Введение к работе
Актуальность темы.
В фундаментальных и прикладных исследованиях важное место занимают уравнения Лапласа и Гельмгольца. Свойства решений этих уравнений находят многочисленные применения.
В 1 дано полное решение задачи: при каких а существует ненулевая, гармоническая в Rn(n ^ 3) функция, равная нулю на конусе Ka — {(xi,x')eRn : ||x'|| = axi}?
В теории аналитических функций хорошо известна следующая
Теорема. Пусть аналитическая функция и регулярна в угле |argz| < 7r/2/io , \z\ > a (Re г > 0). Если внутри угла
\ш{г)\
с любыми фиксированными С > 0, ho > I и і] > 0, то ш = 0.
Следует сразу же отметить, что этот результат может быть уточнен. Хорошо известный пример функции
lu(z) =exp{-rh-r>}, J7>0,
в угле | arg z\ < тг/2/іо, Re z > 0, показывает, что существенное усиление теоремы уже невозможно.
Теорема устанавливает предельную скорость убывания регулярной внутри данного угла функции, при которой эта функция еще отлична от тождественного нуля. С помощью конформных отображений из теоремы получаются оценки предельной скорости убывания аналитических функций, регуляр-
ных внутри других неограниченных областей типа угла или полуполосы.
Постановка задачи о предельной скорости убывания легко переносится с аналитических функций lo(z) — и(х, y)+iv(x, у), которые можно рассматривать как решения системы Коши— Римана на решения других эллиптических систем и уравнений. При этом интересен в основном случай более чем двух независимых переменных.
Требуется установить наличие предельной скорости убывания и найти ее оценку, во-первых, через степень эллиптичности соответствующего дифференциального оператора и, во-вторых, через геометрические характеристики области.
Пусть и(Х) — гармоническая функция трех переменных х,х\,Х2 в некоторой неограниченной области D. Требуется оценить функцию (р{Х) — нижнюю грань таких функций
\и{Х)\ < Сехр{-<р(Х)}
следует
и{Х) = 0.
Существование <р(Х) доказано Е.М. Ландисом для решений любого эллиптического уравнения второго порядка, коэффициенты которого ограничены вместе с двумя первыми производными; однако метод, примененный в этой работе, не позволяет существенно улучшить полученную оценку Поэтому представляет известный интерес уточнения резуль- тата Е.М. Ландиса для конкретных операторов—: в частности, для оператора Лапласа с числом переменных более двух (при двух переменных вопрос сводится к теоремам Фрагмена—Линделефа для аналитических функций). Известны результаты Аршона И.С, Иглицкого М.А., Пака М.А. для гармонических функций трех переменных в полупространстве, полуцилиндре, конусе. Теорема(Аршон). Пусть и(Х) -гармоническая функция трех переменных в неограниченной области D, содержащей внутри себя конус V : | arg(x±i\/y2 + z2)\ < -^-, г = у/х2 + у2 + z2 > а (х>0). Если внутри D \и{Х)\ < Сexp{-rh+Ti} (1) с любыми фиксированными С > О и ho > 1, 77 > 0, то и(Х) = 0. Эти и близкие вопросы рассмотрены в большом количестве работ: Л. Хёрмандера, В.З. Мешкова, И. А. Киприянова, В.В. Катрахова и др. В настоящей диссертации рассмотрен случай, когда в условии (1) теоремы (Аршона) от г} > 0 можно избавиться. Кроме того, как следует из доказательства, указан метод применимый к вопросам об убывании гармонической функции в телах вращения пространства Rn. Из которого следует, что при некоторых довольно естественных предположениях на тело вращения характер убывания гармонической функции будет такой же как и в плоском случае. В 5 доказан критерий существования ненулевого решения уравнения Гельмгольца в некоторых линейных функциональных пространствах. Пусть п ^ 2 — фиксированное натуральное число, Rn — вещественное евклидово пространство размерности п с евклидовой нормой || в ||, f(x) —.локально суммируемая в Rn функция. Предположим, что при некотором фиксированном г > О и почти всех (по мере Лебега) х Є Rn имеет место равенство J f(x) da = О, (2) S(x,r) где S(x,r) — сфера с центром х и радиусом г в Rn с ее нормированной поверхностной мерой da. В данный момент подробно исследован вопрос: верно ли, что f(x) — нулевая функция ? В общем случае ответ отрицательный, однако при некоторых дополнительных предположениях равенство f(x) = 0 имеет место. Одним из таких предположений является ограничение роста f(x) на бесконечности. Первые результаты в этом направлении принадлежат Ф. Иону и Д. Смиту которые установили, что если f(x) Є C(Rn) с условием , Hm \x\{n-l)/2f(x) = О jx|-K» удовлетворяют (2), то f(x) = 0. Отметим также недавний результат S. Thangavelu: если прі некотором функция f(x) с условием (2) принадлежит классу LP{Rn), т< f(x) = 0. При это утверждение уже не имеет места. Известная теорема о шаровых средних для уравнения Гель-мгольца утверждает, что для того, чтобы функция f(x) C(Rn) была решением уравнения AU(x) + X2U(x) = 0, необходимо и достаточно, чтобы при всех х Є Rn и г > О выполнялось равенство J f(x + u)du=(jyj J*f(x)t (3) |иКг где JK — функция Бесселя первого рода порядка к. В частности, отсюда следует, что всякое решение уравнения AU(x) + U{x) = 0, (4) имеет нулевые интегралы по всем шарам из Rn , радиусы которых принадлежат множеству нулей функции Ja . Всюду в дальнейшем {^}^11 — последовательность всех положительных корней функции /а , расположенных в порядке возростания. Теорема (Волчков). Пусть f(x) Є Li0C(Rn). Тогда для того чтобы интегралы от f(x) по всем шарам из Rn с радиусами z-i,^,... были равны нулю, необходимой достаточно, чтобы f(x) совпадала почти всюду с решениями уравнения (4). В настоящей работе дано полное решение задачи: при каких условиях накладываемых на банахово пространство функций существует ненулевое решение уравнения Гельмгольца. Кроме того, в настоящей работе дано полное решение задачи: при каких условиях накладываемых на банахово пространство функций существует ненулевая функция удовлетворяющая условию (2). В 1943г. Реллих доказал следующее утверждение. Теорема (Реллих). Пусть и(х) — решение уравнения Гелъмголъца Аи + и = О, определенное на всем п — мерном пространстве Rn . Тогда если lim и(ж)|х|(п-1)/2 = 0, |z|->oo (м = (*?+хі+...+*аі/2), то и(х) тождественно равно нулю. Обобщение этого утверждения на случай произвольных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в 1973г. было сделано Хёрмандером. Сформулируем частный случай теоремы Хёрмандера для ураї нения Гельмгольца. Теорема. Пусть и(х) — решение уравнения Гельмгольца Аи + и = 0, определенное на \х\ ^ Rq > 0 пространства Rn. Тогда если 2г lim- / \и(х)\ dx = О, г—>ооТ J г то и(х) = 0 в Rn . Цели настоящей работы. 1. Найти критерий существования ненулевой, гармонической в Rn функции, обращающейся в нуль на конусе Ка = {(хі, х') Є Rn : \\х'\\ = axi} — конус в Rn с вершиной в начале координат и раствором а. 2. Найти критерий существования ненулевой, гармониче 3. Исследовать вопрос: как быстро может убывать полигар {х\ + х\ + + х2п)Ф ^tg(^) хг пространства Л", чтобы u(xi,X2,...,xn) ^0 ? Найти критерий существования ненулевого решения уравнения Гельмгольца в некоторых линейных функциональных пространствах. Найти критерий существования ненулевой функции, заданной на Rn, удовлетворяющей условию нулевых сферических средних. Исследовать условия при которых функция, являющаяся решением уравнения Гельмгольца AU + U = 0 , определенная на \х\ ^ Ro > 0 и удовлетворяющая условию Д+1 lim [ \U(x)\2dx = 0, Я-»оо J R тождественно равна нулю. Методы исследования. Применяются методы теории функций комплексной переменной, теории специальных функций и гармонического анализа. Научная новизна. Доказан критерий существования ненулевой, гармонической в R71 функции, обращающейся в нуль на конечном числе конусов KQj = {(xi, х') Є Rn : ||x'|| = ajXi} — конусы в Rn с вершиной в начале координат и раствором otj . Найден ответ на вопрос: как быстро может убывать полигармоническая функция u(xi,X2,...,xn) заданная на конусе пространства Rn, чтобы u(xi,X2,...,xn)^0 ? Доказан критерий существования ненулевого решения уравнения Гельмгольца в некоторых линейных функциональных пространствах. Доказан критерий существования ненулевой функции, заданной на Rn, удовлетворяющей условию нулевых сферических средних. Получены условия при которых функция, являющаяся решением уравнения Гельмгольца AU + U — О, определенная на |х| ^ До > О и удовлетворяющая условию Я+1 lim [ \U(x)\2dx = 0, Л-»оо J R тождественно равна нулю. Приложения. Результаты диссертации могут найти применение в дальнейшем развитии теории функций вещественной и комплексной переменной, гармонического анализа и его приложениях. Публикации. Основные результаты полностью опубликованы в работах [1] — [14]. Структура диссертации. Диссертация изложена на 88 стра- ницах, состоит из введения, семи параграфов и списка литературы из 57 названий. Автор приносит сердечную благодарность научному руководителю доктору физико - математических наук, профессору В.З. Мешкову за постановку задач, за многочисленные ценные консультации и беседы, способствующие написанию работы. Автор благодарен доктору физико - математических наук, профессору И.А. Киприянову обратившему внимание на ряд публикаций по теме диссертации.
1 / 2
ской в Rn функции, обращающейся в нуль на конечном числе
конусов Ка ={(х\,х') Є Rn : ||а:'|| = а,-хі} —конусы в Rn с
вершиной в начале координат и раствором ctj .
моническая функция u(xi, Х2,..., хп) заданная на конусе
Похожие диссертации на О существовании ненулевых решений уравнений Лапласа и Гельмгольца в некоторых линейных функциональных пространствах
