Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Полиномиальное квантование на параэрмитовых симметрических пространствах
1. Квантование по Березину 13
2. Параэрмитовы симметрические пространства 15
3. Максимально вырожденные представления 20
4. Полиномиальное квантование на параэрмитовых симметрических пространствах 23
Глава II. Полиномиальное квантование на однополостном гиперболоиде
5. Группа SL(2,R) и ее представления 27
6. Тензорное произведение 7Г/ 0 7Г/ 34
7. Однополостный гиперболоид 37
8. Конечномерный анализ на однополостном гиперболоиде 39
9. Полиномиальное квантование на однополостном гиперболоиде 43
Глава III. Полиномиальное квантование на параэрмитовых симметрических пространствах G/ Н ранга один
10. Группа SL(n,R), ее подгруппы, разложения, алгебра Ли 48
11. Максимально вырожденные серии представлений 55
12. Гармонический анализ на многообразии Штифеля 66
13. Представления Тау. компактная картина 69
14. Представления Г^: некомпактная картина 82
15. Представления Тт 86
16. Тензорное произведение 7Г^ 0 7Г 89
17. Формула планшереля для 7г^ <8> тг 92
18. Пространство G/H 95
19. Я-инварианты 97
20. Квазирегулярное представление в многочленах на GJH 103
21. Преобразование Пуассона 106
22. Преобразование Фурье 109
23. Сферические функции 111
24. Конечномерный анализ на G/H 114
25. Полиномиальное квантование на G/H 116
Литература 128
- Параэрмитовы симметрические пространства
- Полиномиальное квантование на параэрмитовых симметрических пространствах
- Полиномиальное квантование на однополостном гиперболоиде
- Максимально вырожденные серии представлений
Введение к работе
1. В настоящей работе мы рассматриваем некоторый вариант квантования в духе Ф.А. Березина на так называемых параэрмитовых симметрических пространствах первой категории G/H (терминология взята из [26]). Эти пространства G/H принадлежат к очень широкому классу полупростых симметрических пространств, кроме того, они являются симплектическими многообразиями. Среди симплектичес- ких полупростых симметрических пространств G/H можно выделить четыре класса:
a) эрмитовы симметрические пространства;
b) полукэлеровы симметрические пространства;
c) параэрмитовы симметрические пространства первой категории;
d) параэрмитовы симметрические пространства второй категории.
Для случая простой группы Ли G эти четыре класса дают классификацию (с локальной точки зрения).
Пространства из первого класса римановы, из остальных - псевдоримановы (не римановы). Римановой формой для последних являются пространства из первого класса.
Пространства из первых двух классов а) и Ь) обладают инвариантной комплексной структурой, инвариантная метрика дается эрмитовой дифференциальной формой, которая для класса а) положительно (отрицательно) определена (так что в этом случае мы можем записать пространство как G/K, где G - полупростая группа Ли с конечным центром, К - ее максимальная компактная подгруппа), а для класса Ь) не является знакоопределенной. Пространства из класса с) обладают двумя линейно независимыми инвариантными поляризациями, это означает, что в каждой точке касательное пространство распадается в прямую сумму двух лагран-жевых подпространств, причем каждое из них инвариантно относительно стационарной подгруппы данной точки. Это можно выразить таким образом, что пространство обладает инвариантной структурой над алгеброй "двойных чисел" (алгебра размерности 2 над R, состоящая из "чисел" z = х -f г у, ж, у Є R, г2 = 1). Наконец, пространства из класса d) - это комплексификации пространств из класса а).
Предмет нашего рассмотрения - это пространства класса с). Их классификацию (с локальной точки зрения) см в [26]. В частности, пространства G/Н ранга 1 с точностью до накрытия исчерпываются пространствами, для которых G — SL(n,R), # = GL(n-l,R).
2. Напомним концепцию квантования, предложенную Березиным, см. [3], [4], [5]. Мы не будем излагать ее в полной общности, мы ограничимся упрощенной версией, несколько более подробно это изложено в §1.
Пусть М - симплектическое многообразие. Тогда С°°(М) является алгеброй Ли относительно скобки Пуассона {Л, В}, А, В Є С°°(М).
Квантование в смысле Березина состоит из двух шагов.
Шаг первый: надо построить некоторую совокупность ассоциативных алгебр A(h), содержащихся в С°°(М) и зависящих от параметра h О (называемого постоянной Планка), умножение в А(К) обозначается , оно тоже зависит от h. Эти алгебры должны удовлетворять некоторым условиям (см. §1), важнейшими из которых являются два, см. (1.1), (1.2), вместе образующие так называемый принцип соответствия.
Шаг второй: надо построить представления Л и Л алгебр A(h) операторами в гильбертовом пространстве.
Березин исследовал случай, когда М есть эрмитово симметрическое пространство, т.е. пространство класса а). Пусть оно реализовано как ограниченная область в С"1. Исходным пунктом в конструкции Березина является так называемая переполненная система (система когерентных состояний) Ф(г,Ш), z,w Є Cm. Она представляет собой поляризацию ядра Бергмана в степени, зависящей от параметра h. Искомые алгебры A(h) состоят из ковариантных символов A(z,z) операторов Л, действующих в пространствах Фока Тк на М. Ковариантный символ определяется формулой A{z,-z)=-±—Ab{z,w)
(0.1)
w=z
Ф(2,г)
где оператор А действует на Ф(гг,То) как на функцию от z. Березин рассматривал все ограниченные операторы в пространстве Фока. Оператор вполне определяется своим ковариантным символом. Умножение операторов порождает умножение символов, последнее задается интегралом, содержащим так называемое ядро Березина. Интегральный оператор с этим ядром называется преобразованием Березина #, оно действует в функциях на М. Березин нашел выражение преобразования В через операторы Лапласа на М и нашел асимптотику В при h — 0:
В 1 + hA, (0.2)
где А - оператор Лапласа-Бельтрами на М. Это решает задачу построения квантования на М: алгебры A(h) состоят из ковариантных символов ограниченных операторов в J- k с умножением , принцип соответствия вытекает из (0.2). Кроме того, Березин опеределяет контравариантные символы операторов: это операторы Теплица в пространстве Фока. Оказывается, что для данного оператора переход от его контравариантного символа к ковариантному символу дается преобразованием Березина.
3. В нашей работе мы рассматриваем квантование в духе Березина на пространствах G/ Н класса с). Мы следуем схеме из [29]. Условия, накладываемые на семейство алгебр A(h), должны быть несколько видоизменены. Мы можем считать, что G/Н есть G-орбита в присоединенном представлении группы G, а также что G - простая группа Ли. Следовательно, G/Н есть многообразие, лежащее в алгебре Ли g группы G. В качестве переполненной системы мы берем ядро Ф(,//) = Фц є(,п) оператора, сплетающего представления из максимально вырожденных серий 7Г е и 7Г+ представлений группы G. Здесь /і 6 С, = 0,1. Векторы и 7; пробегают соответственно //-инвариантные лагранжевы подпространства q и q+ в начальной точке ж0 = Не (е - единица группы G) пространства G/H. Пары (,т?) дают координаты на G/H, за исключением многообразия меньшей размерности. Представления 7Г и 7Г действуют соответственно в некоторых пространствах функций ip() и ф(г]). Аналогом пространства Фока служит пространство функций у().
В качестве исходной алгебры операторов мы берем алгебру операторов D = 7Г (АЛ), где X принадлежит универсальной обертывающей алгебре Env(g) алгебры Ли g. Ковариантный символ F(, і]) оператора D мы определим формулой, аналогичной (0.1):
ПМ = щ ЩЫ, (о-з)
где оператор D действует на (, 77) как на функцию от . Эти ковариантные символы на самом деле не зависят от е. Они являются функциями на G/ Н. Больше того, они являются многочленами на G/Н (т.е. ограничениями на G/ Н многочленов на д). Это утверждение доказано для ранга один, для высших рангов это - пока еще гипотеза. Для данного ц обозначим через Afl множество всех ковариантных символов, полученных указанным способом.
Для ц общего положения пространство Лц есть пространство S(G/H) всех многочленов на G/Н.
Дальше теория развивается по схеме Березина, изложенной выше, а именно, отображение D ь- F, сопоставляющее оператору его ковариантный символ, является g-эквивариантным, для /і общего положения оператор восстанавливается по своему ковариантному символу, умножение операторов порождает умножение (обозначим его ) ковариантных символов, последнее умножение задается интегралом с ядром, которое мы называем ядром Березина и которое по форме аналогично ядру Березина для G J К. Таким образом, пространства Л оказываются ассоциативными алгебрами с единицей относительно умножения .
С другой стороны, мы можем определить контравариантные символы операторов - формулой, аналогичной случаю GjК.
Таким образом, мы получили два отображения D н-» F ("ко") и F •—» А ("контра"), связывающие операторы D и А, действующие в функциях от , и многочлены F на G/H.
Композиция В = (ко) о (контра), т.е. переход от контравариантного символа оператора к его ковариантному символу является интегральным оператором с ядром Березина. Назовем В преобразованием Березина. Оно может быть выражено через операторы Лапласа на G/Н. На конечномерных подпространствах в S(G/H) преобразование Березина есть дифференциальный оператор.
Композиция О = (контра) о (ко), отображающая оператор в оператор, не рассматривалась в теории Березина. В нашем случае мы можем дать явное описание этого преобразования.
Сформулируем нерешенные задачи (для произвольного ранга): найти выражение преобразования Березина В через операторы Лапласа, найти его собственные числа на неприводимых составляющих, найти полное его асимптотическое разложение при [і —» —оо.
По-видимому, первые два члена этого разложения таковы:
Н-1--А, (0.4)
где Д - оператор Лапласа-Бельтрами. Из соотношения (0.4) вытекает принцип соответствия (в качестве "постоянной Планка" надо взять h = -1// ):
Fi F2- F1F2, (0.5)
-ц (Fx F2-F2 FO — {Fb F2}, (0.6)
при fi — —оо. В правых частях (0.5) и (0.6) стоят соответственно обычное поточечное умножение и скобка Пуассона.
Поскольку алгебры Лц в нашем случае состоят из многочленов на G /Я, мы называем наш вариант квантования полиномиальным квантованием.
4. Теория, изложенная вкратце в предыдущем пункте для пространств класса с) произвольного ранга, носит незавершенный характер: некоторые утверждения еще не доказаны, некоторые формулы еще не найдены. Таким образом, этот пункт может быть рассматриваем как набросок будущей теории. Более подробно этот пункт развит в главе I.
По-видимому, эта теория имеет достаточно алгебраический характер, она может быть развита параллельным образом и для других классов симплектических пространств G/H, в частности, для эрмитовых симметрических пространств G/K. Однако, как нам кажется, класс с) более удобен, более естествен для этой цели (например, отсутствие описания преобразования О для пространств G/К имеет, по-видимому, принципиальный характер).
5. Для пространств ранга один все утверждения доказаны, задачи решены, формулы найдены. Полиномиальное квантование для пространств ранга один составляет основное содержание диссертации, это - материал глав II и III.
Как уже было сказано выше, нам достаточно рассмотреть пространства G)Я с G = SL(n,R), Я = S(GL(n - 1,R) х GL(1,R)), т.е. Я GL (п - 1,R). Здесь п 2. Для этих пространств нам будет удобнее реализовать G/H не как подмногообразие в алгебре Ли g (g состоит из матриц из Mat(n,R) со следом нуль), а как подмногообразие матриц из Mat(n,R), у которых след и ранг равны единице. Второе подмногообразие получается из первого параллельным сдвигом в пространстве Mat (n,R) на (1/п)Е, где Е - единичная матрица. Действие группы G сопряжениями сохраняется.
Случай п = 2 имеет некоторые особенности, поэтому мы выделили его в отдельную главу (глава II). Пространство G/H в этом случае есть однополостный гиперболоид в R3.
Глава III изучает случай п 3.
6. Остановимся подробнее на содержании главы III (п 3).
Сначала мы описываем две максимально вырожденные серии тг и 7Г+ представлений группы G = SL(n,R), здесь \і Є С, є = 0,1. Это - представления, индуцированные характерами (одномерными представлениями) максимальных параболических подгрупп Р и Р+, отвечающих разбиению п = (п — 1) -f 1. Мы в основном следуем статьям В.Ф.Молчанова и Г.ван Дейка [22], [23]. По сравнению с этими статьями следующие результаты являются новыми:
действие алгебры Ли g группы G в пространстве Pol(Rn-1) многочленов от х = (х 1, ••• Хп—і ) и пространстве Z обобщенных функций на R" 1, сосредоточенных в начале координат;
действие сплетающего оператора на этих двух пространствах (кстати, заметим, что и для п — 2 такая точка зрения оказывается полезной: мы рассматриваем операторы, сплетающие представления из основной неунитарной серии с представлениями, контраградиентными представлениям из этой серии, - конечно, для п = эти две серии совпадают, но получающиеся формулы позволяют связать представления в многочленах и дельта-функциях);
описание билинейных форм Fjt на конечномерных подпространствах 14, к Є N, инвариантных относительно пар (7Г;7,7г+) или (7г !",тг Г); пространство 14 состоит из многочленов от жі, ...,ж„_і степеші к, оно инвариантно относительно представлений 7Г , є = A; (mod 2), их ограничения на 14 мы обозначаем через ттк .
Затем мы описываем представления Та,Е, сг 6 С, є = 0,1, индуцированные некоторыми характерами параболической подгруппы, отвечающей разбиению п = 1 + (77-2) + 1- Это - основная неунитарная серия, связанная с пространством G/H. Именно по неприводимым унитарным представлениям, содержащимся в этой серии, разлагается квазирегулярное унитарное представление группы G на G/Н. Мы тоже опираемся на [22], [23]. Здесь мы добавляем следующие результаты:
вычисление нормирующей функции для сплетающего оператора Ва е, т.е. такой функции 7(с, є), мероморфной по сг, что 7(с, е) хВа является целой функцией от а;
вычисление собственных чисел оператора BUfi на некоторых простейших К-типах;
вычисление "собственных чисел" j{cr,e) оператора В„іЄ на //-инвариантах (эти "собственные числа" ]((т,е) являются аналогами с-функции Хариш-Чандры).
Кроме того, специальное внимание мы уделяем конечномерным представлениям Тт, пі Є N (см. обозначения в конце Введения), действующим в подфакторах этой серии. В частности, мы находим //-инварианты в Тт и в эквивалентных представлениях в пространствах обобщенных функций.
Мы подробно изучаем - с разных точек зрения - тензорное произведение Rk — T k ® к к вплоть до "формулы Планшереля". С одной стороны, представление Rk действует в многочленах f(,T]),(,,rj Є Rn_1, степени к по и по т/. Мы даем явное описание неприводимых компонент и явную формулу для разложения "тензорного квадрата" билинейной формы F/. по инвариантным билинейным формам в неприводимых компонентах. С другой стороны, пары ({,?/) могут рассматриваться как координаты на G/H. Тогда если мы разделим указанные выше многочлены /(,?/) на неподвижный относительно Rk многочлен Ф( г/) — (,7/) , где N(,!]) = 1 — {,77), через (,7/) обозначается стандартное скалярное произведение в R"-1, то представление Rk перейдет в представление сдвигами в пространстве Ek(G/H) многочленов на G/H степени к. Под многочленом на G/H мы понимаем ограничение на G/H многочлена от матричных элементов матриц х Є Mat(n,R). Это позволяет включить всю машинерию обычного (бесконечномерного) гармонического анализа на однородных пространствах: //-инварианты, преобразование Фурье, преобразование Пуассона, сферические функции, и дать другой аналог формулы Планшереля.
Кстати, заметим, что реализация представлений Тт в обобщенных функциях на Ш.п , сосредоточенных в нуле, позволяет написать преобразование Пуассона в дифференциальной форме (достаточно неожиданный факт, обычно преобразование Пуассона записывается в виде интеграла или суммы).
С точки зрения полиномиального квантования на G/H исследование "конечномерного анализа" на G/H играет вспомогательную роль. Однако, как нам кажется, оно представляет и самостоятельный интерес.
Наконец, последний параграф в главе III посвящен собственно полиномиальному квантованию на G/Н. В качестве переполненной системы мы берем ядро оператора, сплетающего представления к и 7г+, а именно функцию Ф«,Ч) = ФдЖ, !/) = #&»?)" (см. обозначения в конце Введения). В качестве исходной алгебры операторов мы берем операторы D = ir (X), X Є Env (g).
Ковариантный символ оператора D определяется в точности формулой (0.3). Для ft общего положения (/f . N) оператор D восстанавливается по своему ковариантному символу F:
(ЭД(0 = с j F& v) 1 р(и) dx(u, v), (0.7)
G/H где с = с(/х,є), этот множитель явно вычислен, dx(u,v) - инвариантная мера на G/H. Ковариантные символы F(,rj) являются функциями F(x) на G/H и, более того, оказываются многочленами на G/H. Кроме того, они не зависят от є. Обозначим через Лм совокупность всех ковариантных символов, полученных указанным способом. Оказывается, что если ц N, то Ац совпадает с пространством S(G/H) всех многочленов на G/H, а если ц Є N, то А совпадает с пространством S G/H).
Соответствие D н- F является g-эквивариантным, оно сплетает представления ad в Env(g) и представление сдвигами U в S(G/H).
Умножение операторов порождает умножение ковариантных символов, обозначим его . А именно,
(F1 F2)(t,ri)= J Fx(t,v)F2(u,V)B(t,rr,u,v)dx(u,v), (0.8)
G/H
где
Ф( ,т/)Ф(и,и) В терминах матриц ядро Березина В есть B = c{tv(xy)Y \
Итак, пространство А является ассоциативной алгеброй с единицей относительно умножения (0.8).
Определим теперь контр авариантпые символы. В соответствии с общей схемой функция F(, т/) есть контравариантный символ для следующего оператора А (действующего на функции у()):
(Ау)(0 = с f F(u,v) \(p(u)dx(u,v), J Фіи.и)
G/H V (отличие от (0.7) только в первом аргументе у функции F).
Рассмотрим теперь отображения О и В, указанные в пункте 3.
Пусть A = 0(D), т.е. существует многочлен F из S(A ), который является одновременно ковариантным символом оператора D = тг (Х), X Є Env (g) и контравариантным символом оператора А. Тогда А — 7r _?l(A v), где V обозначает инволюцию (0.12) в Env(g). Следовательно, А получается из D сопряжением относительно лебеговой меры d. В терминах ядер это означает, что ядро L(,u) оператора
Л получается из ядра К(, и) оператора D перестановкой аргументов и заменой
fj, ь- —ц — п:
Д1- — IX — п
Пусть теперь F\ = B(F), т.е. F\ и F являются соответственно ковариантным и контравариантным символами одного оператора А. Это преобразование В (преобразование Березина) является интегральным оператором, ядро которого есть ядро Березина: ( V) = J #( Щ ui V)F(U,v) dx(u,v),
или
F,{x) = JB(x;y)F(y)dy.
Преобразование Березина определено на Л_,,_„. Оно коммутирует с представлением U. Мы можем выразить его через оператор Лапласа-Бельтрами Д на G/Н. А именно, рассмотрим следующую функцию Л(/х, т) от двух комплексных переменных ц, т.
Г(-р + т)Г(-/і-т-п + 1)
Эта функция инвариантна относительно замены т ь-» —т — и + 1, поэтому фактически она есть функция от ц и т(т+п — 1). На подпространстве Sm(G/H) многочленов степени m преобразование Березина В есть умножение на число
Ьт(ц) = A(ft,m). (0.9)
Отсюда получаем искомое выражение через А:
=Л(/,,т)г(т+п_1)=д. (0.10)
Из формулы (0.10) (или из (0.9)), используя свойства гамма-функции, мы выводим асимптотическое разложение для В при /t — —оо:
8 1--Д А (ср. с (0.2)). Из этого разложения получаем предельные соотношения (0.5), (0.6) (при /і — —со). Эти сотношения показывают, что для семейства алгебр Лм справедлив принцип соответствия, в качестве постоянной Планка надо взять h = —1///.
Больше того, мы можем написать полное асимптотическое разложение преобразования Березина при /г — — оо. Для того чтобы получилась прозрачная явная формула, надо разлагать не по степеням h — — 1/д, а использовать обобщенные степени переменной —[і — п. Тогда разложение оказывается рядом, обрывающемся на каждом 5"т(Л ). Справедливо следующее разложение преобразования Березина:
ОО 1 4 — 1 1
Отсюда видно, что на подпространстве f.(G/H) многочленов на G/H степени к преобразование В есть дифференциальный оператор (некоторый многочлен от Д).
6. Структура диссертации.
Диссертация состоит из Введения (§0) и 25 параграфов, разбитых на три главы. Содержание этих глав было указано выше - в пунктах 3, 4, 5.
Нумерация параграфов, теорем (лемм), формул - единая. Первая цифра означает номер параграфа, вторая - номер теоремы (леммы), формулы в этом параграфе.
7. Сформулируем основные результаты диссертации:
а) предложена концепция полиномиального квантования на параэрмитовых симметрических пространствах первой категории; следующие результаты получены для пространств ранга один:
б) полиномиальное квантование построено в явном виде (дано описание алгебр ковариантных и контравариантных символов, вычислено преобразование Березина, найдено преобразование операторов, дублирующее преобразование Березина, доказан принцип соответствия, описана антиинволюция алгебр ковариантных символов, являющаяся аналогом комплексного сопряжения для эрмитовых симметрических пространств);
в) предложена новая форма деформационного разложения (полного асимптотического разложения преобразования Березина), это разложение вычислено явно;
г) дано описание максимально вырожденных серий представлений алгебры Ли g группы G в многочленах и в обобщенных функциях на R 1-1, сосредоточенных в нуле; для конечномерных подпредставлений вычислены ршвариантные билинейные формы;
д) для основной неунитарной серии, связанной с G/H, найдена в явном виде меро- морфная структура сплетающего оператора как функции от параметра серии, вычислены явно собственные числа этого оператора на некоторых /if-типах, вычислены •- собственные числа этого оператора на .//-инвариантах (аналог с-функции Хариш-Чандры);
е) дано описание серии конечномерных представлений, действующих в подфак- торах основной неунитарной серии, связанной с G/H (реализации в многочленах и обобщенных функциях с точечным носителем, билинейные инвариантные формы, сплетающие операторы и т.д.);
ж) дано разложение в явном виде тензорных произведений максимально вырожденных конечномерных представлений на контраградиентные - вплоть до "формулы Планшереля";
з) построен в явном виде "конечномерный гармонический анализ" на G/H: вычислены //-инварианты, преобразования Фурье и Пуассона, сферические функции, получена соответствующая формула Планшереля;
и) получено дифференциальное выражение для преобразования Пуассона из предыдущего пункта.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7], [8], [31], [9], [10], [11].
Приведем некоторые обозначения, формулы, а также некоторые стандартные рассуждения, используемые дальше в работе.
N = {0, 1, 2, ... }, Z, К., С - множества целых, вещественных, комплексных чисел, соответственно, Ш - мультипликативная группа вещественных чисел (R = Е\{0}).
Знак сравнения = всегда обозначает сравнение по модулю 2.
Мы используем следующее обозначение для характера (гомоморфизма в мультипликативную группу комплексных чисел) группы К :
" e = i"sgn4 (0.11)
где t Є К , ft Є С, є Є Z. Этот характер зависит только от класса вычетов числа є по модулю 2, так что обычно мы берем є Є {0,1}.
Через Mat (m, F) обозначается пространство матриц m-ro порядка над полем F.
Через Е обозначается единичная матрица или единичный (тождественный) оператор.
Для многообразия М через V{M) обозначается пространство комплекснозначных бесконечно дифференцируемых функций на М с компактным носителем, снабженное обычной топологией. Через Т (М) обозначается пространство обобщенных функций на М - линейных непрерывных функционалов на Т (М).
Мы используем стандартные обозначения для классических групп Ли: SOo(p, q) (это - связная компонента единицы группы линейных преобразований пространства Ер+!?, сохраняющих квадратичную форму сигнатуры (р, )), 0(n), SO(n), SL(n,R), GL (n, R), SL (n, C), U (n), SU (n).
Для группы Ли G через G e обозначается связная компонента единицы.
Если (f - автоморфизм группы Ли G, то через Gv обозначается множество элементов группы С, неподвижных для (f.
Если группа Ли обозначается заглавной латинской буквой, то ее алгебра Ли обозначается соответствующей строчной готической буквой.
Для алгебры Ли д мы обозначаем через Env(g) ее универсальную обертывающую алгебру.
Определим в Env(g) линейное отображение X н- Xv следующим образом. Для одночленов X = Х\Х-2...Хт, где Х{ Є 0, положим
Xv = (-Хт)...(-Х2)(-Х1) = (-1)тХт...Х2Хг (0.12)
и распространим на Env(g) по линейности. Это отображение является инволюцией. Оно коммутирует с присоединенным представлением:
(adL-Ar)v = adL-Xv. (0.13)
Дифференцируемое представление Т группы Ли G порождает представление алгебры Ли g (дифференциал представления Г) и, следовательно, представление
алгебры Env(g). Для этих порожденных представлений мы сохраняем тот же самый символ (в данном случае Г), который обозначает представление группы. Пусть билинейная форма на Т {М)
(FJ) = J F{x)f(x)dx (0.14)
м
(dx - некоторая мера на М) инвариантна относительно пары представлений (Т, S) группы Ли G, действующих в Т (М), т.е. \T(g)F, S(g)f) = (F,/), или, что все равно,
(r(flf)F, Я =( ,5 )/). (0-15)
Тогда мы можем распространить представление Г на пространство Т (М) обобщенных функций на М - с помощью формулы (0.15), в которой (F, /) обозначает значение функционала F из Т (М) на основной функции / из Т (М). Для полученного представления в обобщенных функциях мы сохраняем тот же символ (в данном случае Т). Это в самом деле есть расширение первоначального представления Т: пространство V(M) вкладывается в Ї) (М), если мы сопоставим функции F из Т (М) функционал / н- (F, /) из Т {М) с помощью формулы (0.14), а формула (0.15) и дает требуемое расширение.
Аналогично, если оператор А в V(M) симметричен относительно формы (0.14):
(AF, /) = (F, Л/), (0.16)
то мы можем распространить его на V{M) с помощью формулы (0.16).
Пусть представления Г и S группы G действуют в пространствах У и И7 соответственно, пусть оператор С : V — W - сплетающий оператор, т.е.
CT(g) = S{g)C, geG.
В этом случае для краткости мы говорим и пишем : "С сплетает Т ,5 ".
Под неприводимостью представления понимается топологическая неприводимость, т.е. отсутствие собственных инвариантных подпространств.
Мы используем следующие обозначения для "обобщенных степеней" ("сдвинутых факториалов"):
aw = a(a+l)...(a + m-l), a(m) = я(а - 1)... (a - m + 1) (0.17)
(мы предпочитаем обозначение а "1 символу Похгаммера (a)m). Для обобщенных степеней справедлива следующая биномиальная формула (см. [18] гл. I, No. 35):
п -п (a + 6)W = \ №ІЇп-Л. (0.18)
j=o V-7/
Г(ж) - гамма-функция Эйлера, В(х,у) - бета-функция Эйлера.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. В.Ф. Молчанову за постановку задачи, большую помощь и постоянное внимание к работе.
Параэрмитовы симметрические пространства
Пусть размерность пространства q (т.е. размерность пространства G/H) равна 2т. Тогда билинейная форма на q, являющаяся ограничением формы Киллинга Яд, имеет сигнатуру (т,т).
Инволюция 9 есть линейный изоморфизм пространства q+ на q и обратно. То же самое относится и к инволюции т. Отождествим пространство q с пространством Rm каким-нибудь способом (например, возьмем в q базис Е-[,...,Ет так, чтобы Bg(Ei,0Ej) — c6ij, где с -некоторый множитель, и отождествим его со стандартным базисом в Wn). Тогда пространство q+ отождествляется с пространством Rm посредством изоморфизма 0 : q+ — q .
Пара (q+,q_) является йордановой парой [28] с умножением {X,Y,Z} = (1/2)[[А , К], Z]. Пусть и к - ранг и род этой йордановой пары. Ранги йордановой пары (q+,q ), пространства G/H и пространства К/К П Н совпадают (так что, в частности, GIН имеет дискретную серию). Положим Q = expq±. Подгруппы Р± = HQ = Q H являются максимальными параболическими подгруппами в G , для них Н есть подгруппа Леви. Мы имеем следующие разложения: где черта означает замыкание, а множества под чертой открыты и плотны в G. Назовем разложения (2.1) - (2.4) соответственнно разложениями Гаусса, "анти-Гаусса", Ивасавы, "анти-Ивасавы". Для элемента д Є G все три множителя, соответствующие разложениям (2.1), (2.2), а так же первые множители, соответствующие (2.3), (2.4), определены однозначно, а вторые и третьи множители, соответствующие (2.3), (2.4), определены с точностью до элемента из К П Я (например, для (2.3): д = (hk = (htki, где hx = hi, 1ег = 1 гк, І Є К П Я). Для всякого элемента д Є G определим преобразование н- д — пространства q и преобразование rj \- rj пространства q+ с помощью разложений Гаусса и "анти-Гаусса" : где X q", У Є q+, точка в (2.5), (2.6) означает умножение в группе G. Эти действия определены на открытых и плотных множествах, зависящих от д. Следовательно, G действует на с\ х q+ : (, rj) н- (,??). Поскольку мы отождествили q и q+ с Rm, мы получаем два действия группы G на Wn. Применяя к (2.6) автоморфизм в, получим, что действие группы G на q+ Ж"1 есть г/ н- rj — г/-д, где 5 = &(д)- Стационарная подгруппа точки (0,0) Є q- х q+ есть Р+ П Р = Н, так что мы получаем вложение q х q+ - G/H, (2.7) образ которого - открытое и плотное множество. Следовательно, мы можем рассматривать , г] как координаты на G/H, назовем их орисферическими координатами. Связь между разложениями Гаусса и "анти-Гаусса" дает нам очень важные оператор K(,rj) и функцию b(,rj), см. ниже. А именно, разложим произведение "анти-Гаусса" ехр ехр (—г]) по Гауссу: .где X Є q_, Y Є q+. Обозначим полученный элемент h Є Я через h(,rj). Определим оператор Это - аналог преобразования Бергмана для эрмитовых симметрических пространств. В терминах йордановых пар этот оператор записывается так: При действии группы G оператор К(, г/) преобразуется следующим образом: где huh берутся из (2.5) и (2.6) соответственно. Определитель det К((,г/) есть многочлен от ,7/. Более того (см. [28]), он есть N((,ri)K, где N((,rj) - неприводимый многочлен степени г по и по г] отдельно. Функцию мы можем в силу (2.7) рассматривать как функцию на G/H. Это - аналог ядра Бергмана. Она инвариантна относительно Н. Напишем в координатах , т/ метрику ds2, симплектическую форму ш и меру dx на G/H, инвариантные относительно G. Возьмем базис Е\,...,Ет в q так, как было сказано выше. Тогда вЕ\,...,вЕт -базис в q+. Пусть и г\{ - координаты в q и q+ в этих базисах соответственно. Обозначим через A,,U(,T/) матричные элементы оператора К{ г}) 1. Тогда = 2 ( ) . (2-9) Сходство формул (2.9) и (2.10) отражает тот факт, что G/H имеет структуру многообразия над алгеброй "двойных чисел" z = x + iy,x,yE R, і2 = 1. Однородные пространства S+ — G/P , S = GjP+, S = К/ К ПЯ- компактные многообразия, диффеоморфные друг другу. А именно, диффеоморфизм .S - и S устанавливается с помощью соответствия где s — Р+е, s — (К П Я)е - базисные точки, е - единица группы. Естественные действия группы G на S и S+ дают два действия группы G на S. Действие на S дает действие s = s д на S, а именно, если .s = sk, к Є Л , то s = sk, где к получается из разложения Ивасавы произведения kg: Ограничение этого действия на К дает естественное действие группы К правыми сдвигами на S. Действие на S+ дает действие. .8 ь- .? = ,s д, где, напомним, д = в(д). Рассмотрим следующее действие группы G на S х S: Стационарная подгруппа точки (s, s) при действии (2.12) есть Н, так что мы получаем естественное вложение G/H с—» 5 х S\ Образ этого вложения есть одна открытая и плотная G-орбита. Обозначим ее $7. Таким образом, SxS есть некоторая компактификация пространства G/H. По поводу структуры пространства G-орбит на S х S см. [25]. Отметим, что G/H может быть рассматриваемо как касательное (или кокасателыюе) расслоение многообразия S. Пространства q и q+ могут быть вложены в S: образы этих вложений - открыты и плотны в S. Следовательно, как = (i, ...,т), так и г/ = (771,...,77,,,,), см. выше, могут быть рассматриваемы как координаты в S. В этих координатах /іГ-инвариантная мера на S записывается так:
Полиномиальное квантование на параэрмитовых симметрических пространствах
Я приводимом случае имеется одно инвариантное подпространство V . Оно и фактор-пространство по нему V = Х г(5)/Уд неприводимы. В случае (а) пространство V конечномерно, оно есть сумма подпространств Hi с I ц, I = [і (= є), так что оно есть пространство ограничений на S однородных многочленов от х 6 R" степени ц. В случае (б) подпространство V бесконечномерно, оно есть сумма подпространств Hi с I 2 — п — /х, I = ц + п (= є).
Доказательство. Группа G порождается подгруппами expRZo и К. Поэтому для изучения неприводимости представлений 7г е достаточно проследить за действием оператора тг )Е( о) на сферические функции фі. Теперь теорема следует из (11.9),(11.10),(11.11)/ Если представление 7Г группы G приводимо, то обозначим через 7rf его подпред-ставление, действующее в Уд, и через 7Г его фактор-представление, действующее в Ve{S)lV». Теперь найдем линейные непрерывные операторы A : Ve(S) — VK(S), сплетающие представления 7г е и 7Г К (знаки " ± " берутся в произвольных сочетаниях): Аналогично определяются операторы, сплетающие представления в подфакторах в приводимом случае. Теорема 11.2. Ненулевой сплетающий оператор А, см. (11.12), существует (исключал тривиальный случай скалярного оператора, сплетающего 7г с самим собой) только для пар (тг+Е, тг1д_пе) и (тг )Е, тгІм_п,Е)- Такой оператор - единственный с точностью до множителя. В приводимом случае этот оператор равен нулю на Уд и дает изоморфизм фактор-пространства V и подпространства V- -n, так что он сплетает 7г, и К-ц-п- Обратный оператор сплетает vrf/i_7l и ТТ . Указанные операторы дают все (с точностью до множителя) сплетающие операторы для подфакторов. Доказательство. Ограничиваясь на К, мы получаем, что А должен сплетать представления Rc и RK группы К. Больше того, А должен сплетать представления pi сами с собой, поскольку кратности их вхождения равны 0 или 1. Отсюда следует, во-первых, что к = є, и, во-вторых, что каждое подпространство Hi является собственным для А: Aip = ацр, ц Є Ні, І = є. Используя взаимодействие оператора А с оператором rfc(Zo) и формулы (11.9), мы напишем для а; некоторые уравнения, решение которых и дает утверждение теоремы. Напишем сплетающие операторы в интегральной форме. Определим оператор А Е на V(S) следующим образом: где / - матрица (10.5). Множитель 1/2 поставлен для упрощения некоторых формул в дальнейшем, см. (11.22). При Кец 1 — п интеграл в (11.13) абсолютно сходится и распространяется по аналитичности в плоскость fi до мероморфной функции. Оператор, определенный (11.13), обращается в нуль на V S) и переводит T e(S) в себя. На T e(S) он сплетает представления, как указано в теореме 11.2: Л ,е rf,e(g) = -„,еЫА ,=- (И-14) Собственное значение я;( ) этого оператора на Ні, 1 = є, дается формулой: Композиция Л_М_П) АЙгЄ сплетает ir c с самим собой и потому есть скалярный оператор: Для нечетного п этот коэффициент cuo не зависит от є, его выражение можно преобразовать к виду Для четного гс коэффициент с о можно записать так: С формой (11.7) оператор ЛМ) взаимодействует следующим образом: Последняя формула позволяет распространить А є на пространство T (S) обобщенных функций, см. конец 0. Исследуем мероморфную структуру (по (І) коэффициентов ai(fi), см. (11.15). Пусть сначала п нечетно. Тогда а/(/х) имеет полюсы первого порядка в целых точках ц таких, что Следовательно, точка /х Є 1—n+e+2N является полюсом (первого порядка) для а;(/х) таких, что I ц + 2. Следовательно, оператор ЛД) имеет полюсы первого порядка в точках д 1 -п + є + 2N. Пусть теперь п четно. Тогда для всякого / функция ai(fi) имеет полюсы первого порядка в точках // Є 1 — гс + є + 2N. То же самое верно и для самого оператора ЛМ]Є. Итак, для любого гс оператор Л,, имеет полюсы (первого порядка) по / в точках /іЄ 1-П + Є + 2N. Следовательно, оператор является целой операторной функцией от /І, нигде не обращающейся в нуль. В приводимом случае он обращается в нуль на подпространстве VM, его образ есть V-fj.-n, так что он дает изоморфизм V — И.д_п, который сплетает 7Г и 7rf Напишем оператор А : V — У_ _„, который сплетает 7г и тгїд_„. Полюсы оператора ЛД) совпадают с точками /х, где имеет место приводимость (// Є є + 2N, Є —гс — є — 2N, см. теорему 11.1), только для нечетного п я fj, Є є + 2N. В этом последнем случае искомый оператор Л;1 порождается ограничением Лд оператора ЛДі, є = [І, на V (точнее: надо взять оператор Лд)Е, где Л - общего положения, ограничить его на V и затем положить А = /і) - поскольку, как было сказано выше, собственные числа aj(A) не имеют полюса по А в точке А = ц для / /х, I = є = ц.
Полиномиальное квантование на однополостном гиперболоиде
В выражении для Vkm пошевелим к: заменим его на /І, так что в интеграл (25.28) мы подставляем /(, г/) = ./V(, rj)k m "1, h(u, v) = N(u,v) m m (—v-[)m. Обозначим еще ft = /.і — к. После подстановки - не делая специализацию / = к, є = к, - мы получим Березин исследовал случай, когда М есть эрмитово симметрическое пространство, т.е. пространство класса а). Пусть оно реализовано как ограниченная область в С"1. Исходным пунктом в конструкции Березина является так называемая переполненная система (система когерентных состояний) Ф(г,Ш), z,w Є Cm. Она представляет собой поляризацию ядра Бергмана в степени, зависящей от параметра h. Искомые алгебры A(h) состоят из ковариантных символов A(z,z) операторов Л, действующих в пространствах Фока Тк на М. Ковариантный символ определяется формулой где оператор А действует на Ф(гг,То) как на функцию от z. Березин рассматривал все ограниченные операторы в пространстве Фока. Оператор вполне определяется своим ковариантным символом. Умножение операторов порождает умножение символов, последнее задается интегралом, содержащим так называемое ядро Березина. Интегральный оператор с этим ядром называется преобразованием Березина #, оно действует в функциях на М. Березин нашел выражение преобразования В через операторы Лапласа на М и нашел асимптотику В при где А - оператор Лапласа-Бельтрами на М. Это решает задачу построения квантования на М: алгебры A(h) состоят из ковариантных символов ограниченных операторов в J- k с умножением , принцип соответствия вытекает из (0.2). Кроме того, Березин опеределяет контравариантные символы операторов: это операторы Теплица в пространстве Фока. Оказывается, что для данного оператора переход от его контравариантного символа к ковариантному символу дается преобразованием Березина.
В нашей работе мы рассматриваем квантование в духе Березина на пространствах G/ Н класса с). Мы следуем схеме из [29]. Условия, накладываемые на семейство алгебр A(h), должны быть несколько видоизменены. Мы можем считать, что G/Н есть G-орбита в присоединенном представлении группы G, а также что G - простая группа Ли. Следовательно, G/Н есть многообразие, лежащее в алгебре Ли g группы G. В качестве переполненной системы мы берем ядро Ф(,//) = Фц є(,п) оператора, сплетающего представления из максимально вырожденных серий 7Г е и 7Г+ представлений группы G. Здесь /і 6 С, = 0,1. Векторы и 7; пробегают соответственно //-инвариантные лагранжевы подпространства q и q+ в начальной точке ж0 = Не (е - единица группы G) пространства G/H. Пары (,т?) дают координаты на G/H, за исключением многообразия меньшей размерности. Представления 7Г и 7Г действуют соответственно в некоторых пространствах функций ip() и ф(г]). Аналогом пространства Фока служит пространство функций у().
В качестве исходной алгебры операторов мы берем алгебру операторов D = 7Г (АЛ), где X принадлежит универсальной обертывающей алгебре Env(g) алгебрыЛи g. Ковариантный символ F(, і]) оператора D мы определим формулой, аналогичной (0.1): где оператор D действует на (, 77) как на функцию от . Эти ковариантные символы на самом деле не зависят от е. Они являются функциями на G/ Н. Больше того, они являются многочленами на G/Н (т.е. ограничениями на G/ Н многочленов на д). Это утверждение доказано для ранга один, для высших рангов это - пока еще гипотеза. Для данного ц обозначим через Afl множество всех ковариантных символов, полученных указанным способом. Для ц общего положения пространство Лц есть пространство S(G/H) всех многочленов на G/Н. Дальше теория развивается по схеме Березина, изложенной выше, а именно, отображение D ь- F, сопоставляющее оператору его ковариантный символ, является g-эквивариантным, для /і общего положения оператор восстанавливается по своему ковариантному символу, умножение операторов порождает умножение (обозначим его ) ковариантных символов, последнее умножение задается интегралом с ядром, которое мы называем ядром Березина и которое по форме аналогично ядру Березина для G J К. Таким образом, пространства Л оказываются ассоциативными алгебрами с единицей относительно умножения . С другой стороны, мы можем определить контравариантные символы операторов - формулой, аналогичной случаю GjК. Таким образом, мы получили два отображения D н-» F ("ко") и F —» А ("контра"), связывающие операторы D и А, действующие в функциях от , и многочлены F на G/H. Композиция В = (ко) о (контра), т.е. переход от контравариантного символа оператора к его ковариантному символу является интегральным оператором с ядром Березина. Назовем В преобразованием Березина. Оно может быть выражено через операторы Лапласа на G/Н. На конечномерных подпространствах в S(G/H) преобразование Березина есть дифференциальный оператор. Композиция О = (контра) о (ко), отображающая оператор в оператор, не рассматривалась в теории Березина. В нашем случае мы можем дать явное описание этого преобразования. Сформулируем нерешенные задачи (для произвольного ранга): найти выражение преобразования Березина В через операторы Лапласа, найти его собственные числа на неприводимых составляющих, найти полное его асимптотическое разложение при [і —» —оо. По-видимому, первые два члена этого разложения таковы: где Д - оператор Лапласа-Бельтрами. Из соотношения (0.4) вытекает принцип соответствия (в качестве "постоянной Планка" надо взять h = -1// ) при fi — —оо. В правых частях (0.5) и (0.6) стоят соответственно обычное поточечное умножение и скобка Пуассона. Поскольку алгебры Лц в нашем случае состоят из многочленов на G /Я, мы называем наш вариант квантования полиномиальным квантованием. 4. Теория, изложенная вкратце в предыдущем пункте для пространств класса с) произвольного ранга, носит незавершенный характер: некоторые утверждения еще не доказаны, некоторые формулы еще не найдены. Таким образом, этот пункт может быть рассматриваем как набросок будущей теории. Более подробно этот пункт развит в главе I. По-видимому, эта теория имеет достаточно алгебраический характер, она может быть развита параллельным образом и для других классов симплектических пространств G/H, в частности, для эрмитовых симметрических пространств G/K. Однако, как нам кажется, класс с) более удобен, более естествен для этой цели (например, отсутствие описания преобразования О для пространств G/К имеет, по-видимому, принципиальный характер). 5. Для пространств ранга один все утверждения доказаны, задачи решены, формулы найдены. Полиномиальное квантование для пространств ранга один составляет основное содержание диссертации, это - материал глав II и III. Как уже было сказано выше, нам достаточно рассмотреть пространства G)Я с G = SL(n,R), Я = S(GL(n - 1,R) х GL(1,R)), т.е. Я GL (п - 1,R). Здесь п 2. Для этих пространств нам будет удобнее реализовать G/H не как подмногообразие в алгебре Ли g (g состоит из матриц из Mat(n,R) со следом нуль), а как подмногообразие матриц из Mat(n,R), у которых след и ранг равны единице. Второе подмногообразие получается из первого параллельным сдвигом в пространстве Mat (n,R) на (1/п)Е, где Е - единичная матрица. Действие группы G сопряжениями сохраняется. Случай п = 2 имеет некоторые особенности, поэтому мы выделили его в отдельную главу (глава II). Пространство G/H в этом случае есть однополостный гиперболоид в R3. Глава III изучает случай п 3.
Максимально вырожденные серии представлений
Диссертация состоит из Введения (0) и 25 параграфов, разбитых на три главы. Содержание этих глав было указано выше - в пунктах 3, 4, 5.
Нумерация параграфов, теорем (лемм), формул - единая. Первая цифра означает номер параграфа, вторая - номер теоремы (леммы), формулы в этом параграфе. 7. Сформулируем основные результаты диссертации: а) предложена концепция полиномиального квантования на параэрмитовых сим метрических пространствах первой категории; следующие результаты получены для пространств ранга один: б) полиномиальное квантование построено в явном виде (дано описание алгебр ковариантных и контравариантных символов, вычислено преобразование Березина, найдено преобразование операторов, дублирующее преобразование Березина, доказан принцип соответствия, описана антиинволюция алгебр ковариантных символов, являющаяся аналогом комплексного сопряжения для эрмитовых симметрических пространств); в) предложена новая форма деформационного разложения (полного асимптоти ческого разложения преобразования Березина), это разложение вычислено явно; г) дано описание максимально вырожденных серий представлений алгебры Ли g группы G в многочленах и в обобщенных функциях на R 1-1, сосредоточенных в нуле; для конечномерных подпредставлений вычислены ршвариантные билинейные формы; д) для основной неунитарной серии, связанной с G/H, найдена в явном виде меро морфная структура сплетающего оператора как функции от параметра серии, вы числены явно собственные числа этого оператора на некоторых /if-типах, вычислены - собственные числа этого оператора на .//-инвариантах (аналог с-функции Хариш-Чандры); е) дано описание серии конечномерных представлений, действующих в подфак торах основной неунитарной серии, связанной с G/H (реализации в многочленах и обобщенных функциях с точечным носителем, билинейные инвариантные формы, сплетающие операторы и т.д.); ж) дано разложение в явном виде тензорных произведений максимально вырож денных конечномерных представлений на контраградиентные - вплоть до "формулы Планшереля"; з) построен в явном виде "конечномерный гармонический анализ" на G/H: вычис лены //-инварианты, преобразования Фурье и Пуассона, сферические функции, полу чена соответствующая формула Планшереля; и) получено дифференциальное выражение для преобразования Пуассона из предыдущего пункта. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7], [8], [31], [9], [10], [11]. Приведем некоторые обозначения, формулы, а также некоторые стандартные рассуждения, используемые дальше в работе. N = {0, 1, 2, ... }, Z, К., С - множества целых, вещественных, комплексных чисел, соответственно, Ш - мультипликативная группа вещественных чисел (R = Е\{0}). Знак сравнения = всегда обозначает сравнение по модулю 2. Мы используем следующее обозначение для характера (гомоморфизма в мультипликативную группу комплексных чисел) группы К : Через Mat (m, F) обозначается пространство матриц m-ro порядка над полем F. Через Е обозначается единичная матрица или единичный (тождественный) оператор. Для многообразия М через V{M) обозначается пространство комплекснозначных бесконечно дифференцируемых функций на М с компактным носителем, снабженное обычной топологией. Через Т (М) обозначается пространство обобщенных функций на М - линейных непрерывных функционалов на Т (М). Мы используем стандартные обозначения для классических групп Ли: SOo(p, q) (это - связная компонента единицы группы линейных преобразований пространства Ер+!?, сохраняющих квадратичную форму сигнатуры (р, )), 0(n), SO(n), SL(n,R), GL (n, R), SL (n, C), U (n), SU (n). Для группы Ли G через G e обозначается связная компонента единицы. Если (f - автоморфизм группы Ли G, то через Gv обозначается множество элементов группы С, неподвижных для (f. Если группа Ли обозначается заглавной латинской буквой, то ее алгебра Ли обозначается соответствующей строчной готической буквой. Для алгебры Ли д мы обозначаем через Env(g) ее универсальную обертывающую алгебру. Определим в Env(g) линейное отображение X н- Xv следующим образом. Для одночленов X = Х\Х-2...Хт, где Х{ Є 0, положим и распространим на Env(g) по линейности. Это отображение является инволюцией. Оно коммутирует с присоединенным представлением: Дифференцируемое представление Т группы Ли G порождает представление алгебры Ли g (дифференциал представления Г) и, следовательно, представление алгебры Env(g). Для этих порожденных представлений мы сохраняем тот же самый символ (в (dx - некоторая мера на М) инвариантна относительно пары представлений (Т, S) группы Ли G, действующих в Т (М), т.е. \T(g)F, S(g)f) = (F,/), или, что все равно,
Тогда мы можем распространить представление Г на пространство Т (М) обобщенных функций на М - с помощью формулы (0.15), в которой (F, /) обозначает значение функционала F из Т (М) на основной функции / из Т (М). Для полученного представления в обобщенных функциях мы сохраняем тот же символ (в данном случае Т). Это в самом деле есть расширение первоначального представления Т: пространство V(M) вкладывается в Ї) (М), если мы сопоставим функции F из Т (М) функционал / н (F, /) из Т {М) с помощью формулы (0.14), а формула (0.15) и дает требуемое расширение.