Введение к работе
Актуальность темы. Важное место в теории приближения функций занимает задача приближения заданного класса функций^? при помощи некоторого линейного метода, определяемого- бесконечной треугольной матрицей чисел Л-^СУ (л*0;/,..., *-/,... , A^-tt Л'х'О при /с»л ). Эта задача заключается в исследовании величины
&ШМЖ* 'Ш>\Нх)-Кл(Ш) |х , (I )
где u„(f,X,A) - полиномы, пороглаемне некоторым линейным методом Щ$% х - норшропанное пространство, Л? с х - заданный класс функций.
Истоки исследования поведения величины (I) нрил-»** берут своё начало в работе А.Н.Колмогорова ( zur GrosBenordnung des Reatliedes Fourieschen Reihen differeiijderbaren Functionen. -dnn. Math., 1935- - 36. - P. 521-526) , где установлено, что при/j-»— имеет место равенство
где Sn(fi-z) - суммы фурье, W - класс^^ -периодических функций f(x) , (г-/ )-а производные которых абсолютно непрерывны и \f^ \с «/ , *є JT . В.Т.Пинкевич в работе ( 0 поряч,-ке остаточного члена ряда 'їурье функций, диЭДхэренцируемых в смысле Вейля // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1940. -А, !Р 5. Z. 521-523 ) показал, что равенство (2) остаётся взрнчм и для любых 1>о , если под выражением f(x\x) понимать производную в смысле Вейля.
Следующий существенный шаг в развитии этой теории прим-.т,-пежчт С.М.Никольскому, обобщившему упомянутые результати ні классы W //ы и решившему аналогичную задачу для сумм $ейера.
Указанные результаты А.Н.Колмогорова и С.М.Никольского
іолочили начало новому направлению п теории приблизнім <[унк-
дий. Их результати распространялись на более общие классы
функций, а в качестве приближающих агрегчточ рассматригглись
тригонометрические полиномы ип(г,х,л), порождаемые различными линейными методами суммирования рядов Фурье. Задача об отыскании асимптотических равенств для величин () стала одной из наиболее важных в теориях приближения функций и суммирования рядов Фурье. Её мы, следуя А.И.Степанцу ( Равномерные прибли -жения тригонометрическими полиномами. - Киев: Наук, думка, 19Э1. - 339 с), называем задачей Колмогорова - Никольского и если в явном вида найдена такая функция ^>(fi)=ip(n.,^2,Zln) , что при «-—
ьШ, Ю = р(п) * o((f(nj),
то будем говорить, что решена задача Колмогорова - Никольского ( в дальнейшем задача К-Н ) для класса функций 7Z и для метода Un (Л) .
Целью настоящей работы является получение асимптотических равенств для величин &(CJ!,„;l/n) ,.где Cfi,~. - классы непрерывных периодических функций, введенные А.И.Степанцом ( см., например, Классы периодических функций и приближение их элементов суммами Фурье. - Киев, 1983. - 57 с. - ( Препр./АН УССР. Ин-т математики; 83.Ї0), VJf,x,A) - тригонометрические полиномы , порождаемые некоторыми специальными линейными методами, о которых будет сказано ниже, и нахождение с помощью этих равенств решений задачи К-Н на классах СЛ* для сумм Фавара при произвольных натуральных г
Методика исследований. Основным методом исследования является изучение интегральных представлений уклонений функции из классов С%,~, от линейных средних их рядов Фурье, полученных А.И.Степанцом. При этом использована методика исследования указанных интегральных представлений, предложенная и развитая в работах В.Надя, С.А.Теляковского, А.И.Степанца, В.И.Рукасова , Д.II.Булева.
. Новизна результатов и' их научная ценность. В настоящей работе рассмотрен следующий метод приближения.
Определение Ї. Будем говорить,.что последовательность функций %(х) принадлежит множеству ^ , если при всех n = i;z,... выполнены следующие условия:
-
все функции р(х) непрерывны при х*о , а функции
-
все функции (рсс) не убывают при х*о ;
-
%(<9Ш0, <&(Х)>0 при любом Х>о
Определение 2. Будем говорить, что последовательность нкциЯ fc(x) принадлежит множеству Н , если при всех /1 = <-л,— полнены следующие условия:
і) все Функции fc(x) непрерывны вместе с производными второ-порядка при х&о ;
-
\(Х^У, \^"ftcJif-Jft при хе[0;1І , где константи Ж{ ч Лг зависят от п ;
-
.<&>,,, *0, (1)=і.
Через ftr,F будем обозначать любой линейный метоп, эадявае-й бесконечной треугольной матрицей A'fi^y , элементы которой овлетворяют условию Л'^-Ап () , где
Метолами вица V*' являются некоторые известные методы : гмунда, Рогогинского, Стеклова, Фаварл и др.
В настоя*пеЯ работе получены асимптотические равенства для личин <5(Са,-;?/'') , которые в ряде важных случаев доставляют иение задачи К-Н. В качестве следствий из равенств ллл мето-в Ун ' получены асимптотические равенства для методов Фава-при произвольных натуральных к . Эти равенства являются выми.
Объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух ав, списка цитированной литературы, насчитывающего 58 названий, занимает 132 страницы машинописного текста.
