Оценки модуля гладкости и некоторые его применения в аппроксимациях и интерполяциях функций Ибрагимова Белла Муслимовна

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Поведение модулей непрерывности и гладкости и оценки полиномиальных аппроксимаций сингулярных функций 20

1.1 Предварительные сведения и обозначения 20

1.2 Сингулярные функции с наперед заданным модулем непрерывности 29

1.3 Оценки модулей непрерывности второго порядка для сингулярных функций 38

1.4 Сравнение модулей непрерывности первого и второго порядков и оценки полиномиальных аппроксимаций 41

ГЛАВА 2. Аппроксимации с интерполяцией и модуль гладкости 60

2.1 Аппроксимация функций рациональными дробями с интерполяцией в равноотстоящих узлах 62

2.2 Аппроксимации сингулярной функции Кантора рациональными дробями с интерполяцией в равноотстоящих узлах 69

ГЛАВА 3. Модули непрерывности (гладкости) со знакочувствительным весом 74

3.1 Модули непрерывности в супремум-метрике со знакочувствительным весом 74

3.2 Оценки модулей непрерывности со знакочувствительным весом непрерывной на отрезке функции 83

3.3 Оценка полиномиальных приближений через модули непрерывности высших порядков относительно знакочувствительного веса 93

3.4 Интегральный модуль непрерывности со знакочувствительным весом 97

Список литературы 103

• Сингулярные функции с наперед заданным модулем непрерывности
• Сравнение модулей непрерывности первого и второго порядков и оценки полиномиальных аппроксимаций
• Аппроксимации сингулярной функции Кантора рациональными дробями с интерполяцией в равноотстоящих узлах
• Оценки модулей непрерывности со знакочувствительным весом непрерывной на отрезке функции

Введение к работе

Актуальность темы. Модули непрерывности и модули гладкости функций, которые называются ещё модулями непрерывности первого и второго порядков соответственно, и соотношения между ними играют важную роль в различных вопросах современного анализа, особенно, в теории приближения функций.

Данная работа посвящена исследованию поведения модуля гладкости
действительнозначных функций действительного переменного относительно
поведения их модуля непрерывности, оценкам модулей непрерывности и
гладкости сингулярных функций, применению модуля гладкости в оценках
скорости приближения непрерывных функций в равномерной метрике с
интерполяцией посредством рациональных дробей, изучению некоторых
важных свойств модулей непрерывности высших порядков в метрике со
знакочувствительным весом и их применения для оценки скорости
полиномиального приближения непрерывных функций в метрике

знакочувствительного веса.

По-видимому, А.Зигмунд первым обратил внимание на важную роль самого модуля гладкости и его соотношения с модулем непрерывности в теории приближения непрерывных функций полиномами. Дальнейшее развитие это направление получило в работах Н.И.Ахиезера, С.Б.Стечкина, А.Ф.Тимана, В.К.Дзядыка, А.В.Ефимова, А.Маршо, Р.М.Тригуба и др.

А.Зигмунд обнаружил, что если для модуля гладкости данной непрерывной функции известна асимптотическая оценка в виде некоторой степени его аргумента, то для её модуля непрерывности можно получить некоторую асимптотическую относительно аргумента оценку. Эти оценки в дальнейшем уточнялись различными авторами. В частности, В.Э. Гейт, используя конструкции Н.К. Бари и С.Б. Стечкина, распространил результаты А.Зигмунда об эквивалентности O -соотношений для модулей

непрерывности и модулей гладкости функций из классов Липшица с показателем, меньшим единицы, на более широкие классы функций.

В соотношениях между модулями непрерывности и гладкости сложной является задача об оценке снизу для данной непрерывной функции модуля гладкости через её модуль непрерывности. Известные в этом направлении неравенства А. Маршо и Р.М.Тригуба являются оценками, точными по порядку на классе всех непрерывных на данном отрезке функций в том смысле, что для каждого из этих двух неравенств существует своя непрерывная на данном отрезке функция, для которой левая и правая части неравенства представляют собой эквивалентные функции. Однако в обоих случаях остаются достаточно широкие подмножества класса непрерывных на данном отрезке функций таких, что одна часть неравенства является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с другой.

Как показали Д.М. Галан и В.Д. Галан, Р.Нессел и Э.Виккерен, в любом классе Гельдера со сколь угодно медленно стремящимся к нулю модулем непрерывности существует функция такая, что её модуль гладкости является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем её модуль непрерывности.

Поэтому актуальными являются задачи нахождения достаточных условий на фиксированную непрерывную функцию, которые обеспечивают определенные соотношения между её модулями гладкости и непрерывности, а также выяснения соотношений между модулями гладкости и непрерывности для непрерывных функций с «глобальными» характерными свойствами, например, для сингулярных функций.

Первые примеры сингулярных функций (так называемые канторовы «лестницы») построил Г.Кантор. Затем Г.Минковский и Р.Салем построили сингулярные строго монотонные на отрезке функции. Н.Н. Лузин показал, что любую сингулярную функцию можно представить в виде равномерно

сходящегося ряда сингулярных функций канторовского типа. И.С. Кац доказал, что этот ряд сходится даже по вариации.

В настоящее время исследование свойств сингулярных функций вызывает определенный интерес в различных областях математики. Так, А.А.Пекарский получил оценки наилучших равномерных аппроксимаций сингулярных функций посредством рациональных дробей. А.А. Рябинин, В.Д. Быстрицкий, В.А. Ильичев нашли связь сингулярных функций (вероятностных распределений) с классической задачей теории вероятностей о разорении; в теории аналитических функций нерешенная задача представления целой функции в виде преобразования Фурье-Стилтьеса связана с исследованием новых свойств сингулярных функций.

Переходя к другим задачам о модулях гладкости, заметим, что последовательности полиномов и рациональных дробей наилучшего равномерного приближения непрерывной на данном отрезке функции являются для нее последовательностями интерполяционных полиномов и интерполяционных рациональных дробей соответственно. Однако задача о нахождении для произвольной непрерывной на данном отрезке функции ее таблицы узлов полиномиальной или рациональной интерполяции, которая обеспечивала бы наилучшее равномерное приближение этой функции полиномами или, соответственно, рациональными дробями, является сложной и остается нерешенной проблемой.

Поэтому в случае непрерывных на отрезке функций представляет определенный интерес задача о равномерной или поточечной сходимости последовательностей полиномов и рациональных дробей для различных систем узлов, особенно, для простой по структуре системы равноотстоящих узлов.

Однако С.Н. Бернштейн доказал, что даже для функции f(x) = \х\ на

отрезке [-1,1] ее интерполяционные полиномы по равноотстоящим узлам расходятся во всех точках, кроме точек -1, 0 и 1. Как показали Н.Г.Гашаров,

Г.Вернер, Г.С.Рагимханова и А.-Р.К.Рамазанов, последовательность интерполяционных рациональных дробей функции /(х) = |х| по

равноотстоящим узлам отрезка [-1, і] равномерно на этом отрезке сходится к самой функции с достаточно высокой скоростью. Оценки наилучших рациональных аппроксимаций этой функции даны в работах Д. Ньюмана, А.А. Гончара, А.П. Буланова, Н.С. Вячеславова, Г. Шталя.

Исследованию зависимости скоростей наилучших полиномиальных и рациональных аппроксимаций функций от поведения их модулей непрерывности посвящены работы Е.П. Долженко.

В ряде работ В.Н. Русака, Е.А. Ровбы и их учеников, посвященных аппроксимации и интерполяции функций рациональными дробями, в качестве систем узлов интерполяции эффективно использованы нули синус-и косинус-дробей. Актуальной остается задача о рациональной аппроксимации непрерывных на отрезке функций с интерполяцией в случае «явных сеток узлов», в частности, в случае равноотстоящих узлов отрезка.

В работах А.-Р.К Рамазанова изучались свойства модулей непрерывности первого порядка со знакочувствительным весом и их применения в оценках полиномиальных приближений функций. Открытыми оставались аналогичные вопросы для модулей непрерывности высших порядков со знакочувствительным весом и вопрос оценки модуля непрерывности произвольного порядка со знакочувствительным весом через модули непрерывности более высоких порядков.

Цели работы.

Исследовать поведение модуля гладкости относительно модуля непрерывности фиксированной непрерывной функции.

Получить оценки модулей непрерывности и гладкости сингулярных функций, а также оценки в терминах модуля гладкости скорости равномерного приближения непрерывных функций с интерполяцией на равномерных сетках узлов посредством рациональных дробей.

Исследовать вопрос оценки модуля непрерывности произвольного порядка со знакочувствительным весом через модули непрерывности более высоких порядков, а также вопрос оценки скорости полиномиальных аппроксимаций функций в интегральных метриках со знакочувствительным весом.

Основные положения, выносимые на защиту. В работе получены следующие основные результаты.

1. Для непрерывных на отрезке функций получены достаточные условия, которые обеспечивают данной фиксированной функции соотношение эквивалентности ее модуля непрерывности и модуля гладкости на этом отрезке.

2. Для любого возрастающего модуля непрерывности со\д) с

— со построена сингулярная функция, имеющая модуль

непрерывности порядка co(s), совпадающий с co(s) на некоторой последовательности 8_п \ 0.

3. Для сингулярных функций получены точные по порядку оценки их модуля гладкости. Исследован также вопрос о скорости их наилучшего равномерного приближения полиномами.

4. Для непрерывных на отрезке функций через модуль гладкости получена одна оценка рациональных аппроксимаций с интерполяцией на равномерных сетках узлов.

5. Для модуля непрерывности произвольного порядка непрерывной
на отрезке функции в метрике знакочувствительного веса даны оценки через
модули непрерывности более высоких порядков.

6. Получено прямое обобщение первой теоремы Джексона о
полиномиальных приближениях функций на интегральные метрики со
знакочувствительным весом.

Методы исследования. В работе применяются в основном методы теории функций действительного переменного и функционального анализа, в частности, обобщенная теорема о среднем для производных, разложения функций в ряды, метод «склеивания» рациональных функций, а также различные неравенства.

Научная новизна. Все результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут быть использованы для получения новых прямых и обратных теорем теории приближения функций, в теории интерполирования функций, а также при исследовании вопросов вложения функциональных пространств.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались
на международных конференциях: «Современные проблемы математики и
смежные вопросы» (г. Махачкала, март 2010г.), «Функционально-
дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Махачкала, сентябрь
2011г., 2015г.), на научном семинаре Отдела математики и информатики
Дагестанского научного центра РАН (2012 – 2015гг., руководитель –
профессор И.И. Шарапудинов), на научной конференции факультета
математики и компьютерных наук Дагестанского государственного
университета (апрель 2011 – 2015гг.), а также многократно на семинаре
кафедры математического анализа Дагестанского государственного

университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ. Работы [1]
– [6] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных
журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ,

действовавшего на период публикации. В совместных работах [1] – [3], [5], [7] – [9], [12] А.-Р.К. Рамазанову принадлежит постановка основных задач и общее руководство. В работе [1] В.Г. Магомедовой принадлежит следствие

2, которое не вошло в диссертацию. В работах [2], [9] В.Г. Магомедовой предложена общая схема возможного метода исследования задачи об оценке снизу модуля гладкости для сингулярных функций произвольного спектра. В работе [3] В.Г. Магомедовой принадлежит постановка задачи о возможности уменьшения степени интерполяционной рациональной дроби в случае индивидуальных функций, автором диссертации получен результат в виде теоремы 2.2. В работах [5], [12] В.Г. Магомедовой доказана невозможность редукции определения модуля гладкости относительно веса по аналогии с классическим равномерным модулем гладкости. Из перечисленных совместных работ в диссертацию вошли результаты и их доказательства, полученные лично автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Объем работы составляет 111 страниц, библиография – 94 наименований.

Сингулярные функции с наперед заданным модулем непрерывности

В этой главе для сингулярных функций исследован вопрос об оценках их модулей непрерывности первого и второго порядков. Точнее, для любого возрастающего модуля непрерывности co(s) с — со{5) Т оо ( _ о) построена сингулярная функция, имеющая модуль непрерывности порядка co(S), совпадающий с со(д) на некоторой последовательности SniO; получены точные по порядку оценки снизу модулей гладкости (модулей непрерывности второго порядка) для сингулярных функций. Построены функции, которые сами являются модулями непрерывности порядка д In In... In— (In повторяется конечное число раз) и для которых модуль непрерывности второго порядка стремится к нулю существенно быстрее модуля непрерывности первого порядка.

Для непрерывных на отрезке функций получены новые достаточные условия, которые обеспечивают данной непрерывной функции на этом отрезке выполнение соотношения эквивалентности между е модулем непрерывности и модулем гладкости.

Для сингулярных функций исследован также вопрос о скорости стремления к нулю их наименьших равномерных полиномиальных уклонений.

Пусть функция f(x) определена на некотором отрезке [a,b]. Тогда точка хє(а,Ь) называется точкой роста функции f(x), если при всех достаточно малых h 0 выполняется неравенство fyx + h)-fyx-h) 0; точки а и Ъ называются точками роста функции f(x), если при всех достаточно малых /г 0 выполняются соответственно неравенства f(a + h)-f(a) 0 и f(b)-f(b-h) 0. Множество всех точек роста функции f(x) (хє[а,Ь\) называется е спектром. Сингулярной на данном отрезке [a, b] с (- оо, + оо) называется определенная на нем функция fix), которая на этом отрезке отлична от постоянной функции, непрерывна, имеет ограниченную вариацию и почти всюду на нем fix) = О. Периодическая функция f(x) называется сингулярной, если она сингулярна на отрезках длины е периода. Первые примеры сингулярных на отрезке функций, спектр которых представляет собой некоторое совершенное нигде не плотное множество лебеговой меры нуль, построил Г. Кантор (пример приведен в [42]). Такие сингулярные функции называются сингулярными функциями канторовского типа. Г. Минковский и Р. Салем построили (см., напр., [63]) сингулярные строго монотонные на отрезке функции (их спектр совпадает со всем отрезком). Н.Н. Лузин ([40]) показал, что любую сингулярную функцию можно представить в виде равномерно сходящегося ряда сингулярных функций канторовского типа. И.С. Кац ([34], [36]) доказал, что этот ряд сходится даже по вариации. А.А. Пекарский ([44]) изучил наилучшие рациональные аппроксимации сингулярных функций, предложил также один способ построения по заданному наперед модулю непрерывности co(s) (с условием — со v / 5 (- 0)) сингулярной на данном отрезке функции f(x), модуль непрерывности которой на этом отрезке удовлетворяет неравенству co(S,f) 4co(s) (ё 0). Модулем непрерывности (первого порядка) функции f(x), xe[a,b], называется функция a)(S,f)=Gj{S,f,[a,b]j, определенная при S 0 равенством eo(S, f) = sup{/( + h) - f(x): 0 h 8; x,x + Модуль непрерывности второго порядка (модуль гладкости) функции определяется при 8 0 равенством co2(S,f)=co2(S,f,[a,b]) = = sup{\f(x + h) + f(x-h)-2f(xl 0 h S; x-h,x + he[a,b\}. Вполне аналогично определяются модули непрерывности первого и второго порядков в случае 2ж -периодических функций fix); для них мы также будем придерживаться обозначений ш(д, /) и щ{8, /). Подробные сведения о свойствах модулей непрерывности первого, второго и других высших порядков функций можно найти в [1], [70], [19], [27]. В частности, отметим, что если функция f(x) непрерывна на данном отрезке [a, b]ci (- оо, + оо) или является непрерывной 2л--периодической, то 1)ш(0,/)=0, 2) ш(д, /) является неубывающей функцией относительно 8 О, 3) co(Sl+S2,f) co(Sl,f) + co(S2,f) для любых 0 и S2 0 (полуаддитивность сверху), 4) со{8, /) является непрерывной функцией относительно 8 0.

Эти четыре свойства являются определяющими свойствами модуля непрерывности функции, то есть если на отрезке вида [о, с] (с о) некоторая функция cp(t) является неубывающей, полуаддитивной сверху и непрерывной, причем (р(о)=0, то она совпадает со своим модулем непрерывности: со{д, (р) = (p\S) (О д с).

Поэтому модулем непрерывности называется любая функция co(t) с ш(0)= 0, которая при t О является неубывающей, полуаддитивной сверху и непрерывной.

Ниже будут использоваться также следующие хорошо известные свойства модулей непрерывности и модулей гладкости непрерывных на данном отрезке или 2я -периодических непрерывных функций fyx): со(пд, /) псо(д, /) при 8 0 и натуральных п ; усо(д,/) (/ + \)со(уд,/) при у 0 и 0; ю2(« , /) п2со2(д, /) при 0 и натуральных и . Очевидно, при всех д 0 выполняется неравенство ш2( , f) 2co\8, f). Более того, это неравенство точное на классе всех непрерывных на данном отрезке функций в том смысле, что существуют непрерывные на данном отрезке [a,b] функции f(x) (например, f{x) = \ х\ на отрезке для которых это неравенство обращается в равенство. При этом, как показывают другие примеры непрерывных на данном отрезке функций f(x) (например, функция f(x) = x\&x при є(0,і] и /(о)=о на отрезке [ОД]), возможно соотношение а 2 при - 0.

Поэтому сложной является задача об оценке снизу модуля непрерывности второго порядка через модуль непрерывности первого порядка. В случае непрерывных на отрезке [О, і] функций f(x) известное неравенство Маршо (см., напр., [87]) в этом направлении имеет следующий вид: І І t 0 х 1 с абсолютной константой М 0 и 0 -. Если co2(S, /) 0 при 8 О, то в этом случае, как показал Р.М. Тригуб ([71]), имеет место также более простая по форме оценка: тах{ 2, /) со2(ё, f)\ Мсо2(ё, /), где М 0 не зависит от 8 є [О, і], но может зависеть от max І/їх)!. 0 х 1

Обе эти оценки точные по порядку на классе всех непрерывных на данном отрезке функций в том смысле, что для каждого из этих двух неравенств существует своя непрерывная на данном отрезке функция, для которой левая и правая части неравенства представляют собой эквивалентные функции относительно с —» +0.

Сравнение модулей непрерывности первого и второго порядков и оценки полиномиальных аппроксимаций

С помощью построенных числовых последовательностей а1,а2,... и , 2,... определим теперь на отрезке [0,1] функцию f(x) канторовского типа. Положим f(x) = — на интервале длины а с центром в точке — и w 2 1 2 исключим этот интервал из отрезка [0, 1].

На двух оставшихся отрезках длины Ь1 каждый возьмем по одному интервалу длины а2 с центрами соответственно в центрах этих отрезков. Положим fyx) = — на первом слева из этих двух интервалов и f(x) = — на втором. Если исключить и эти два интервала, на [0, 1] остаются четыре отрезка длины Ь2 каждый. На этих отрезках выберем по одному интервалу длины аъ, центры которых совпадают с центрами соответствующих отрезков. На этих интервалах определим fyx) равной значению середины получаемых на вертикальной оси отрезков, образуемых значениями f(x) на предыдущем шаге, то есть равной —,—,—,— на интервалах последовательно слева направо; затем исключим эти четыре интервала. Продолжив этот процесс, определим функцию f(x) на всех исключаемых интервалах; их суммарная длина равна 1, так как она совпадает оо с суммой ряда Х2"_1« . п=\ Положим /(о) = 0, f{\) = 1. Если Е - объединение всех исключаемых по ходу построения fyx) интервалов, то в остающихся точках х0 отрезка [0,1] определим значения функции следующим образом: f(x0) = sup{f(x): хєЕ, х х0}.

В полной аналогии с «канторовой лестницей» (см., напр., [41]) показываем, что полученная функция f(x) будет сингулярной на отрезке [ОД]. Для оценки модуля непрерывности заметим, что Ьх=2со 2/ Поэтому для 0 8 2аГ1[- ] найдется натуральное п такое, что Ьп+1 8 Ъп (при 8 = 0 требуемое очевидно). Пусть х, у є [О, і] и \х-у\ 8. Тогда по построению функции f(x) получим \f(x)-f(yUf(bn)= — . Отсюда и из (2) при Ъп+1 8 Ъп (п = \2, имеем \f(x)- f(y\ 2 = 2dhn+l\ 2co\-S а значит, при 0 8 Ъх для модуля непрерывности а {8, /) получим требуемую оценку сверху: а)(д, f) 2co\-8

Далее, из конструкции функции f(x) и монотонно стремящейся к нулю последовательности ЬЪЬ2,..., построенных выше, следует, что при и = 1,2,... выполняется равенство Т sup{f(x)-f(yl\x-y\ bn; х,уе[0Л]}= Тогда с учетом (2) получим при всех « = 1,2,... требуемое в теореме равенство a)(b„,f)= А-Ь„ . \2 ) Если теперь О 8 2со 1 [ - ], то Ь„+1 8 Ъп при некотором и = 1,2,..., и требуемая а поэтому со(8, f) co(bn+l,f) = A-bn+l) = -A-bn) -А-8 v V+W/ 2 +v) 2 U ) 2 U J оценка снизу для модуля непрерывности со(8, f) также получена.

Действительно, при необходимости для строгого возрастания вместо функции со(д) можно взять сумму co(S)+kS, а затем подобрать положительный коэффициент к так, чтобы выполнялось условие отрезке [О, і] функцию, затем с помощью линейной замены аргумента из нее получим сингулярную на [a, b] функцию f(x) с требуемыми свойствами. Переходя к задаче об оценке скорости наилучших полиномиальных приближений сингулярных функций, заметим, что она ниже решается с использованием теоремы 1.1, точнее следствия 1.1 из нее, опираясь на первую теорему Джексона об оценке наименьших равномерных полиномиальных уклонений непрерывных функций через их равномерный модуль непрерывности (первого порядка).

Пусть функция f(x) непрерывна на некотором отрезке [а,б]с(-оо, + оо) и пусть Pп - множество всех алгебраических полиномов степени не выше п (п = 0,1,...) с действительными коэффициентами. Тогда наилучшим приближением порядка п (п = 0,1,...) функции f(x) на отрезке [а, ] алгебраическими полиномами называется следующая величина: En{f) = En(f,[a,b\)=M\ ШК\/{Х)-Р{Х\.Р ЕPП !.

Вполне аналогично определяется наилучшее приближение En(f) непрерывной 2л--периодической функции f(x) тригонометрическими полиномами P порядка не выше п (п = 0,1,...). Как гласит теорема Джексона (см., напр., [70], стр. 269), если функция непрерывна на данном отрезке то при любом п = 1,2,... выполняется неравенство

Вполне аналогично формулируется первая теорема Джексона в случае непрерывной 2л--периодической функции /(JC), приближаемой тригонометрическими полиномами порядка не выше « (« = 1,2,...), с заменой в неравенстве (3) Ъ-а на единицу. Имеет место Теорема 1.2. Для любой числовой последовательности А1 А2 ... Ап ... такой, что ій +оои -АпІ0 при п - оо, существует п ґАпл Ап сингулярная на отрезке [0,1] функция f(x), для которой выполняется соотношение произвольная числовая последовательность, удовлетворяющая условиям теоремы.

Доказательство. Пусть %ак,/Зк)}=1 - всевозможные интервалы постоянства данной сингулярной на [0, і] функции f(x) канторовского типа. Образуем множества Е1={а0=\,аъа2,..), Е2 ={/?0 =0, Д,/?2,...} и рассмотрим всевозможные отрезки вида I = \j3,a\, где @єЕ2, аєЕ1 и Р а. Расположим эти отрезки в порядке убывания их длин

Аппроксимации сингулярной функции Кантора рациональными дробями с интерполяцией в равноотстоящих узлах

В предыдущем параграфе для произвольной непрерывной на отрезке [0,1] функции /( ), продолженной на [-1,0), полагая f(x) = f(0) при х 0, построена последовательность рациональных дробей Rn(x) = Rn(x;/) (« = 1,2,...), равномерно сходящаяся на [0,l] к функции /( ); при этом max\f(x)-Rn(x;f] = o(co2(-,f,[-U]\\ («- о). (1) 0 x l V Vя УУ Так как легко показать, что при а = — для сингулярной функции 1пЗ Кантора ст(х) на отрезке [0,1] выполняется соотношение и при этом выполняется также неравенство co2(S, т) 2со{д, т) для 5 0, то некоторую оценку величины \cj{x)-Rn{x-cj\ МОЛ]) можно получить из соотношения (1).

С конструкцией сингулярной функции Кантора а(х) можно ознакомиться, например, в [42]. Следующее утверждение показывает, что степень рациональной функции Rn(x) = Rn(x;f) может быть уменьшена за счет учета структурных особенностей функции в случае приближения индивидуальных функций /(4

Доказательство. При фиксированном « = 1,2,... возьмем на отрезке [0,1І равноотстоящие узлы xh = — [к = 0,1,..., Ъп ) и по ним построим ломаную По структуре функции CT(JC) при каждом = 1,2,...,3W-1 в силу выбора узлов хк из любых двух соседних приращений функции ук+1 -ук и J t - Ук-1 хотя бы одно равно нулю, причем каждый из отличных от нуля коэффициентов ck , очевидно, принимает одно из двух значений (2J

Равные нулю коэффициенты ск соответствуют узлам хк, расположенным на подотрезках постоянства функции у(х). В данном случае число этих коэффициентов соответственно равно: 3""1 -1 для узлов хк с отрезка длины -; для узлов хк с двух отрезков длины —;...; 2п 2 31 -1) для узлов хк с 2п 2 отрезков длины 1 Значит, число нулевых коэффициентов ск равно 2- »- -1)=3"-2"+1+1, к=1 а поэтому число отличных от нуля коэффициентов ск равно 2И+1 -1. Пусть теперь множество В для JV = 3" и натурального т состоит из точек 60=0, ±bk=±— (k = 1,2,...,N), N v / ±bn+k=±exA- =) (k = 0,l,...,m-l). Как и при доказательстве теоремы 2.1, для этих точек составим рациональную функцию R(X;B) по формуле (1) из 2.1. Ее степень не больше N + т, она четная и интерполирует функцию х в равноотстоящих точках ±Ък (k = 0,l,...,N). Аналогично теореме 2.1 показываем, что при ехр(-4т) х 1 и т 4 выполняется неравенство х- (х; ЗехР(-Л). Если выбрать т = [(wln6 + ln3)3J+l, то при п \ (очевидно, тогда т 4) и k = l,2,...,N + m-l получим Ък ехр(-4т\ а значит, при О х ехр(- -Jm) и п 1 выполняются неравенства

В этой главе изучены некоторые важные свойства модулей непрерывности высших порядков в супремум-метрике со знакочувствительным весом и их применение для оценки скорости полиномиального приближения непрерывных периодических функций в метрике знакочувствительного веса, а именно, получен аналог (обобщение) прямой теоремы теории приближения в равномерной метрике, доказанной Джексоном (для модулей непрерывности первого порядка), Н.И. Ахиезером (для модулей непрерывности второго порядка) и СБ. Стечкиным (для модулей непрерывности произвольного натурального порядка).

Рассматривается также вопрос применения интегрального модуля непрерывности со знакочувствительным весом в полиномиальных приближениях относительно интегральных метрик со знакочувствительным весом.

Модули непрерывности первого порядка непрерывных функций относительно знакочувствительного веса и их приложения к оценкам скорости полиномиальных приближений в супремум-метрике со знакочувствительным весом изучены в работе [47]. Ниже вводятся модули непрерывности любого заданного натурального порядка непрерывных функций относительно супремум-метрики со знакочувствительным весом. Пусть г - данное натуральное число, 2я -периодическая функция f{x) является непрерывной и 2ж -периодические, непрерывные и неотрицательные функции р_(х) и р+(х) определяют знакочувствительный вес р(х) = (р_(х),р+(х)). Возьмем положительную и отрицательную части (срезки) функции f(x), т.е. функции /+(х)=тах{/(40}, /"( )= (-/( ))+ и составим разложение ([22]) функции f(x) по весу р(х), полагая (/, рХх) = Г(х)р+(х)-Г(х)р_(х). Тогда р -норма функции f(x) относительно веса р(х) определяется равенством ([22])

При р_(х) = р+(х)=1 величина / совпадает с обычной равномерной нормой \\f\\c = sup\f(x). Модуль непрерывности порядка г (г і) функции f(x) относительно знакочувствительного веса р(х) = (р_ (х), р+ (х)) определим при 8 О равенством СОг {/, р, S) = SUp (ЛГ/г/, Р Jx) , x,\h\ S в котором Arhf(x)=i(-\y-I(r)f(x + ih) /=0 \J J означает конечную разность порядка г функции fyx) в точке х с шагом h .

Оценки модулей непрерывности со знакочувствительным весом непрерывной на отрезке функции

Пусть задан знакочувствительный вес р(х) = (р_(х),р+(х)), где 2ж-периодические функции р_ (х) и р+ (х) неотрицательны на (-сю; + сю) и суммируемы на (-тг; + ті). При р 1 через J}pp обозначим множество всех 2л- -периодических функций f(x), для которых конечна величина l- L п J \р,р I J (/+wNw4"wfp-w йбс Можно доказать, что I представляет собой полунорму на L2 п, а р, р р, р именно, для любых f,ge L2p выполняются условия: 1) І/ І о; j р, р 2) Л-Я = - Я при Л 0, но не всегда -Я = Я ; J р,р J р,р Jp,pJp,p 3) \\ f + g \ І / І + її І р,р J р, р р, р Относительно этой полунормы определим наименьшие полиномиальные уклонения, полагая LnEJf,p) = mf\\\ Q-f\ :0єР„; здесь Ри - множество всех тригонометрических полиномов порядка не выше л (« = 0,1,2,...).

Как известно, при оценке наименьших равномерных полиномиальных уклонений в первой теореме Джексона структурная характеристика функции (ее модуль непрерывности) определяется через приращение функции f(x + h)-f(x). Если в случае рассматриваемой интегральной полунормы аналог модуля непрерывности определить как в случае равномерной метрики, то есть равенством то теряются стандартные свойства структурной характеристики, которые существенно влияют на оценки полиномиальных уклонений LpEn(f,p).

Более того, полный аналог первой теоремы Джексона, то есть оценки полиномиальных уклонений через одну лишь эту структурную характеристику невозможны. Точнее, имеет место следующая теорема.

Теорема 3.4. Существуют 2л - периодический знакочувствительный вес р(х) = (р_ О), р+ О)) и функция / є Ьряр (р 1) такие, что Cl p(S,f,p) = 0 при всех 8 є и при этом LpE„ (f,p) 0 при всех « = 0,1,2,... Г ; 2 Доказательство. В качестве функции f(x) возьмем непрерывную 2л--периодическую функцию, которая на отрезке [0;2л-] при фиксированном Н 0 определяется следующим образом:

В качестве составляющих веса р(х) = (р_(х), р+(х)) возьмем непрерывные л--периодические функции, которые на отрезке [0;7г] определяются следующим образом: \f(x + К)- f(x)\ р± (х) = 0 при всех х є [- п; п\. А, следовательно, при всех « = 2,3,... . При этом заметим, что \\Q-f\ 0 для любого тригонометрического полинома Q(x). Действительно, если Q(x)- полином нулевого порядка, то он не совпадает хотя бы с одним из констант Н или - Н, а поэтому, очевидно,

Если же тригонометрический полином Q(x) имеет положительный порядок, то найдется интервал (а;В)А—;—\ такой, что \0(х) - f(x)\ 0 U 3 J при всех х є (а; В), а поэтому О - f I 0. При каждом « = 0,1,2,... величина LpEn(f,p) достигается на каком-нибудь тригонометрическом полиноме Q(x), а значит, выполняется также неравенство LpE„(f,p) 0.

Теорема доказана. В связи с доказанным утверждением, естественно, возникает вопрос: как определить аналог интегрального модуля непрерывности функции ftL2p p , чтобы получить прямой аналог первой теоремы Джексона для интегральных метрик со знакочувствительным весом? Ниже получен ответ на поставленный вопрос. Для функции feL2p(j l) при 0 интегральный модуль непрерывности определим следующим образом:

Можно доказать, что эта структурная характеристика обладает основными свойствами обычного модуля непрерывности. Очевидно, Wp(0,f,p) = 0 и Wp(S,f,p) является неубывающей функцией относительно 8 0. Для доказательства непрерывности Wp(8,f,p) в точке S = 0 сначала это доказываем для непрерывных функций f{x) (используя их равномерную непрерывность и суммируемость функций р_(х) и р+{х) на(-я;я)). Затем общий случай сводим к случаю непрерывных функций с использованием абсолютной непрерывности интеграла Лебега и теоремы Лузина о приближении ограниченных измеримых функций непрерывными. При всех ( 0 и 2 0 имеет место также неравенство

Используя эти свойства интегрального модуля непрерывности, доказывается следующая теорема. Теорема 3.5. Для любого знакочувствительного веса р(х) = (р_(х\р+(х)), образованного парой неотрицательных 2я -периодических измеримых и ограниченных почти всюду функций р_ (х) и р+(х), и любой функции f L2 p при « = 1,2,... выполняется неравенство LnEJf,p) \2Wn\-J,p . sin(«f/2) vsin(f/2), Доказательство. Возьмем ядро Джексона In(t) = Ї 1 xr(sm(nt/2))\ if ;к = — ІЦ at и пусть Dn(x) = — \f(x)In(t)dt. Легко показать, что Dn(x) представляет собой тригонометрический полином порядка 2п-2. Ясно, что выполняется равенство