Содержание к диссертации
Введение
1. Перемешивание 47
1.1. Основные понятия и некоторые леммы 47
1.2. Достаточное условие перемешивания 53
1.3.Модификации достаточного условия перемешивания . 71
1.4. Орбиты поворота окружности 74
2. Перемешивающий специальный поток над поворотом окружности с почти липшицевой функцией 79
2.1. Формулировка результатов и описание механизма растяжения биркгофовых сумм 79
2.2. Свойства є - равномерно распределенных функций . 88
2.3. Разбиение и є - равномерная распределенность биркгофовых сумм 92
3. Гельдерова замена времени и скорость перемешивания в потоке на двумерном торе 101
3.1. Формулировка результатов и построение потока . 101
3.2.Схема оценки скорости перемешивания 107
3.3. [є, 5) - равномерно распределенные функции 115
3.4. (є, 5) - равномерная распределенность биркгофовых сумм 123
3.5. Доказательство теоремы 3.4 о размешивании элемента разбиения . 132
4. Невырожденные неподвижные точки и перемешивание в потоках на двумерном торе 142
4.1. Определения и формулировка результатов 143
4.2. Геометрия множества особых точек 148
4.3.Биркгофовы суммы «идеальных» логарифмических функций 152
4.4. Теорема о «главном резонансном слагаемом» 164
4.5. Предварительная оценка биркгофовых сумм (/г)' 176
4.6. Построение частичного разбиения и разложения (/г)' . 184
4.7.Оценка диапазона 3(f, [(]) и величины {fAr)' 194
4.8. Доказательство основных теорем 204
5. Когомологичные функции и непрерывность 215
5.1.Предварительные замечания 215
5.2.Неравенства и когомологическое уравнение 217
5.3.Когомологичность и непрерывность 227
Список литературы 237
- Достаточное условие перемешивания
- Свойства є - равномерно распределенных функций
- Геометрия множества особых точек
- Построение частичного разбиения и разложения (/г)' .
Введение к работе
Актуальность темы. Свойства перемешивания и слабого перемешивания были выделены как особые свойства динамических систем практически одновременно с введением понятия эргодичности. Будучи более сильными, эти свойства являются также и более тонкими в том отношении, что эргодичность зависит только от разбиения фазового пространства на траектории, а свойства перемешивания — также и от скорости движения по ним. При «замене времени», когда в одних местах движение ускоряется, а в других замедляется, свойства перемешивания могут измениться.
Активное изучение спектральных и перемешивающих свойств потоков на двумерном торе и изоморфных им специальных потоков (или надстроек, см. стр. 8) над поворотом окружности было стимулировано работой А.Н. Колмогорова1 и его докладом на Международном математическом конгрессе в Амстердаме в 1954 г. (этими вопросами интересовался и Дж. фон Нейман2). А.Н. Колмогоров показал, что гладкий поток без неподвижных точек с гладкой инвариантной мерой и числом вращения, достаточно плохо аппроксимируемым иррациональными числами, гладко сопряжен с линейным потоком, т.е задает условно периодическое движение и имеет дискретный спектр. Если число вращения хорошо аппроксимируется рациональными дробями, то поток в определенных случаях может быть слабо перемешивающим или, что то же самое, иметь непрерывный спектр.
Вопросу приводимости потока к линейному, изучению слабого перемешивания и спектральных свойств в связи с гладкостью и арифметикой числа вращения были посвящены работы многих авторов, например А.Б. Катка, A.M. Степина, Р.В. Чакона, У. Перри, М. Эрмана, Б. Фай-ада, А.В. Рождественского.
Было обнаружено наличие эффектов, которые можно получить в линейном потоке на торе заменой времени, в ряде случаев противоре-
'А.Н. Колмогоров, О динамических системах с интегральным инвариантом на торе, Докл. АН СССР, 93 (1953), 763-766.
3 J von Neumann, Zur Opemtorenmethode in Лег klassachen Mechanik, Ann. of Math , 33 (1932), 587-602.
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ і
СПетер*»*г/у- J
о» тй-РР \
чивших интуиции А.Н. Колмогорова. Например, А.Б Крыгин3 построил непрерывный поток, имеющий всего одну образующую в дискретной компоненте спектра, а недавно был построен и гладкий поток с аналогичным свойством.4 Можно назвать также ряд работ, обобщающих результаты А.Н. Колмогорова на случай торов большей размерности, например, работы М. Эрмана5 и Б. Файада6. Кроме того, М. Эрман7, а также Я.Г. Синай и К.М. Ханин8 исследовали проблему существования у гладкого потока на торе инвариантной меры (тогда как А.Н. Колмогоров предполагал наличие у потока гладкой инвариантной меры в качестве условия). Р.В. Чакон9 получил довольно общие результаты о существовании замены времени, превращающей поток в слабо перемешивающий. Позднее А.Т. Таги-Заде10 доказал типичность таких замен.
Ряд работ, в которых потоки исследовались методом циклических аппроксимаций, опубликовали А.Б. Каток, В.И. Оселедец и A.M. Степин (см., например11).
В свете результатов А.Н. Колмогорова возникал естественный вопрос о существовании (сильно) перемешивающих потоков на двумерном торе. Для произвольных потоков П. Халмош12 доказал типичность слабого перемешивания, а В.А. Рохлин13— нетипичность (сильного) перемешивания.
В работе автора14 дан отрицательный ответ на вопрос о существовании гладких перемешивающих потоков без неподвижных точек на торе. В ней показано, что специальный поток, построенный по повороту
'А.Б. Крыгин, Пример непрерывного потока на торе со смешанным спектром. Матем. заметки, IS (1974), »2, 235-240.
4В. Fayad, A. Katok, A. Windsor, Mixed spectrum reparametnzations of linear flows on T2. Mosc. Math. J., 4, (2001).
'M.R. Herman, Exemptes de flats HamUtoniense dont aucune perturbation en topologie C n'a d'orbites periodiques sur un ouvert de surfaces d'inergies. C.R Acad. Sci. Paris, J12 (1991), 989-994.
*B. Fayad, Weak mixing for reparametcrued linear flows on the torus. Ergodic Theory Dynam. Systems, 22 (2002), №1,187-201.
TM.R. Herman, Sur fa conjugation difftrcntiable des diffiomorphismes du cercle a des rotations. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 4» (1979), 5-233.
*Я.Г. Синай, К.М Ханин, Перемешивание некоторых классов потоков над поворотом окружности. Функцион. анализ и его прилож., 26 (1992), №3, 1-21.
R.V. Chacon, CTionoe of velocity m flows. J. Math. Mech., 16 (1966), №5, 417-431.
,вА.Т. Таги-Заде Замена времени в специальных потоках. Матем заметки, 25 (1979), №5, 725-732
"А.Б. Каток, A.M. Степин, Аппроксимации в зргодической теории. УМН, 5 (137), (1967), №5, 81-106.
"P.R. Halmos, In general, a measure-preserving transformation is mixing Ann. of Math., ser 2, 45 (1944), «N, 784-792.
"B.A. Рохлин, Общее преобразование с инвариантной мерой не есть перемешивание. ДАН СССР, О (1948), »3, 349-351.
UA.B. Кочергин, Об отсутствии перемешивания у специальных потоков над поворотом окружности и у потоков на двумерном торе. Докл. АН СССР, 205, (1972), 515-518.
окружности и функции ограниченной вариации, не перемешивает. Недавно аналогичный результат был сформулирован М. Леманчиком15 в терминах коэффициентов Фурье «крыши» потока.
В другой работе автора16 доказано, что любой апериодический непрерывный поток на компактном метрическом пространстве, эргодиче-ский относительно борелевской меры, можно сделать перемешивающим сколь угодно малой непрерывной заменой времени. Изящно модифицировав эту конструкцию, Б. Файад (2000) построил перемешивающий аналитический поток на трехмерном торе.
Для гладкого потока с неподвижными точками на поверхности, эр-годического относительно гладкой инвариантной меры, в работе автора17 установлено свойство перемешивания в предположении вырожденности неподвижных точек потока.
В работе В.И. Арнольда18 естественным образом возник поток на двумерном торе, фазовое пространство которого распадается на ячейки, ограниченные замкнутыми сепаратрисами невырожденных особых точек и заполненные периодическими траекториями, и эргодическую компоненту. Последняя изоморфна специальному потоку, построенному по повороту окружности и функции с логарифмическими особенностями. В специальных случаях эта функция может быть в определенном смысле симметричной, и для такой ситуации в работе автора19, показано, что замедления движения в окрестностях невырожденных неподвижных точек, вообще говоря, недостаточно для возникновения перемешивания. В общем случае функция является асимметричной за счет того, что с одной стороны от особой точки траектория проходит вдвое чаще, чем с другой, и В.И. Арнольд, в частности, поставил вопрос о перемешивании для таких потоков, а Я.Г. Синай и К.М. Ханин20 доказали свойство перемешивания для некоторого класса диофантовых углов поворота. Для других иррациональных чисел вращения вопрос о перемешивании оставался открытым.
15М Lemanczyk, Sur {'absence de melange pour des flats speciaux ou de.ssus d'une rotation trrattonelle. Colloq. math., 84/85, (2000), 29-41.
"А В Кочергин, Замена времени в потоках и перемешивание. Изв АН СССР, сер матем , 37 (1973), 12751298
"А.В Кочергин, О перемешивании в специальных потоках над перекладыванием отрезков и в гладких потоках на поверхностях Матем. сб , вв (138), (1975), №3, 471 502
18В.И. Арнольд, Топологические и эргодические свойства замкнутых 1-форм с несоизмеримыми периодами. Функц. анализ и его прилож., 25 (1991), №2, 1-12.
"А В. Кочергин, Невырожденные седла и отсутствие перемешивания. Матем. заметки, 1J (1976), №3, 453-468.
'"Я Г. Синай. К.М Ханин, Яеремешивание некоторых классов потоков као" поворотом окружности Функциоя анализ и его прилож , 26 (1992), №3, 1-21
Проблема изоморфизма потоков при замене времени, теория монотонной эквивалентности Амброза и Какутани21, (см. также22) тесно связаны с разрешимостью функционального уравнения /(х) — д(х) = Ч>(Тх) — <р(х) (Т — эргодический автоморфизм пространства Лебега (X, ц), f,g Є LX(X, (і)) относительно измеримой функции tp. Для случая, когда Т — поворот окружности, А.Н. Колмогоров доказывал его разрешимость в классе гладких функций, используя разложение в ряд Фурье. Д.В. Аносов23 показал, что даже для аналитических / и д решение tp может быть всего лишь измеримым и с расходящимся рядом Фурье (что, впрочем, достаточно для метрического изоморфизма соответствующих надстроек). В настоящей диссертации нашел отражение естественный в теории монотонной эквивалентности вопрос о свойствах гладкости или непрерывности, которые может иметь замена времени, эквивалентная данной.
Результаты настоящей диссертации являются естественным развитием более ранних результатов автора.
Цель работы. Исследовать свойства биркгофовых сумм для различных функций над поворотом окружности и установить связь этих свойств с перемешивающими свойствами специальных потоков. На основе этого доказать существование почти лигапицевых перемешивающих потоков на двумерном торе, оценить скорость перемешивания для некоторого класса таких потоков, а также доказать свойство перемешивания (в связи с вопросом В.И. Арнольда) для новых классов потоков с невырожденными неподвижными точками на торе и на других поверхностях.
Целью работы является также доказательство того, что требование непрерывности не накладывает никаких ограничений на метрические свойства потоков, которые можно получить из произвольного апериодического эргодического потока заменой времени.
Научная новизна. Показано, что для любого (в определенном смысле регулярного) условия непрерывности, более слабого, чем условие Липшица, существует перемешивающий специальный поток, построенный по некоторому повороту окружности и функции, удовлетворяющей данному условию непрерывности. Аналогичное утверждение доказано при ограничении на функцию, формулируемом в терминах ее коэффициентов
"W. Ambrose, S Kakuktani, Structure and continuity of measurable flows Duke Math. J (1942), 9, 25-42.
33А Б Каток, Монотонная эквивалентность в эргодической теории. Изв. АН СССР, сер матем , 41 (1977), 104-157.
ИД В Аносов, Об аддитивном функциональном гомологическом уравнении, связанном с оргодиче-ским поворотом окружности. Изв. АН СССР, сер матем., S7 (1973), 1259-1274.
Фурье. Получена степенная оценка скорости перемешивания для некоторого класса специальных потоков над поворотом окружности с функцией, удовлетворяющей условию Гельдера.
Получены новые результаты о перемешивающих свойствах специального потока, построенного по повороту окружности на иррациональный угол и асимметричной функции с логарифмическими особенностями (такое представление допускает эргодическая компонента потока на двумерном торе с невырожденными гиперболическими неподвижными точками, описанного В.И. Арнольдом). Существенно ослаблены условия Я.Г. Синая и К.М. Ханина на диофантов угол поворота, при которых доказано перемешивание. Установлено свойство перемешивания в случае произвольного иррационального угла и сильно асимметричной функции (т.е. функции, у которой асимметрии всех особых точек направлены в одну сторону). Показано, что при отсутствии некоторых вырождений типа специальных соотношений между коэффициентами особенностей функции, задающей надстройку, существует такой класс хорошо аппроксимируемых углов поворота (зависящий от данных коэффициентов), что для любого угла из этого класса специальный поток перемешивает.
Доказано, что всякая суммируемая функция когомологична над произвольным апериодическим эргодическим автоморфизмом ограниченной, непрерывной и даже почти дифференцируемой (если эти понятия совместимы в определенном смысле с мерой).
Методы исследования. В диссертации используются методы теории функций, теории меры, эргодической теории, в частности аппрок-симационные методы.
Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в эргодической теории и спектральной теории динамических систем. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.
Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах механико - математического факультета МГУ: на семинаре под руководством академика Д.В. Аносова и профессора A.M. Степина, на семинаре под руководством профессора Б.М. Гуревича и профессора В.И. Оселедца. Результаты представлялись также на семинаре кафедры теории функций и функционального анализа под руководством члена-корреспондента РАН профес-
сора П.Л. Ульянова и члена-корреспондента РАН профессора Б.С. Кашина. Кроме того, они были доложены в Математическом институте имени В.А. Стеклова на семинаре под руководством академика Д.В. Аносова и профессора Ю.С. Ильяшенко.
Результаты диссертации докладывались на международных конференциях в МГУ: конференции, посвященной 100 - летию А.Н. Колмогорова в 2003 г., конференции, посвященной И.Г. Петровскому в 2004 г.; на международной конференции в МИАН, посвященной 70-летию В.М. Алексеева в 2002 г. Кроме того, они были представлены в выступлениях автора на межуниверситетском семинаре в Мериленде (США) в 2002 г., на международном коллоквиуме "Эргодическая теория и динамические системы" в университете Париж-13 в 2001 г.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Все работы выполнены без соавторов.
Структура и объем диссертации. Текст диссертации состоит из введения и пяти глав, разбитых в общей сложности на 27 параграфов, списка цитированной литературы. Общий объем диссертации 244 страницы. Библиография содержит 80 наименований.
Достаточное условие перемешивания
Достаточное условие перемешивания). Пусть для некоторого to 0 и для любого t to заданы: — конечное частичное разбиение t окружностиВ1, элементами которого являются отрезки или интервалы: & = {Ct- }, причем Пусть также существует такое О Є (1,2), что при каждом t to для любого номера г R(i, [&]) П (i/6, Gf), а также для любого С Є &, биркгофова сумма fr\C является (є(і),Н(і)) - равномерно распределенной. Тогда специальный поток, построенный по повороту Т и функции f, перемешивает. Напомним, что почти для любого х Є S1 выполняется неравенство f(x) с 0. Зададим стандартный прямоугольник Q Qi,h с основанием I = (01,/) и высоты h (О h с/2). Фиксируем є так, что При таком выборе є справедливо включение ((1—є), (1+є)) С (/0,0). Мы построим и для каждого t t построим частичное разбиение Т}и элементами которого являются некоторые элементы разбиения &, такое что /J,([r]t]) 1 — 2г и для любого С Є % выполняются неравенства \С\ є и Отсюда следует выполнение условий леммы 1.1.1 (достаточного условия перемешивания). 1. Выберем такое 5 0, что для FcS1 Выберем такое множество GcS1 меры ( 3) 1 — 8 и такое натуральное N 2/е, что для любого х Є G и любого г Є Z справедливы неравенства Такие G ш N существуют. В самом деле, согласно эрг одической теореме Биркгофа можно выбрать такое множество G меры n(G) 1 — 6 и такой номер JV , что при r iV справедливо неравенство /г(х) — г rj, что дает (1.2.3) при \r\ N и N N . Функции /г — г\ и f при \r\ iV ограничены в совокупности на G некоторой константой М. Выберем такое N Nr: что M/N є/2, и тогда (1.2.3) будет выполнено при \r\ Nr. где хі(е) —характеристическая функция интервала I(s) = (/?і+/, /З2— /), т.е. основания прямоугольника Q, суженного на / с каждой стороны. Фиксируем t max(io,2iV) так, что при t t Пусть, кроме того, при t t длина максимального элемента разбиения t меньше, чем є\І\. 2. Фиксируем t и перейдем к построению частичного разбиения r)t. Определим отображение i? : S1 —J- S1 следующим образом. Пусть номер г 0 таков, что Тогда положим Иначе это отображени1.1 (достаточного условия перемешивания). 1. Выберем такое 5 0, что для FcS1
Выберем такое множество GcS1 меры ( 3) 1 — 8 и такое натуральное N 2/е, что для любого х Є G и любого г Є Z справедливы неравенства Такие G ш N существуют. В самом деле, согласно эрг одической теореме Биркгофа можно выбрать такое множество G меры n(G) 1 — 6 и такой номер JV , что при r iV справедливо неравенство /г(х) — г rj, что дает (1.2.3) при \r\ N и N N . Функции /г — г\ и f при \r\ iV ограничены в совокупности на G некоторой константой М. Выберем такое N Nr: что M/N є/2, и тогда (1.2.3) будет выполнено при \r\ Nr. где хі(е) —характеристическая функция интервала I(s) = (/?і+/, /З2— /), т.е. основания прямоугольника Q, суженного на / с каждой стороны. Фиксируем t max(io,2iV) так, что при t t Пусть, кроме того, при t t длина максимального элемента разбиения t меньше, чем є\І\. 2. Фиксируем t и перейдем к построению частичного разбиения r)t. Определим отображение i? : S1 —J- S1 следующим образом. Пусть номер г 0 таков, что Тогда положим Иначе это отображение можно определить так. Подействуем с помощью отображения Sb на точку основания фазового пространства, и получившуюся точку спроектируем снова на основание. Справедливы следующие соотношения: Прообраз Rt х каждой точки х состоит менее, чем из Li L + 1 точек. В самом деле, если ж = RtX\ = Rt%2 то это означает, что Згх\ и 5 Х2 попали на один (вертикальный) слой фазового пространства и их разделяет расстояние не меньшее, чем длина любого из слоев, т.е. не меньшее, чем с, откуда и следует требуемое неравенство. Формально это можно получить так. Пусть т.е. г2 - гі f(x)/c. Назовем точку і Є S1 хорошей, если я G П RjlG. В противном случае назовем ее плохой. Мера множества плохих точек, в силу выбора 6 и множества е можно определить так. Подействуем с помощью отображения Sb на точку основания фазового пространства, и получившуюся точку спроектируем снова на основание. Справедливы следующие соотношения: Прообраз Rt х каждой точки х состоит менее, чем из Li L + 1 точек. В самом деле, если ж = RtX\ = Rt%2 то это означает, что Згх\ и 5 Х2 попали на один (вертикальный) слой фазового пространства и их разделяет расстояние не меньшее, чем длина любого из слоев, т.е. не меньшее, чем с, откуда и следует требуемое неравенство. Формально это можно получить так. Пусть т.е. г2 - гі f(x)/c. Назовем точку і Є S1 хорошей, если я G П RjlG. В противном случае назовем ее плохой. Мера множества плохих точек, в силу выбора 6 и множества G, не превосходит Действительно, так как множество R{lx содержит менее, чем 22 _j_ \ точек, то в силу (1.2.2) Кроме того, /i(Sx \ G) 5 є2/2. Таким образом, мера множества хороших точек больше, чем 1-е2. Пусть С &. Через С обозначим множество хороших точек, входящих в С. Назовем элемент С хорошим, если В качестве элементов частичного разбиения щ возьмем все хорошие элементы частичного разбиения . Покажем, что Для этого оценим меру z объединения плохих элементов разбиения &. В каждом из них доля плохих точек не менее, чем є, поэтому мера множества плохих точек, входящих в плохие элементы больше, чем ZE, а поскольку мера объединения всех плохих точек меньше, чем є2, то
Свойства є - равномерно распределенных функций
Напомним определение (см. 1.1): функцию ір\А мы называем є -равномерно распределенной (є — Р-Р-) в отрезке [А7 В], если для любого отрезка [с, d] С [Л, В] выполняется неравенство ЛЕММА 2.2.1 (Свойства є - p.p. функций). 1) Если неравенство (1.1.4) выполнено для любого достаточно малого отрезка [с, d] С [А, В], то оно выполнено и для любого отрезка [с, d] С [А, В]. 2) Если рД является є - р.р. в [А,В], то (k p + с)Д является є - p.p. в отрезке [кЛ + с,кВ + с] при к 0 или [кВ + с, кА + с] при fc 0. 3) Если (р\А является є - p.p. в [ДБ], [А , В ] С [А, В] и для некоторого є О В - А1 (1 — є ){В — А), то Д является (e + 0 -p.p. в[А!,В ]. 4) Пусть у) : A -} I, А С A « для некоторого є 0 /л(Д ) /І(Л)(1 — є ). Пусть также ср\А является є - p.p. в [А, В]. Тогда (р\А является (є + є ) -p.p. в [А,В], 5) Пусть К О, О и А = [а?о — 1,XQ + Z]. "c u функция р\А монотонна, непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и почти для всех а; Є А -p.p. в отрезке [ip(xo) К1{1—є), tp(xo)-\-Kl(l —є)]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Свойства 1 и 2 очевидны. 3) Пусть [c,d] С \А ,В ). Тогда что и требовалось доказать. 5) Пусть для определенности р (х) 0. Из условия (по теоре ме Лагранжа) следует, что р\А является 2є - p.p. в отрезке [ /?(хо — I), ip(xo -f /)] П то же теореме а отношение длин этих отрезков больше, чем frn gj 1 — 2г. Теперь воспользуемся свойством 3). Свойство 5) доказано. ТЕОРЕМА 2.5 (об є - равномерной распределенности суммы). Пусть для г — 1,2, ... , s — Aj С Л— попарно не пересекающиеся (mod 0) подмножества, причем для любого і — функция р : А — Ж такова, что р\А( является є"-p.p. в отрезке 1-Я, Я]; — h{ — такая возрастающая последовательность, что для любого номера і, 1 г s, где h — некоторая постоянная, Пусть также Ф : А — R такова, что для любого і = 1,2,... ,5. Тогда ФД является є - p.p. е отрезке [hi + H,hs — Н], причем Рассмотрим отрезок [у — Ду,т/] С [hi + Я, /i3 — Я]. В силу первого свойства є - p.p. можно считать, 0 Ду h. Имеем определения (2.2.3) функции Ф Уменьшая, быть может, правую часть неравенства (2.2.4), включим в сумму только те слагаемые, для которых [у — Ау — hi, у — hi] С [—Н,Н]. Для каждого из таких слагаемых Оценим теперь число таких слагаемых. Пусть что эквивалентно JD {і: у- Я hi y + H -ft; l i s}. В силу неравенств hi + Н у hs — Я отрезок [у — Я, у + Я — ft] С (fti, ft5). Таким образом на отрезок [h\, h3], на котором, так сказать, є" — равномерно расположены точки hi, мы накладываем отрезок длины 2Я —ft, целиком попадающий в (hi, hs). В силу условия Ahi h(l + "), получаем Итак, в сумму (2.2.4) входит не менее, чем р (1 — — 2є(") слагаемых, каждое из которых больше, чем -/х(Д)—-(1 — є — є"), откуда, s 2Я учитывая, что fts — fti ft(s — 1)(1 — є ") и ft Я/3, получаем т.е. є - p.p. функции ФД в отрезке [fti + Я, ft5 — Я], где є 7? + І" + + " + Зе " Я hs что и требовалось доказать. В этом параграфе п, к,г — целые неотрицательные и п по, где по выбрано так, что выполнены (2.1.10) (лемма 2.1.2), а также неравенства 1/100, -: 1/100, 0 к qn - 1, г -. Мы будем называть их допустимыми. Пусть — — подходящая к р дробь. Тогда причем в соответствии с теорией цепных дробей [29] Для к = 0,1,... , qn — 1 обозначим ЛЕММА 2.3.1 (Свойства интервалов Л кг и Д„А). 1) Для допустимых г, п и к ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Справедливость неравенств (2.3.3) - (2.3.5) следует непосредственно из построения интервалов и неравенства (2.3.2). Для доказательства второй части леммы рассмотрим сначала случай 5п 0 и ее Є Aj\ „. В этом случае — х к+1 2 — (г — Шп, откуда т.е. ж Є A jr.. Остальные три случая (А л, а также 5П 0) рассматри ваются аналогично. Лемма доказана. ЛЕММА 2.3.2 (Свойства биркгофовых сумм игп). 1) Для любых (допустимых) пик — функция ип\А к линейно возрастает с угловым коэффициентом — функция ипД линейно убывает с угловым коэффициентом —ап; — функция ип\й к обращается в ноль в середине А А, т.е. в точке 2) Для любых допустимых п, к иг справедливы утверждения: — функцияигп кусочно линейна на S1 и для всехх, кроме точек излома, — для любого х Є Д„Г, — функция uTn\Akr линейно возрастает с угловым коэффициентом гап; — функция u \A kr линейно убывает с угловым коэффициентом —гап; — функция иГп\у k г обращается в ноль в середине Д г, т.е. в точке вида — нули функции игп образуют арифметическую прогрессию с шагом 2д„ 3) Для любых пит справедливо неравенство ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Все утверждения первого пункта, кроме (2.3.6), следуют непосредственно из построения «о и ип. Докажем (2.3.6). Имеем (см. (2.3.1)): Учитывая, что ип периодична с периодом l/qni получаем (2.3.6). 2) Неравенство (2.3.7) получается непосредственно из п. 1). Докажем (2.3.8). Пусть для определенности х Є Д г- Из (2.3.6) получаем
Геометрия множества особых точек
Если XQ является единственной особой точкой функции и, то Х(хо,г) есть множество особых точек функции ur. Иногда, когда это не вызовет недоразумений, мы будем обозначать это множество Х(г) или просто X. В этих обозначениях функция и{х — х) имеет единственную особую точку XQ + X, а множеством особых точек функции иГ(х —ж) является (Складывая множество и точку, мы подразумеваем сумму Минковско-го.) В 1.4 мы рассмотрели случай г = qs. Напомним обозначения: Рассмотрим множество Разобьем его на подмножества Эти подмножества назовем сгустками ранга 5, порожденными точкой Хо- Номер і будем считать вычетом по модулю qs. Через [Xi] обозначим наименьший отрезок, содержащий Xj, а через \Х(\ — длину этого отрезка. Кроме того, обозначим через d[X(s\r)]) — границу этого множества, состоящую из концов отрезков. При необходимости мы будем добавлять нужные аргументы, характеризующие эти множества. Разобьем множество X = Х(г) точек вида Т кхо, 0 = к г — 1, на подмножества Номер г множества будем считать вычетом modqs. Сами множества Х{ будем называть расширенными сгустками ранга s, порожденными точкой XQ. Через [ХА обозначим наименьший отрезок, содержащий все точки сгустка Xi, а через \ХІ\ — длину этого отрезка. Точки сгустков ХІ, т.е. точки вида будем называть основными точками ранга s, а в каждом сгустке будем их называть основными точками сгустка. Точки расширенных сгустков, не являющиеся основными, т. е. точки Xij, Є ХІ назовем дополнительными. Опишем свойства сгустков, из которых станет ясен сам термин. ЛЕММА 4.2.1 (о свойствах сгустков). 1) СгустокХі можно представить в виде где Xf — узловые точки, определенные в соответствии с (1.4.6). 2) Каждый сгусток состоит из 13 точек, расположенных на окружности через \5$\. Узловая точка х является одним из концов отрезка [Xi\: левым при нечетном s, правым при четном s. Ъ) Расширенный сгусток ХІ либо совпадает, с Х{ {при mi г ), либо отличается на одну дополнительную точку вида я,- — 1383. 4) того, обозначим через d[X(s\r)]) — границу этого множества, состоящую из концов отрезков.
При необходимости мы будем добавлять нужные аргументы, характеризующие эти множества. Разобьем множество X = Х(г) точек вида Т кхо, 0 = к г — 1, на подмножества Номер г множества будем считать вычетом modqs. Сами множества Х{ будем называть расширенными сгустками ранга s, порожденными точкой XQ. Через [ХА обозначим наименьший отрезок, содержащий все точки сгустка Xi, а через \ХІ\ — длину этого отрезка. Точки сгустков ХІ, т.е. точки вида будем называть основными точками ранга s, а в каждом сгустке будем их называть основными точками сгустка. Точки расширенных сгустков, не являющиеся основными, т. е. точки Xij, Є ХІ назовем дополнительными. Опишем свойства сгустков, из которых станет ясен сам термин. ЛЕММА 4.2.1 (о свойствах сгустков). 1) СгустокХі можно представить в виде где Xf — узловые точки, определенные в соответствии с (1.4.6). 2) Каждый сгусток состоит из 13 точек, расположенных на окружности через \5$\. Узловая точка х является одним из концов отрезка [Xi\: левым при нечетном s, правым при четном s. Ъ) Расширенный сгусток ХІ либо совпадает, с Х{ {при mi г ), либо отличается на одну дополнительную точку вида я,- — 1383. 4) Второй индекс j нумерует точки сгустка по порядку: слева направо при нечетном s, справа налево — при четном. 5) Отрезки [Хі] попарно не пересекаются, длина каждого из них меньше, чем As. Сгустки Х{ занумерованы индексом і в порядке следования на окружности в положительном направлении. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Заметим, что {x0-(mi+jq3)p} = {x0-mip-j(pa+5s)} = {x0 mip-jSa} = {xi jSs}, где X{ — узловая точка, определенная в соответствии с (1.4.6), откуда следует п. 1). Остальные точки сгустка Х{ получаются из ХІ как арифметическая прогрессия с шагом — 53. Расширенные сгустки Х{, для которых ті г , состоят из ls + 1 точки, поскольку для них индекс j изменяется от 0 до ia. Аналогично, те расширенные сгустки, для которых г ГПІ qs — 1, состоят из /3, точек т.е. совпадают с Х{. Отсюда следует, что расстояние между крайними точками расширенного сгустка равно либо ls\Ss\, либо (ls — 1)\SS\} что не превосходит s+iJB, откуда, учитывая (1.4.10), получаем \Х{\ As. Все сгустки расположены по одну сторону от одноименных узловых точек, причем точка Х{ является концом отрезка [Xj], поэтому условие [Хі\Г\ [Xj] — 0 при г ф j следует из неравенства \Х(\ А3. Теперь можно рассматривать порядок следования отрезков [Хг-] на окружности, а их нумерация совпадает с нумерацией входящих в них узловых точек. (Если п s, то гп = 0.) Тогда г = гп + г Второй индекс j нумерует точки сгустка по порядку: слева направо при нечетном s, справа налево — при четном. 5) Отрезки [Хі] попарно не пересекаются, длина каждого из них меньше, чем As. Сгустки Х{ занумерованы индексом і в порядке следования на окружности в положительном направлении. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Заметим, что {x0-(mi+jq3)p} = {x0-mip-j(pa+5s)} = {x0 mip-jSa} = {xi jSs}, где X{ — узловая точка, определенная в соответствии с (1.4.6), откуда следует п. 1). Остальные точки сгустка Х{ получаются из ХІ как арифметическая прогрессия с шагом — 53. Расширенные сгустки Х{, для которых ті г , состоят из ls + 1 точки, поскольку для них индекс j изменяется от 0 до ia. Аналогично, те расширенные сгустки, для которых г ГПІ qs — 1, состоят из /3, точек т.е. совпадают с Х{. Отсюда следует, что расстояние между крайними точками расширенного сгустка равно либо ls\Ss\, либо (ls — 1)\SS\} что не превосходит s+iJB, откуда, учитывая (1.4.10), получаем \Х{\ As. Все сгустки расположены по одну сторону от одноименных узловых точек, причем точка Х{ является концом отрезка [Xj], поэтому условие [Хі\Г\ [Xj] — 0 при г ф j следует из неравенства \Х(\ А3. Теперь можно рассматривать порядок следования отрезков [Хг-] на окружности, а их нумерация совпадает с нумерацией входящих в них узловых точек. (Если п s, то гп = 0.) Тогда г = гп + г _1, и множество X(r) = Х(хо,г) можно представить в виде что то же самое, Множество X (rs) = Х (г) = Х ) — объединение сгустков ранга s, - (r i) — rsp — множество дополнительных точек расширенных сгусков. Представим теперь г $_г в виде г 3_г = 3_igs_i + r _2. Если ls-i О, то из множества дополнительных точек выделим сгустки X\s , і — 0,.. ,&-і, ранга s — 1: Этих сгустков будет g5_i по ls i точек в каждом. К некоторым из них, их г 3_2, добавляются дополнительные точки. Если ls-i = 0, то основные сгустки Х ранга s 1 будут пусты, непусты будут некоторые из расширенных. Продолжая процесс, получим разбиение множества X = Х(г) — Х(хо,г) на классы сгустков:
Построение частичного разбиения и разложения (/г)' .
В этом параграфе в каждой из ситуаций, описанных в теореме о «главном резонансном слагаемом», построено частичное разбиение & и разложение (/г) , на основе которого будет проверяться выполнение достаточного условия перемешивания. Часть лемм, на которые опирается изложение, доказана в 4.7. Сформулируем следствие из теоремы о «главном резонансном слагаемом», которое легко получается с помощью леммы 4.3.7. Напомним, что ж і,... ,хк — особые точки функции /. ЛЕММА 4.6.1. 1) В ситуации 1 для любого г, любого г Є {t/y/2, \/2t) и любого х Є V(t) + ХІ где s —ранг «главного резонансного слагаемого», х характеристическая функция множества [Х ], которое состоит из отрезков, содержащих сгустки особых точек ранга s. Заметим, что в ситуациях 2 и 3 множество, на котором справедливо приведенное выше разложение, зависит от номера г. При построении разбиения & этот номер необходимо будет фиксировать. Определим функции ee(t) — О, Н(і) —ї +оо при t —у +оо, которые будут использоваться при проверке достаточного условия перемешивания, следующим образом. Обозначим где а{г) — бесконечно малая последовательность, определенная в теореме 4.6. Положим Пусть / — асимметричная функция с логарифмическими особенностями, Напомним некоторые обозначения, введенные в 4.1. Пусть J — подмножество множества {1,2,... , К} номеров особых точек. Тогда Если J = 0, то Dj = 0. Через Jc обозначено множество номеров строго логарифмических особенностей, через і/н — множество номеров остальных особенностей, Зн = {J: J П Зкф 0}. Если на неограниченном сверху множестве значений t реализуются ситуации 2 или 3, а это зависит от р и выбора последовательности ап, то наложим на / дополнительное условие: В этом случае обозначим При всех достаточно больших t в каждой из трех ситуаций мы построим частичное разбиение &, удовлетворяющее условиям: 1) ситуации); 2) элементами разбиения являются отрезки, для любого элемента С Є \С\ 2/qm] Зі) в ситуации 1 для любого х Є [&] и любого г (t/\/2, л/2) справедливо разложение Зз,з) в ситуациях 2 и 3 для любого элемента С Є & и любого і = 1,... , К функция х{х — Ё{) постоянна на С, и для любого г Є Ol(t, [&]) и любого х С к где s — номер «главного резонансного слагаемого , х характеристическая функция множества [Х ], г = r(t) Є {t/y/2, y/2i) определяется при построении разбиения; 4) для любого элемента разбиения С Є & и любого г Є (t/y/2, V t) Кроме того, мы покажем, что, "по крайней мере, в ситуациях 2 и о при достаточно больших t %{t, [&]) С (t/V2, \/М). 1 1 подставим представление (4.6.1) и (4.6.2) функций иТ и ьг из п. 1) леммы 4.6.1 в равенство (4.5.4) из п.2) теоремы 4.6 И ПОЛуЧИМ ДЛЯ ЛюбОГО Г Є (i/V2, V%t) И ЛЮбОГО X Є V(i) + Х{ Просуммировав полученное неравенство по г, легко убедиться, что в ситуации 1 для любого г (t/y/2, \/2t) и любого х Є V(i) Учитывая оценку (4.5.5) для af, оценки (4.6.1) и (4.6.2) леммы 4.6.1, а также определение єе(і), получаем требуемое неравенство Из свойств множества V(t) следует, что V(t) состоит из попарно непересекающихся отрезков, число которых не более, чем 2Kqmi, где
Длина каждого из отрезков менее, чем 2/qm , и /j,(V(t)) 1 — 12Кат. В качестве элементов разбиения & возьмем те отрезки (компоненты связности) С С V(i), Зля которых В самом деле, общая длина выброшенных отрезков меньше, чем Из правила отбора отрезков, входящих в &, сразу следует нера венство (4.6,11). В самом деле, если V2qm t y/2amqm+i, то т — т, \С\ \ е(г) mlngm (т.к. г qm)} поэтому Се(г) rmlnqm. Ес ли і \/2crmgm+i, то г е(г) crmgm+1 In gm/2; m — m + 1, значит C 5= oVn/?m+i, следовательно Ce(r) 2m_L2zi_ ЗАМЕЧАНИЕ. Сформулированное правило отбора отрезков, входящих в &, сохраняется во всех ситуациях, поэтому неравенство (4.6.11) доказано для всех случаев. 2. СИТУАЦИИ 2 и 3 отличаются от первой тем, что в них возникают «главные резонансные слагаемые», это Z в ситуации 2 и Zf в ситуации 3, которые на множестве достаточно большой меры, а точнее, на [Х ] или [ХЩ соответственно, по величине могут быть сравнимы с е(г) или даже существенно превосходить е(г). Это, во-первых, означает, что для общего случая асимметричной функции /, когда возможно, что sgn(A — В) ф sgn(Aj — В ), вообще говоря, не исключены моменты, когда на множестве большой меры производная (/г) относительно мала, что не дает возможности применить технику настоящей работы для оценки растяжения биркгофовых сумм. Во-вторых, требуется модификация метода построения разбиения t, а также дополнительные оценки. Как следует из теоремы о «главном резонансном слагаемом , эти слагаемые хорошо оцениваются вне малых окрестностей концов сгустков соответствующего ранга, а сгустки зависят от г. До сих пор, и в том числе, в ситуации 1, мы рассматривали диапазон г Є (i/v2 v2) но в таком случае множество, на котором можно оценить «главное резонансное слагаемое» одновременно для всех г Є {t/\/2, \/2t), будет слишком мало. На самом деле, резонансные слагаемые достаточно оценивать только для г %(tt [&]), а этот диапазон оказывается достаточно узким. Итак, рассмотрим ситуацию 2. В этой ситуации — к Тогда для любого r Є IR(i, VА(І)) можно записать г г + Аг и Оказывается (леммы 1.1.2 и 4.7.2), что при достаточно большом т к и поэтому (лемма 4.7.4) для любого х Є f\ (Vm + Х І) а значит, слагаемое (fAr) (x+rp) не оказывает существенного влияния на оценку (fr)f(x). Из неравенства (4.6.15) и эргодической теоремы Биркгофа также следует включение 3i(t, [&]) С %{t,V(t)) С (і/у/2, \/Щ. Теперь мы можем построить разбиение &, учитывающее оценку для (/Лг) и альтернативу для Z . Положим
