Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Неравенства Брунна-Минковского для конформных и евклидовых моментов областей 18
1.1 Вспомогательные сведения 18
1.2 Конформные характеристики областей 21
1.3 Евклидовы моменты областей 26
1.4 Параметрические мостики между конформными и евклидовыми моментами 29
Глава 2 Неравенства Брунна-Минковского в форме Хадвигера 32
2.1 Выбор центра степенных моментов 32
2.2 Примеры 42
2.3 Неравенства Брунна-Минковского для моментов, обобщающих функционал Хадвигера 45
2.4 Модификации основного неравенства 54
Глава 3 Неравенства для обобщенных степенных моментов 59
3.1 Построение обобщенных степенных моментов со специальным выбором центра 59
3.2 Примеры 65
3.3 Неравенство Брунна-Минковского для обобщенных моментов 70
3.4 Модификации основного результата для обобщенных моментов 83
Литература
- Конформные характеристики областей
- Параметрические мостики между конформными и евклидовыми моментами
- Неравенства Брунна-Минковского для моментов, обобщающих функционал Хадвигера
- Неравенство Брунна-Минковского для обобщенных моментов
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Неравенство () впервые было получено Брунном1 в 1887 году для п < 3. В 1910 году Минковский доказал его для любых натуральных п. При этом, они оба показали, что равенство в () достигается тогда и только тогда, когда Qo и Qi являются равными с точностью до переноса и расширения.
Неравенство () играет важную роль в геометрии евклидовых пространств, в теории изопериметрических задач и долгое время считалось, что его значение ограничивается только этими областями науки. Однако, в 1935 году Л.А. Лю-стерник доказал, что неравенство () верно и для произвольных непустых ограниченных измеримых множеств Г2о, Г^і. Альтернативные доказательства этого утверждения были получены Р. Хенстоком и А.М. Макбетом в 1953 году, и Х. Хадвигером и Д. Охманом в 1956 году. Неравенство () при произвольных f^o, f^i принято называть общим неравенством Брунна-Минковского. С тех пор неравенство Брунна-Минковского начало свой путь в область анализа.
В 1936 году А. Д. Александров и В. Фенхель независимо друг от друга доказали неравенство, получившее название “неравенство Александрова-Фенхеля”, для смешанных объемов, обобщающее классическое неравенство Брунна-Минковского ().
В 1956 году появляется работа Х. Хадвигера, в которой для двух моментов выпуклой области, а именно, момента относительно центра масс и момента относительно гиперплоскости, определенных функционалами
h(Q) = / \s,p\ dp, І2(&) = / \Е,р\ dp, (2)
1Brunn, H. liber Ovale und Eiflachen / H. Brunn. - Munchen, 1887.
2Minkowski, H. Geometric der Zahlen / H. Minkowski. - Leipzig and Berlin, 1910.
3Hadwiger, H. Konkave eikerperfunktionale und hoher tragheitsmomente / H. Hadwiger. - Comment Math. Helv.,
1956. - No. 30. - P. 285-296.
где Q — ограниченная, выпуклая область в Rn, s — центр масс области Г2, Е
— гиперплоскость, проходящая через центр масс; \s,p\ — расстояние от точки
s до точки р, \Е,р\ — расстояние от точки р до гиперплоскости Е1, доказано
следующее неравенство типа Брунна-Минковского:
Ij(Qt) > (1 ~t)Ij(Qo) +tIj(Qi) '^п+ , j = 1,2.
Здесь Qt = (1 — t)Qo + tQi = {(1 — t)po + tpi | po Є Г^о, p\ Є f^i}, t Є [0,1], Г^о, Г2і
— ограниченные, выпуклые области в Rn.
Следующим важным этапом в развитии теории неравенств Брунна-Минковского стало появление в 1971-73 годах работ А. Прекопа и Л. Лайнд-лера, в которых доказана следующая функциональная версия неравенства Брунна-Минковского.
Теорема 1. Пусть 0 < t < 1 и пусть /о, /і, /г — неотрицательные интегрируемые функции в Rn, удовлетворяющие условию
/г((1 — t)x + ty) > fo(x) ~г/і(уУ
для всех х,у Є Rn. Тогда
1-І / \ t
h{x)dx > fo(x)dx fi(x)dx
Следует отметить, что в 2000 году С. Г. Бобков и М. Леду показали, что из неравенства Прекопа-Лайндлера можно получить логарифмические неравенства Соболева. В 2001 году D. Coredro-Erausquin, R. J. McCann и M. Schmuckenschlager доказали риманову версию неравенства Прекопы-Лайндлера.
Последние 30-40 лет тематика, связанная с неравенством Брунна-Минковского, стремительно развивается. Это объясняется тем, что теория неравенств Брунна-Минковского находит все больше и больше применения в геометрическом анализе, математической физике и в теории вероятностей и математической статистике. Литература по неравенствам типа Брунна-Минковского и основные результаты, появившиеся до 2006 года, содержатся в
4Prekopa, A. Logarithmic concave measures with application to stohastic programming / A. Prekopa. - Acta. Sci.
Mat., 1971. - No. 32. - P. 301-306.
5 Prekopa, A. On logarithmic concave measures and fuctions / A. Prekopa. - Acta. Sci. Mat., 1973. - No. 34. - P.
335-343.
6Leindler, L. On a certain converse of Holder’s inequality II / L. Leindler. - Acta. Sci. Mat., 1972. - No. 33. - P.
217-223.
обзорных работах Р. Шнайдера7, Р. Гарднера и Ф. Барта. Остановимся на обзоре работ за последние 30-40 лет.
Браскамп и Либ, позже другим способом С. Борель, обобщили неравенство Прекопа-Лайндлера на случай функций /о, /і, /і, удовлетворяющих более общему условию, чем в теореме 1.
Работы А. Т. Хованского и Б. Тесье посвящены неравенству Александрова-Фенхеля, которые показали, что неравенство Александрова-Фенхеля может быть получено из теоремы Ходжа об индексе. В этом направлении также работали Ю. Окуньков, М. Л. Громов и Н.С. Трудингер.
С. Борель в 1983 году доказал неравенство типа Брунна-Минковского для функционала, называемого емкостью. Условия, при которых достигается равенство, были изучены в работе Л. А. Кафарелли, Д. Джерисона и Е. Либа. Неравенство типа Брунна-Минковского для емкости и условия достижения равенства были использованы Д. Джерисоном для решения соответствующей проблемы Минковского для емкостей из геометрического анализа.
В 1986 году В. Мильманом было доказано обратное неравенство Брунна-Минковского, занимающее важное место в теории локальных банаховых пространств. Позже Х. Бан и П. Эрлих обратное неравенство типа Брунна-Минковского доказали в пространстве Минковского. А в 2012 году С. Бобковым и М. Мадиманом обратное неравенство Брунна-Минковского было установлено для выпуклых мер.
Р. Гарднер и П. Грончи получили дискретные неравенства типа Брунна-Минковского для целочисленной решетки, использующиеся в дискретной математике, комбинаторике и теории графов. Аналогичный результат был получен Б. Боллобасом и И. Лидером для конечных подсетей.
Наш интерес к данной тематике, прежде всего, связан с работой Г. Кэди, в которой для функционала
7(Г2) = / dist (z,dQ)dz,
7Schneider, R. Convex Bodies: The Brunn-Minkowski theory / R. Schneider. - Cambridge University Press, 1993. 8Gardner, R. J. The Brunn-Minkowski inequality / R. J. Gardner. - Bull. Amer. Math. Soc, 2002. - No. 39. - P.
355-405.
9Barthe, F. The Brunn-Minkowski theorem and related geometric and functional inequalities / F. Barthe. - Proc.
International Congress Math., Madrid, Spain, 2006. - P. 1529-1546.
10Keady, G. On a Brunn-Minkowski theorem for a geometric domain functional considered by Avhadiev / G. Keady.
- J. Inequal. Pure Appl. Math., 2007. - No. 8. - P. 1-10.
где dist(z, dQ) — расстояние от точки z Є Q до границы dQ области Г2, введенного Ф.Г. Авхадиевым, доказано следующее неравенство типа Брунна-Минковского:
[/(Г^)] '^п+ ' > (1 — t)[I(Qo)} '^п+ ' +t[I(Qi)] '^п+ , t Є [0,1], к > 0,
где Qt = (1 — t)Qo + ^i ~~ параметрические суммы Минковского выпуклых областей Г2о, Г^і.
Различным приложениям неравенства Брунна-Минковского в геометрическом анализе, теории вероятностей посвящены работы C. Borell, H.J. Brascamp, С. Г. Бобкова, В. Н. Судакова, A. Ehrhard, R. M. Dudley, Cordero-Erausquin. Изучению неравенств типа Брунна-Минковского посвящены также работы E. Lutwak, A. Figalli, F. Maggi, A. Pratelli, B. Berndtsson, P. Liu, S. Lv, P. Salani, R. J. Gardner и др.
Из приведенного обзора следует, что весьма актуальной является задача дальнейшего развития теории неравенств Брунна-Минковского, а именно, задача построения новых функционалов области, для которых справедливы неравенства типа Брунна-Минковского. Этим вопросам и посвящена настоящая диссертационная работа.
Цель работы. Целью диссертационной работы является построение новых функционалов области и доказательство для них неравенств типа Брунна-Минковского. Для достижения этой цели в работе используются два подхода.
Первый подход основан на методе Г. Кэди, который, в свою очередь, существенно использует Теорему 1 Прекопа-Лайндлера. Этот подход реализован в первой главе диссертации, при помощи которого доказаны неравенства типа Брунна-Минковского для новых функционалов, являющихся конформными и евклидовыми моментами областей. Некоторые результаты первой главы обобщают результаты Г. Кэди.
Второй подход разработан нами с привлечением методов Х. Хадвигера и Г. Кэди и реализован во второй и третьей главах диссертации. При помощи второго подхода доказаны неравенства типа Брунна-Минковского для ряда новых функционалов области, обобщающих функционалы () Х. Хадвигера. При построении этих функционалов существенно используется тот факт, что центр масс s области Q доставляет минимум функционалам () Х. Хадвигера.
Научная новизна. В диссертационной работе построены новые функционалы и для них доказаны неравенства типа Брунна-Минковского. Результаты,
иАвхадиев, Ф.Г. Решение обобщенной задачи Сен-Венана / Ф. Г. Авхадиев. - Матем. сб., 1998. - No. 189. -Р. 3-12.
полученные в диссертации, обобщают результаты Г. Кэди и Х. Хадвигера.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть полезными для дальнейшего развития теории неравенств типа Брунна-Минковского и могут послужить некоторым инструментом в приложениях в области геометрического анализа, математической физики и теории вероятностей.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на итоговой научной конференции Казанского университета (2013г.), на Международных Казанских летних научных школах-конференциях "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы"(Казань, 2013, 2015 гг.), на Всероссийской молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения"(Казань, 2015), на Международной школе-конференции "Геометрический анализ и его приложения"(Волгоград, 2016), на Международной школе-конференции "Алгебра, анализ, геометрия"(Казань, 2016), на Международной конференции "Уфимская математическая конференция с международным участием"(УФА, 2016), на семинаре по комплексному анализу и приложениям (Петрозаводск, 2016).
Публикации. Основные результаты опубликованы в 10 работах, список которых приведен в конце автореферата. Среди них 4 работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов исследования.
Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 106 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы из 84 наименований.
Конформные характеристики областей
Настоящий параграф посвящен доказательству справедливости неравенства типа Брунна-Минковского для функционалов, порожденных евклидовыми расстояниями от точки до границы области.
, Pi и Qo i соответственно. Пусть Р — ограниченная область в Мп, причем Р С Г2, где Q — выпуклая область в Шп. Определим функционал областей Р, Q: U(k,P,dQ) = / dist (x,dQ)dx, к є (0,+оо), р где dist(x, dQ) — расстояние от точки х Є Р до границы dVt области Q. Справедлива следующая Теорема 1.3.1. Пусть Ро, Р\ — ограниченные, а Г2о, f i — выпуклые области в Шп (п 2), причем Ро С Г о, Pi С Г і. Тогда для функционала U(k,P, dVt) справедливо следующее неравенство типа Брунна-Минковского: IJn+k 5 ptj c/iZt) (1 — t)U n+k (k, Ро, oilo) + tU n+k (k, Pi, c/S2i) W Є [0,1J, где Pt = (1 — t)Po + tP\, Qt = (1 — t)J7o + Ші — параметрические суммы Минковского областей Ро
Доказательство. Пусть Xt = (1 — t)xo + tx\,Xo Є Ро,#і Є Рі, Є [0,1]. Докажем следующее неравенство: dist(xt,dQt) (1 — t)dist(xo,dQo) +tdist{x\,dVt\). (1.3.1) Пусть точка Wt Є dty такая, что выполнено \%t — щ\ = dist(xt,dQt), где I I — Евклидова норма. Определим направление и следующим образом: Щ — Xt и = г. \Xt — Щ\ Через vo Є dQo и v\ Є дО,\ обозначим точки, лежащие на границе областей Г2о, і по направлению и от точек XQ и Х\ соответственно. Имеем: vo = хо + \хо — vo\u, V\ = Х\ + \х\ — v\\u. Пусть р — единичный вектор, перпендикулярный и. Легко заметить, что (wt — Vt,p) = О, где Vt = (1 — t)vo + tv\ Є Qf Отсюда следует, что вектор Wt представим в виде w = Vt + Щ, где ц — некоторое известное число. Следовательно, Vt лежит на луче, соединяющем точки Xt и Wf. В силу выпуклости области Qt и представления Vt = Xf + и [(1 — t)\xo — Vo\ + t\xi — Vi\] точка Vt на этом луче расположена между XtиWt. Учитывая все это, получаем dist(xt,dQt) = \xt — щ\ \xt — Vt\ = = (1 — t)\xo — vo\ + t\xi — vi\ (1 — t)dist(xo,dQo) + tdist(xi,dQi), т.е. справедливо неравенство (1.3.1). Далее, применим к (1.3.1) неравенство о среднем (1.1.3) и возведем обе части в степень к 0: dist (xt,dQt) dist г (хо,дО,о) dist t{x\1dQ,\). (1.3.2) Определим следующие функции: h{x) = dist (х, dQt) ХР ІХ)І fo(x) = dist (х, dQo) \р (ж)? fi(x) = dist (x,dQ\) Хр (х), где Хп характеристическая функция области Q. Используя (1.3.2) и неравенство (1.1.4) для характеристических функций XQ, получаем: ; / 7 к / лсл к / / j.( лсл \ ( (l—t)k n\Xt) = (list {Xt,o\lt)Xp{xt) {diSt{Xo,o\lo)Xp0{Xo)) ( 7- J.( лсл \ ( tk n / \\—t Ґ \t {dlSt{Xi, OllijXPiiXi)) = JQ{XQ) JI{X\) . Таким образом, все условия теоремы Прекопа-Лайндлера (теорема 1.1.3) выполнены. Следовательно, U(к, Pt,dQt) U f (k, Ро, dQo) Uf(k, Pi,dQ\) Vt Є [0,1], откуда, в свою очередь, следует ln[U(k, Pt, dQt)} (1 — t)ln[U(k, Po, dQo)] + t ln[U(k, Pi, dQi)] \/t є [0,1], (1.3.3) т.е. U(k, P, dQ) — логарифмически вогнутый функционал. Тогда U(k, Р, dQ) — квазивогнутый функционал. Действительно, из (1.3.3) получаем неравенства: ln[U(k,Pt,dQt)] ln[U(k,Po,dQo)], если U{k,P\,dVt\) U(k, Ро, 9Г2о) и ln[U(k,Pt,dQt)] ln[U(k, Pi,dQi)], если U(k,Po,dQo) U(k,P\,dQi), т.е. U(k, Pt, dQt) min (U(k, Po, dQo)] U(k, Pi,dQi)). (1.3.4) Легко видеть, что U(k, P, dQ) — однородный степени n + к функционал, т.е. U(k,sP,d(sQ)) = sn+ U(k,P,dQ) Vs 0. (1.3.5) Тогда функционал U n+k (k,P,oil) в силу (1.3.4), (1.3.5) является квазивогнутым и однородным первой степени функционалом, т.е. удовлетворяет всем условиям леммы однородности (теорема 1.1.2). Следовательно, U n+k (к, Р, oil) вогнут, т.е. (7+fc (к, Pt, oilt) (1 — t)U n+k (k, Po, c/SZo) + tU n+k (k, Pi, c/S2i) vt Є [0,1J. Теорема 1.3.1 доказана. 1.4 Параметрические мостики между конформными и евклидовыми моментами
В данном параграфе доказывается справедливость неравенств типа Брунна-Минковского для новых функционалов, представляющих собой комбинации рассмотренных в предыдущих параграфах функционалов.
Пусть Р — ограниченная, а Q — выпуклая область в М2 и Р С Q, а — фиксированный параметр, а Є [0,1]. Введем в рассмотрение функцию pa\z, ±Ач = а\ + (1 a)dist{z, oil), Z Є Р, Xp(z) где Xp(z) — коэффициент гиперболической метрики, dist(z, dQ) — расстояние от точки z = х + гу Є Р до границы dQ области Q. Определим функционал : N(a,k,P,Q) = pa(z,P,Q)dz, &є(0,+оо). р Имеет место следующая Теорема 1.4.1. Пусть Ро, Pi — ограниченные, а Г2о, і —выпуклые области в С R2, причемРо С Г о, Р\ С Q\, Pt = (l—t)Po+tP\ —параметрическая сумма Минковского областей PQ nP\,t Є [0,1]. Тогда для функционала N(a,k, P,Q) справедливо неравенство типа Брунна-Минковского 1 . 1 . 1 . , N 2+к (а, к, Pt, ilt) (1 — t)N 2+к(а, к, Ро, ilo) + tN 2+k (а, к, Р\, І1\) Ш Є [0,1].
Параметрические мостики между конформными и евклидовыми моментами
Настоящий параграф посвящен построению одного класса новых функционалов типа I(k, fl) и доказательству для них неравенств типа Брунна-Минковского.
В основе построения функционала І(к, Г2), /с Є (0, +оо) области fl в 2.1 в форме (2.1.23) лежала точка s = (si, S2,..., sn), доставляющая минимум функции 1(к,у), определенной формулой (2.1.1). Было доказано, что эта точка минимума s принадлежит n-мерному параллелепипеду с ребрами [тіпжу, maxxj], j = l,n, x = (жі,Ж2, ...,xn). Поэтому гиперплоскости XJ = Sj, j = l,n имели с областью fl непустое пересечение. В настоящем параграфе построим новый класс функционалов и докажем для них неравенства типа Брунна-Минковского, беря вместо точки минимума точки у = (г/і, ...,г/п), не принадлежащие n-мерному параллелепипеду. В этом случае по крайней мере одна гиперплоскость вида Xj = yj с областью fl имеет пустое пересечение.
Итак, предположим, что / гиперплоскостей вида Xj — yj =0 имеют с областью fl пустое пересечение. Пусть для определенности j = 1,1. Если / = 0, то получим случай, рассмотренный в 2.1, 2.3. Остальные гиперплоскости Xj — yj = 0, j = I + 1, п имеют общие точки с областью fl.
Предположим, что выполнено следующее Условие А. Пусть Q — ограниченная область в Шп, представимая в ви m де Q = [J Ql, где области Q1 обладают следующим свойством: существуют функции (ргАх3)} I/JUX3), непрерывные на проекции Q1- области Q1 на гиперплоскость Xj = О, такие, что Q1 представима в виде Q1 = {х є М.п х3 = (х\,..., Xj-i, Xj+\,..., хп) є Qlj, tpUx3) Xj i[)Ux3), j = I + l,n}, і = l,m. Отметим, что условие А геометрически означает, что любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области Q1 и параллельная оси OXj (j = I + 1,п), пересекает границу области Ql только в двух точках. Заметим, что области Ql (i = l,m) в этом случае, вообще говоря, не являются выпуклыми.
Введем в рассмотрение функции одной переменной Ь(Уз) = (1з \ \хз Уз\ х- J = + 1 п dx = dx\dx2---dxni к Є (0, +oo). n (2.4.1)
Пусть при k Є (0,1) область Q наряду с условием А дополнительно удовлетворяет неравенствам IjiVj) 0 І = + 1?п? (2.4.2) где yj — стационарная точка функции (2.4.1), принадлежащая отрезку [minrrj, тахжу], существование которой установлено в 2.1; вторая произ водная Ij(yj) определена формулами (2.1.19), (2.1.20). В этих условиях, как было доказано в 2.1, стационарная точка yj функции Ij{yj) является точкой минимума yj = Sj Є [minrrj, maxrrj], j = I + l,n. x EQ X EQ Определим функционалы области Q следующим образом: Il(k, Q) = ((У,\\Х\ — CL\\ + (І2\Х2 — 0-21 + + OLi\xi Сц\ + +ai+i\xi+i — si+\\ + + an\xn — sn\ )dx, / = l,n, (2.4.3) где к — произвольное действительное число из промежутка (0, +оо); a,j (j = 1,1) — произвольные действительные числа, удовлетворяющие условию: гиперплоскости Xj — a,j = 0 не имеют общих точек с областью Q; Sj — точка минимума функционала IjilJj), определенного формулой (2.4.1), j = I + 1,п; otj, (j = 1,п) — произвольные положительные действительные числа. Заметим, что Io(k,Q) = I(k,Q). Основным результатом настоящего параграфа является следующая Теорема 2.4.1. Пусть Qo, f i — ограниченные области в Шп, удовлетворяющие условию А и при к Є (0,1), кроме того, неравенствам (2.4.2). Тогда S \ \ 1 функционал Ii(k, \1)п+к вогнут, т.е. справедливо неравенство 7-/7 S \ 1 / S \ \ 1 7-/ S \ \ 1 7 ц{к, \lt) n+k (1 —t)Ii{k, \lo)n+k +tli{k, \l\)n+k Ш Є [0, 1J, к Є (0,+оо), где Qt = {{1 — t)zo + tz\ ZQ Є Г О, Z\ Є Г2І}, I = l,n.
Доказательство. Не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что точка ( 2і, (І2,..., сц, s/+i, , sn) совпадает с началом координат О. Пусть Ej — гиперплоскости Xj = 0; Uj — нормированный вектор с началом в точке О, ортогональный Ej, j = 1,п. Введем функционалы Jj(k, Q) = cij I \Ej, z\ dz, j = l,n, к Є (0,+oo). (2.4.4) n Так как \Ej, z\ = \ZJ\, то для функционала Jj(k, Q) получим представление Jj(k, Q) = cij I \XJ\ dx, j = l,n. n Тогда функционал (2.4.3) примет вид: Ii(k, Q) = У Jj(k, Q). (2.4.5) Заметим, что функционалы Jj(k, Q) в (2.4.4) при j = I + l,n имеют ту же структуру, что и функционал J(k, Q, EQ) в лемме 2.3.3. Следовательно, для них справедливы неравенства 1 1 п гК П ГК J"+k(k, Qt) (1 — t)J"+k(к, Qo) + tJ"+k(k, Qi), j = I + l,n, к Є (0, +оо), Qt = (1 — t)Qo + tl\ Vt Є [0, 1]. (2.4.6) Рассмотрим функционалы Jj(k,Q) в (2.4.4) при j = 1,1. Гиперплоскость Ej разбивает Шп на два полупространства: Hj+ = {х Є Шп (х, Uj) 0}, i7j_ = {х Є Mn І (ж, Mj) 0}, j = 1,1. Заметим, что область Q лежит либо в Hj_, либо в Hj+. Поэтому Jj(k,Q) = Jj+(k,Q), либо Jj(k,Q) = Jj-(k,Q), j = 1,1, т.е. Jj(k, и) (j = 1, l) имеют ту же структуру, что и функционалы в леммах 2.3.1, 2.3.2. Следовательно, имеют место неравенства 1 1 1 J"+k (к, Qt) (1 — t)J"+k (к, Г2о) + tJ"+k (к, Qi), к Є (0, +оо), j = 1,1, Qt = (1 — t)Qo + tl\ Vt Є [0, 1]. (2.4.7) Введем функцию f(u) = [J(k,Qo) — J(k,Qi)]/a, а, к Є (0,+оо), где функционал J (к, Q) определен формулой (2.3.7). Рассмотрим функционал J(k, Q) как функцию от вектора и. Тогда f(u) — непрерывная функция на единичной сфере. Поэтому, с учетом теоремы о непрерывных функциях на сферах (теорема 1.1.5), получаем, что существуют попарно ортогональные вектора Uj (j = l,ri) такие, что f{u\) = /(щ) = ... = f(un), где f(iij) = [Jj(k,Qo) — Jj(k,Qi)]/aj, j = l,n. Тогда, принимая во внимание соотношения (2.4.5) и предполагая I(k,Qo) = I(k,Qi) = 1, что, как легко видеть, не ограничивает общности наших рассуждений, будем иметь:
Неравенства Брунна-Минковского для моментов, обобщающих функционал Хадвигера
Целью настоящего параграфа является доказательство неравенства типа Брунна-Минковского для функционалов 1{к;т; Г2), определенных формулой (3.1.12). Основной результат параграфа дается следующей теоремой. Теорема 3.3.1. Пусть Г2о, f i — ограниченные области в Шп, удовлетворяющие условиям леммы 3.1.1. Тогда функционал I(k]m]Q)l (km+n вогнут, т.е. имеет место неравенство I(k;m;Qt) m+n (1 — t)I(k; m; Qo) m+n +tI(k;m;Qi) m+n ? (3.3.1) где Qt = {(1 t)zo + tz\ ZQ Є Г О, Z\ Є Г2І}; 0 t 1, k Є (0,1], m Є (0, +oo). Для доказательства теоремы 3.3.1 нам понадобится ряд вспомогательных утверждений. Займемся их получением.
Пусть Е — гиперплоскость размерности п — 1, содержащая начало координат О Є Mn, и — нормированный векотор с началом в точке О, ортогональный Е. Пусть Q — ограниченная область в Мп, полностью лежащая в полупространстве Н+ или Н_ (полупространства Н+, Н_ введены в 2.3). Обозначим d = \E,z\ — расстояние от точки z Є Q до гиперплоскости Е и введем функцию hid) = dk, к Є (0,1] расстояния d.
Справедлива следующая Лемма 3.3.1. Имеет место неравенство h(dt) (1 — t)h(di) + th(d2), dt = (1 — t)d\ + tdi, 0 t 1, т.е. функция h(d) вогнута. Доказательство. Пусть для определенности d\ d i. Имеем А = /i( it) — (1 — t)h(di) — thirds) = (1 — i)[h{dt) — h{d\)\ + t[h(dt) — /1( 2)] Применяя к разностям в квадратных скобках теорему Лагранжа о конечных приращениях, получаем h{dt) — h{d\) = h!{c\){dt — di), h{dt) — h{d,2) = h!{c2){dt — (І2), где c\ Є (di,dt), C2 Є (dt,d2). Поэтому с учетом dt — d\ = t{d i — d\), dt — d i = (1 — t){d\ — d i) будем иметь: A = t(l — t)(d2 — d\){h!{c\) — h (c2)), откуда, используя снова теорему Лагранжа, получим А = t(l — t)(d2 — di)h"(co) (с\ — С2), со Є (сі,С2). Но h"(d) = k(k — l)dk 2 0 Vk Є (0,1], V i 0. Поэтому с учетом c\ — Oi 0 имеем A 0 Vt Є [0,1], Vk Є (0,1]. Следовательно, h(dt) (1 — t)h{d\) + th(d2). Лемма 3.3.1 доказана.
Из леммы 3.3.1 непосредственно следует следующая Лемма 3.3.2. Пусть Г2о, Г2і Є Н+ или Н_ — ограниченные области в Жп. Тогда справедливо неравенство \E,Zt\ 0- t)\E,zo\ +t\E,z\\ Vk Є (0,1], Vt Є [0,1], где Qt = (1 — t)Qo + tQi, zt = (1 О о + tz\ Є Г ; zo Є f o, z\ Є Г2і. Доказательство. Обозначим dt = \E}zt\} do = \E,zo\, d\ = \E,z\\. В силу равенства (2.3.4) имеем dt = (1 — t)do + td\. Используя лемму 3.3.1, получаем dt (1 — t)d0 + tdi, т.е. \E,Zt\ (1 t)\E, ZQ\ +t\E,z\\ Vk Є (0,1], Vt Є [0,1]. Лемма 3.3.2 доказана.
Далее, без ограничения общности рассуждений, будем считать, что точка минимума s = (si,...,sn) функционала I(k;m;Q) совпадает с началом координат О. Через Ej обозначим гиперплоскость Xj = 0. Пусть Uj — нормированный вектор с началом в точке О, ортогональный Ej, j = 1,п. Заметим, что \Ej,z\ = \XJ\, j = l,n. Поэтому функционал I(k;m;Q), определенный формулой (3.1.12), можно представить в виде I (к; т; Q) = I (к; т; Q; EQ) = / [ скі і?і, +а2і?2, + п \ m + ап\Еп, z\ ) dz, & Є (0,1], т Є (0, +оо), (3.3.2) где обозначение І(к;т; Г2; EQ) подчеркивает тот факт, что гиперплоскости Ej (j = l,n) проходят через точку минимума функционала I(k;m;Q), которая совпадает с началом координат.
Каждая гиперплоскость Ej разбивает Шп на два полупространства: Н- = {х Є М.п (x,Uj) 0}, і/- = {х Є Мп (x,Uj) 0}, j = l,n. Рассмотрим всевозможные пересечения полупространств Н-\ ij = 0,1, j = 1,п: п П Я, = #(i) = H(i!i2...in), (3.3.3) где i/-J = {ж Є Mn І (ж, (—l) JMj) 0}, ij = 0,1, j = l,n); (i) = (ii in) — мультииндекс. Отметим, что всего пересечений H(ij 2п единиц. Пусть Q — ограниченная область, полностью лежащая в одном из пересечений H(jy Такую область обозначим через OS1 . Рассмотрим функционал I{k]rri]Q}% ) = / Dm(k;z)dz, тє(0,+оо), (3.3.4) где принято обозначение D(k; z) = а\\Е\, z\ + сі2\Е2 \ + ... + ап\Еп, z\ , А; Є (0,1]. (3.3.5)
Неравенство Брунна-Минковского для обобщенных моментов
Тогда, как известно, стационарная точка у = (/ІІ, ..., /in) есть точка минимума функции 1(у). Пусть теперь Q — ограниченная область в Шп такая, что ее можно предста вить в виде объединения конечного числа областей Q1, Q2,..., Ql (Q = (J Q1) г=1 таких, что каждая область Q1 является выпуклой, т.е. Q1 представима в виде ГГ = {х Є М.п х3 Є ГГ-, tpAxJ) Xj фАх3), j = 1,п}, і = 1,1, где Щ — проекция области Q1 на гиперплоскость Xj = 0, (pAxJ), фАх3) — непрерывные функции в Щ, j = 1,п, і = 1,/. Тогда функцию 1{у) можно представить в виде НУ) = / / f(x y)dx, где f(x — у) имеет вид (3.4.2). Поступая как и в 3.1, для нахождения стационарных точек функции І(у) в этом случае получаем систему J Hj(x] y)xjdx Уз = —г ? = n (3.4.12) Hj(x] y)dx где Hj(x;y) = У Xn ( )/ij( ;у; \tpj — yj\; \ifjj — yj\), x Є Q, у Є M.n, i=\ где Хм(х) характеристическая функция области Q1; функции hj{x \y) \ Pj — у\] \ifjj — Vj\) определены при помощи (3.4.8). Так как функции Hj(x;y) переменной х = (жі,... ,хп) положительны и интегрируемы в Г2, то применив к интегралу в числителе (3.4.12) теорему о среднем (теорема 1.1.5), получим, что система (3.4.12) разрешима и ее решение имеет вид: yj = Xj (j = l,n), где Xj Є [min ж j, maxxj].
Таким образом, функция I(y) и в этом общем случае имеет стационарную точку у = (Лі,..., Лп), которая также может и не принадлежать области Г2, но при этом гиперплоскости Xj = Xj, j = 1,п имеют с областью Q непустые пересечения.
Пусть в стационарной точке у = (Лі,..., Лп) также выполняется условие (3.4.11), где производные второго порядка функции 1(у) определены аналогично (3.4.10). Тогда у = (Лі,..., Лп) — точка минимума функции 1(у). Далее эту точку минимума будем обозначать через s = (si, S2,..., sn).
Если n = 1, то функция (3.4.1) примет вид ъ 1{у) = а\ I \х\ -yi\km+kldxh а которая имеет точку минимума si = - (cм. конец 2.1). Таким образом, доказана Лемма 3.4.1. Пусть ограниченная область Q С Мп, п 1 представима в виде объединения конечного числа выпуклых областей. Тогда функция 1(у) имеет стационарную точку которая при выполнении условия (3.4.11) является точкой минимума.
Теперь, если точку минимума функции s = (si, S2, sn) подставить в (3.4.1), то получим искомый функционал области Q вида п I(k; m;k ;Q) = / (аіжі — si ctn\xn — sn\ ) II \XJ — Sj\ jdx, (3.4.13) где k, ctj{j = l,n) Є (0,+oo), m, kj(j = l,n) Є [0, +oo) — произвольные действительные числа, причем m + \k\ 0, k = (k\,..., kn), \k\ = k\ + кп. Отметим, что при kj = 0 (j = 1,п) получаем функционал 7(A;,m; Г2), изученный в 3.2.
В заключение этого раздела выполнение условия (3.4.11) проиллюстрируем на конкретных примерах.
1) Пусть т = О, kj (j = 1,п) Є (0, +оо) — произвольные действительные числа, Q — параллелепипед в Wln: aj Xj 6j, j = l,n. В этом случае имеем п п 1(У) = / I I \хз Уз\ jdx = I I h Vj)i где bj г/j bj Ij{yj) = / \XJ — yj\ jdxj = / (yj — Xj) jdxj + / {XJ — yj) jdxj = аз аз Уз [(yj - CLj)kj+l + (bj - yj)kj+l] , j = 1,П. kj +1 Поэтому n І (у) = ко TT {Vj - CLj) j+ + (bj - Vj) j, ко = TT -L-L -L-L к + 1 3=1 3=1 J Находим dl(y) г k k -, — = ko(kj + 1) (yj — dj) 3 — (bj — yj) 3 oyj n TT [(yi - ai)ki+1 + (bi - Уі)кі+1], j = T n. Следовательно, для определения стационарных точек функции 1(у) получаем систему (yj — CLj) j — (bj — yj) 3 = 0, j = 1, n, откуда CLj + bj Vj = 1 j = l?n 2 Далее, находим д2І(у) п k-l jh+l bj — CLj dy] = Aj = 2 kod-3 II ai , dj = , j = l,n; дЧ(у) = 0. Cl;-\-b; , Vl= ,1 = 1,п Поэтому Г1{У) = У Aj(dyj) 0 Vdyj Ф О, j = l,n, СЬА-\-ЪА Уп= J п J ,1 = 1.П А —Л т.е. условие (3.4.11) выполняется. Следовательно, s = (ait 1, ant п) — точка минимума функции 1(у).
2) Пусть п = 2; к Є (1, +оо), m Є (0, +оо) — произвольные действительные числа, kj = к — 1, j = 1,2; Г2 прямоугольник в М2: х,- Xj bj, j = 1,2. Функция І (у) имеет вид: 1{у) = // [Сїі\хі — у\\ + Ct2\%2 — У2.\ ) \Х\ — У\\ \Х2 — У2.\ dX\dX2 = = / \Х\ — у\\ dX\ I (а,\\х\ — У\\ + (У.2\Х2 2/21 ) \%2 — 2/21 d%2 Сначала вычислим интеграл по Х2: /і ( Ж і — у\\) = / (скіжі — У\\ + «2ІЖ2 — 1/21 ) ж2 — 2/21 ж2 = а2 У2 = («іжі — 2/і + «2(2/2 — #2) ) к\} і х і) dx2+ а2 &2 + (скіжі — 2/11 + «2( 2 — 2/2) ) (#2 2/2) dX2 = У2 скіжі — 2/іІ + «2(2/2 — Q.2) + Сї2к(т + 1) + (аіжі - ші + «2( 2 - 2/2) )т+1 - 2а +1жі - 2/iMm+1)j Тогда &і 1{у) = \х\ — 2/іІ /і(жі — 2/i) i i = У\ Ьі = (уі — х{) 1\{у\ — x\)dx\ + (х\ — у\) 1\{х\ — у\)(1х\ = а-і У\ 4 2 = аА Yl fP+2(v) 2Y1 аТ+2 [ІУз - cij)k{m+2) + (bj - Уз)к{т+2)] }, (3.4.14) 3=1 3=1 где приняты обозначения: h(у) = аі(Уі аі) + 2(2/2 — &2) і /2(2/) = 0/,\{Ъ\ — У\) + CK2(l/2 — Q.2) , f?,{y) = (у.\{у\ — а\) + «2( 2 — У і) , /4(2/) = СКі(&і — 2/1) +«2(&2— 2/2) 5 «о = a:ia:2&2(m + l)(m + 2) Далее, используя (3.4.14), находим dl(y)/dyj, j = 1,2 и приравнивая их к нулю, для определения стационарных точек приходим к системе вида
Доказательство. Без ограничения общности рассуждений будем считать, что точка минимума s = (s\,..., sn) функционала I{k; m; k; Q) совпадает с началом координат О. Через Ej обозначим гиперплоскость Xj = 0. Пусть Uj — нормированный вектор с началом в точке О, ортогональный Ej, j = \,п. Заметим, что \Ej,z\ = \ZJ\, j = \,п. Поэтому функционал I(k; m; k; Q), определенный формулой (3.4.13), можно представить в виде