Введение к работе
Актуальность темы
По всей видимости, как самостоятельная часть математики теория приближений ведет начало с работы П.Л. Чебышева1 1854 г., в которой он задается вопросом: как наилучшим образом приближенно представить заданную функцию?
В 1885 г. Вейерштрасс доказал, что каждая непрерывная функция на отрезке может быть с любой степенью точности приближена полиномами. Этот результат натолкнул на мысль искать связи между свойствами функций и скоростью приближения ее полиномами. Функции с одинаковой скоростью приближения образуют некоторый функциональный класс. Приближение целых функциональных классов тригонометрическими полиномами начатое в трудах Лебега, Валле-Пуссена, Фейера, Бернштейна, Джексона и продолженное затем в работах Колмогорова, Корнейчука,
Крейна, Стечкина, Никольского и многих других, нашло весьма полное освещение во многих монографиях и обзорных статьях.
Первым методом нахождения тригонометрических полиномов, приближающих периодические функции, явился метод, основанный на построении рядов Фурье4.
Однако в 1876 г. П. Дюбуа-Реймон построил пример непрерывной 2ж -периодической функции, ряд Фурье которой не сходится равномерно5.
Для периодического случая первый пример приближающей последовательности был построен в 1904 г. Л. Фейером. Было выявлено, что операторы Фейера, решая проблему равномерного приближения непрерывных
1 Чебышев П.Л., Поли. собр. соч. Т. 2. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1947, 520 с.
2 Jackson D. The theary of approximat. New York: Amer. Math. Soc, 1930
См. также Тихомиров, B.M. Теория приближений / В.М. Тихомиров // ИНТ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.14. -Москва, 1987. -С. 140-142.
3 Никольский, СМ. Избранные труды. Т. 1: Теория приближений. - М.: Наука, 2006. - 432 с.
4 Вилейтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. - Москва, 1960. - 468 с.
5 См., например, Тихомиров, В.М. Теория приближений / В.М. Тихомиров // ИНТ. Современные пробле
мы математики. Фундаментальные направления. Т. 14. -Москва, 1987. - С. 142-143.
функций, являются, тем не менее, весьма «некачественным» аппаратом приближения. Они приближают любую дифференцируемую функцию с
порядком 0(л_1) (втом числе и sin t). В 1911 г. Д. Джексон предложил операторы, приближающие дважды дифференцируемые функции с порядком 0(/7-2). Операторы Фейера и Джексона укладываются в некоторую общую схему. Они получаются с помощью так называемых методов суммирования рядов Фурье.
В дальнейшем было предложено большое количество других аппроксимирующих операторов, получаемых с помощью методов суммирования рядов Фурье. Среди них операторы Зигмунда и операторы Коровки-на6.
В работе В.А. Баскакова была предложена аппроксимирующая последовательность, относящаяся к тому же классу. В 2001 г. В.А. Баскаков нашел аналитическое представление множителей суммирования, таким образом, ввел понятие - тригонометрические операторы Баскакова.
Среди последних работ по аппроксимативным свойствам операторов
о о
следует отметить статьи Ю.Г. Абакумова, Е.С. Когана, Т.В. Дубровиной10.
Во второй половине двадцатого столетия идеи и методы теории аппроксимации находят свое применение в различных разделах математиче-
6 Коровкин, П.П. Линейные операторы и теория приближений / П.П. Коровкин. - М.: Физматгиз, 1959. -212 с.
7Баскаков, В.А. Об одном методе построения операторов класса с>2т II Теория функций и приближений. Интерполяция по Лагранжу /В.А. Баскаков - Саратов, 1984. С. 19-25. Баскаков, В.А. Об операторах класса 5^ > построенных на ядрах Фейера / В.А. Баскаков // Применение
функционального анализа в Теории приближений. - Тверь: ТвГУ, 2001. - С. 5-11.
8 Абакумов, Ю.Г. Приближение периодических функций тригонометрическими операторами Баскакова.
Научное издание /Ю.Г. Абакумов. - Чита: ЧитГУ, 2006. - 158 с.
9 Коган, Е.С. Оценка приближения функций операторами Баскакова в точке разрыва производной и
вблизи этой точки / Е.С. Коган // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. на
уч. тр. - Тверь: ТвГУ, 2004. - С. 107-115.
10 Дубровина, Т.В. Оценка характеристик, определяющих аппроксимативные свойства тригонометриче
ских операторов Баскакова и некоторых других методов суммирования рядов Фурье / Т.В. Дубровина. //
Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Чита, 2005. 68 с.
ской науки, в том числе прикладного характера (теория приближений, теория обработки сигналов), по этой причине данная тематика остается актуальной.
Цель диссертации
Цель диссертации состоит в получении универсального вида оценки приближения операторами Баскакова функций, имеющих изолированные точки разрыва производных, и исследовании свойств функций, фигурирующих в этих оценках, от приращения аргумента которых зависит поведение главного члена в асимптотическом разложении.
Методы исследования
В работе используются отработанные в исследованиях по теории приближений (СМ. Никольским, П.П. Коровкиным, СБ. Стечкиным и др.) приемы преобразования операторов типа свертки.
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность
Результаты представляют теоретический интерес.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на VI Всероссийской научно-практической конференции «Кулагинские чтения» (ЧитГУ, г. Чита, 2006), Всероссийской научно-практической конференции «Энергетика в современном мире» (ЧитГУ, г. Чита, 2006), VII Всероссийской научно-практической конференции «Кулагинские чтения» (ЧитГУ, г. Чита, 2007), VIII Всероссийской научно-практической конференции «Кулагинские чтения» (ЧитГУ, г. Чита, 2008), научных семинарах кафедры математики Читинского государственного университета (2005-2009 гг.), VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осеняя сессия) (Адлер, 2007), Всероссийской конференции по математике и механике, посвященной 130-летию Томского го-
сударственного университета и 60-летию механико-математического факультета (Томский государственный университет, г. Томск, 2008).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы с исчерпывающей полнотой в 12 статьях и 6 тезисах, из них 9 работ выполнены без соавторов. Статья [4] опубликована в издании, входящем в перечень ВАК.
Структура и объем работы
