понимается в обобщенном смысле как оператор, удовлетворяющий равенству Решение задачи D0 называется обобщенным решением задачи (16), (17). В диссертации получено следующее утверндение относительно решения задачи "D0 . Теорема 4. Пусть параметры о< и *d0 - регулярные и форма (XCU ЛЯ » коэффициенты которой подчинены оценкам (14), удовлетворяет условию: существует постоянная 9Є>0 такая, что для любого набора комплексных чисел ^>*L (|1і=1т0 и для каждого ОС Є ^ выполнено неравенство НеІСІ ЦЮ *Ji Ї Эе СХ) Ц I Ъ]\2 С19) Кроме того имеет место условие (20) где С^ - константы из неравенств (5), И ц - константы из условий (14), тогда оператор А определяемый соотношением ІЗ. (18) является алгебраическим и топологическим изоморфизмом Далее рассматривается неоднородная краевая задача. Параметры о( и S о считаются регулярными. і г W Задача Jj . В классе W 2 о( (^) найти функцию 1Л (ос} которая при заданном i^Vo^C^S} и заданных граничных функциях (J к ;k=0r..,So-4 удовлетворяет соотношению и краевым условиям ^vc\r=^W iVcs0j...,^o^ (21) При рассмотрении этой задачи на коэффициенты формы приходится налагать более жесткие требования: * Mij? COO U ІІЛї*. JiKW, (22) t . u 8:+<*-w+Ul \(X^C*M ^ Mtj*l№ ', \i\^6-\ >\\\$^ (23) где ?>l^~2l (lU^^cTw ) V» L ^ -вещественные поло- жительные константы. Аналогично случаю однородных краевых условий задачу D можно интерпретировать как первую краевую задачу для уравнения А 1д — т краевыми условиями (21), где А -оператор задаваемый соотношением 14. «(ia,v) = (ІЛ.24) Произведем в правой части (ІЛ.24) обратную замену переменных. При этом где (Я oL - некоторые непрерывные ограниченные функции Отсюда (учитываем (І.ІЛ9) ) 4 2- luUt*M (Ї.І.25) 27. Обозначим через СОj - образ параллелепипеда К^ X ( /г3Ь) при замене координат. Из іI.1,24) и (І.І.25) имеем Первое слагаемое в правой части (I.I.26) оценивается согласно теории "невесовых" классов Соболева и с учетом свойства. (1.1.8) весовых функций: Из U.I.26) и і 1.1.27) имеем l>i=l« p. Оценим теперь каждое слагаемое под знаком суммы в правой части (I.I.28). Для этого воспроизведем все рассуждения данного доказательства начиная с неравенства (I.I.20), заменив С на +4 соответственно, *=м (^) на ^2.(^) . Воспроизведя эти рас-суїздения lM-t раз с заменой индекса на последующий, мы в итоге приведем к неравенству Р^ *Г Чї Wy^J (1.1.29) Ij4=^ p. 28. r*s Далее учитывая, что в І: функция Sw\-e+4 (?) эквивалентна Qyv\-e+-( (?^ и расширяя область интегрирования в каздом интеграле под знаком суммы, мы вправе написать оценку ft. г ^ J (I.I.30) Из (1,1.16), (I.I.17) и (I.I.30) следует (I.I.15). Теорема доказана. Теперь рассматривая различные п- системы мы можем получать различные вложения весовых классов. Так, положив в теореме 1,1,3 п(?О = 60» а в качестве М-системы взяв систему (1,1,12) при К=Ил-^+4 , мы получим вложение из теоремы I.I.I (теоремы Успенского). 1.2. 0 граничных значениях и о "зануленных" классах В этом разделе речь пойдет о граничных значениях функций из весовых пространств. При этом под граничными значениями і следами) мы понимаем предельные значения і в смысле сходимости в р-среднем, а также в смысле сходимости почти по всем нормалям) нормальных производных. О граничных значениях функций из степенных весовых классов известны следующие утверждения, принадлежащие А.А.Вашари-ну / 21 /, П.И.Лизоркину /20; /, С.В.Успенскому / 22i /. Теорема 1.2.I. Пусть a So - наименьшее натуральное число удовлетворяющее неравен 29. Тогда, если - ограниченная область из JfC с грани гр - лі —~ (<\i\ С^\ Ъ^\ \ \ - г Wl При этом Т является непрерывным оператором ИЗ Wp,ollbtf) в П Ьр СП) Символом обозначается пространство Бесова ^см.кни- гу/1/). Теорема 1.2.2. Если оС удовлетворяет условию -~><о(У\л-ъ а >0 определено требованиями - р YV\— Л - К- Vp и на Г задан набор функций (ук(рс')Вр (Г) j К=Ог-.^0Н, ' У Г , то существует функция $ Wp,ot () такая что ^^/Эи* |г = 1$к 3 к " 0r..,So-^i и верна оценка ФІІ^^<<2ІИк1ІРь^гГ,/р Теперь приступим к исследованию вопроса о существовании граничных значений у функций из весовых классов с весами "дистанционного" типа. Вначале определение. Определение I.2.I. М- систему (.1.1.10) назовем Т, М - системой, если её первая по счету функция подчинена требованию З"; & U р' (ffl) зо. Теорема 1.2.3й. Пусть Ы и S0- натуральные числа І^^Иі и пусть в области 2dS рассматривается класс Wp (KQ)' где W(pc^G . Если существует Т,М - система длины M-S0-H функций такая, что а |^-0+н С^ — п(?0 , то на функциях пространства yjp (1^) определен линейный оператор "следа" Т действующий непрерывно из Доказательство. Согласно теореме I.I.3 имеет место непрерывное .вложение WflKQ^Vp'^pi а.2Л) Далее, поскольку а^ gUp'C^) » то набор dL^ Q ^ образует М - систему длины Z , и вновь используя теорему I.I.3 получим непрерывное вложение \^в(84,«)а\\Грв~Ч^ (1.2.2; Из (I.2.I) и (1.2.2) следует что всякая функция класса Wp Us^) принадлежит "невесовому" пространству Соболева \дГр (Q) и^как следует из теории этих пространств, обладает граничными значениями до порядка Sc- причем, с учетом (I.2.I) и {1.2.2), верны оценки h^ptrr« ii-K«wv4ffiv« іиліі-^ЧаіР)« (1.2.3) < ЗІ. Остается, очевидно, показать что 3 ^h^^lr"" ^о"^^ Р С этой целью обратимся к покрытию (I.I.I) области Q . Пусть Ij - образ "криволинейного прямоугольника" Pj при замене координат J =Л;Х . Обозначим U*(l>) = /U*(Aj<x)=' U(x) Так как с^ jy и якобиан перехода ограничен, то с J ОчЪо лі « Ці W 1^(^ (1.2.4) Из вложения (I.2.I) следует, что Т.к. Pj=KjX(0jS) , где К j - "основание" куба Pj , то из (1.2.4) и (1.2.5) следует л U QSc At Р Далее V ShS2 ' 0<$г< ил<0 имеем . і 'з ^ 1 iM= 8, э sfc*-« I %*= 8г I ~ І і j BIS здесь С ^ ^s, 32. Из (1.2.6) и (1.2.7) следует по Тїіи* _ * и, следовательно Покажем, что (0с,о—t 1_р(Г) Теперь, когда доказано существование следов, мы можем написать Отсюда ^ О * Домножая- обе части этого неравенства на Ъ^ ty) и интегрируя затем по переменной Ц в интервале (0;Ь ) получим о о Далее, поскольку 9Hup(S^ и $ 1 ^ L*p'(5^) » т S-j^UpiOjJ) и S^GLp'CO;^) » а» стало быть, выполнены условия " / х / х/, 04X4 0 X О 33. x l/P ^ , V Из условия (1.2.9), согласно теореме I.I.2, следует неравен А из (1.2.9 ) следует, система - есть п - система длины 2, . Поэтому по теореме I.I.3 имеем непрерывное вложение Wp8,(^,Q)aVp (^) ) Из (1.2.Ij и (1.2.II) следует что Us Обращаясь теперь к покрытию (I.I.I) и делая в каждом заме-ну координат получим (с учетом ограниченности якобиана перехо- ^ (1.2.ІЗ) о. Перепишем теперь неравенство (1.2,8) оценив второе слагаемое в правой его части по (1.2.10). Полученное неравенство разделим на d г V і (И d ty > 0 и проинтегрируем по переменной ^' в кубе кг . В итоге получим 34. Первое слагаемое в правой части 11.2.14) оценим с учетом (1.2.12) и (1.2.13), а второе - с учетом ^1.2.4) и v1.2.5): KJ - Далее, поскольку Sl4be-ilPdr^I.\l(jvJdr «L \\чХ-М- то отсюда и из 11.2.15) следует Теорема 1.2.3 доказана полностью. На этом мы прервем изучение весовых классов с весами "дистанционного" типа. Ниже приведем некоторые факты относящиеся к "зануленным" степенным весовым пространствам. Если действительное число оС таково, что --p< a S0 - наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенствам -1 то согласно теореме 1.2.І у функций класса существуют граничные значения нормальных производных до порядка 90-Ч включительно. Совокупность функций из \\[р,с (S2.N у которых эти значения равны 0 обозначим символом \[~ <* () Теорема 1.2.5 vcm./іЗ /). Пусть ОС к >0 удовлетворяют условиям (1.2.16) и ^1.2.17). Кроме того выполнено 0^4^ фіг..}т (I.2.I8) к$ь>-УК CI.2.I9) 35. Тогда существует набор C"L>0 СҐЦ^Ил) таких, что VlA. VJp ocCQ") справеливы оценки S DwftLp(Q^L|_ Ц C)W«LpCQ) (1.2.20) Б дальнейшем параметры оС и 0 удовлетворяющие условиям (1.2.16) - (1.2.19) будем называть регулярными. Замечание 1.2Л. Из теоремы 1.2.5 следует, что при регулярных параметрах оС и S 0 за норму функции tc (э) из класса *\дГр и. С ) можно брать выражение 121 \<ь\\\[ ^ Определение 1.2.2. Пусть L - целое число, ) - действительное. Если с.^0 , то класс V^ &(S^ определяется как совокупность функций обладающих обобщенныииСпо Соболеву) производными до порядка Ц включительно с конечной нормой ІІ14Є г . Ясли же с. ^ 0 , го по определению, пространство V<2 g, () есть сопряженное пространство к \| ^ _ Р> (.^^ 36. Основные свойства и структура этих классов были изучены в работах / 13 / и / 14 /.Мы отметим следующие утверждения. Теорема 1.2,6 (см. / 14 /) Цусть -L - целое положительное число, & - действительное. Тогда всякий элемент представляется (не единственным образом) в виде {=5>Л>*|* где L/'^eUtfi) CI.2.2I) где Wi^iwuAVw берется по всем представлениям элемента L вида (1.2.21). Этот Wi|lvwmW\ достигается. Теорема 1.2,7 (см. / 23 /) S2 - область с липшицевой границей. Если оС 4-Ар ^Чэ...,Vm j Ю-^> ^-|<р<оо , ю 1.3. Пространства Wp и WJ р Определение I.3.I. Пусть —р<о<< ИД~-р^ ^Хі^ ~ некоторые целые неотрицательные числа; t= Уи(хл< ('У,С), № = імв^(о Y-(T) функция CL-(oOg Wp' (Q) » если существуют функция W(oc)W^^(Q) и функция ^(oc)e4^}^jA&), такие что ^((ґ U= СО+Ф (I.3.D Норму в зададим следующим образом: lu|fy&) ~~Ч {l w fe 6+ «* «УД, Ы где 1лл|1циА1м берется по всем представлениям функции 1а(Х) вида (I.3.I). Определение 1.3.2. Пусть параметры оС и $>0- регулярные, а Л^С - некоторые целевые неотрицательные числа. Положим 37. Норму в зададим выражением Теорема I.3.I, Если параметры о( и S0 - регулярные, то класс V\lp С) совпадает с классом VJp (^2) с точностью до эквивалентности норм Доказательство. Вначале докажем вложение Ур^У^ (1.3.2) Пусть 1Л Є "W"p С^) Согласно определению 1.3.1, суще- ствует функция 4 Wp|0t.+yA (^) и функция (/Ое Wp/*»^^) такие что ^=00+^ . Ясно, что ^4l , -"УФ | "сЖМг "'ВИ* »Г k::0i-)Vl (1.3.3) Согласно теореме I.2.I верны оценки Далее, из теоремы I.I.I, следует вложение Поэтому, с учетом сказанного, при любых і таких, что 111^^+^ имеют место оценки: 38. я. (1.3,6) Из (1.3.4) и (1.3.6) имеем Поскольку (1.3.7) верно для любых вышеуказанных 60 и ф , то верно (1.3.2). Докажем теперь обратное вложение Р*,г(й>сіЙ?,в(еЛ а.з.8) Пусть 'иєУІо' (Q). Из определения 1.3.2 следует, что По теореме 1.2.2, существует функция Ф VJР,<*уд () такая что (следует учесть равенство *fc.-jw = G* ) ^ I ^ I * П * 4 ^ I <5ЙЧг'даГ ^'-'V' >3h* 1,.= 0, К-Ч-Лг.3.9) (где К0 - наименьшее натуральное число удовлетворяющее неравенствам -— ^oC-Hft-G4 К0<-( - ^ ) и верна оценка 39. —' й\( Р -2_1^1Г1|^-Г^ 4^11^ (I.3.I0) Из вложения (1.3.5) следует, что фе\\Г^«*.^ (Q) откуда СО - 1А-ф в\Гр(ойХ (Q)' кРме того» в СИЛУ Таким образом 1Л - СО +<Р где СО . Wp,ot+^ (2) а Ф* Є V) р d+yu (^) ПРИ эгом Учитывая замечание I.2.I из раздела 1.2 имеем: Р О v У Ы = 1^+^ - 2_ S (S « I bV^ - Du<3? с*> О сіх « I'll =(*!+ 2 + 21 \ <л+ V) і du<# (*) і )pa x « «^VW^CV^ 40. (учитываем вложение (1.3.5) Из (1.3.10) следует (I ностью. и неравенство (1.3,10) (І.З.ІІ) 3.8). Теорема 1.3,1 доказа пол- 41. Настоящая диссертация посвящена некоторым вопросам теории весовых пространств дифференцируемых функций многих переменных и приложениям этой теории к исследованию первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения. При этом основное внимание уделено указанным приложениям: исследуются вопросы существования и единственности обобщенного решения, вопросы связанные с дифференциальными свойствами этого решения. Попутно получены некоторые результаты дополняющие известные факты теорий весовых пространств; в частности, рассмотрены пространства \\Гр » которые при р =2 характеризуют класс решений в зависимости от гладкости граничных данных. Краевые задачи для вырождающихся уравнений, интерес к которым вызван их большим прикладным значением, рассматривались многими авторами. Один из плодотворных подходов к исследованию такого рода задач основан на использовании теории весовых пространств. Первые систематические исследования по теории весовых пространств и приложениям этой теории к вырождающимся уравнениям проведены в монографий Л.Д.Кудрявцева /16/. Там, в частности, было исследовано эллиптическое уравнение 2-го порядка со слабым вырождением. Дальнейшее развитие теория весовых пространств получила в работах С.В.Успенского, П.И.Лизоркина, Г.Н. Яковлева, Я.С.Бугрова, О.В.Бесо-ва, Я.Кадлеца А.Куфнера, В.Р.Портнова и др. (см.библиографию по этому вопросу в книге /I/ и обзоре /15/ ). Существенный вклад в теорию весовых пространств внесла монография С.М.Никольского /І/, в которой на основании единого метода, разработанного автором (т.н.метода "регулярных мостов"), получены основные факты теории весовых пространств в ограниченных областях. Приложениям теории весовых пространств к вырождающимся уравнениям посвящены работы А.А.Вашарина, П.Й.Лизоркина, Б В.Мирошина, И.Г.Матвеевой, М.О.Отелбаева, Ю.В.Рыбалова. Большое значение в развитии методов исследования вырождающихся уравнений на базе весовых пространств имела работа С.М.Никольского /II/. В этой работе были проведены исследования (начатые в заметке /12/) первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка. Была доказана теорема существования обобщенного решения, изучены дифференциальные свойства этого решения (в случае уравнения 2-го порядка). В последующих совместных работах П.И.Лизорішна и С.М.Никольского /13/, /14/ эти исследования были продолжены; в частности, была разработана методика позволяющая изучить коэрцитивные свойства решений вырождающихся эллиптических уравнений порядка 2НІ (при YY\ 1). В настоящей диссертации часть посвященная приложениям к вырождающимся уравнениям представляет собой обобщение и дополнение результатов работ /II/ - /14/. Диссертация состоит из трех глав. В главе I содержатся сведения о весовых пространствах дифференцируемых функций, определенных в ограниченной области И - мерного евклидова пространства, . Границу области Sac: считаем достаточно гладкой. Расстояние точки xeQ до Т7 обозначается символом $(?) , Через (С будем обозначать поле комплексных чисел. Пусть ITI - неотрицательное целое число, ОС - действительное. Функция 1Л(х) по определению принадлежит классу "W" (Q)» если 1А(ЭС) в_2.( ) » У нее существуют обобщенные (по Соболеву) производные порядка УИ , и конечна норма Доказательство этого факта и определения классов Бесова. В 2. , а также описание других свойств классов \л[2 (Q) можно найти в монографии С.М.Никольского /I/. Отметим, что если удовлетворяет условию (I), можно рассматривать класс \[л &) подпространство функций из \ЛІ (Q) , имеющих на V нулевые следы до порядка о" включительно. т.е. пространство у 2. f» (Q) определяется в этом случае как пространство, сопряженное к \І2 -6 С О Основные свойства и структура этих классов (в более общей ситуации) изучены в /14/. Скажем, что Of {ОС) является в ограниченной области Ьс весовой функцией "дастанционного" типа, если определена измерима и положительна всюду. В этой главе содержатся сведения о весовых пространствах дифференцируемых функций используемые в главах П и Ш при исследовании краевой задачи для вырождающегося уравнения. Некоторые из этих сведений мы даем шире чем требуется для изучения краевой задачи, считая что они представляют самостоятельный интерес (рассматриваются веса более общего типа чем степенной и в метрике L р при р 1 , в то время как в указанных приложениях мы работаем со степенными весами и только в рамках гильбертовых пространств). При этом мы свободно пользуемся стандартными понятиями и фактами теории невесовых пространств, предполагая их известными; при необходимости можно ознакомиться с ними по книге /I /. В евклидовом пространстве точек X C iv}0 ) Рас_ сматривается ограниченная область d с достаточно гладкой границей Г (мы будем писать Г Є С , если I локально описывается К -раз непрерывно-дифференцируемыми функциями). Символом Р(ос)обозначается расстояние точки Х до I . Дадим определение степенного весового класса. Пусть Ш - натуральное число, оС - действительное. Функция ЯД Х) по определению принадлежит пространству Wp ocv ) (здесь и всюду в этой главе считаем 4 р со ), если ICCx) . Up (2) , у нее существуют обобщенные (по Соболеву) производные порядка YYL и конечна норма весовых классов в существенном принадлежит С.Б.Успенскому / ZZ А Теорема I.I.I. Пусть ь}ЇУ\ - натуральные числа такие, что EilH ; оС Р - действительные числа, Рє С Тогда Ниже мы приводим обобщение теоремы Успенского на случаи весовых функций более общего типа, чем степенной . Предварительно выделим в И - мерном евклидовом пространстве JR. специальный класс . областей. Пусть - ограниченная область с границей 1 и в каждой точке / \ существует касательная гиперплоскость hfy). Далее, предположим, что существует 0 0 такое, что в приграничном слое "толщины" и нормали к V не пересекаются. Пусть точка УоЄ I фиксирована. Возьмем в L ( о) куб р 0 с центром в ЛЛ и со стороной длины 0 . Совокупность нормалей к Я0 "вырезает" на поверхности Г "кусок" $0 . Совокупность нормалей к Г, исходящих из 0 (внутрь з ) и длины о образуют некоторый "криволинейный прямоугольник" Р0(о). Рассматривая Р0( в координатах = (?/,Зи) » где И = 5ИС )"8М мы, очевидно, получим кубS/= (l-ir-,lh-i) - координаты точки ХеР0(Й в касательной гиперплоскости (начало координат в U( 0) помещено в одну из вершин ( h -I) - мерного куба Go » а ои направлены по его сторонам). Осуществимость произведенных построений вместе с утверждением о регулярности переходов ос — % , /)1 - Ъ определяют те требования гладкости, которые мы предъявляем к границе. Класс ограниченных областей с такими требованиями к границе будем обозначать р Класс довольно обширен, например в него входят области ограниченные поверхностями Ляпунова. Эта функция называется, как известно, обобщенным решением аналога общей первой краевой задачи для вырождающегося уравнения. Задача данного раздела - выяснить, как изменяются интегродифференциальные свойства этого решения при изменении соответствующих свойств у "правой части" уравнения и его коэффициентов. Кроме того, в силу наличия ненулевых краевых условий интересен вопрос о зависимости класса решений от гладкости граничных данных. Вначале введем следующее определение Определение 3.3.1. Будем называть формулу (Я(tt,l ) " (. )-- регулярной с вырождением", если её коэффициенты удовлетворяют условиям (3.3.3)?и при некотором целом неотрицательном S выполнены требования: коэффициенты Cl{: , соответствующие мультиин-дексам ( І ,j ): IU = Wi , ljl W-S , непрерывно дифференцируемы (т.е. (ХцЄСл (Q) и справедливы оценки а коэффициенты соответствующие мультииндексам ( і } j ): lil Wt , IM-S+ K Ijl : W\ непрерывно дифференцируемы lj\-vw + -раз и для любого мультииндекса Т: It \ Ijl - Ы + верны неравенства (здесь, как и в (3.3.3), d u c -vvi+-Lt К0Гда lil S0 Ijl W и d L - когда ILUSo- l jljU a )Далее отметим, что поскольку имеет место вложение где -0 некоторое целое число, то оператор А определенный на функциях из \[ &(&) определен и на функциях из 2ot+ y(2) При этом справедливо следующее утверждение. Лемма 3.3.1. Пусть при некотором целом неотрицательном $ форма Q (V №) удовлетворяет условию ( j _, 9 ) - регулярности с вырождением. Тогда оператор _Д определяемый соотношением (3.3.1) является линейным непрерывным из We oC+ vl в N/2 -oc4 (Ql , где - целое число, такое, чтоО Доказательство. Пусть вначале 0 7 .В этом случае, если и А Я) , а єС іО.) , то Замечание 3.3.1. Нетрудно убедиться, что для коэффициентов формы (X-CU ІЗ-) , удовлетворяющей условию (j)S)- регулярности с вырождением, выполнены условия теоремы 3.2.1, Поэтому, если еще имеют место условия (2.3.6) и (2.3.7), то оператор определенный в (3.3.1) будет изоморфизмом между W2 о 4 (&) Обратимся теперь к оператору Р= (AjT) - "оператору задачи D " (его определение и свойства см.в разделе 2.3). Согласно теореме 2.3.1, если коэффициенты 3ц подчинены неравенством (3.3.3) и, кроме того, выполнены условия (2.3.6) и (2.3.7), то оператор J7 является изоморфизмом между \л/з. 6L (Q) и LWo (Q)\ X I I Do (Г) Теперь мы покажем, что при до- i J к=о полнительных требованиях к коэффициентам формы $.(1/(,1}) оператор Р будет осуществлять изоморфизм между более узкими (в смысле гладкости) подпространствами вышеуказанных пространств. Отсюда, в частности, будет следовать ответ на вопрос о зависимости интегродифференвдальных свойств обобщенного решения аналога общей первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения от соответствующих свойств коэффициентов уравнения, его "правой части" и граничных данных. Итак верна следующая теорема (при её изложении мы будем опираться на результаты главы I при р =2, в частности нам понадобятся определение и свой-ства классов Wo ( )) Пусть в ограниченной области Я из ИГ о границей Р.С задана форма Cl(/U,U) удовлетворяющая при некотором целом S 0 условию (J iS)-регулярности с вырождением и условиям (2.3.6) и (2.3.7). Тогда оператор Р есть алгебраический и топологический изоморфизм: - целые числа такие нто 0 У () І ) Доказательство. Обозначим\j (Q)=W , а V = —Vo _ос (2) 11 Ь С Г7) Докажем непрерывность оператора г как оператора из у в V Пусть 1Л G W , Посвящена исследованию коэрцитивных свойств обобщенного решения аналога первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения. Вначале доказывается следующая теорема для случая однородных краевых условий. 1. коэффициенты её суть измеримые функции для которых верно (14); 2. когда l,j таковы, что 3. при і \ таких что - некоторые положительные константы) 4. выполнены условия (19), (20). Тогда оператор А , определенный соотношением (18) является алгебраическим и топологическим изоморфизмом В случае неоднородных краевых условий доказана следующая теорема о повышении гладкости. 1. коэффициенты 01 {: (ос) подчинены оценкам (22),(23). 2. при некотором целом неотрицательном выполнены требования: коэффициенты СХ{," , соответствующие мультииндексам (Л І) III = to » Ід\ : И4 — , непрерывно дифференцируемы и справедливы оценки а коэффициенты соответствующие мультииндексам (L.jJ . Ш УИ , Hi-S+ ljl Vn непрерывно дифференцируемы ljl-Hi+ S -раз и для любого мультииндекса t : \Z\ (jl-M + } верны неравенства. Перечисленные результаты обобщают и дополняют исследования /II/ - /14/ в следующих направлениях. Во-первых,за счет использования метода билинейных форм удалось освободиться от условия симметричности коэффициентов ft; (ос) . Более того, этот метод позволяет рассматривать уравнения с комплексно-значними коэффициентами. При этом несколько конкретизируются требования к форме Х(/U,15) (см.(19), (20) ). Во-вторых, на основании локальных оценок из /6/, в теоремах о повышении гладкости ослаблены требования к коэффициентам уравнения. Наконец неоднородная краевая задача изучена для более общих уравнений. В работах /II/ - /14/ не изучался вопрос о зависимости гладкости решения от гладкости граничных условий. В диссертации введено пространство \лГр ( ) и доказан изоморфизм (26). Замечание. Мы будем иногда писать вместо где положительная константа С не зависит от В. Основные результаты диссертации содержатся в статьях /35/ - /37/. Ути результаты докладывались в МИ АН СССР на семнаре по теории функций под руководством С.М.Никольского и Л.Д.Кудрявцева, на семинаре по уравнениям в частных производных под руководством А.В.Бицадзе, в институте Математики и Механики КазССР на семинаре по прикладным методам анализа, в КазІУ на семинаре по функциональному анализу под руководством М.О.Отелбаева, в Казахском политехническом институте на научно-исследовательском семинаре кафедры прикладной математики. Автор выражает глубокую признательность доктору физико-математических наук профессору П.И.Лизоркину за постановку задачи и постоянное внимание проявляемое к работе. В этой главе содержатся сведения о весовых пространствах дифференцируемых функций используемые в главах П и Ш при исследовании краевой задачи для вырождающегося уравнения. Некоторые из этих сведений мы даем шире чем требуется для изучения краевой задачи, считая что они представляют самостоятельный интерес (рассматриваются веса более общего типа чем степенной и в метрике L р при р 1 , в то время как в указанных приложениях мы работаем со степенными весами и только в рамках гильбертовых пространств). При этом мы свободно пользуемся стандартными понятиями и фактами теории невесовых пространств, предполагая их известными; при необходимости можно ознакомиться с ними по книге /I /. В евклидовом пространстве точек X C iv}0 ) Рас_ сматривается ограниченная область d с достаточно гладкой границей Г (мы будем писать Г Є С , если I локально описывается К -раз непрерывно-дифференцируемыми функциями). Символом Р(ос)обозначается расстояние точки Х до I . Дадим определение степенного весового класса. Пусть Ш - натуральное число, оС - действительное. Функция ЯД Х) по определению принадлежит пространству Wp ocv ) (здесь и всюду в этой главе считаем 4 р со ), если ICCx) . Up (2) , у нее существуют обобщенные (по Соболеву) производные порядка YYL и конечна норма
меязду собой соотношением
А ^ <ь о ^ W\ и пусть в области bat с границей \ = V»
рассматривается класс . Если существует систе-
существует функция и) W"p/0(+/v (Q) и функция
. р
ствам і і А
цей , то на функциях пространства
определен линейный оператор "следа" Т, ставящий в соответствие
каждой функции 1А(?0 wp,<*(.^) набор её граничных значений
до порядка S0-M включительно:
0 о '
ство : С
При ЭТОМ а 9
(1.3.9) с^кО граничных значениях и о "зануленных" классах
Аналог первой краевой задачи с однородными граничными данными
Вопросы существования и единственности обобщенного решения общей первой краевой задачи для вырождающегося уравнения
Дифференциальные свойства обобщенного решения первой краевой задачи для вырождающегося уравнения с однородными граничными условиями
Похожие диссертации на Некоторые вопросы теории весовых пространств и приложения к вырождающимся эллиптическим уравнениям
