Введение к работе
Актуальность темы.
Известно, что околоповерхностная микроструктура материала оказывает макроскопическое влияние на поведение объектов в целом, при этом математическое моделирование процессов в микронеоднородных средах вызывает существенные затруднения. Для упрощения исследования применяются асимптотические методы и методы теории усреднения, в частности, граничного усреднения. Понятие "граничное усреднение" включает в себя исследование задач в областях с быстро осциллирующей границей, задач в областях с концентрированными массами, расположенными около границы, задач с быстрой сменой типа краевых условий на фиксированной и мелкозернистой границе, в частности, в областях, перфорированных вдоль границы, и др. (см. монографии В.А.Марченко и Е.Я.Хруслова1, В.В.Жикова, С.М.Козлова и О.А.Олейник2, А.Л.Пятницкого, Г.А.Чечкина и А.С.Шамаева3 и список литературы в них). Изучение свойств решений таких задач является важным для многих приложений.
Отметим, что помимо краевых задач, рассматриваются ещё и спектральные задачи как классические, так и со спектральным параметром в граничном условии (задачи типа Стеклова), которые соответствуют моделированию внутренних и поверхностных волн соответственно. Основной целью настоящей работы является изучение спектральных задач типа Стеклова с быстро меняющимся типом граничных условий, т.е. задач с быстрым чередованием условия типа Стеклова и однородного условия Дирихле. Такая математическая постановка в трёхмерном случае соответствует гидродинамической задаче о ко-
1 Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова думка. 1974.
2Жиков В.В., КОЗЛОВ СМ., ОлеЙник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. Москва: ФизМатЛит. 1993.
3Пятницкий А.Л., Чечкин Г.А., Шамаев А.С. Усреднение. Методы и прило-Белая серия в математике и физике. Новосибирск: Независимый издатель Тамара Рожковская. 2007.
лебании жидкости в сосуде со свободной поверхностью, покрытой жёсткой перфорированной крышкой (см. работу Чечкиной Т.П. ). В данной диссертационной работе рассматривается как локально периодическое, так и непериодическое чередование граничных условий. В локально периодическом случае удалось дать полную классификацию возникающих усреднённых задач. Если условие Дирихле появляется на границе очень часто, предельное краевое условие наследует именно его (при таком предельном переходе собственные значения стремятся к бесконечности). При редком появлении условия Дирихле в пределе "побеждает" условие Стеклова. В промежуточном же случае возникает условие типа Стеклова со сдвинутым спектром. В общем непериодическом случае такой классификации привести нельзя, поскольку отсутствует регулярность структуры. Для такой ситуации разобраны крайние случаи (вырождения спектра и предельного классического условия Стеклова).
Цель работы. Целью работы является исследование и классификация сингулярно возмущённых спектральных задач в плоских ограниченных областях с быстрой сменой типа граничного условия. Предполагается, что на границе области чередуются (как локально периодически, так и непериодически) спектральное условие Стеклова и однородное краевое условие Дирихле. При этом важным является доказательство теоремы усреднения для исследуемых сингулярно возмущённых задач.
Также целью работы является изучение асимптотики собственных значений и собственных функций сингулярно возмущённой задачи Стеклова.
Методика исследования. В работе применяются методы функциональго анализа, в частности, интегральные оценки для функций из Соболевских пространств, спектральный анализ дифференциальных операторов, теоремы вложения про-
4Чечкина Т.П. Скалярная гидродинамическая задача с непериодически расположенными концентрированными массами на поверхности // Вестник Национального исследовательского ядерного университета "МИФИ". Т. 4. № 1. 2015. С. 25-34.
странств Соболева; методы математического анализа, в частности, выведение формул типа Стокса, тонкие свойства интегрируемости функций; методы качественной теории дифференциальных уравнений в частных производных, в частности, изучение поведения решений краевых задач на бесконечности и в окрестности особых точек; методы асимптотического анализа и теории усреднения.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Основные из них следующие:
Дана полная классификация случаев предельного поведения собственных значений и собственных функций для локально периодического возмущения спектральной задачи Стеклова.
Полностью исследовано предельное поведение собственных значений и собственных функций для непериодического возмущения спектральной задачи Стеклова в случае вырождения спектра.
Исследовано поведение возмущённого спектра в случае предельной классической задачи Стеклова.
Теоретическая и практическая значимость. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть полезны специалистам, работающим в области функциональго анализа и дифференциальных уравнений с частными производными. В частности, полученные в диссертации результаты вносят вклад в спектральную теорию дифференциальных операторов. Материалы диссертации могут составить содержание специального курса для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности "Математика".
Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на заседаниях семинаров Механико-математического факультета МГУ: "Операторные модели в математической физике" под руководством
А.А.Шкаликова, "Избранные вопросы уравнений математической физики" под руководством Г.А.Чечкина, а также на научном семинаре под руководством В.Е.Подольского.
Результаты диссертации были представлены на следующих научных конференциях:
Международная конференция "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений", посвященная 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева, Новосибирск, Институт математики им. С.Л.Соболева, 2008;
Международная конференция "Спектральная теория операторов и её приложения" посвященная памяти профессора А.Г. Костюченко, Уфа, БашГУ и БашГПУ им. М.Акмуллы, 2011;
Международная конференция "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений", посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева, Новосибирск, Институт математики им. С.Л.Соболева, 2013;
"Новогодняя мини-конференция кафедры дифференциальных уравнений Механико-математического факультета", Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова, 2014.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, список которых приводится в конце автореферата [1—6].
Структура и объем работы. Диссертация занимает 121 страницу текста и состоит из введения, двух глав, разбитых на 7 параграфов и списка литературы, включающего 139 наименований. Нумерация формул, теорем и лемм тройная — номер главы, номер параграфа и собственный номер, например, лемма 3.2.1 — лемма 1 второго параграфа третьей главы.