Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Параметрические представления некоторых классов функций в многосвязных областях 18
1. Параметрические представления классов Uu,e,..>4jm(C) 18
2. Параметрические представления классов
3. Об одной факторизации мероморфных функций в многосвязной области 39
ГЛАВА II. Классы функций, голоморфных в единичном круге и некоторые оценки 51
1. Представления функций класса У1(9) и одна интерполяционная задача в нем 51
2. Оценка роста произведений М.М.Джрбашяна 61
3. Оценка роста функций с конечным интегралом типа Дирихле 69
Литература 77
- Параметрические представления классов Uu,e,..>4jm(C)
- Об одной факторизации мероморфных функций в многосвязной области
- Представления функций класса У1(9) и одна интерполяционная задача в нем
- Оценка роста функций с конечным интегралом типа Дирихле
Введение к работе
В настоящее время хорошо известны исследования Ф.Рисса flj, Р.Неванлинны [2], И.Привалова [3], М.Джрбашяна [4,5), Л.Карле-сона [б] и других авторов, посвященные изучению определенных классов голоморфных и мероморфных функций в единичном круге, их представлениям и другим важным вопросам.
В исследованиях М.М.Джрбашяна для этих целей приводится построение новых операторов, являющееся существенным обобщением оператора дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувиля.
Это делается так. Условимся говорить, что функция СО(эс) принадлежат классу XL > если она удовлетворяет следующим условиям:
1) СО(х) неотрицательна и непрерывна на [0,l), причем
0)(0)=4 , )G)(x)dx
2) Для любого г (0Г*1)
jcj(x)dx>0 . (2)
функция CXx)glcIL » если она в окрестности точки Х-0 удовлетворяет условию Липшица.
Пусть 0(z)eil . К классу Р^ отнесена любая функция p(r) , представимая в виде
Р(оМ, Pir^rJ^pJx ҐС-(0Л] (3)
JC'
При б)(х)бИ и pcrjefk введен в рассмотрение оператор
ft*] = -^{ijV=r)dp
Предполагая, что в надлежащем классе допустимых функций U>(X) , определенных на (0,l), правая часть существует хотя бы почти всюду.
В классе функций Ц)(х) , непрерывных на [0,і] и обладающих на [0,і] непрерывной производной vy'(x) , оператор ^[^3 допускает следующее представление:
л (5)
В работе М.М.Джрбашяна [4] с помощью этих операторов устанавливаются принципиально новые аналоги классических формул Коши, Шварца и Пуассона для представления аналитических и гармонических функций внутри круга |?\<.Я . Доказано, что, если функция
^(геі») = Іак(ге1,,)Г- (6)
K-Q
голоморфна в круге \ъ\<-1 , (Л(х)$Х1 , р(г)&> » то
1. Функция
голоморфна в том же круге l|fl .
2. Для любого P(o^f^j) справедливы интегральные формулы:
(H\
№-**»+k\h[i* і »)Шк*ьь-
'/ (9)
5(г.")=2С(г^)-С(о^ (її)
Д0=1 , Дк- kJx*"1 G)(x)clx К--1Л" (12)
В том случае, если 1/(2) гармоническая функция в круге 1г|*4 , тогда им же доказывается [4], что функция
гармонична в том же круге 12|z. , причем для любого f(o*f*J) справедлива интегральная формула
где Р(ч>,г,ю) = Яе(ге'іЧ>).
Формулы (8), (9), (13) являются естественными обобщениями формул Коши, Шварца и Пуассона, ассоциированными с данной функцией co(x)eiL , совпадающие с ними при cj(x)=l .
Посредством указанных формул дается полное структурное представление для ассоциированных с построенными операторами li^ широких классов гармонических и аналитических функций.
Класс U(o гармонических в круге \1[±1 функций определяется как множество функций Ц(2) , для которых конечна величина
- б
\\C)[U(r^)]\M\<*o0 (14)
В случае tO(x)=l класс U^ совпадает с множеством функций, допускающих представление в виде интеграла Пуассона-Стильтьеса
[3].
В следующей важной теореме дается представление класса Ц^ в случае произвольной порождающей его функции со(х)е.О* » а также сравнение классов Uu> с классом ]}± , при различных предположениях относительно СО &) (см. [4] , стр.1095-1099).
Теорема 1.1. Клас с Ц^ совпадает с множеством функций представимых в виде интеграла
1/(ге*) = 4 P(44Cu)cty(e) (t*r«), (15)
где \Ь(в) - произвольная вещественная функция с конечным полным изменением на [o,2fiJ .
2. В представлении (15) данной функции 1/(2)^(7^, соответствующая функция ч[)(е) может быть определена с помощью предела
+(в) = &т K($„e*)d? > (1б)
где j\tl - некоторая возрастающая последовательность.
3. Класс UJcUco гармонических в круге izf^l функций, для которых
совпадает с множеством функций, представимых в виде (15), где функция vl/(G) не убывает на [одїг] .
Дальше показывается, что
1. Если функция Ld(x)bSl не убывает на [0,l) и a3(jc)t+0o
при rtl
то
IL-U-
(17)
2. Если функция co(x)eIL не возрастает на [0,1) и исхцо при xtl t то
'со
(18)
3. В соответствующих условиях оба включения (17) и (18) строгие. Функция P(4>,r)fcU » ПРИ условиях 1 уже не входит в Uw , а при условиях 2 функция Р(^Г,(0)б \]^ » но не входит в класс U .
Далее определяются классы С^ , R^ , аналитических в круге функций |(г) соответственно посредством условий:
УіЄІҐ [/(retVp)J*0 (Обгчі, Оьчьгъ)
(19)
о- Г F
'up
5иР даеГМИ*
>д+оо
(20)
В случае сосх)=1 эти классы были введены Герглотцом [7] и Рис-сом [8], установившими формулы для их представления.
В следующей теореме М.М.Джрбашяна дается представление классов Ссо и Тїи; в случае произвольной функции со(%)б-- (см, [4], стр.1100).
Теорема II. 1. Класс Си, совпадает с множеством функций |(г), представимых в виде
*«>=*с +
(е"1ег wjd^e) (аМ) <2i)
где JmC-0 , у(0) - произвольная неубывающая ограниченная
функция на [0,Ы] .
2. Класс j^ совпадает с множеством функций, представимых в виде (21), где v|/(0) - вещественная функция с конечным изменением
на [о,гъ] .
3. Далее в работе [5] М.М.Джрбашяна вводится основная формула типа классической формулы Иенсена-Неванлинна. Формула эта имеет вид
.f>
5(elef^)^{^|F(?el5))}cle,
.il^/plBi.JlMl;.Jc/n .^1/ Jo (22)
где /ЛІ - кратность возможного нуля (при лгй. ) либо кратность полюса (при Л-1 ) функции FU) в точке 2-Q, С- вещественная постоянная, определенная с точностью до слагаемого вида
1$іт >(т-о,±1,-)
о а функция /)со(2Л) определяется следующим образом:
AjM)-(i-f)e
2 \ 0-*ъ&У (24)
Ш1,»--ф(\^{ф-^1 Ue- (25)
Как в теории Неванлинны, так и в данном случае при Ъ-Q формула (22) естественным образом привела к определениям функций
mwlr,F)3A]L^{*ig|F(rcieJl)de
(26)
JVJrJ-h
m^M,co)u^dum^U r KJ (2?)
t о
и посредством их к определению функции
Х(»".Р)5ты(Г,Р)+>ЛС(г,Р) Itxul) (28)
названной Слі -характеристической. При этом устанавливается важное тождество
XfrF)- ConSi +Х(п|) Го^г^і; (29)
В случае, когда соа)=1» Функции ITI^hF)» Ло(ПР) и X(r,F) переходят в известные функции Щг, F) » Jf(r,f) и Т(ПР) . Другой значительно более общий случай, когда
тоже был исследован М.М.Джрбашяном [9].
В работе [5] М.М.Джрбашяна с помощью со -характеристической функции 7^ (г, f ) дается определение класса уУ*{со1 как множества мероморфных в круге 12UJ функций F(2) , подчиненных условию
tW'XCOFj^ + oo (30)
где функция со с х) е JTcf в окрестности точки Х-0 удовлетворяет условию Липшица,
Далее устанавливается основная теорема о параметрическом представлении класса J)f {coy . Эта теорема, содержащая в себе в качестве специальных случаев как теорему Р.Неванлинны относи-
тельно класса jY , так и теорему относительно И , (-l^cU + oo) , гласит:
Теорема III. Класс JY \<х>\ совпадает с множеством функций которые в круге \ъU4 допускают представление вида
К ()
где ^{0) - вещественная функция на [0,2fi] , с конечным полным изменением, Л4^0 целое число, jf - вещественное ЧИСЛО, Dlo^2'^-сходящиеся произведения вида
^(г,гк)--ПАы(г,2к) (32)
нули которых подчинены условиям
Наконец, ({^ определяется формулой (23).
Исчерпывающий характер этой теоремы для теории факторизации мероморфных функций в круге заключается в утверждении, что любая функция F(2) , мероморфная в круге 12U1 и не входящая в класс JV Р.Неванлинны, входит в некоторый класс J\f7u\ и таким образом допускает факторизацию вида (31), с порождающей функцией cdf(oc) (см. [5] , стр.594).
В работе [10] Г.У.Матевосяна строится аналог классов УК{ы} М.М.джрбашяна для кругового кольца и получено представление этого класса, аналогичное (31).
3. Следуя работе [ЇІ] М.М.джрбашяна, обозначим
^2,))=^ j|(i-f«/^1 ^de,
(і- &»)'
- II -
^(2.2.)=/7(1-)^80 (-^ (33)
%al+2.
где числа к удовлетворяют условию 2L (1-12*1) ^+tx> , При I2U1 , 0^ 1*5\il установлено [її], что
2.
|ї|г **1 ' О
iS) W»-lj. (34)
Далее в работе [її] М.М.Джрбашяна введен класс функций Нр(о() (Р>0 ol>-l) голоморфных в единичном круге |2U1 , для которых интеграл
«гГ
'(И f \1Ые)\ f circle ±.оо ш
существует. Этот класс функции является обобщением класса Ир (Р>0) Ф.Рисса голоморфных в единичном круге функций (см. [і] и [3]) и совпадает с этим классом, если интеграл (35) равномерно ограничен при d-*~i .
Функции класса HpW) обладают следующими свойствами: 1. Если f(2:)6 Нр^)и отличен от тождественного нуля, и
^(г) числовая функция Неванлинны функции (&) , то
_[(1-Г)АетПс1г^~ (36)
2. Если |(s)eHpU) и
j(l-I-)Aemr)clr = + 00 (37)
тогда -f(2.)= 0 .
В частном случае условия (37) выполняются, если числовая
функция Л (г) нулей функции -f(2j удовлетворяет условию (см.
[II], стр.7)
а> 4ш11-гМг)~1ш(ы*)п>- , (38)
б) ,/ "И --^ Р П > ^ (39)
В той же работе [її] М.М.Джрбашяна, при помощи функции JL (2,2ц) путем существенного обобщения формулы Иенсена-Неван-линны, была установлена факторизационная теорема для мероморф-ных в круге 121*1 функций F(2) , для которых
\
(l-rf%(r)dr^-too (-1 ±d.c+*) (40)
где ТрОг)- характеристическая функция FfeJ Р.Неванлинны.
Далее в работе К.М.Фишмана [12], заменой функции плотности (1-г) любой монотонно убывающей функцией tf(r) при помощи метода Джрбашяна получена аналогичная факторизационная теорема. В работе [ІЗ] Р.С.Галояна введено бесконечное произведение Л (-2|2К) следующим образом
'to
JU^-nCi-f^""'
я-.і где
Utotf.H = Hrdx - 1(f) гі^1^^ ^А(4І)
и доказано, что если последовательность комплексных чисел
- ІЗ -
{zJ* (о^кИ^ік!) Удовлетворяет условию
(42)
К=і ІїкІ*
тогда бесконечное произведение (41) абсолютно и равномерно сходится в каждой замкнутой части единичного круга, представляя аналитическую функцию, обращающуюся в нуль лишь на последовательности {2К}
(i-/Z„l)4+oe (43)
В частном случае, если CJ()6-TL не возрастает на (0,l), а последовательность {^к}* удовлетворяет условию
К-1
то имеет место представление
erf 25Г
(44)
/
%Ь,ЪЫ$&ШЦщЬ{г?*Щт;
где Ci-yjft^lf),^), Ь(^.^к) Функция Бляшке, а ч|/(0) -неубывающая ограниченная функция на [РД^5]
4. В случае кругового кольца и Г)-связной круговой области вопросами представления гармонических, аналитических и мероморф-ных функций занимались В.А.Зморович [14], С.А.Касьянук [15], М.Е.Дундученко [іб] , П.М.Тамразов [17] , И.А.Александров и А.С. Сорокин [18] .
Особый интерес представляет случай произвольной конечносвяз-ной области. В этом направлении отметим, прежде всего, работы Г.Ц.Тумаркина и С.Я.Хавинсона [19], Д.Хавинсона [20) , Т.С.Кузиной [21] и др. В упомянутых работах исследованы различные классы функций гармонических и аналитических в конечносвязных областях и были получены параметрические представления функций классов Неванлинны JV , В.И.Смирнова JV , классов Нр , Ер и других.
В настоящей диссертации изучены в П-связной круговой облас-
-14-ти классы гармонических, аналитических и мероморфных функций
UW0i...|tOrn (G) . Лив,....,сот(С) . Л{и0>..;
5 . Первая глава диссертации посвящена изучению классов функции в (ПН± )-связной области G , граница которой суть окружности: І2-?К\~КК, K,=0,1,-V Л)
На этом пути в I с помощью оператора L^ -М.М.Джрбашяна получены формулы (1.9), (1.10), (І.13) типа Коши, Шварца и Пуассона.
Построен класс гармонических в G функций Uio0,...,(0^ (с) типа классов Uoj -М.М.Джрбашяна, как класс функций, для которых выполняется одно из эквивалентных условий (I.I3) или (I.I3 ) или (I.I4) и (I.I4 ) или (I.I6) и (I.I6 ) или
ш*)4ІРМ&ЧН^#.Jpk-». t^R»> "С (45)
о Ksi
где 4>^аг^(г-гк);Г^|?-^кІ; к^ог..,гп, P(e,r;
ф (0) > к-0--,^, вещественные функции с конечным полным изменением на[0Дїї] .
Далее построен класс функций i\o0,..vu> (G) » аналитических в G и удовлетворяющих условию (1.22) или (1.23).-Функции этого класса представляются в виде (1.24).
Далее в 2 доказывается теорема типа Иенсена-Неванлинны (теорема 2.1), строится класс J\f {00,---,10^,0} или J\({^0,--,10^,0} мероморфных в (гп+1)-связной области G функций, аналогичный классам v/V {io\ или J\f{со},М.М.Джрбашяна, как класс функций, для которых выполняется условие
Гк J*
где<о0е_П! или cj0.H , cjKe _Q. , K-1,.-Vm , а функция
T (e )--,4 >t}i которую назовем (Jo)---^т-характеристи-
ческой функцией функции F(2) , определяется следующим образом:
Пусть
F(2)=Fo(?)F1(s)-Fro(2) ,
где функция FK(2) , к-0,---,т мероморфна в области С,к(2к,Як):
G^M^G^/l^oMo}, GKUK>U=-ri:{z/li-*K|>RKJ к** Обозначим Fo^(ur)^Fo(2o+RotLr); F^furjc рк(*к1-) u Т^ДЛ*)
CO - характеристическая функция функций . Обозначим
(46)
'К
к-о
Из определения (47) видно, что СО0,--,0^- характеристическая функция Tu, ,..)U) (^ , ..,9 jF*) в области G обладает всеми свойствами, которые имеют место для U) -характеристической функции М.М.Джрбашяна в области |аг|д1 .
Далее приводятся эквивалентные (46) определения класса
J^^iOer»^»*,?} Показано, что класс 7\^*{юв>- >«*^т,С^ не зависит от того, какие именно функции мы взяли в качестве функций
F0(*V..;Fm(*).
Доказано, что fCi) л/*-[и)0/-/От} тогда и только тогда, когда в области С имеет место
.w m
Pi (г-ъ>а?-Ц ПР. |i' _k\ U j p. /и. &) П A /Js,'-M (48)
ГДе BJO^k.) - произведение М.М.Джрбашяна, фк<(е)/ k=0;-;w вещественные функции на [ОДБ] , Д^р натуральное, / -вещественное число, Кю определяется формулой (27). Притом любую функцию F(2) , мероморфную в G , можно представить в виде (48) с порождающими функциями Оос>--,и)
В 3 главы I заменой функции плотности в (40) любой функцией сО(х)бЛ. доказано, что
Если F(2) любая мероморфная функция в Ш<1 , (j(x)*L и
і cJ(r2)7р(г)с/г<оо, то F(z) представима в виде о
F(2)= і^Щщ^щ^^^'^6}' (49)
где Л (?ДП) получается из (33) заменой функции плотности на
L)(fz) .
Далее получено аналогичное представление для функций F(2) ,
мероморфных в многосвязной области G .
Вторая глава диссертации посвящена построению классов функций в lirUl и изучению их свойств.
В I определен класс функций Н(Р^) , голоморфных в круге Ц 1*1 , для которых существует интеграл
о о
В этом классе по аналогии с формулами (36) и (37) М.М.Джрбашяна приведены теоремы единственности в классе Н(Р^) и теоремы о параметрическом представлении класса H(,6j) . Доказано, что
ЄСЛИ |(2)Є Н(Р;^) » то
т4Пши){сн4- (51)
С помощью неравенства (51) решены интерполяционные задачи в классах Ц (p,tj) и в классах Ц (2,cj) .
При доказательстве неравенства (51) и в 3 главы I важную роль играет лемма 3.1, которая позволяет всякую функцию, аналитическую в |Zl^l , представить в следующем виде
В 2 получена оценка снизу и сверху для произведения Л,(2,2„) (-1^4.+00) М.М,Джрбашяна. Эти оценки достигаемы.
В 3 главы П получены оценки для роста функций с конечным интегралом типа Дирихле.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [32] - [Зб) автора.
Автор приносит глубокую благодарность своему руководителю доктору физико-математических наук, профессору В.С.Захаряну за постановку задач и руководство при выполнении диссертационной работы.
Параметрические представления классов Uu,e,..>4jm(C)
В случае кругового кольца и Г)-связной круговой области вопросами представления гармонических, аналитических и мероморф-ных функций занимались В.А.Зморович [14], С.А.Касьянук [15], М.Е.Дундученко [іб] , П.М.Тамразов [17] , И.А.Александров и А.С. Сорокин [18] .
Особый интерес представляет случай произвольной конечносвяз-ной области. В этом направлении отметим, прежде всего, работы Г.Ц.Тумаркина и С.Я.Хавинсона [19], Д.Хавинсона [20) , Т.С.Кузиной [21] и др. В упомянутых работах исследованы различные классы функций гармонических и аналитических в конечносвязных областях и были получены параметрические представления функций классов Неванлинны JV , В.И.Смирнова JV , классов Нр , Ер и других. В настоящей диссертации изучены в П-связной круговой облас -14-ти классы гармонических, аналитических и мероморфных функций UW0i...tOrn (G) . Лив,....,сот(С) . Л{и0 ..; om,C} , представляющие собой распространение на многосвязные круговые области известных классов Uw , Rw и J H м.м .Джрбашяна и получены параметрические представления этих классов. 5 . Первая глава диссертации посвящена изучению классов функции в (ПН± )-связной области G , граница которой суть окружности: І2-?К\ КК, K,=0,1,-V Л) На этом пути в I с помощью оператора L -М.М.Джрбашяна получены формулы (1.9), (1.10), (І.13) типа Коши, Шварца и Пуассона. Построен класс гармонических в G функций Uio0,...,(0 (с) типа классов UOJ -М.М.Джрбашяна, как класс функций, для которых выполняется одно из эквивалентных условий (I.I3) или (I.I3 ) или (I.I4) и (I.I4 ) или (I.I6) и (I.I6 ) или ф (0) к-0--, , вещественные функции с конечным полным изменением на[0Дїї] . Далее построен класс функций i\o0,..vu (G) » аналитических в G и удовлетворяющих условию (1.22) или (1.23).-Функции этого класса представляются в виде (1.24). Далее в 2 доказывается теорема типа Иенсена-Неванлинны (теорема 2.1), строится класс J\f {00,---,10 ,0} или J\({ 0,--,10 ,0} мероморфных в (гп+1)-связной области G функций, аналогичный классам v/V {io\ или J\f{со},М.М.Джрбашяна, как класс функций, для которых выполняется условие T (e )--,4 t}i которую назовем (Jo)--- т-характеристи ческой функцией функции F(2) , определяется следующим образом: Пусть где функция FK(2) , к-0,---,т мероморфна в области С,к(2к,Як): CO - характеристическая функция функций . Обозначим Из определения (47) видно, что СО0,--,0 - характеристическая функция Tu, ,..)U) ( , ..,9 jF ) В области G обладает всеми свойствами, которые имеют место для U) -характеристической функции М.М.Джрбашяна в области агд1 . Далее приводятся эквивалентные (46) определения класса J iOer» » ,?} Показано, что класс 7\ {юв - « т,С не зависит от того, какие именно функции мы взяли в качестве функций Доказано, что fCi) л/ -[и)0/-/От} тогда и только тогда, когда в области С имеет место
Об одной факторизации мероморфных функций в многосвязной области
В частном случае условия (37) выполняются, если числовая функция Л (г) нулей функции -f(2j удовлетворяет условию (см. [II], стр.7) В той же работе [її] М.М.Джрбашяна, при помощи функции JL (2,2ц) путем существенного обобщения формулы Иенсена-Неван-линны, была установлена факторизационная теорема для мероморф-ных в круге 121 1 функций F(2) , для которых где ТрОг)- характеристическая функция FfeJ Р.Неванлинны. Далее в работе К.М.Фишмана [12], заменой функции плотности (1-г) любой монотонно убывающей функцией tf(r) при помощи метода Джрбашяна получена аналогичная факторизационная теорема. В работе [ІЗ] Р.С.Галояна введено бесконечное произведение Л (-22К) следующим образом и доказано, что если последовательность комплексных чисел тогда бесконечное произведение (41) абсолютно и равномерно сходится в каждой замкнутой части единичного круга, представляя аналитическую функцию, обращающуюся в нуль лишь на последовательности {2К} В частном случае, если CJ()6L не возрастает на (0,l), а последовательность { к} удовлетворяет условию то имеет место представление где Ci-yjft lf), ), Ь( . к) Функция Бляшке, а ч/(0) -неубывающая ограниченная функция на [РД 5] 4. В случае кругового кольца и Г)-связной круговой области вопросами представления гармонических, аналитических и мероморф-ных функций занимались В.А.Зморович [14], С.А.Касьянук [15], М.Е.Дундученко [іб] , П.М.Тамразов [17] , И.А.Александров и А.С. Сорокин [18] . Особый интерес представляет случай произвольной конечносвяз-ной области. В этом направлении отметим, прежде всего, работы Г.Ц.Тумаркина и С.Я.Хавинсона [19], Д.Хавинсона [20) , Т.С.Кузиной [21] и др. В упомянутых работах исследованы различные классы функций гармонических и аналитических в конечносвязных областях и были получены параметрические представления функций классов Неванлинны JV , В.И.Смирнова JV , классов Нр , Ер и других. В настоящей диссертации изучены в П-связной круговой облас -14-ти классы гармонических, аналитических и мероморфных функций UW0i...tOrn (G) . Лив,....,сот(С) . Л{и0 ..; om,C} , представляющие собой распространение на многосвязные круговые области известных классов Uw , Rw и J H м.м .Джрбашяна и получены параметрические представления этих классов. 5 . Первая глава диссертации посвящена изучению классов функции в (ПН± )-связной области G , граница которой суть окружности: І2-?К\ КК, K,=0,1,-V Л) На этом пути в I с помощью оператора L -М.М.Джрбашяна получены формулы (1.9), (1.10), (І.13) типа Коши, Шварца и Пуассона. Построен класс гармонических в G функций Uio0,...,(0 (с) типа классов UOJ -М.М.Джрбашяна, как класс функций, для которых выполняется одно из эквивалентных условий (I.I3) или (I.I3 ) или (I.I4) и (I.I4 ) или (I.I6) и (I.I6 ) или ф (0) к-0--, , вещественные функции с конечным полным изменением на[0Дїї] . Далее построен класс функций i\o0,..vu (G) » аналитических в G и удовлетворяющих условию (1.22) или (1.23).-Функции этого класса представляются в виде (1.24). Далее в 2 доказывается теорема типа Иенсена-Неванлинны (теорема 2.1), строится класс J\f {00,---,10 ,0} или J\({ 0,--,10 ,0} мероморфных в (гп+1)-связной области G функций, аналогичный классам v/V {io\ или J\f{со},М.М.Джрбашяна, как класс функций, для которых выполняется условие T (e )--,4 t}i которую назовем (Jo)--- т-характеристи ческой функцией функции F(2) , определяется следующим образом: Пусть где функция FK(2) , к-0,---,т мероморфна в области С,к(2к,Як): CO - характеристическая функция функций . Обозначим Из определения (47) видно, что СО0,--,0 - характеристическая функция Tu, ,..)U) ( , ..,9 jF ) В области G обладает всеми свойствами, которые имеют место для U) -характеристической функции М.М.Джрбашяна в области агд1 . Далее приводятся эквивалентные (46) определения класса J iOer» » ,?} Показано, что класс 7\ {юв - « т,С не зависит от того, какие именно функции мы взяли в качестве функций F0( V..;Fm( ).
Представления функций класса У1(9) и одна интерполяционная задача в нем
Доказательство. По теореме 1.3 имеем, что Ук(т) Цо » где cjKcx)t+oo при Xfl , или сокОО4 0 при xfl . Из соответствующего включения (17) или (18) вытекает (I.I9) или (1.20).
Обозначим но не принадлежит классу 11 (г\ t а функция ,.., ,9, ,.,4,,...1 ) принадлежит классу Uu0,.. . , ,. ) (при условии 2), но не принадлежит классу 1/ ,.., ,1,и - К) Обозначим 21) где X (2 j , K=Q,-vffi определяются формулой (1.5). Обозначим через .. (С) класс функций, аналитических в Ь((го,ЯоУ-Л2,п,іи) и Удовлетворяющих условию: Далее обозначим Ru30,..jto„(Ci) класс функций, аналитических в G((2o,R.),..,U«,lu) » Для которых одновременно (1.23) to где оператор X ffj определяется формулой (I.15). Из теоремы 1.3 и 1.4 следует, что классы функций RUJ0).,UV(G) и Яw0,--, (С) -совпадают, и для того, чтобы функция () принадлежала классу ft _ (С) , необходимо и достаточно, чтобы функции Uo+RoUO » Р(2к+-Ем , где к(2) определяется формулой (І.І5), принадлежа-ли классу Rio (см. условие (20) М.М.Джрбашяна). Отсюда используя теорему П М.М.Джрбашяна получается Теорема 1.7. 1. Класс Rio0,..,u ,«(C) совпадает с множеством функций $(Ъ) , представимых в виде где JmL-0, ф(0) » К 0,--,її) - вещественные функции с конечным изменением на to,in] 2. Если для (2) .ЯШо,..,4а)в разложении (1,4) Яе о+У 9) или jRe-f K." " Ще)%0 » т0 в представлении (1.24) ф0(е) или ф (9) неубывающая ограниченная функция на [одп-] . 2. Параметрические представления классов ./ {ц и С} Пусть C--C(UoM- m,u); Г(г,,,М ,G(2K,M , к- 0г-,т те же ""области и окружности, что и в I. Пусть функция F(2) мероморфна в G . Постоянные числа Ґ Як » К-1,-,т выбираем так, чтобы области G(2« А) 6(2КГ ) удовлетворяли условию (1.3) и чтобы функция- F(Z) не имела на множестве U ГЧ к.Г ) нулей и полюсов. Нули и полюса функции F( 0 , которые лежат в полуоткрытом кольце Як І2-ік Гк, » обозначим через А к) , , нумерация которых сделана следующим образом Остальные нули и полюса обозначим соответственно с№ , о) , нумерация которых сделана по порядку возрастания расстояния до точки Z0 » причем Тогда (см. [2Й, стр.388-393) существуют функции F0(Z); F Z),--..,F (2) такие, что I) Ffc(2) мероморфна в (I(EK,RH.) , K=0,v,m. Из (2.4) с точностью до слагаемого 23 Ш1 будем иметь неС( 2.л), (г„,ы), } (2-8) Напишем формулу (22) М.М.Джрбашяна (см. [5], стр.559) для функций F (ur) , K-Q, ,m , учитывая, что Fl4(oo)-l, K-l.-vm Далее, переходя к переменному z5 , затем подставляя значение гоо/ (2) в (2.8), получим: Теорема 2.1. Пусть CJ0(X)eHT» COK(x)t-Q- , K-l,--,m, тогда 1. функции определены соответственно в C(Z0)Rj и С(2.к.Дк.)» кроме, может быть, множества точек єЛа Х и бДа00, l 3. Для произвольных Р (скр і) » K-Oy--,m , для которых области C(?o»f0Ro) » С( ,- ) » K-i,-;rw удовлетворяют условию (1.3) и где \ct]l и m,, 1 - это вновь пронумерованные в том же порядке нулю и полюсы функции fo(E) » включая точку -0 » если она нуль, либо полюс, а С (2-їо) " первый член в ряде Лорана функции Fo(2) в окрестности точки 2-0 . Пусть функция FK.CZ) мероморфна в области С(2 .Дк) . Обозначим (2.10) - 33 где То)(?F) » М- характеристическая функция М.М.Джрбашяна функции Fdtf") мероморфной в \ujr\i.i , a FK (иг) определяются формулами (2.5). Пусть функция F(2) мероморфна в (ггні)-связной области G-C/feoR) ... ( m,R 0 » а функции ( .(2) 9к-о,",т определяются условиями (2.1)-(2.4). Пусть далее 6j0cx)e- » сОцЛ ) t JL (к-1,- ) и ,.-,$ выбраны так, чтобы o .f cl »-5 0 . Сле-дующую функцию
Оценка роста функций с конечным интегралом типа Дирихле
Покажем, что - что очевидно. Отсюда следует, что Ф (0) 0 , следовательно Фп(?)?0, и последовательность вв удовлетворяет условиям (5.7 ). Поэтому
Из формулы (5.3) следует доказательство теоремы. По аналогии с теоремой 5.3 получается Теорема 5.4. Пусть 2 1 ,0 п1 1 и Л»-[ .]+{л} , тогда Замечание. Если { }- 0 , получаем равенство. Пусть 2.(1-12 1) 4 3 и л.(-1,) фиксированное число, КГО Тогда по соответствующим теоремам М.М.Джрбашяна (см. [її] , стр.24 и [9], стр.622) бесконечные произведения 5TA(Z,ZO) И 6 Ш(2,2П) » гДе 5и(?.2л) определяются формулами (5.3), а Bei+i(2,Z ) определяется формулами Б,Л )=ПН)Є р./, \0- ,і(гДк) (5.8) - 68 равномерно и абсолютно сходятся в любом замкнутом круге i2Ur l и представляют функции (2, ) и ВАИ.(2,2К) » аналитические в единичном круге \Ъ\ -1 и обращающиеся в нуль лишь на последовательности {їЛТ Рассмотрим функцию г—,_, \ . При условии 2 (1-12 1) эта функция будет аналитична в круге \ї\ -і и там не обращается в нуль. Имеем при ігі і оо В работе [29] С.Уамасита (1980) доказывается, что- - в равенстве (6.1) наилучшее возможное значение, а именно, для любой константы р , он показал, что существует fc?)6 $i , такая, что В заметке [ЗО] В.С.Захаряна рассмотрен класс (о оС +оо) функций аналитических в U , таких, что и который при ol-О совпадает с классом i c . Для класса л доказано, что если -fе бы. » К(.4-юо , то "EtnWi-rf Й(г, ) 0. Г - 71 а также, что для любой константы р , 0 Р у в U существует функция -fcs)es6cc » такая, что Вместо функций (l-r2) в формуле (6.2) возьмем функцию \\(i), удовлетворяющую определенным условиям. Ясно, что при h(1- ) стремящейся к нулю, когда -fc-»l , этот класс obh шире чем класс , а в случае, когда hci-f) стремится к положительной бесконечности при! класс І к содержится в об . В настоящем параграфе получены оценки для классов dbh , аналогичные оценкам для классов So и ЗЬ , притом эти оценки при K() -Const совпадают с результатами [28] В.Коулинга и [29] С.Уаматиса, а при h()-j(KoUl -с соответствующим результатом работы \$6} . 2? Обозначим через _Df класс функций (-о , для которых f(-)tco при -fc O и jf(x)dx +оо , а через XL0 класс функций \\{i) y0 » которые монотонно стремятся к нулю при і 0 и для них существует производная функция h U)-H(i)f для которой fcmj -С (М ) (6.3) и H( )f оо при х±0 . Ясно, что если KWe-0-о , то К(ас) И( )е- - Далее обозначим через $ч класс функций $ аналитических в U ; таких, что при h(x elXo ShW=jI/i(l-r)r(relVf)Vclrc/f +оо (6.4) и Ясно, что если Ш)е XL0 , то с , а если Mt)6-0-o , то Аьэ&. » где 5бл класс функций &h« Kte)s.Consf. 3. Приведем несколько вспомогательных результатов. Лемма 6.1. Если бО(х)б-П.и - г-и. Так как левая сторона неравенства не зависит от % , то отсюда вытекает доказательство теоремы. Докажем теперь, что в теореме 6.1 величина - наилучшее возможное значение. Теорема 6.2. Для любой константы р , удовлетворяющей условию о ? - в U существует функция (1)6 при А е--П. о , такая.
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")
