Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Пространства Кальдерона-Орлича
1.1 Перестановочно-инвариантное пространство 15
1.1.1 Банахово функциональное пространство 16
1.1.2 Перестановочно-инвариантное пространство 21
1.1.3 Пространство Орлича 30
1.2 Общие свойства пространств Кальдерона-Орлича 35
1.2.1 Основные определения и обозначения 35
1.2.2 Дискретизация нормы F на конусе убывающих функций 41
1.3 Критерий ограниченности оператора типа Харди в пространстве F = Lxr\ Ьфу 48
Глава 2 . Критерий вложения пространства Кальдерона-Орлича в LM
2.1 Критерий вложения пространства Кальдерона-Орлича в !„ и перестановочно-инвариантная оболочка в этом случае 54
2.1.1 Формулировка основных результатов
2.1.2 Доказательства утверждений 56
2.1.3 Примеры 71
2.2 Описание оболочки локального роста пространства Кальдерона-Орлича 73
Глава 3. Анизотропное пространство Кальдерона-Орлича 77
Литература 85
- Банахово функциональное пространство
- Дискретизация нормы F на конусе убывающих функций
- Критерий вложения пространства Кальдерона-Орлича в !„ и перестановочно-инвариантная оболочка в этом случае
- Описание оболочки локального роста пространства Кальдерона-Орлича
Введение к работе
Интегральные неравенства на конусах монотонных функций играют важную роль в математическом анализе, теории вложения и их приложениях. Многие объекты современного математического анализа (убывающие перестановки функций, наилучщие приближения, модули непрерывности, функционалы теории интерполяции операторов) обладают свойствами монотонности. Многие вопросы теории приближений, теории интерполяции и в том числе, теории вложения сводятся к исследованию интегральных неравенств на конусе монотонных функций.
Теория вложения для пространств функций играет важную роль в математическом анализе и его приложениях в теории дифференциальных уравнений, а также в теории рядов Фурье и в теории приближений. Правильная постановка задач теории приближений в различных метриках требует наличия точной информации о вложении пространств дифференцируемых функций в те или иные банаховые функциональные пространства.
Теоремы вложения возникли в связи с задачами теории уравнений в частных производных, в которых для изучения гладкости решений вводятся одни серии пространств, для изучения поведения вблизи границы области или вблизи каких либо особых точек - другие типы пространств; изучение значений решений на многообразиях меньшей размерности проводится в новых
пространствах и т.д. Возникновение теории вложения связано с работами С.Л. Соболева в 30-е годы прошлого века. Им были введены и изучены пространства W^, получена для них система теорем вложения и даны приложения в уравнениях математической физики.
Расширение соболевской классификации на дробные порядки дифференцирования было предпринято в работах Л.Н. Слободецкого, И. Стейна, П.И. Лизоркина и далее Я. Петре, Г. Трибеля и его учеников, М. Тейблсона и др. Оно привело к появлению пространств Соболева - Лиувилля, а затем и более общей шкалы пространств Лизоркина - Трибеля. Другое направление исследований связано с созданием СМ. Никольским теории вложений пространств гельдеровского типа, образующих шкалу с непрерывно меняющимися анизотропными характеристиками гладкости. О.В. Бесов ввел и изучил более общие пространства B^R71), совпадающие при в = со с пространством Никольского Hp(Rn). Эти пространства сыграли важную роль для окончательного решения задачи о следах функций из пространств Соболева, изученной в работах Н. Ароншайна, В.М. Бабича, О.В. Бесова, Э. Гальярдо, П.И. Лизоркина, И. Стейна, СВ. Успенского и др., что дало толчок в теории обобщенных решений краевых задач для операторов в частных производных. Шкала пространств Бесова естественным образом возникает также в теории приближений, в рядах Фурье, в теории интерполяции линейных операторов.
Далнейшее расширение понятия гладкости связано с рассмотрением пространств "обобшенной гладкости в которых осуществлен переход от числовых (векторных) параметров гладкости к обобщенным параметрам - функциям (вектор -функциям) или последовательностям, причем при минимальных априорных предположениях. Такие пространства естественным образом возникают в теории рядов Фурье и теории приближений. Важный вклад в развитие теории пространств обобщенной гладкости внесли исследования Н.К. Бари, А. Зигмунда, СБ. Стечкина, П.Л. Ульянова, М.К. Потапова, Э.А. Стороженко, П. Освальда, Ю.В. Нетрусова и др.
Развитие теории обобщенных пространств Бесова связано с работами О.В. Бесова, А.В. Бухвалова, М.З. Берколайко, М.Л. Гольдмана, Г.А. Калябина, Ю.В. Нетрусова и др. Потребностьи теории нелинейных краевых задач привели в работах Ж. Госсе, Т. Дональдсона, Н. Трудингсра и др. к рассмотрению пространств дифференцируемых функций, построенных на основе более общей, чем Lp, метрики пространств Орлича. Дальнейшие обобщения, связанные с введением более общих метрик изучались в книге О.В. Бесова, В.П. Ильина, СМ, Никольского, в работах М.З. Берколайко, Ю.А. Брудного, А.В. Бухвалова, К.К. Головкина, М.Л. Гольдмана, B.C. Климова и др. Параллельно шло бурное развитие общей теории идеальных (банаховых функциональных) и симметричных (перестановочно-инвариантных) пространств, связанное с именами
таких известных специалистов, как С.Г. Крейн, А.П. Кальдерон, Е.М.Семенов, П.П. Забрейко, Я. Петре, Е.И. Бережной, В.И. Овчинников и др. Синтез этих подходов привел к возникновению концепции пространств Кальдерона, введенных им.
Ряд важных современных результатов теории вложений для пространств Кальдерона получен в работах М.Л. Гольдмана, Р. Кермана. В работе [10] получены, в частности, необходимые и достаточные условия для вложения
A(E,F)^X,
где X - перестановочно-инвариантное пространство (кратко: ПИП), и построено оптимальное (самое узкое) ПИП для него; то есть, найдено ПИП Xq такое, что вложение A(E,F) <-> X верно при X — Хо, и если это включение верно для некоторого X, то Xq <-» X. Такая постановка вопроса об оптимальности пространства принадлежит Ю.В. Нетрусову [21]-[22].
Диссертационная работа посвящена реализации абстрактных результатов по теории вложений пространств Кальдерона в случае пространств Кальдерона-Орлича A^^(Rn;^). Указанная реализация основана на анализе теории двойственности и оценках поведения интегральных операторов типа Харди в весовых пространствах Орлича. В работе также рассматривается вопрос об описании оболочки локального роста для пространств Кальдерона-Орлича и Соболева - Орлича.
Отметим, что пространства A#^(Rn;z/) обобщают классические пространства Бесова. Обобщение проводится по двум направлениям: интегральные свойства функций из Л;ф(Мп, v) выражаются в терминах Е - ПИП общего вида, а дифференциальные свойства функций в терминах принадлежности наилучших приближений пространству Орлича, норма в котором более общая, чем в Lp.
Работа состоит из вступительного 0.1 и трех глав.
В параграфе 0.1 описаны основные используемые нами обозначения.
Первая глава посвящена построению конструкции пространства Кальдерона-Орлича и получению вспомогательных результатов. Она состоит из трех разделов.
В 1.1. кратко изложены некоторые факты, относящиеся к общей теории перестановочно-инвариантных и идеальных пространств.
В разделе 1.2. даются основные определения пространства Кальдерона-Орлича и рассмотрены его общие свойства. Как мы выше отметили, пространство Кальдерона-Орлича определяется следующим образом.
Ля,Ф(іГ; u) = {fEE: et(f)E Є F(R+) = МЯ+) П ф,„(Д+)} ;
ll/lk#(^) = ll/lk + lh(/biiF =
= II/II* + IM/Ыкоо + inf і Л > 0 : J Ф {\-let(f)E) v(t)dt < 1 \ , где L<$,tl/(R+) - весовое пространство Орлича, et{f)E - наилучшее
приближение функции / Є Е с помощью целых функций экспоненциального типа степени tl'n по каждой переменной.
Методом дискретизации получена двухсторонная оценка нормы пространства F на конусе убывающих функций через норму дискретного пространства Орлича l$jV, на основе которой устанавливаются основные утверждения. Именно справедливо предложение 1.2.1:
Пусть F = Ьф^и П Lqo - идеальное пространство (квази) норма в котором задается соотношением
M\f := WgWboo + 1Ык,„-Введем (квази) нормированный конус
Of = {9 Є F : 0 < g(t) і} ;
1Ы|п„ := \\9\\f = 1Ык,„ + 9(+0)t g Є Пусть Ф E Аг т.е. Зс > 0, для которых Ф(2я) < сФ^) < со, (0 < s < оо). Тогда \\9\\f « |1Ы/^)}1к„ = bf{A > 0 : ^Ф[А-У^Ж < !} Здесь w(iim) = 6m,m = 0,1,..., где 6 > 1 - фиксировано; и>(*)= ||Х(о,*)1Ы { 00 771=0 В разделе 1.3 приведен критерий ограниченности оператора типа Харди: G[g){t) = Jд(т)фЕ{т)у{т-1)<1т : QF -> F[T, оо). t в пространстве F. Основные результаты работы получены при условии ограниченности оператора G : Q,p -> F[T, оо). Поэтому важно найти критерий ограниченности оператора G для случая весового пространства Орлича. Введем положительную функцию flftHMw-1^)), іЄ[1,оо), (1.3.1) где /ія-инволюция фундаментальной функции пространства Е\ w~l-непрерывная справа обратная функция к w. Тогда условие ограниченности оператора G эквивалентно требованию 9 Є Аг (і —У +оо), т.е. sup[9{2t)/9{t) : t Є [2,oo)] < оо. Во второй главе рассмотрены вопросы об оптимальном вложении пространства Кальдерона - Орлича и его оболочке локального роста. В 2.1 получено конкретное описание ассоциированного пространства Q'F для конуса tip, которое дает возможность конкретизировать критерий вложения пространства Кальдерона - Орлича в Lqq. Справедливо следующее предложение 2.1.1. Пусть F = L$tl/ П Lqq, Ф Є A2 и V^oo) = 00, где t V(t) = f u(x)dx,t > Q. 0 Тогда для измеримой функции > 0 на R+ \\tyF\Mt,-)\\L^ + ft{x)dx = = inf{A > 0 : f Ф(Л_1ра(С; t))u{t)dt < 1} + f (x)dx, где Ф - дополнительная функция Юнга к функции Ф; № Pa&t) = Ф (^) J t{x)dx- fi(t) = «Г^аЦ*))- Для различных значений a > 1 эти нормы эквивалентны. Более того они эквивалентны следующей норме, более удобной для применений: lllk Ж)1йх)ёх Lip,,/ = inf I А > 0 : /ф I Л_1Ф (-ттт) ft(x)dx ) */(*)<Й С точки зрения описания оптимального (самого узкого) ПИП Х0 для вложения Л,ф(Д»с1 имеется два существенно различных случая і)-Фе є n'F 2).фЕ і Q'f, где фЕ(і) = ^(Г1) [^Wr1)2]"1, М*) := \\xg\\e -фундаментальная функция пространства Е. Как результат приведенных выше предложений имеет место эквивалентность фЕеП'Р & Ф (^zj tiE(t) є LytV, т.е. Ґ oo inf l A > 0 : f Ф (x-1** С^щ) цЕ{і)\ v{t)dt < 1 > < OO. v \wj—J " ~ Из предыдующих утверждений и известных резултатов об оптимальном вложении пространств Кальдерона непосредственно вытекает следующая теорема 2.1.3. Пусть F = ф,„ П Lqo и Ф Є А2- 1. Если V(oo) < oo то AE,*(Rn;v) = E(Rn). 2. Если V(oo) = oo и ф {щ) "в(г) є L*'" то пространство Xq = Е П Loo с нормой Рх0(Л = Г(+0) + Ре(ГХ(т-^оо))- есть оптимальное ПИП для вложения. В 2.2 получено конкретное описание оболочки локального роста пространства Кальдерона-Орлича. Оболочкой локального роста пространства Кальдерона-Орлича Л = Ab^(R"; v) называется функция: ЯлW := sup{/*(*) :/єЛ;||/||л<1}. \w(t) 0(2*) При наличии вложения Л С L^ получим E\{t) = 0(1),t -> +0. При отсутствии этого вложения функция E\(t) является важной характеристикой пространства Л. Пусть lAE(t) . $,„ 9{t) : t Є (2, oo) Тогда &е{х;і) EA(t) * Ьу v ,w(x), где p,E{x;t) = це(х),х Є (0,1/i); Де(ж;) = fiE(l/t),x Є [1Д,оо). В третьей главе рассмотрено анизотропное пространство Кальдерона-Орлича Л^, Ф(М"; v). С помощью пространства F = Loo П Ьфу]/ определяется пространство Fo(K+) = Fo с нормой Ы\г0 := h(A-\-))\\F = ( 00 >, = Halloo + inf | Л > 0 : J Ф (Л-1^^-1^))!) v(t)dt где A(t) = Uaj{t), «(*) = { dj{t) t) aj(+0) = 0> aj{+) — - Введем пространства (идеальные) Fj с помощью нормы: \\9h := Ы<*Шр0. Таким образом, анизотропное пространство Кальдерона-Орлича A^$(R"; v) порождается нормой: л(' 3=1 + е$(/Ь + inf | А > 0 : | Ф (А-Ч^А-ч*^/)^) "W* < 1 Аналоги утверждений для ' изотропного пространства, полученных в предыдующих главах, получены и в анизотропном случае. Действительно, пусть VFo :={9ЄЇІ: g(A(t)) Є F0} ; \\д\\Прь := \\g(A(-))\\Fo - конус убывающих функций из Fq. Этот конус так же важен как St{f)E := inf maxe«(/); к := і (i/,-)y=1 : i/;- > О, Д і/,- = - среднее наилучшее приближение функции f Є Е. Для измеримой функции > 0 на Д+ 7 ,-n*» jki)f*lx)dx L*,!/ = inf I A > 0 : /ф ( А_1Ф (-4r) f t{x)dx J z/(*)di < 1 Таким образом, для анизотропного случая имеет место эквивалентность Фе є n'Fo & ф ( — 1 ^(t) є ігф^. Введем оператор * л(<) Тогда условие ограниченности оператора Go эквивалентно требованию в Є A2(t -> +оо), т.е. sup[0(2)/0(i) : і Є [2, оо)] < оо. В конце отметим, что приведенные выше общие результаты для пространств Кальдерона-Орлича проиллюстрированы примерами. Интегральные неравенства на конусах монотонных функций играют важную роль в математическом анализе, теории вложения и их приложениях. Многие объекты современного математического анализа (убывающие перестановки функций, наилучщие приближения, модули непрерывности, функционалы теории интерполяции операторов) обладают свойствами монотонности. Многие вопросы теории приближений, теории интерполяции и в том числе, теории вложения сводятся к исследованию интегральных неравенств на конусе монотонных функций. Теория вложения для пространств функций играет важную роль в математическом анализе и его приложениях в теории дифференциальных уравнений, а также в теории рядов Фурье и в теории приближений. Правильная постановка задач теории приближений в различных метриках требует наличия точной информации о вложении пространств дифференцируемых функций в те или иные банаховые функциональные пространства. Теоремы вложения возникли в связи с задачами теории уравнений в частных производных, в которых для изучения гладкости решений вводятся одни серии пространств, для изучения поведения вблизи границы области или вблизи каких либо особых точек - другие типы пространств; изучение значений решений на многообразиях меньшей размерности проводится в новых пространствах и т.д. Возникновение теории вложения связано с работами С.Л. Соболева в 30-е годы прошлого века. Им были введены и изучены пространства W , получена для них система теорем вложения и даны приложения в уравнениях математической физики. Расширение соболевской классификации на дробные порядки дифференцирования было предпринято в работах Л.Н. Слободецкого, И. Стейна, П.И. Лизоркина и далее Я. Петре, Г. Трибеля и его учеников, М. Тейблсона и др. Оно привело к появлению пространств Соболева - Лиувилля, а затем и более общей шкалы пространств Лизоркина - Трибеля. Другое направление исследований связано с созданием СМ. Никольским теории вложений пространств гельдеровского типа, образующих шкалу с непрерывно меняющимися анизотропными характеристиками гладкости. О.В. Бесов ввел и изучил более общие пространства B R71), совпадающие при в = со с пространством Никольского Hp(Rn). Эти пространства сыграли важную роль для окончательного решения задачи о следах функций из пространств Соболева, изученной в работах Н. Ароншайна, В.М. Бабича, О.В. Бесова, Э. Гальярдо, П.И. Лизоркина, И. Стейна, СВ. Успенского и др., что дало толчок в теории обобщенных решений краевых задач для операторов в частных производных. Шкала пространств Бесова естественным образом возникает также в теории приближений, в рядах Фурье, в теории интерполяции линейных операторов. Далнейшее расширение понятия гладкости связано с рассмотрением пространств "обобшенной гладкости в которых осуществлен переход от числовых (векторных) параметров гладкости к обобщенным параметрам - функциям (вектор -функциям) или последовательностям, причем при минимальных априорных предположениях. Такие пространства естественным образом возникают в теории рядов Фурье и теории приближений. Важный вклад в развитие теории пространств обобщенной гладкости внесли исследования Н.К. Бари, А. Зигмунда, СБ. Стечкина, П.Л. Ульянова, М.К. Потапова, Э.А. Стороженко, П. Освальда, Ю.В. Нетрусова и др. Развитие теории обобщенных пространств Бесова связано с работами О.В. Бесова, А.В. Бухвалова, М.З. Берколайко, М.Л. Гольдмана, Г.А. Калябина, Ю.В. Нетрусова и др. Потребностьи теории нелинейных краевых задач привели в работах Ж. Госсе, Т. Дональдсона, Н. Трудингсра и др. к рассмотрению пространств дифференцируемых функций, построенных на основе более общей, чем Lp, метрики пространств Орлича. Дальнейшие обобщения, связанные с введением более общих метрик изучались в книге О.В. Бесова, В.П. Ильина, СМ, Никольского, в работах М.З. Берколайко, Ю.А. Брудного, А.В. Бухвалова, К.К. Головкина, М.Л. Гольдмана, B.C. Климова и др. Тогда условие ограниченности оператора Go эквивалентно требованию в Є A2(t - +оо), т.е. sup[0(2)/0(i) : і Є [2, оо)] оо. В конце отметим, что приведенные выше общие результаты для пространств Кальдерона-Орлича проиллюстрированы примерами. 0.1. Описание обозначений 1). Повсеместно символ := будет означать, что величина стоящая слева от него определяется выражением стоящим справа. Нумерация формул в тексте сплошная и состоит из трех чисел (слева-направо): первая цифра соответствует номеру главы, вторая указывает на раздел внутри главы, а третье число номер формулы внутри раздела. Например, (2.1.7) будет номером седьмой формулы из первого раздела второй главы. Номера теорем, лемм, предложений и т.д. совпадают с номерами раздела, где они помещаны. Ссылка на формулу, теорему, предложении дается соответствующим им номером. Через т, к, г, j будем обозначать индексы пробегающие множество No := {0,1,2,...}. Далее, Шп евклидово действительное пространство точек ж = (жі,... ,хп); ж = I = 1Пх] ) гДе п - заданное натуральное число, обозначающее исключительно размерность данного пространства; R+ := (0, оо) - действительная полупрямая. Всюду в тексте термин "измеримост"будет означать измеримость в смысле Лебега, интегралы будут пониматься в смысле Лебега; mesQ - мера Лебега множества Г2. Мы тоже будем пользоваться стандартными обозначениями: Для измеримого непустого множества fiCK": C(Q,) - банахово пространство равномерно непрерывных ограниченных на to функций. LP(Q),1 р оо - множество классов измеримых, равных почти всюду в О, функций /(ж), для которых конечна норма: [ (f\f{x)fdx) Р; 1 Р оо виругаі/(ж); р = оо Сопряженный показатель к р обозначим через р : то есть + Л = 1, при этом 1 = оо, оо = 1. АС (О) - множество абсолютно-непрерывных на 1 функций. Через Врв(0,);а 0,1 р,9 со обозначим классическое изотропное пространство Никольского-Бесова; 13 (0,) = Н (Г2). 2). Напомним, что функция qT(x),x Є Мп называется целой функцией экспоненциального типа г = (ті,..., тп), TJ 0, если для нее выполняются следующие условия: 1. qT(z) - целая функция по всем переменным, то есть она разлагается в абсолютно сходящийся на всем Сп степенной ряд: kj 0 2. Для любого є О, существует Ае О такое, что для всех z = (zi,...,zn) выполняется неравенство: Для 1 р со, подпространство в Lp(Wl) целых функций экспоненциального типа г часто обозначают через 9ЯГ)Р(МП). Функций из этого подпространства часто называют функциями с ограниченным спектром, поскольку они допускают эквивалентное описание в образах Фурье, а именно (теорема Пэли-Винера): В этом разделе мы приведем основные понятия, связанные с перестановочно-инвариантными пространствами и введем специфические обозначения, которыми мы будем пользоваться до конца работы. При определении пространства Кальдерона-Орлича, мы исходим из понятий идеального пространства и перестановочно-инвариантного пространства (кратко: ПИП). В отечественной литературе ПИП иногда называют симметричными (в смысле Е.М.Семенова). Многие факты, используемые нами, из теории ПИП, можно найти, например, в работе [19], где подробно исследован вопрос об интерполяции ПИП между пространствами L\ и LQQ. В вышеуказанной работе установлено, в частности, что любое ПИП Е является промежуточным между L\ и Loo, то есть справедливы вложения: где символ - означает алгебраическое и топологическое включение. Мы, однако, придерживаемся аксиоматики теории банаховых функциональных пространств и перестановочно- инвариантных пространств, изложенной в книге [26], и уже сейчас отметим, что при таком подходе, понятие банахова функционального пространства (кратко:БФП) включает в себя свойства типа Фату, так что в этих пространствах будет иметь место обобщенное неравенство Минковского для сумм и интегралов. Эта аксиоматика позволит нам, не ограничивая общности, избежать некоторых оговорок, в частности, при предельных переходах. Ряд важных современных результатов теории вложений для пространств Кальдерона получен в работах М.Л. Гольдмана, Р. Кермана. В работе [10] получены, в частности, необходимые и достаточные условия для вложения где X - перестановочно-инвариантное пространство (кратко: ПИП), и построено оптимальное (самое узкое) ПИП для него; то есть, найдено ПИП XQ такое, что вложение A(E,F) - X верно при X — Хо, и если это включение верно для некоторого X, то XQ - X. Такая постановка вопроса об оптимальности пространства принадлежит Ю.В. Нетрусову [21]-[22]. Диссертационная работа посвящена реализации абстрактных результатов по теории вложений пространств Кальдерона в случае пространств Кальдерона-Орлича A (Rn; ). Указанная реализация основана на анализе теории двойственности и оценках поведения интегральных операторов типа Харди в весовых пространствах Орлича. В работе также рассматривается вопрос об описании оболочки локального роста для пространств Кальдерона-Орлича и Соболева - Орлича. Отметим, что пространства A# (Rn;z/) обобщают классические пространства Бесова. Обобщение проводится по двум направлениям: интегральные свойства функций из Л;ф(Мп, v) выражаются в терминах Е - ПИП общего вида, а дифференциальные свойства функций в терминах принадлежности наилучших приближений пространству Орлича, норма в котором более общая, чем в Lp. Работа состоит из вступительного 0.1 и трех глав. В параграфе 0.1 описаны основные используемые нами обозначения. Первая глава посвящена построению конструкции пространства Кальдерона-Орлича и получению вспомогательных результатов. Она состоит из трех разделов. В 1.1. кратко изложены некоторые факты, относящиеся к общей теории перестановочно-инвариантных и идеальных пространств. В разделе 1.2. даются основные определения пространства Кальдерона-Орлича и рассмотрены его общие свойства. Как мы выше отметили, пространство Кальдерона-Орлича определяется следующим образом. - весовое пространство Орлича, et{f)E - наилучшее приближение функции / Є Е с помощью целых функций экспоненциального типа степени tl n по каждой переменной. Методом дискретизации получена двухсторонная оценка нормы пространства F на конусе убывающих функций через норму дискретного пространства Орлича l$jV, на основе которой устанавливаются основные утверждения. Именно справедливо предложение 1.2.1: Отметим, что пространства с монотонной нормой (т.е. для которых имеет место (А2)) часто называют идеальными. Аксиома (А4) гарантирует принадлежность простых функций к рассмотренному пространству, а (А5) обеспечивает локальную суммируемость функций / с p(f) со. Примером б.ф.н. могут служить Лебеговые функционалы: Очевидно, выполняются аксиомы (А1)-(А4), причем (A3) есть известная теорема Бепо-Леви; аксиома (А5) следует из неравенства Гельдера. Таким образом, мы получим в этом случае, классические Лебеговые пространства LP(1Z). Пусть М. совокупность всех скалярнозначных (действительнозначных или комплекснозначных), \х - измеримых функций на 1Z и M.Q С Л4, состоящее из всех її - почти всюду конечных функций. Как обычно, \і - почти всюду совпадающие функции считаются идентичными. Определение 1.1.2..Пусть р-б.ф.н.. Мнооюесгпво X = Х(р) всех функций f Є АЛ(іі), для которых p{\f\) со, называется банаховым функциональным пространством (кратко: БФП). Соответственно, полагаем для каоїсдой f Є X: Приведем некоторые свойства БФП. Подробные доказательства можно найти в [26]. Предложение 1.1.1. Х(р) -банахово функциональное пространство и обладает следующими свойствами: 1- (\д\ / п.в. в смысле меры fi,f ЕХ} {д Є X, \\д\\х /х}; то есть, X-идеальное пространство. справедливо неравенство: \\f\\x Hm Ax-4- Простые функции лежат в X. 5. Если u(G) со, то f \f\dp Сс\\/\\х, для любой feX;CGR+. 6. Если fk — f в X, то fk- fno мере //. Определение 1.1.3 Будем говорить, что БФП X вложено в БФП Y и будем писать 2. Пространство Y индуцирует на X структуру векторного пространства, совпадающую со структурой векторного пространства X. 3. Существует такая константа О 0, что для всех f Є X. Наименьшее возможное значение константы с называется константой вложения X в Y. Банаховой парой называется два БФП, алгебраически и топологически вложенные в некоторое отделимое топологическое линейное пространство. Банахово функциональное пространство X называется промежуточным для банаховой пары XQ,X\, если имеются вложения Здесь пространство XQ П Х\ состоит из элементов, общих для XQ И Х\\ норма в нем вводится формулой /lknxi = max{/Xo, \\f\\Xl} (/ Є Х0 П ), пространство XQ + Х\ образовано элементами вида / = g + h, где g Є Xo, h Є Xi, и наделено нормой где inf берется по всем элементам д Є Xo,h Є Х\, сумма которых равна /. Отмстим, что пересечение и сумма сумма двух БФП тоже является БФП. Классическим примером БФП служат Лебеговые пространства с вышеуказанной б.ф.н. Вместе с БФП и сопряженным ему пространством рассматривают, так называемое, ассоциированное пространство к БФП, которое в общем случае является подмножеством сопряженного пространства. Определение 1.1.3 Пустъ р-б.ф.и. и Х(р)- отвечающее ей БФП Ассоциированной нормой р к норме р называется функционал, определенный формулой:
о о
QF, так как Et{f)E Є Qf0, гдеБанахово функциональное пространство
Дискретизация нормы F на конусе убывающих функций
Критерий вложения пространства Кальдерона-Орлича в !„ и перестановочно-инвариантная оболочка в этом случае
Описание оболочки локального роста пространства Кальдерона-Орлича
Похожие диссертации на Применение интегральных неравенств на конусах монотонных функций в теории вложения пространств Кальдерона
