Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные понятия, конструкции и методы 20
1.1 Фундаментальная группа и накрытия 20
1.2 Фундаментальные группы отдельных классов трехмерных многообразий 24
1.2.1 Расслоения Зейферта 24
1.2.2 Евклидовы пространственные трехмерные формы . 28
1.3 Подгруппы с наперед заданной факторгруппой 31
1.4 Транзитивные представления группы в Sn и ее подгруппы индекса п 33
1.5 Мультипликативные функции и их основные свойства 38
Глава 2. Циклические накрытия отдельных классов трехмерных многообразий 41
2.1 Вывод формул для подсчета циклических накрытий над расслоениями Зейферта без особых слоев 42
2.1.1 Предварительные построения и результаты 43
2.1.2 Дальнейшие преобразования и вычислительные примеры 51
2.2 Вывод формул для подсчета циклических накрытий надевклидовыми пространственными трехмерными формами 59
Глава 3. Циклические накрытия расслоений зейферта 77
3.1 Вспомогательные обозначения и результаты 80
3.2 Расслоения Зейферта типа (О,о) S3
3.3 Расслоения Зейферта типов (О,n), (N,n,II) (N,n.,III) 90
3.4 Расслоения Зейферта типа (N,o) 103
3.5 Расслоения Зейферта типа (N.n,I) ч 115
Глава 4. Подгруппы фундаментальных групп трехмерных евклидовых форм 124
4.1 Подготовительные результаты 129
4.2 Многообразия классов М\ и М.-2 139
4.3 Многообразия классов А^з, М-4, М-ь и -Мб 142
4.4 Многообразия классов J\f\ и А/з 150
4.5 Многообразия классов М% и А4 156
Литература 162
- Подгруппы с наперед заданной факторгруппой
- Мультипликативные функции и их основные свойства
- Вывод формул для подсчета циклических накрытий надевклидовыми пространственными трехмерными формами
- Расслоения Зейферта типа (N,o)
Введение к работе
Данная работа посвящена исследованию проблемы перечисления накрытий многообразий малых размерностей.
Начало систематическому изучению (разветвленных) накрытий римано-вых поверхностей, а в дальнейшем — и многообразий более высоких размерностей, было положено в классических работах А. Гурвица, относящихся к концу XIX века. Предпосылкой для таких исследований явилось то, что первоначально римановы поверхности определялись как разветвленные накрытия над расширенной комплексной плоскостью. Из такого определения, в частности, впервые была получена классическая формула Римана-Гурвшоа, связывающая род поверхности с родом ее накрывающей, а также с порядками и числом точек ветвления. Эта формула лежит в основе всех современных исследований по теории компактных римановых поверхностей.
При таком определении римановой поверхности последняя получается как результат склейки соответствующих берегов некоторого числа плоскостей с разрезами. Тем самым, число разветвленных нактрытий с фиксированным типом ветвления соответствует числу комбинаторных способов склейки таких плоскостей с разрезами.
В своей ставшей уже классической работе [72] А. Гурвиц в 1891 году определил производящую функцию для числа неэквивалентных накрытий заданной кратности над римановой сферой, имеющих заданное число простых то-
чек ветвления (порядка 2). В 1900 году в частной беседе М. Ласкер посоветовал А. Гурвицу использовать в своих исследованиях теорию характеров, которая уже была развита к тому времени Г. Фробениусом [39]. Развивая идеи этой беседы, в работе 1902 года [73] А. Гурвиц показал, что полученная им ранее производящая функция достаточно просто выражается через неприводимые характеры симметрической группы.
Методами, не использующими теорию характеров, X. Рёрл [106] получил верхнюю и нижнюю оценки для числа неэквивалентных накрытий над компактной римановой поверхностью, имеющих заданный тип ветвления. Е. Ллойд [84] при несколько ином определении эквивалентности получил производящую функцию для числа неэквивалентных регулярных накрытий над римановой сферой с циклической группой преобразований наложения Zp для простого р > 2.
В цикле работ [25, 26, 28, 29, 31, 90] А.Д. Медных, развивая идеи А. Гур-вица, получил полное решение задачи о числе неэквивалентных неразветв-ленных накрытий заданной кратности над произвольной компактной римановой поверхностью. Им же в работах [27, 30] полностью решена восходящая к А. Гурвицу задача о числе неэквивалентных накрытий над произвольной компактной римановой поверхностью с заданным типом ветвления (задача Гурвица). В указанной работе в случае, когда род поверхности стремится к бесконечности, получена асимптотика, из которой следует, что верхняя оценка X. Рёрла [106] на порядок выше, а нижняя соответственно на порядок ниже истинного числа накрытий. Продолжая свои исследования в этой области, в работе [91] он рассмотрел частный случай задачи Гурвица, когда порядки ветвления совпадают с кратностью накрытия, и привел полученные им ранее формулы к виду, более пригодному для непосредственных вычислений.
Ранее в работе [62] были получены необходимые и достаточные условия существования накрытий с заданным типом ветвления над компактной поверхностью с неположительной эйлеровой характеристикой. Аналогичный вопрос для разветвленных накрытий над сферой и проективной плоскостью оставался открытым. Полученное А.Д. Медных [30] решение задачи Гурвица позволяет по типу ветвления и по таблицам характеров симметрических групп ответить на вопрос о существовании накрытий и в двух оставшихся случаях.
Г. Джонс, используя определенную Ф. Холлом на решетке подгрупп произвольной конечной группы G функцию Мёбиуса fj,g [67], разработал метод подсчета числа нормальных подгрупп произвольной конечно порожденной группы с наперед заданной конечной факторгруппой и применил его к фундаментальным группам поверхностей и неевклидовым кристаллографическим группам, а также получил с его помощью решение задачи о числе неэквивалентных циклических накрытий компактных римановых поверхностей [75, 76].
М. Коркмаз [78]j рассмотрев задачу о порождающих элементах группы классов отображений поверхности, получил конечное число порождающих в случае неориентируемой проколотой поверхности. В частности, им установлено, что если поверхность имеет по крайней мере два прокола, то с точностью до сопряжения имеются четыре порождающих.
В работе [47] предложено чисто геометрическое, основанное на результатах теории квазиконформных отображений, решение задачи о существовании разветвленного накрытия над двумерной сферой с наперед заданным типом ветвления, решенной ранее А.Д. Медных алгебраическими методами с привлечением теории характеров [30].
Постепенно методы, разработанные и успешно применяемые в двумер-
ном случае, стали переноситься в область исследования трехмерных многообразий. Здесь следует отметить цикл работ В.А. Лисковца и А.Д. Медных [81, 82, 83]. В данных работах авторы, применяя разработанный ими для этой цели алгебраический подход, основанный на транзитивном представлении конечно порожденной группы в симметрической группе S„, получили формулы для отыскания числа подгрупп заданного индекса фундаментальных групп расслоений Зейферта без особых слоев для четырех из шести классов расслоений Зейферта, которое тесно связано с числом накрытий указанных многообразий.
К сожалению, на данный момент в этом направлении не удалось достичь большего продвижения и получить результаты для числа накрытий над указанными многообразиями, а также расширить класс рассматриваемых 3-мно-гообразий. Вызвано это целым рядов обстоятельств, среди которых наиболее значимыми являются, во-первых, значительно большая сложность строения фундаментальных групп 3-многообразий по сравнению с двумерной ситуацией, И; во-вторых, отсутствие в настоящее время единой классификации всех 3-многообразий, что вызывает необходимость поиска своих подходов к каждому из известных классов 3-многообразий.
Повышенный интерес в последние годы к решениям задачи Гурвица, различных ее вариаций и связанных с ними задач обусловлен как потребностями развития теории, так и многочисленными приложениями таких результатов в различных областях современной науки — начиная с чистой и прикладной математики и заканчивая теоретической физикой, при исследовании соли-тонных решений, и теорией струн.
Так, например, авторы работы [96] открыли интересную связь между задачей Гурвица и интегралами Ходжа. Вводя в рассмотрение потенциалы
Громова-Виттена и используя результаты АД. Медных о числе разветвленных накрытий над римановыми поверхностями [30, 91], авторы получили порождающую функцию для простых чисел Гурзица в терминах теории представлений симметрической группы S„. На этой основе авторами получена порождающая функция для интегралов Ходжа на фазовом пространстве ЛЛ9іг римановых поверхностей с двумя отмеченными точками.
В работе [79] авторы, интерпретируя число разветвленных накрытий рима-новой поверхности римановой поверхностью как соответствующий инвариант Громова-Виттена и применяя формулу склейки, вывели рекурсивное соотношение для числа указанных накрытий с элементарными точками ветвления и наперед заданным типом ветвления над особой точкой,
В работе [61] получены формулы для вычисления объемов фазовых пространств голоморфных дифференциалов, исходя из интерпретации указанных объемов как асимптотических значений числа связных разветвленных накрытий тора, когда их степень стремится к бесконечности, а тип ветвления зафиксирован. Указанные результаты находят применение в задачах, связанных с биллиардами в рациональных полигонах, а также находятся в связи с интервальными обменами и экспонентами Ляпунова геодезического потока Тейхмюллера.
В настоящей работе продолжен цикл исследований комбинаторных аспектов теории накрытий многообразий малых размерностей, начатый в указанных выше работах. При этом, особое внимание уделено рассмотрению трехмерных многообразий,
В связи с тем, что в настоящее время не существует единой классификации трехмерных многообразий, в настоящей работе рассматрвиаются отдельные замкнутые классы 3-многообразий. Одним из таких естественных классов
является класс компактных связных плоских трехмерных римановых многообразий, то есть трехмерных евклидовых форм.
Еще из фундаментальных результатов Л. Бибербаха [48, 49] о кристаллографических группах в n-мерном евклидовом пространстве следует, что в каждой размерности существует лишь конечное число мегомеоморфных евклидовых пространственных форм (то есть связных полных римановых пространств постоянной нулевой кривизны), причем каждая из них допускает конечнолистное накрытие тором той же размерности.
В трехмерном случае впервые все десять негомеоморфных евклидовых форм были приведены в работе В. Ханцше и Г. Вендта [68]. В этой работе была дана топологическая характеризация указанных многообразий, приведены ко представлен и я фундаментальных групп этих многообразий, а также указаны их порождающие в группе движений трехмерного евклидова пространства Е3. Необходимо отметить, что отдельные трехмерные евклидовы формы появлялись и ранее указанной работы в исследованиях других математиков. Однако, последняя неизвестная в то время трехмерная евклидова форма, принадлежащая классу Arg в обозначениях настоящей работы (см. п. 1.2.2), была приведена впервые именно в работе [68], в связи с чем она и получила впоследствии название многообразия Ханцше-Вендта.
Несмотря на достаточно продолжительную историю исследования трехмерных евклидовых форм, в последние несколько лет интерес к их изучению резко возрос в связи с рядом результатов, устанавливающих связь этих объектов с другими областями современной на.уки. Среди указанных результатов отметим следующие.
Недавно Д. Лонгом и А. Ридом [85] было установлено, что для любого п > 2 каждая евклидова n-форма с точностью до диффеоморфизма возни-
кает как сечение некоторого каспа подходящего гиперболического (n + 1)-орбифолда. Этот результат дает частичный ответ на вопрос, поставленный Ф. Фарреллем и С. Здравковской [64], о том, является ли каждое плоское п-многообразие с точностью до диффеоморфизма сечением каспа подходящего гиперболического (п + 1)-многообразия конечного объема с одним каспом (оговорка «с точностью до диффеоморфизма» вызвана известным следствием из теоремы жесткости Мостова, в соответствии с которым существуют некоторые алгебраичесие ограничения на изометрический тип плоского п-многообразия, которое может возникать как сечение каспа гиперболического (n + 1)-многообразия конечного объема).
* В трехмерном случае в данной области известно нечто большее. А имен-
но, в работе [99| установлено, что каждая евклидова трехмерная форма получается как сечение каспа гиперболического 4-многообразия. Однако, при этом, все же, нельзя утверждать, что число каспов равно единице. Кроме того; в трехмерном случае известен результат Дж. Рэтклифа и С. Чанца, полученный ими в работе [105]. Здесь при помощи специально разработанной для этих целей компьютерной программы построен перечень из 1171 ги-
' перболического 4-многообразия минимального объема, каждое из которых
получается отождествлением соответствующих сторон идеальной 24-клетки в гиперболическом пространстве Н4. Эти многообразия являются простейшими среди полных гиперболических 4-многообразий конечного объема. С помощью этой серии многообразий авторы доказывают, что спектр объемов гиперболических 4-многообразий есть множество всех положительных целочисленных кратных числа 4тг2/3 (таким образом, в четырехмерном гипербо-
^ лическом случае ситуация аналогична двумерному, поскольку уже более ста
лет известно, что спектр объемов гиперболических 2-многообразий есть мно-
жество всех положительных целочисленных кратных числа 2тт). При этом, в частности, установлено, что все трехмерные евклидовы формы, за исключением классов Л4з> Ма, -Мъ в обозначениях настоящей работы, возникают с точностью до диффеоморфизма как сечения каспов указанных гиперболических 4-многообразий.
Отметим здесь также некоторые связи трехмерных евклидовых форм с теорией спектра оператора Лап ласа-Бел ьтрам и Д(/) = —divgracl(/). Данный оператор возникает в математической физике в связи с волновым уравнением и уравнением теплопроводности.
В первой половине XX века интерес в изучению спектра оператора Лапласа-Бел ьтрам и был вызван предположением о том, что собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами, заданного на двумерной области М, полностью определяют геометрию Ж. Такое предположение было во многом обусловлено результатом Г. Вейля [120], которым было установлено, что спектр оператора Лапласа-Бельтрами на Ж определяет такой важный геометрический инвариант М, как объем vol(M). В популярной форме этот вопрос был сформулирован М, Кацем [77] так: «Можно ли услышать форму барабана?».
На строгом математическом языке указанная проблема формулируется следующим образом: если многообразия Ж и М' изоспектральиы, то следует ли отсюда, что они изометричны? При этом два многообразия Ж и Ж' называются из о спектральными, если спектры оператора Лапласа-Бельтрами на Ж и Ж совпадают.
Первый отрицательный ответ на этот вопрос был получен в 1964 году Дж. Милнором [93], которым были построены два 16-мерных изоспектраль-ных, но не изометричных тора, Однако, в двумерном случае Р. Бруксом в 1988 году [56] было установлено, что два двумерных тора изоспектральиы тогда
и только тогда, когда они изометричны. Оказывается, отрицательный ответ получается уже в четырехмерном случае. А именно, в 1990 году А. Шиманом [111] были построены два четырехмерных изоспектральных неизометричных тора. Затем им же в 1997 году [112] было доказано, что в размерности три два тора изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометричны.
Естественно возникает вопрос о том, как разрешается упомянутая проблема в классе всех компактных связных плоских трехмерных римановых многообразий, то есть трехмерных евклидовых форм.
В 2002 году Р, Исангуловым [12] было установлено, что любые две го-меоморфные трехмерные евклидовы формы изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометричны, то есть в каждом из классов Aii, ..., Mq, А/і, . . ., А/4 в обозначениях настоящей работы (см. п. 1.2.2) изоспектраль-ность эквивалентна изометричности.
После упомянутого результата открытым оставался вопрос о том. могут ли быть изоспектральными две трехмерные евклидовы формы из разных классов (неизометричными они будут автоматически).
Положительный ответ на поставленный вопрос был получен Дж. Конвеем и Дж. Розетти [57, 58], которыми были построены изоспектральные многообразия классов А44 и Л4 в обозначениях настоящей работы.
Отдельного внимания заслуживает результат Т. Сунады [116]. Им был открыт общий метод построения пар изоспектральных неизометричных многообразий. Метод Т. Сунады основан на рассмотрении римановых накрытий и сведении исходной задачи к исследованию определенных конечных групп. В связи с результатами Т. Сунады закономерно возникает вопрос о числе классов изоспектральных накрытий заданной кратности над произвольным римановым многообразием. Однако, несмотря на идейную близость к иссле-
дуемой в настоя ідей работе проблеме, в настоящее время нет даже подходов к решению задачи о перечислении классов изоспектралъных накрытий.
Другим рассматриваемым в настоящей работе классом трехмерных многообразий являются расслоения Зейферта.
Многообразие получившие впоследствии название расслоений Зейферта (многообразий Зейферта, расслоенных пространств Зейферта), первоначально были введены и классифицированы Г. Зейфертом в 1933 году в работе [109] в связи с попыткой решения проблемы классификации трехмерных многобра-зий. С тех пор этот класс многообразий был широко изучен. Несмотря на, это; различные аспекты многообразий Зейферта продолжают изучаться и до сих пор [44].
Такой интерес к изучению указанного класса многообразий вызван тем, что многообразия Зейферта представляют собой очень важный класс трехмерных многообразий. Это объясняется несколькими причинами.
С одной стороны, класс многообразий Зейферта довольно широк. Если, например, взять лист бумаги и нарисовать на нем диаграмму Хегора какого-нибудь трехмерного многообразия, то оно почти наверняка окажется многообразием Зейферта. Дело в том, что на листе бумаги можно изобразить не слишком сложную диаграмму, а все такие диаграммы задают либо многообразия Зейферта, либо их связные суммы.
С другой стороны, наличие структуры расслоения Зейферта открывает пути их систематического изучения. Можно сказать, что многообразие Зейферта ведет себя поддающимся контролю образом в направлении слоев, и остается изучить его поведение в перпендикулярном двумерном направлении. В этой связи с геометрической точки зрения можно представлять себе расслоение Зейферта как своего рода слоение над двумерным орбифсшдом со
слоем окружность.
Необходимо также отметить, что многообразия Зейферта важны и с точки зрения геометрии и топологии произвольных, трехмерных многообразий.
Известно, что все замкнутые трехмерные многообразия, геометризуемые по образцу шести из всех восьми возможных трехмерных геометрий, открытых У. Тёрстоном [118], являются расслоениями Зейферта (исключение составляют лишь геометрии Н3 и Sol). Более того, в каждом неприводимом трехмерном многообразии с непустым несжимаемым краем можно выделить однозначно определенное так называемое характеристическое подмногообразие Зейферта, дополнение к которому обладает рядом интересных свойств. Например, каждая компонента дополнения имеет гиперболическую структуру — это утверждение составляет содержание доказанной части знаменитой геометризационной гипотезы Тёрстона.
Интересно также обобщенное понятие расслоения Зейферта, когда допускается наличие слоев, являющихся неориентируемыми окружностями. Это определение является более общим, чем исходное определение Зейферта. В этом обобщенном смысле компактное трехмерное многообразие представляет собой слоение Зейферта тогда и только тогда, когда оно допускает слоение на окружности (без каких либо ограничений на взаимное расположение слоев). Эти более общие слоения Зейферта рассматривались, в частности, и работах П. Орлика и Ф. Раймона [101], а также Р. Финтушела [65]. Известны также и другие обобщения понятия расслоения Зейферта.
Наконец, представляет интерес установленный в цикле работ [119, 107, 108, 50, 51] тот факт, что если два расслоения Зейферта гомотопически эквивалентны (то есть их фундаментальные группы изоморфны), то сами многообразия гомеоморфны. Таким образом, среди расслоений Зейферта нет контр-
примера гипотезе Пуанкаре.
Кроме того, в работе [107] устанавливается свойство своего рода замкнутости класса расслоений Зейферта относительно накрытий. А именно, если М — замкнутое ориентируемое неприводимое трехмерное многообразие с бесконечной фундаментальной группой, допускающее конечнолистное накрытие расслоением Зейферта, то 3VC само является расслоением Зейферта.
В настоящей работе продолжается исследование указанных классов трехмерных многообразий с несколько иной точки зрения, которая, по нашему мнению, недостаточно развита в существующих работах в этой области. А именно, нас интересуют комбинаторные аспекты этих многообразий.
Методика исследования. В работе широко используются методы теории групп, теории представлений симметрических групп, теории характеров, алгебраической топологии, комбинаторные методы и методы теории мультипликативных функций.
Научная новизна и практическая ценность работы. В диссертации получены следующие основные результаты:
I. Получены формулы для отыскания числа неэквивалентных циклических
накрытий заданной кратности над расслоениями Зейферта без особых слоев.
II. Получены формулы для подсчета числа указанных накрытий над ком
пактными связными плоскими трехмерными римановыми многообразиями,
а также найден критерий существования циклических накрытий над много
образием Ханцше-Вендта.
Полностью решена задача перечисления неэквивалентных циклических накрытий фиксированной кратности для класса всех расслоений Зейферта.
Выведены формулы для подсчета числа подгрупп заданного индекса
в фундаментальных группах трехмерных евклидовых форм.
Все полученные результаты являются новыми, снабжены полными доказательствами и могут быть использованы для дальнейшего развития теории многообразий малых размерностей, геометрической топологии и теории групп.
Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики СО РАН им. С.Л.Соболева под руководством академика РАН, профессора Ю.Г. Решетняка, семинарах Института математики СО РАН «Геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах» под руководством профессора А.Д. Медных. «Геометрия, топология и их приложения» под руководством член-корреспондента РАН, профессора И.А. Тайманова, «Эварист Галуа», а также докладывались на XXXIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», посвященной 70-летию академика В.А. Коп-тюга (г. Новосибирск, 2001), Международной конференции «Мальцевские чтения» (г. Новосибирск, 2001), XL Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2002), Международной конференции-школе по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова (1912-1999) (г. Новосибирск, 2002), Третьей межрегиональной конференции по математическому образованию на Алтае (г. Барнаул, 2002), Международной конференции по теории чисел и арифметической геометрии (г. Вейхай, Китай, 2002), XLI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2003), Международной школе-конференции «Комбинаторика, топология, выпуклость: их общие точки» (г. Иерусалим, Израиль, 2003), Пятой международной конференции по геометрии и топологии, посвященной памя-
ти А.В. Погорелова (1919-2002) (г. Черкассы, Украина, 2003).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [123) - [131].
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 176 страницах, состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 131 наименования, содержит 12 рисунков и 9 таблиц.
Перейдем к изложению основных результатов диссертации.
В главе 1 приведены основные понятия, конструкции и методы, используемые в диссертации.
Подгруппы с наперед заданной факторгруппой
В данном параграфе приведем технику отыскания числа подгрупп произвольной конечно порожденной группы с наперед заданной конечной факторгруппой. Данная техника была разработана Г. Джонсом и применена им в работах [75. 76) при подсчете накрытий поверхностей и подгрупп неевклидовых кристаллографических групп Если Н,К — группы, то отображение h : Я —» К называется гомоморфизмом, если оно сохраняет групповую операцию: h(ab) = h(a)h(b) для всех a, b Є Я. Ядром гомоморфизма h : Я —» К называется множество ker h = {а Є Я h(a) = е}, которое является подгруппой в Н. Гомоморфизм h : Н —$ К называется эпиморфизмом, если h{H) — К Эпиморфизм h : Я — К называется изоморфизмом, если ker А = {е}. Изоморфизм h : Я — Я называется автоморфизмом. Множество всех гомоморфизмов h : Н —ь К будем обозначать Нот (Я, К). Множество всех эпиморфизмов h : Н — К будем обозначать Ері (Я, К). Множество всех автоморфизмов h : Я —» Я будем обозначать Аиі(Я). В основе приводимой в данном разделе техники лежит следующая хорошо известная в алгебре теорема [13]. Теорема 1.5 (о гомоморфизме) Пусть Н,К — группы и h : Н — К — гомоморфизм. Тогда kerft \ Н и H/kerh = h(H). Пусть П — произвольная конечно порожденная абстрактная группа, G — некоторая конечная группа. Искомое число нормальных подгрупп TV о П с факторгруппой, изоморфной G, обозначим n(G): В силу теоремы 1.5, каждая нормальная подгруппа N с указанными свойствами является ядром соответствующего эпиморфизма в : П —» G. Множество Ері(П, G) таких эпиморфизмов конечно, так как существует только конечное число способов отобразить порождающие элементы группы П в группу G Поэтому ч(с7) также конечно. Далее, если 01 ,#2 Є Ері(П,С), то ker#i = ker#2 тогда и только тогда, когда 02 — OL о в\ для некоторого автоморфизма а группы G, поэтому n(G) — Ері(П, G)/Aut(G) — числу орбит при действии группы Aut(G) композициями на группе Ері(П,С). Так как данное действие является действием без неподвижных точек, то каждая орбита содержит в точности Aut(G) элементов и, следовательно, Следуя Ф. Холлу [67], введем на решетке подгрупп группы G теоретико-ммооюесгпвенную функцию Мёбиуса fig группы G. Данная функция однозначно задается следующим свойством: для каждой подгруппы К G Для данной теоретико-множественной функции Мёбиуса рс справедлива формула обращения, аналогичнная формуле обращения для обычной теоретико-числовой функиции Мёбиуса ц(п) [67]. Обращая равенство (1.1), получим откуда Последнее выражение позволяет свести отыскание числа нормальных подгрупп группы П с факторгруппой G к исследованию Aut(G), Нот(П, Н) для Н G и построению функции Мёбиуса цс Если П = тгі(М) — фундаментальная группа некоторого многообразия, то число n(G) равно в точности числу неэквивалентных регулярных накрытий многообразия Ж, группа преобразований наложения которых изоморфна группе G. В частности, если ограничиться рассмотрением циклических накрытий некоторой кратности п, то в последнюю формулу можно внести существенные упрощения. А именно, в данном случае G = Z„ — циклическая группа порядка п; все подгруппы группы Ъп имеют вид ZJrt, причем т\п\ [Aut(Z„) = ip(n) — теоретико-числовая функция Эйлера; ц%п(&т) — ц[п/т) для т\п. где pi — теоретико-числовая функция Мёбиуса [75]. В данном параграфе приведем технику, позволяющую свести задачу отыскания числа подгрупп фиксированного индекса произвольной конечно порож денной группы, заданной своим копредставлением, к решению определенных систем уравнений в циклической и симметрической группах.
Данная техника разработана совместно А.Д. Медных и В.А. Лисковцом и применена ими в ряде работ, например, в [82, 81, 83] при подсчете числа подгрупп фундаментальных групп некоторых классов трехмерных многообразий. Доказательства приводимых в данном параграфе результатов содержатся в указанных работах. Подстановкой на п символах будем называть взаимно однозначное отображение множества Vn = {і,...,п} на себя. Если определить произведение двух подстановок как их композицию, то множество всех подстановок на п символах образует симметрическую группу, обозначаемую Sn. Выделим один элемент VQ Є Vn (например, VQ = 1) и назовем его корневым. Тождественный элемент группы Sn обозначим через 1п. Для удобства записи результат применения подстановки а Є S„ к элементу і Є Vn будем записывать как га. Тогда результат последовательного применения подстановок а,Ь,с Є Sn к элементу і Vn можно записать как гй&с, причем порядок записи соответствует порядку применения подстановок. Набор а = (си,..., аг), где ( Є Sn, г — 1,... , г, называется транзитивным r-пабором подстановок степени п, если группа подстановок (ai,.. ., ar) $С S„, порожденная подстановками ai,...,ar, транзитивна, то есть для всех г, j Є Vn существует а Є {ab . .., аг) такая, что і = ja. Подстановка называется регулярной, если она представим а в виде произведения попарно независимых циклов одинаковой длины. В этом случае длину циклов называют порядком подстановки. Два r-набора подстановок a = (аь ..., аг) и b = (&i,..., br) называются подобными, если существует подстановка h є Sn такая, что Ьъ = /гсц/г-1, і —
Мультипликативные функции и их основные свойства
Данная глава посвящена полному решению задачи отыскания числа неэквивалентных циклических накрытий наперед заданной кратности п Є N для класса трехмерных многообразий, представляющих собой расслоения Зей-ферта без особых слоев (параграф 2.1), а также для класса компактных связных плоских трехмерных римановых многообразий (параграф 2.2). Основными результатами данной главы являются теоремы 2.3, 2.6, которыми устанавливаются точные формулы для определения числа указанных накрытий по любому заданному тг, а также теоремы 2.4, 2.7, которыми дается другая форма тех же формул, более удобная для непосредственных вычислений. Базовыми результатами при доказательстве указанных теорем являются теоремы 2.1, 2.5 соответственно. Остальные результаты данной главы носят промежуточный или вспомогательный характер. Пусть Ъ — произвольное расслоение Зейферта без особых слоев. Тогда неэквивалентные циклические n-листные накрытия над Ъ находятся во взаимно однозначном соответствии с такими нормальными подгруппами N фундаментальной ГруППЫ щ{Ъ), ЧТО 7Г1( В)/А = Ъп. Следуя технике, описанной в параграфе 1.3, число таких подгрупп выражается следующей формулой: П = и L и Е WIHomC CS) )!. 2.1) Для унификации дальнейших рассуждений введем следующие обозначения; Мм(п) число неэквивалентных циклических п-листных накрытий многообразия Ж] НМ(п) = НоПі(7Гі(М), Ъп)\ — ЧИСЛО ГОМОМОрфиЗМОВ k : 7Г)(М) —» Ъп. С учетом принятых обозначений и замечаний относительно группы Жп, сделанных в конце параграфа 1.3, исходную задачу можно переформулировать как задачу отыскания значений функции 1Мв(п), причем Таким образом, первым шагом на пути к решению исходной задачи является нахождение значений функций H (n) для всех натуральных п, где Ъ — произвольное расслоение Зейферта без особых слоев. Следующая теорема дает искомые выражения для функций Н-в(п). Теорема 2.1 Значения функции Нв(п) для расслоения Зейферта Ъ без осо бых слоев над -компактной римановой поверхностью дается другая форма тех же формул, более удобная для непосредственных вычислений. Базовыми результатами при доказательстве указанных теорем являются теоремы 2.1, 2.5 соответственно. Остальные результаты данной главы носят промежуточный или вспомогательный характер. Пусть Ъ — произвольное расслоение Зейферта без особых слоев. Тогда неэквивалентные циклические n-листные накрытия над Ъ находятся во взаимно однозначном соответствии с такими нормальными подгруппами N фундаментальной ГруППЫ щ{Ъ), ЧТО 7Г1( В)/А = Ъп. Следуя технике, описанной в параграфе 1.3, число таких подгрупп выражается следующей формулой: П = и L и Е WIHomC CS) )!. 2.1) Для унификации дальнейших рассуждений введем следующие обозначения; Мм(п) число неэквивалентных циклических п-листных накрытий многообразия Ж] НМ(п) = НоПі(7Гі(М), Ъп)\ — ЧИСЛО ГОМОМОрфиЗМОВ k : 7Г)(М) —» Ъп. С учетом принятых обозначений и замечаний относительно группы Жп, сделанных в конце параграфа 1.3, исходную задачу можно переформулировать как задачу отыскания значений функции 1Мв(п), причем Таким образом, первым шагом на пути к решению исходной задачи является нахождение значений функций H (n) для всех натуральных п, где Ъ — произвольное расслоение Зейферта без особых слоев.
Следующая теорема дает искомые выражения для функций Н-в(п). Теорема 2.1 Значения функции Нв(п) для расслоения Зейферта Ъ без осо бых слоев над -компактной римановой поверхностью "J, в зависимости от вида поверхности $ и типа расслоения Ъ, вычисляются по следующим формулам В ходе доказательства теоремы будем пользоваться «представлениями фундаментальных групп рассматриваемых многообразий, приведенными в разделе 1.2.1. Рассмотрим отдельно каждый тип расслоений Зйеферта. (О,о) Пусть / Є Hom(7r1( B),ZT1). Тогда / однозначно определяется образами Найдем число решений этой системы. Пусть d = (е,п), е = e d, п = n d. Тогда (e ,n ) = 1, Разделив обе части и модуль последнего сравнения на d) получим: е 5 = 0 (mod п ), откуда, ввиду [e\n ) = 1-,5 = 0 (mod гг ). Таким образом, допустимыми значениями 5 являются 0;n;;. . . ; (d— 1)п . Учитывая, что оц, / могут независимо принимать значения из {0, .. . ,п — 1}, заключаем, что Нот(TVI(S),Z,,) = (е,гг) n2j. (0,o;b) Выразив порождающий элемент и исключив его из списка порождающих элементов, можем переписать ко-представление фундаментальной группы расслоения Ъ следующим образом: Пусть f Є Нот(тг ),(2), Xn) на порождающих элементах группы тгі(ЗЗ) принимает следующие значения: "J, в зависимости от вида поверхности $ и типа расслоения Ъ, вычисляются по следующим формулам В ходе доказательства теоремы будем пользоваться «представлениями фундаментальных групп рассматриваемых многообразий, приведенными в разделе 1.2.1. Рассмотрим отдельно каждый тип расслоений Зйеферта. (О,о) Пусть / Є Hom(7r1( B),ZT1). Тогда / однозначно определяется образами Найдем число решений этой системы. Пусть d = (е,п), е = e d, п = n d. Тогда (e ,n ) = 1, Разделив обе части и модуль последнего сравнения на d) получим: е 5 = 0 (mod п ), откуда, ввиду [e\n ) = 1-,5 = 0 (mod гг ). Таким образом, допустимыми значениями 5 являются 0;n;;. . . ; (d— 1)п . Учитывая, что оц, / могут независимо принимать значения из {0, .. . ,п — 1}, заключаем, что Нот(TVI(S),Z,,) = (е,гг) n2j. (0,o;b) Выразив порождающий элемент и исключив его из списка порождающих элементов, можем переписать ко-представление фундаментальной группы расслоения Ъ следующим образом: Пусть f Є Нот(тг ),(2), Xn) на порождающих элементах группы тгі(ЗЗ) принимает следующие значения: /(щ) = jai, f{bi) = у&, f(dj) = 7 , f{h) = Y-Переписывая определяющие соотношения группы TTI(S) в терминах Sn, получим, что на неизвестные аг, /ЗІ, І = 1,. . ., д, dj% j = 1,..., fc — 1, не накладывается никаких ограничений, откуда Нот(тгі(2ї), Sn) = n2f)+k. (0,п) Пусть f Є Нот(тгі(І5), Хп) на порождающих элементах фундаменталь р ной группы тгі(В) = {йі, h І І\ а — he,Oiha l = h l) принимает следующие
Вывод формул для подсчета циклических накрытий надевклидовыми пространственными трехмерными формами
Фундаментальные работы Л. Бибербаха [48, 49 утверждают, что в любой размерности существует только конечное число (с точностью до гомеоморфизма) компактных евклидовых многообразий, причем каждое из них допускает ко-нечнолистное накрытие тором той же размерности. Схема накрытий тором компактных евклидовых многообразий в трехмерном случае приведена на рисунке 2.1 (цифрами при стрелках обозначена кратность соответствующего накрытия) [87]. В данном параграфе нас будут интересовать все циклические конечно-листные накрытия трехмерных компактных евклидовых многообразий. Более точно, будет полностью решена задача перечисления неэквивалентных циклических п-листных накрытий над евклидовыми пространственными трехмерными формами, то есть компактными связными плоскими трехмерными римановыми многообразиями. При выводе формул данного параграфа будем использовать копредставлення фундаментальных групп рассматриваемых многообразий, полученные из представления этих многообразий как расслоений Зейферта с определенными наборами Зейфертовых инвариантов. Указанные представления и фундаментальные группы приведены в теореме 1.4. Схема рассуждений данного параграфа во многом аналогична рассуждениям ппространственными трехмерными формами, то есть компактными связными плоскими трехмерными римановыми многообразиями. При выводе формул данного параграфа будем использовать копредставлення фундаментальных групп рассматриваемых многообразий, полученные из представления этих многообразий как расслоений Зейферта с определенными наборами Зейфертовых инвариантов. Указанные представления и фундаментальные группы приведены в теореме 1.4. Схема рассуждений данного параграфа во многом аналогична рассуждениям предыдущего параграфа. Начнем с вывода формул для вычисления значений Нм(п), когда М — произвольное компактное связное плоское трехмерное риманово многообразие. Теорема 2.5 Значения функции Иу {п)} в зависимости от припадлеоісио-сти Ж к одному из классов ЛЛ\,. . ., Л4&, Af\,.. ., Л/4 компактных связных плоских трехмерных римаиовых многообразий, вычисляются по следуюгцим формулам: Доказательство. При доказательстве теоремы будем пользоваться ко представлениями фундаментальных групп рассматриваемых многообразий, приведенными в теореме 1.4. Рассмотрение начнем со случая многообразия класса М 2 как более нетривиального и более типичного по сравнению со случаем многообразия класса Л4\. Класс A 2- Пусть / Є В.от(тгі(ЛІ2), п)- Тогда / однозначно определя ется образами в Ъп = {7 7ті — 1) порождающих элементов фундаментальной группы щ{М-і) - (qi,qi,Q3, l4,h I Qihq 1 = /1,92/11 = h.q hq = h,q4hq = h,qjh= l q%h = 1, gh = 1, rfft = 1,9 2 394 = _2) Пусть f(qi) = 7, /(92) = У, /() = 7C, /(g4) - 7d, ДА) = 75- Тогда, переписывая определяющие соотношения группы 7Гі(Л 2) в терминах Ж,п, получим следующую систему линейных сравнений: Каждое решение этой системы определяет единственный гомоморфизм / : п\{М.г) —У Ъп, причем разные решения определяют разные гомоморфизмы. Таким образом, отыскание величины Нот( (Л 2)) 2 )1 свелось к отысканию числа решений последней системы. Выражая д из первого сравнения и подставляя в остальные, получим:
Пусть п нечетно, Тогда, разделив 2-е, 3-е и 4-е сравнения на 2, можем выразить 6, с, d через а. Следовательно, а может принимать любые значения из {О,. . ., п — 1}, а Ь, с, d, д однозначно через а выражаются. При этом последнее сравнение системы выполняется автоматически. Таким образомредыдущего параграфа. Начнем с вывода формул для вычисления значений Нм(п), когда М — произвольное компактное связное плоское трехмерное риманово многообразие. Теорема 2.5 Значения функции Иу {п)} в зависимости от припадлеоісио-сти Ж к одному из классов ЛЛ\,. . ., Л4&, Af\,.. ., Л/4 компактных связных плоских трехмерных римаиовых многообразий, вычисляются по следуюгцим формулам: Доказательство. При доказательстве теоремы будем пользоваться ко представлениями фундаментальных групп рассматриваемых многообразий, приведенными в теореме 1.4. Рассмотрение начнем со случая многообразия класса М 2 как более нетривиального и более типичного по сравнению со случаем многообразия класса Л4\. Класс A 2- Пусть / Є В.от(тгі(ЛІ2), п)- Тогда / однозначно определя ется образами в Ъп = {7 7ті — 1) порождающих элементов фундаментальной группы щ{М-і) - (qi,qi,Q3, l4,h I Qihq 1 = /1,92/11 = h.q hq = h,q4hq = h,qjh= l q%h = 1, gh = 1, rfft = 1,9 2 394 = _2) Пусть f(qi) = 7, /(92) = У, /() = 7C, /(g4) - 7d, ДА) = 75- Тогда, переписывая определяющие соотношения группы 7Гі(Л 2) в терминах Ж,п, получим следующую систему линейных сравнений: Каждое решение этой системы определяет единственный гомоморфизм / : п\{М.г) —У Ъп, причем разные решения определяют разные гомоморфизмы. Таким образом, отыскание величины Нот( (Л 2)) 2 )1 свелось к отысканию числа решений последней системы. Выражая д из первого сравнения и подставляя в остальные, получим: Пусть п нечетно, Тогда, разделив 2-е, 3-е и 4-е сравнения на 2, можем выразить 6, с, d через а. Следовательно, а может принимать любые значения из {О,. . ., п — 1}, а Ь, с, d, д однозначно через а выражаются. При этом последнее сравнение системы выполняется автоматически. Таким образом, в случае нечетного п система имеет п решений.
Расслоения Зейферта типа (N,o)
Пусть Ъ — произвольное расслоение Зейферта типа (N,o). Тогда Ъ = {b; ((N,o), g); (Q;I,/?I), ..., (ar)fir)} — неориентируемое расслоение Зейферта над компактной ориентируемой поверхностью рода д 1 с параметром Ь Є Ъ и, в соответствии с теоремой 1.2, фундаментальная группа расслоения Ъ задается следующим копредставлением: В соответствии с техникой, изложенной в параграфе 1.3, отыскание неэквивалентных циклических п-листных накрытий над Ъ сводится к нахождению значений функции Нщ(п) = Нот(7гі(), Zn). ТҐІ( В) на образах в Ъп порождающих элементов группы 7 (13), получим, что Нв(п) — число различных гомоморфизмов / : ТТ[(Ъ) — Z,, — равно числу различных решений следующей системы сравнений: На переменные u , г?і, і — 1,. . . ,д, не наложено никаких ограничений, поэтому они независимо могут принимать произвольные значения из множества {0,...,п-1}. Рассмотрим подробно данную систему сравнений Подставляя его в систему (3,24), получим следую щую систему: Число различных решений последней системы дается следующим утверждением. Лемма 3.4 Число различных реъиений системы (3-25) и значание функции Нф(тг) при нечетном п равно где величина {s,... ,t) определена равенством (3.1). Доказательство. Рассмотрим следующий производящий полином; где последний результат получен из предыдущего переменой местами знаков суммирования и произведения и подсчетом сумм получающихся геометрических прогрессий. Подставляя в последнее равенство значения переменных VJJ — elj, j = О,. . ., г, где є = е2я -1/ получим Число различных решений системы (3.25) совпадает с суммой коэффициентов полинома P{VJQ, ..., tur), все индексы которых делятся на п, умноженной на n2fir, и равно м І = 1,---, г При фиксированном /о каждое сравнение atjlj = —/Q (mod п) разреши-o только если (a.j,n)\lo и имеет в этом случае (aj,n) различных решений, то есть число решений j-ro сравнения системы при фиксированном IQ равно 9((аііп)) о)і ГДЄ функция g(s,t) определена равенством (3.2). Число решений системы (3.27) при фиксированном 1$, с учетом предложения 3.1, равно Заметим, что Мп. Суммируя по всем значениям IQ = 1,...,тг и вновь принимая во внимание предложение 3.1, получим общее число различных решений системы С учетом равенства (3.26), последнее равенство завершает доказательство леммы. Случай 2. Пусть п четно. Последнее сравнение системы (3.24) дает два возможных значения: z = О и z = п/2. Поэтому, общее число различных решений системы (3.24) можно представить в виде где N 1 — число решений системы (3.24) при z = О, а N — число решений системы (3.24) при z = п/2. Найдем каждое из указанных чисел. Случай 2.1. Выберем значение г-Ои подставим его в систему (3.24). В результате вновь получим систему (3.25), в которой п четно. Число различных решений полученной системы дается следующим утверждением. Лемма 3.5 Число различных решений системы (3.25) при четном п равпо где величина (s,.. . ,t) определена равенством (3.1). Доказательство.
Доказательство данного утверждения состоит в повторении доказатель ства леммы 3.4 П Случай 2.2. Выберем значение z = п/2 и подставим его в систему (3.24). В результате получим следующую. При этом общую ситуацию разделим на несколько случаев. Случай 1. Пусть п нечетно. Тогда из последнего сравнения системы получаем, что z = 0 — единственное возможное значение. Подставляя его в систему (3,24), получим следую щую систему: Число различных решений последней системы дается следующим утверждением. Лемма 3.4 Число различных реъиений системы (3-25) и значание функции Нф(тг) при нечетном п равно где величина {s,... ,t) определена равенством (3.1). Доказательство. Рассмотрим следующий производящий полином; где последний результат получен из предыдущего переменой местами знаков суммирования и произведения и подсчетом сумм получающихся геометрических прогрессий. Подставляя в последнее равенство значения переменных VJJ — elj, j = О,. . ., г, где є = е2я -1/ получим Число различных решений системы (3.25) совпадает с суммой коэффициентов полинома P{VJQ, ..., tur), все индексы которых делятся на п, умноженной на n2fir, и равно м І = 1,---, г При фиксированном /о каждое сравнение atjlj = —/Q (mod п) разреши-o только если (a.j,n)\lo и имеет в этом случае (aj,n) различных решений, то есть число решений j-ro сравнения системы при фиксированном IQ равно 9((аііп)) о)і ГДЄ функция g(s,t) определена равенством (3.2). Число решений системы (3.27) при фиксированном 1$, с учетом предложения 3.1, равно Заметим, что Мп. Суммируя по всем значениям IQ = 1,...,тг и вновь принимая во внимание предложение 3.1, получим общее число различных решений системы С учетом равенства (3.26), последнее равенство завершает доказательство леммы. Случай 2. Пусть п четно. Последнее сравнение системы (3.24) дает два возможных значения: z = О и z = п/2. Поэтому, общее число различных решений системы (3.24) можно представить в виде где N 1 — число решений системы (3.24) при z = О, а N — число решений системы (3.24) при z = п/2. Найдем каждое из указанных чисел. Случай 2.1. Выберем значение г-Ои подставим его в систему (3.24). В результате вновь получим систему (3.25), в которой п четно. Число различных решений полученной системы дается следующим утверждением. Лемма 3.5 Число различных решений системы (3.25) при четном п равпо где величина (s,.. . ,t) определена равенством (3.1). Доказательство. Доказательство данного утверждения состоит в повторении доказатель ства леммы 3.4 П Случай 2.2. Выберем значение z = п/2 и подставим его в систему (3.24). В результате получим следующую систему: