Содержание к диссертации
Введение
Глава I. СВОЙСТВА ПОДПРОСТРАНСТВ, СВЯЗАННЫХ С НЕРЕГУЛЯРНЫМИ КОНЕЧНОМЕРОМОРФЫМИ ОПЕРАТОР-ФУНКЩЯМИ 23
I. Основные обозначения и определения 23
2. Линейный операторный пучок 27
3. Голоморфные и конечномероморфные оператор- функции 38
Глава 2. УСТОЙЧИВОСТЬ СВОЙСТВ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ ПУЧКОВ ВОЗМУЩЕНИИ ЛИНЕЙНЫМИ НЕПРЕРЫВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 50
4. Некоммутирущие возмущения 50
5. Коммутирующие возмущения 54
6. Вполне непрерывные возмущения 62
Глава 3. НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ПУЧКИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 66
7. Разложение пространств на инвариантные пары для нерегулярного линейного операторного пучка 66
8. Операторные пучки и однородные дифференциальные уравнения 75
9. Операторные пучки и неоднородные дифференциальные уравнения 78
10. Дифференциальные уравнения с параметром, неразрешенные относительно производной
II. Уравнения с коммутирующими операторами 96
Глава 4. НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОР-ФУНКЩИ В ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ 100
12. Вывод уравнений разветвления 100
13. Бифуркация в случае нерегулярной линейной части 105
ЛИТЕРАТУРА
- Основные обозначения и определения
- Некоммутирущие возмущения
- Разложение пространств на инвариантные пары для нерегулярного линейного операторного пучка
- Вывод уравнений разветвления
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию локальных свойств нерегулярных оператор-функций и их применению к изучению дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и к теории бифуркаций.
Рассматриваются функции , определенные для X из некоторой окрестности U. комплексного числа ^о , голоморфные или имеющие полюс в точке Хо , значениями которых являются линейные непрерывные или замкнутые операторы, действующие из банахова пространства Л в банахово пространство і . Под нерегулярностью оператор-функции АоО понимается необратимость операторов A(V> при ХєЦ ,
Изучаемые в работе свойства оператор-функций пЩ связаны с разрешимостью уравнений вида
Ашос(У) =4(V> . (0.1)
Подобные уравнения возникают при решении широкого круга математических задач, находящих многочисленные применения.
Рассмотрение уравнений вида (0.1) своими истоками уходит в классические исследования по спектральной теории линейных опера-торов, т.е. изучение оператор-функций вида Аоо = А-х1 . Многочисленные результаты, относящиеся к таким оператор-функциям, где А - замкнутый фредгольмов или полуфредгольмов оператор, подробно охарактеризованы в известной монографической работе И.Ц.Гохберга и М.Г.Крейна [9] .
Основой для исследования произвольных голоморфных оператор-функций послужила статья М.В.Келдыша [20] , в которой были вве- дены понятия цепочки собственного и присоединенных векторов и кратности характеристического числа регулярного операторного полинома, а также получены формула для кратности характеристического числа и формула, выражащая главную часть резольвенты операторного полинома через его собственные и присоединенные векторы.
Понятия и результаты статьи [20] получили существенное развитие в работах И.Ц.Гохберга и Е.И.Сигала [l2] , [в] , [29J , в которых был разработан метод факторизации оператор-функций. Этот метод позволил обобщить указанные результаты на случаи ко-нечномероморфных фредгольмовых оператор-функций, а также ввести понятие и получить формулу факторкратности характеристического числа для нерегулярных фредгольмовых оператор-функций.
А.С.Маркус [2б] доказал, что для голоморфной полуфред-гольмовой оператор-функции ксУ) , определенной в области (гс, размерность пространства собственных векторов бесконечной кратности в точке X постоянна для всех X из & , и всюду в G за исключением некоторого множества изолированных точек пространство нулей совпадает с Н(А,>0 . М.Кас-хук [48] рассмотрел линейный пучок L(X)=A + ,kB , удовлетворящий свойству K(L \) = (km "Нац < оо # Им $шо доказано, что множество G точек X , для которых оператор L-СЭО нормально разрешим и K(L;X)^»o , является открытым в С , причем вне некоторого подмножества Гс & , состоящего из изолированных точек, выполняется K(L^)=o . Этот результат был обобщен на случай голоморфных оператор-функций К.-Х. Фёрстером [42] с помощью метода линеаризации.
Систематическое исследование свойств нерегулярных оператор-функций было проведено в ряде работ Х.Барта, М.Касхука и Д.Лэя [34 - Зб] . Работа [34] была посвящена исследованию поведения пространств нулей и образов ЗМАсхЛ) конечно- мероморфной оператор-функции А (V) , удовлетворяющей для Хє G- условиям: нулевой член А о разложения А(Х) в ряд Лорана нормально разрешим, число устойчивости К(А,Х) , обобщающее соответствующее понятие работы [48] , конечно. В работе [51] такие оператор-функции были названы F& -мероморфными. В [34] были обобщены результаты работ [48] и [4l] , а также доказана непрерывность в метрике раствора пространств п(А,х) и пространств
К(А,Х) , связанных с ЗКАОО) . В работе [35] для случая, когда оператор А0 имеет обобщенный обратный, было доказано существование конечномероморфной обобщенной обратной оператор-функции А ОО и установлено, что такие оператор-функции допускают факторизацию, что позволило получить формулу для фактор-кратности характеристического числа р& -мероморфной оператор-функции [Зб] . При более общих предположениях существование мероморфной оператор-функции А СЬЛ было доказано в [ 37] .
В ряде работ изучались следующие пространства, связанные с FG -мероморфной оператор-функцией А(Х): W(A,X0)- пространство таких векторов М из і , что для любого натурального п. существуют голоморфные в точке Хв функции f„(^ и Н^СХ) , для которых выполняется равенство Acx^cx^-Jd = (Х-Х0} ^(ОО ; - пространство векторов и из Т , для которых существует голоморфное в точке Хо решение эс(Х) уравнения Аоо*хШs и ; ^К(А,Х0)- пространство всех собственных и присоединенных к ним векторов пОС) в точке Хо
Для линейного полуфредгольмового при Хє (j пучка LCX^=A-xl в работах И.Ц.Гохберга и А.С.Маркуса [ю] , А.С.Маркуса [2б] , М.А.Гольдмана и С.Н.Крачковского [2] была доказана независимость пространств УЇКІ,)) и ^(L,.x) от параметра X , пробегаще-го множество (г\Г . Для линейного пучка К+хВ , удовлетво-рящего условиям (I) и (2), аналогичные утверждения были получены в работах [48] и [4l] . Результаты последних работ были перенесены Фёрстером [42] на голоморфные оператор-функции в предположении равенства КС А, 50= о (см. также [із] ).
В случае, когда L(X)~ A-^I , пространство Wt(L,o) совпадает с пространством 'Yflih) = Л Ж А ) , 7Ц1,о) совпа-даете T^A^UJvYA) и K.CL.O) совпадает с числом Xth) ~ ctim -—: . В ряде работ ставилась задача изучения устойчивости свойств замкнутого оператора А , в частности, поведения пространств ЦХКк) и % (А) , при возмущении линейными непрерывными операторами. М.А.Гольдманом и С.Н.Крач-ковским [4] - [7] была доказана устойчивость класса нормально разрешимых операторов, удовлетворяющих условию о(А) * ^ , а также постоянство пространств W.(k+2>) и 7fl(h+&) при возмущении малыми по норме коммутирующими с А операторами В Исследование устойчивости свойств оператора к при вполне непрерывных коммутирующих с А возмущениях было проведено в работах С.Грабинера [44] , [4б] .
В последнее время результаты, касавдиеся свойств линейных операторных пучков, нашли применение в теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, неразрешенных относительно производной. Вопросам изучения задачи Коши вида (А+еВ) xtt,)+Cxct,6)=oji6fo>eo)>efiC, (0.2) -х(о,ОеХ , єС. (0.3) с точки зрения операторных пучков посвящены работы С.Г.Крейна и
К.ИЛернышова [23] , С.П.Зубовой [15] , С.П.Зубовой и В.П.Трофимова [іб] , [17] . В этих работах рассматривались вопросы существования решений xtt?) задачи (0.2)-(0.3) и сходимости x(t,e) при -»*о к решению предельной задачи A x(t) -t-Cx(i) =0^ t6.ro,oo)^ (0.4)
5с(о) = іуп х(о, e) .
При изучении указанных вопросов важную роль играет разложение пространств X и Y на инвариантные относительно регулярного пучка пары подпространств, установленное методом спектральных проекторов в работе [38] (см. также [23] ). Для полуфред-гольмовых пучков другим способом разложение пространств на инвариантные пары было получено Т.Като [бо] и Т.Гамелином [43]
При изучении задачи (0.2)-(0.3) приходится сталкиваться с пучками от двух переменных f\-*-B + \C , что обуславливает необходимость использования методов оператор-функций нескольких переменных. Большое количество глубоких результатов и обширную библиографию по теории оператор-функций нескольких переменных можно найти в обзорных работах [14] и [46] .
Методы теории оператор-функций также находят применение в теории бифуркаций при исследовании локального поведения решений нелинейного уравнения в банаховых пространствах F(x,:o =0 (0.5) с вещественным параметром .X . Если отображение Fcx,aO дифференцируемо в точке (о,о) , то, обозначив A ex"} = (-^(0,^) } в окрестности этой точки можно записать R х} \) = А ОО х + ідг( х, X). Во многих работах рассматривался случай, когда к(У) - регуляр-ный пучок вида А-.ХІ (см., например, [47] ). Для регулярных оператор-функций Аш общего вида и для некоторых классов нерегулярных оператор-функций уравнение (0.5) исследовалось в работах Дж.Изе [47] и В.А.Треногина и Н.А.Сидорова [зо] . Использование собственных и присоединенных векторов оператор-функции
Аш для изучения решений уравнения (0.5) можно найти в работе Б.В.Логинова и Ю.Б.ІРусака [24] .
Диссертация содержит четыре главы. Первая глава посвящена изучению пространств, связанных с нерегулярными конечномероморф-ными оператор-функциями. Во второй главе исследуются свойства линейного пучка А + .ХІ при возмущении малыми непрерывными и вполне непрерывными операторами. Результаты первых двух: глав применяются в третьей главе для исследования дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, неразрешенных относительно производной. В четвертой главе с помощью метода корневых функций изучаются вопросы существования точек бифуркации нелинейных уравнений в банаховых пространствах. Нумерация параграфов в диссертации сквозная. Теоремы нумеруются по главам.
Перейдем к обзору содержания диссертации.
В I приводятся основные определения и обозначения, используемые в последующем изложении.
В 2 и 3 изучаются пространства, связанные со свойствами решений уравнения (0.1), где Аш- нерегулярная FG- - меро-морфная оператор-функция, определенная для X из некоторой области От с , , принимающая значения в пространстве линейных непрерывных операторов L(X,Y) , действующих из банахова пространства X в банахово пространство Y . Для произвольной точки ^о из G- рассматриваются определенные выше пространства
, а также вводятся: %C(A,X)-пространство векторов X X , являющихся коэффициентами разложения в ряд Тейлора в точке Х0 голоморфных решений Ч*Ш уравне- ния A(V> ЧЧХ4) so , 101г(А,О - множество векторов ueY , для которых существует решение У(У) уравнения АсмЧЧУ) s ij , имеющее полюс в точке Х0 ; ^С(А?Л0) - множество векторов х X , для которых существует голоморфная в точке Х0 функция ^М такая, что 4>U0)=X и АоО^Ш^Ах в некоторой окрестности точки <Х0
Во втором параграфе подробно изучается поведение пространств, связанных с линейным операторным пучком, введенных в работах [50] и [48] . Устанавливается ряд соотношений двойственности между ними. В 3 указывается связь этих пространств с пространствами ^(AjX) и Offl^ih,^) . С помощью метода линеаризации результаты 2 переносятся на случай голоморфной, а затем, используя один из методов факторизации, - на случай FG- - меро-морфной оператор-функции.
Пусть Г - множество точек X из & , являющихся полюсами АоО или удовлетворяющих условию К(А,.>0^0.
Теорема 1.8. Пусть оператор-функция А 00 FG-- меро-морфна в области Gc С . Тогда для всех Хе G пространства /WLt(A,xj и /Зсс(А,Х) постоянны и выполняются соотношения двойственности /Ш,а(А>)="1*^(А>) и tfUA^y^WMA*^). Для Хе&\Г выполняются равенства 1fL(f\}b) = Уіс(к,ь) и /^(А7^=/ЛС(А;^)=%(А;\) .Если ЛеГ , то
Для голоморфной оператор-функции получены дополнительные утверждения.
Теорема 1.7. Если АСЭО - голоморфная в G- оператор-функция, удовлетворяющая для всех Х О- условиям (I) и - II - (2), то для всех ^ из & выполняется равенство Wfc(A,^)s s/ftt(A,x) и
IMA,*) ' ' OffUM где tm(A,y> - факторкратность характеристического числа «К оператор-функции A(V)
В случае линейного пучка L(X^ описано строение пространств ^(l,^) и ш^а,*) .
Следствие 1.5. Если для линейного пучка LO0=T+bS выполняются условия теоремы 1.7, то для О^є G имеют место разложения %(L,0 = We(L,b) У1Х , Ш^,ь>Ш1*)9Щ где
1i^ - линейная оболочка некоторого канонического набора собственных векторов LcV) конечной кратности в точке ^ и присоединенных к ним векторов. При этом %C(L,:0 4fftc (!_>")
Результаты главы I обобщают и развивают аналогичные результаты работ [41 ] , [42] и [із] в следующих направлениях: а) рассмотрено поведение пространств 7l(A?x) , 7lc(A,.x) , Шс(к,^). ^^(А?^ в особых точках, т.е. точках ^ из Г ; б) получены утверждения двойственности ; в) результаты перенесены на случай F& -мероморфных опера тор-функций.
Во второй главе изучается поведение пространств, связанных с нерегулярным линейным операторным пучком Lex.) = А + .ХІ , при возмущении оператора А . Полученные результаты можно рассматривать с точки зрения устойчивости свойств нерегулярного оператора.
В 4 доказываются две теоремы об устойчивости некоторого класса операторов при возмущении малыми А -ограниченными и ограниченными линейными операторами.
Теорема 2.1. Пусть А - замкнутый нормально разрешимый оператор, действующий в банаховом пространстве X , Y(A) < . Тогда для достаточно малых А -ограниченных операторов В , удовлетворяющих условию ВСЖ^ПЦйКА))*: ШСА) t оператор А+В нормально разрешим и
Теорема 2.2. Если для непрерывного оператора А вы полняются условия теоремы 2.1, то для малых ограниченных операто ров В , удовлетворяющих условию &(^ft(/\)) <= 7fl(A) , прост ранство замкнуто и
Результаты 4 обобщают результаты работы [б] , в которой утверждение, аналогичное утверждению теоремы 2.1 было получено при дополнительных предположениях перестановочности В с А и дополняемости одного из пространств Х(к) или Я (А) .
В 5 изучается поведение пространств, связанных с оператором л при возмущении его малыми по норме операторами, коммутирующими с А .
Теорема 2.4. Если А - непрерывный оператор, для которого выполняются предположения теоремы 2.1, то для достаточно малых по норме коммутирующих с А операторов В выполняется равенство
7Ж) +ШАЇ = WA+B) i-^A+B).
При тех же предположениях относительно операторов А и В доказана
Теорема 2.5. Пространства Л/ТА+В) П W(A+B) и З^(А-^В) ^"'УКА-^В) непрерывны в метрике раствора. - ІЗ -
Основываясь на утверждениях теорем 2.4 и 2.5,делается вывод о том, что поведение пространств, связанных с пучком А + .КІ , при возмущении оператора А коммутирующими операторами сходно с поведением пространств, связанных с -мероморфными оператор-функциями, изученных в главе I и в работе [34] , при изменении параметра Л .
Изучаются необходимые и достаточные условия выполнения равенства *Ш = Ш+В) .пусть гА = <и^{с|иАх/і*с-с^сх,Ш))5 и 1(A) = 1 , *(M,N) - раствор между подпространствами
Теорема 2.6. Если оператор А удовлетворяет условиям теоремы 2.1 и Вп ^Z> - последовательность линейных непрерывных операторов, коммутирующих с А . Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) tf(A+Bh) = ї(к) для достаточно больших и є N ;
2) последовательность ^(А^ВК) ;п = і,г^...; ограничена; 3) ^A+Bj — «А) ;
ШН)/(Л))^ ; "(Я(Аі-6к),Я(А)) — о .
Следствие 2.4. Если Би ^ и У(А+ВК) = У(А),
Теорема 2.7. Пусть -й - связное комплексное многообразие размерности к , А(Х) - оператор-функция на , значения которой являются линейными замкнутыми операторами в банаховом пространстве X с одинаковой областью определения 2) ; для каждой точки Х0єО. оператор-функция AoO-A(-ko) принимает значения в и голоморфна. Если для всех X є ffl операторы А (Л4) нормально разрешимы, попарно перестановочны и - 14 -, то множество аналитично в
Утверждения теорем 2.6, 2.7 и следствия 2.4 показывают, что для оператора А , удовлетворяющего предположениям теоремы 2.1, условие V(A")-^T(A-«-B) является условием общего положения и соответствует "более простому" поведению пространств, связанных с пучком L(x)=A+--Xl , при возмущении коммутирующими операторами.
В 6 рассматриваются свойства пучка L(X) при возмущении оператора А компактными операторами.
Условиям теорем, доказанным в главах I и 2, удовлетворяют оператор-функции, значения которых являются полуфредгольмовыми или конечномерными операторами.
Основные обозначения и определения
Настоящая глава посвящена изучению пространств, связанных со свойствами решений уравнения А(\")ХОО = Ч , где A ()0 - нерегулярная FG - мероморфная оператор-функция, определенная для «X из некоторой области G- = С , принимающая значения в пространстве линейных непрерывных операторов, действующих из банахова пространства X в банахово пространство Y . Для произвольной точки - из & вводятся подпространства , характеризующие локальную разрешимость уравнений А(Л)хО0=0 и Аоохоо = и Доказывается независимость пространств г(А, ) и tidA от ч из G" и соотношения двойственности: 1с(А,х) = s/»fcJA 0, № (А )= Х#С(А%) , где А 00 -сопряженная к АоО оператор-функция.
Некоммутирущие возмущения
Пусть Х0е2. , А0= АоО. Рассмотрим такую окрестность U точки Х0 , что А( (ж(А0)) = = w(A0 для всех Х Ц. . %к при доказательстве теоремы 2.1 можно перейти к факторпространству j/fli(А \ Поэтому можно считать, что АоО является Ф_ -оператором для X&U , причем (А0) = {О7І . тогда в силу следствия 2.1 имеем ІЇ(А(.У)) = (ШлЖкСії), и утверждение нашей теоремы вытекает из предложения 1.5 в [57] .
class3 НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ПУЧКИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ class3
Разложение пространств на инвариантные пары для нерегулярного линейного операторного пучка
В настоящей главе методы теории оператор-функций применяются для исследования дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, неразрешенных относительно производной. Вводится преобразование, сходное с преобразованием Вореля, устанавливавдее соответствие между голоморфными решениями дифференциального уравнения и некоторого операторного уравнения с нерегулярным операторным пучком, то преобразование позволяет описать условия существования и единственности решений дифференциального уравнения в терминах пространств, изученных в главе I и в работе [34] . Устанавливается связь между радиусом сходимости разложения в степенной ряд решения операторного уравнения и экспоненциальным типом решения дифференциального уравнения.
Строится разложение пространств на пары подпространств, инвариантных относительно нерегулярного пучка. На основании этого разложения изучается поведение решений дифференциального уравнения с параметром при производной. Получены результаты, обобщающие на случай фредгольмового нерегулярного пучка результаты работ [15 - I7J. С помощью результатов главы 2 получено сведение дифференциального уравнения с коммутирующими операторами и нерегулярным пучком к регулярному случаю.
Вывод уравнений разветвления
В настоящей главе изучаются вопросы существования точки бифуркации нелинейного уравнения в банаховых пространствах, зависящего от вещественного параметра X . во многих работах, посвященных теории бифуркаций, рассматривается случай, когда линейная часть изучаемого уравнения представляет собой регулярную оператор-функцию АоО (см., например, [47] , L55j ). В этой главе выводится система уравнений разветвления для случая, когда оператор-функция А(Х) нерегулярна, и доказывается ряд теорем о существовании точки бифуркации, которые формулируются в терминах пространств, характериззгщих локальное поведение оператор-функции Аоо.
