Введение к работе
Актуальность темы. Всплеск-функцией (англ. wavelet) называется функция ф, либо используемая в качестве ядра интегрального оператора
(IV) К ь) = 4= [ №)Ф (—)<&, а,ЬеШ, а>0,
Vа JR V П /
при соблюдении условия
/
|#")|2,
du) < со,
либо порождающая ортопормировлпный базис ф}іііиі) := 2^2ф(2:іиі — к), j, к Є Z пространства L2(R). В данной работе термин вснлеск-функцня будет пониматься во втором смысле.
Теория всплесков — интенсивно развивающееся межнредмстное направление, включающее в себя исследования из области теоретической математики, прикладной математики, информатики. Один из первых примеров всплеско-вых базисов, построен И. Мейером в 1986 г. и носит его имя. В настоящее время семейство всплеск-функций Мейера и его модификации находят многочисленные применения в математическом и функциональном анализе, теории функций, численных методах решения дифференциальных уравнений, обработке сигналов и т.д.
Константа неопределенности служит количественным показателем в задачах, связанных с принципом неопределенности, используемом в квантовой механике, в гармоническом анализе, в задачах время-частотной локализации.
Константа неопределенности характеризует локализовашюсть функции во временной (множитель Д^) и в частотной (множитель Ал) областях. Чем меньше каждый нз данных множителей, тем лучше функция локализована
в соответствующей области. Так, для системы Хаара Д^ = у/5/6, Д^ = со, поэтому система Хаара лучше локализована по времени, чем но частоте. Система всплеск-функций Мейера является самым рапшш примером ортонор-мнровашюго базиса пространства L2(R), элементы которого при достаточной гладкости имеют конечные константы неопределенности и очень хорошую локализовашюсть во временной (если ф Є С(Ж), то всплеск-функция
убывает на бесконечности быстрее любой степени) и в частотной областях (ф финитна) Хорошая время-частотная локализация — одно из основных преимуществ всплеск-функций Мейера. Но, насколько известно автору, до сих пор не был решен вопрос о нахождении всплеск-функции Мейера с минимальной константой неопределенности и об уточнении нижней границы константы неопределенности для данного семейства всплеск-функций. Обобщения принципа неопределенности и уточнення констант неопределенности для различных иростанств можно найти в работах G. В. Folland, A. Sitaram, S. S. Goh, С. A. Micchclh, S. Dahlke, Р Maass, G. Battle, К. К. Schg и др.
Важен вопрос не только хорошей локализованное одной всплеск-функции, по и локализовашюсти целого семейства всплеск-функций, в составе которого есть всилеск-функцни с различными свойствами, например, всплеск-функции произвольной гладкости. Здесь необходимо отмстить работы С. К. Chui, J. Wang в которых для некоторых классических систем всплеск-фуикций (всилеск-функцнн Добеши, Баттла-Лсмарье, Стрембсрга) и их обобщений доказан неограниченный рост константы неопределенности с увеличением гладкости. Однако в статьях И. Я. Новикова построено семейство модифицированных всплеск-фуикций Добеши (всплеск-функции Новикова), имеющих компактный носитель, причем локализовашюсть по времени и частоте автокорреляционной функции, построенной для масштабирующей функции данной всплеск-фуикций, сохраняется с возрастанием гладкости. Возникает вопрос, можно ли построить семейство всплеск-фуикций, масштабирующие функции которых имеют как и сплайн-всилески экспоненциальное убывание на бесконечности и убывание порядка 0(и>~1) при |о>| —> со в частотной области, при этом константы неопределенности масштабирующих функций, а также самих всплеск-фуикций равномерно ограничены по параметру I, определяющему гладкость.
Цели работы.
исследовать время-частотную локализацию системы венлеск-функций Мейера. уточнить нижнюю границу констант неопределенности семейства всплеск-фуикций Мейера, найти численно или аналитически всплеск-функцию Мейера с наименьшей константой неопределенности;
построить повое семейство всплеск-функций, имеющих экспоненциаль
ное убывание и константы неопределенности для масштабирующих
функций и для всплеск-фупкцпй, равномерно ограниченные по пара
метру, определяющему гладкость.
Методика исследования. Основными методами исследования являются методы математического анализа, теории функций и вариационного исчисления, в частности метод Ритца. Новизна методов состоит в применении средних Валле-Пуссена для построения масок ортогональных всплеск-фуик-ций
Научная новизна.
уточнена нижняя граница констант неопределенности семейства всплеск-функций Мейера;
прямыми методами найдена минимизирующая последовательность для всплеск-функции Мейера с наименьшей константой неопределенности;
найдено дифференциальное уравнение с параметром, решение которого при определенном значении параметра минимизирует константу неопределенности всплеск-функции Мейера в пространстве W^;
построено новое семейство всплеск-фупкцпй, имеющих экспоненциальное убывание и константы неопределенности для масштабирующих функций и для всилеск-функций, равномерно ограниченные по параметру, определяющему гладкость.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования систем всплесков, в частности для изучения свойств локализованное.
Аппробация работы. Результаты данной работы докладывались на конференциях- Recent Progress in Wavelet Analysis and Frame Theory, Бремен, Германия (2006), Воронежская зимняя математическая школа „Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2007), па семинаре по теории
функций н теории приближений С В. Конягшіа в МГУ (2007), на семинаре ..Конструктивная теория функций и теория всплесков" в СПбГУ (2008).
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]- [7]. Из совместных работ [1]-[4] в диссертацию включены только результаты автора.
Структура и объем работы. Диссертация объемом 87 страниц состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, приложения и списка литературы, содержащего 35 источников. Окончания доказательств отмечены знаком И, окончания замечаний отмечены знаком
