Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Ограниченность в топологических группах . 9
ГЛАВА II. Принцип равномерной ограниченности для мер . 18
1. Конечно-исчерпывающие меры 18
2. Вспомогательные леммы 19
3. Принцип равномерной ограниченности для конечно-исчерпывающих мер 28
4. Основная теорема 36
ГЛАВА III. Принцип равномерной ограниченности для топологических мер 40
1. Связь счётной аддитивности и исчерпываемости для топологических мер 43
2. Теорема Дьедонне 50
3. Приложения теоремы Дьедонне 57
Литература 60
- Конечно-исчерпывающие меры
- Принцип равномерной ограниченности для конечно-исчерпывающих мер
- Связь счётной аддитивности и исчерпываемости для топологических мер
- Приложения теоремы Дьедонне
Конечно-исчерпывающие меры
В этой главе заметим свойства ограниченных множеств непосредственно вытекающие из определений. ЗАМЕЧАНИЕ I. V-I -ограниченность множества по каждой окрестности V нуля в Сг эквивалентна I-ограниченности множества. Такое же замечание справедливо для 2-ограниченности. ЗАМЕЧАНИЕ 2. I-ограниченность влечёт 2-ограниченность . ЗАМЕЧАНИЕ 3. В связной группе 1-ограниченность эквивалентна 2-ограниченности. ЗАМЕЧАНИЕ 4. В дискретной группе, состоящей из двух и более элементов , наборы ограниченных множеств различны : единственным I-ограниченным множеством является точка О , 2-ограниченными множествами будут конечные множества. Приведём ещё пример топологической группы с различными наборами ограниченных множеств для указанных определений ограниченности. ПРИМЕР. Пусть С „ - группа по сложению непрерывных функций с топологией равномерной сходимости. В этой топологической группе для любой окрестности V нуля в О наборы V -I-ограниченных и I-ограниченных множеств совпадают, совпадают также наборы \/-2-ограниченных и 2-ограниченных множеств. Если же элемент ос группы С является неограниченной функцией, то одноточечное множество {эс} не является I-ограниченным. В работе Ландерса-Рогге [17 3 предложено определение ограничивающей системы топологической группы: система So — \ \/n J окрестностей нуля называется ограничивающей , если Va= -V , Vn Vm nw п. з т. , V - Vm С \J +nx . Множество А называется 0Ь -ограниченным, если существует номер п. такой, что А = V ЗАМЕЧАНИЕ 5. I-ограниченность множества эквивалентна вЬ -ограниченности множества для любой ограничивающей системы в Gr . Это следует из того, что система Vn = + V , где V окрестность нуля в Gr , является ограничивающей» и для каждой ограничивающей системы ЗЬ \ VH 5 имеет место включение Конечная функция р , определённая на каждом элементе группы Gr называется полунормой, если она обладает следующими свойствами: Если, кроме того, рСЪ}фО при Q t О ,то р называется нормой. В работе 115 J исследована связь 2-ограниченности и ограниченности по непрерывным на иг полунормам. ТЕОРЕМА 115 J . Подмножество /\ топологической группы является 2-ограниченным тогда и только тогда, когда множество А ограничено по любой непрерывной на Gr полунорме. Для изучения связи V-I-ограниченности и V-2-ограни-ченности с ограниченностью по полунормам нам потребуется утверждение, которое является одним из шагов доказательства приведённой выше теоремы. I. Пусть Н - подгруппа группы Gr , р -полунорма на /-/ . Тогда существует полунорма р , определённая на Q- и совпадающая с р на И . Более того, если р -норма, то 5 может быть выбрана нормой. Утверждение, которое будет сформулировано ниже, используется в дальнейшем неоднократно и является продолжением теоремы 10 работы f8jm.5, 19) . Сделаем предварительные замечания и обозначения. Предположим пока, что на группе Gr нет топологии. Каждое неотрицательное рациональное число 6L = —— имеет единственное представление в виде: где 0.0 - целое число, а каждое число ссл . . . , -п равно нулю или единице. Через Jx, обозначим совокупность этих чисел, через е/&/ множество достаточно доказать справедливость формулы (5) для ,&&-Проведём это доказательство по индукции. Пусть 1 — 1 .Возможны три случая: во-первых, о ;/3 е ff\/ , тогда справедливость формулы (5) на Jt следует из (2) ; во-вторых, oL-.целое, A =./1 + .В этом случае, воспользовавшись определениями V +.a и (2) получим включение.
Принцип равномерной ограниченности для конечно-исчерпывающих мер
В этой главе изучаются регулярные топологические меры,то есть конечно аддитивные функции множеств, определённые на алгебрах подмножеств топологического пространства , содержащих классы замкнутых множеств. Причём, значения мер на каждом элементе алгебр аппроксимируются значениями на замкнутых множествах.
Заметим, что, в отличии от общего случая, в теоремах о равномерной ограниченности для топологических мер поточечная ограниченность требуется на части области определения мер , а именно, на открытых множествах.
Приведённая ниже теорема Дьедонне является первой, посвященной изучению принципа равномерной ограниченности для топологических мер. ТЕОРЕМА I (fllj). Пусть X компактное хаусдорфовое пространство, 8Ъ борелевская С-алгебра подмножеств множества X , JU - семейство скалярных регулярных счётно аддитивных мер на ио .Если для любого открытого множества ZL Регулярность меры здесь понимается следующим образом: для любого положительного и любого J3 =. % существует компактное множество F , F = В такое, что, если выполняется .Теорема Дьедонне в дальнейшем усиливалась в различных направлениях. Перечислим некоторые её усиления: ,сохранив требование компактности А ,заметил что поточечной ограниченности достаточно требовать на регулярных открытых множествах,то есть на таких,что t/nt cZi)= Zl , Кирко, д. №3 " достаточность поточечной ограниченности на открытых типа Fr и бэровских множествах, ote.in.Jt. [21] заменил условие компактности пространства X на условие регулярности ( "Г -отделимость . Основным результатом этой главы является теорема 2,основные приложения приведены в 3. Там ,в частности, доказывается ( теорема 3 ) теорема Дьедонне для хаусдорфового пространства )\ . В 1 изучается связь счётной аддитивности и исчерпываемо с ти. Приведём здесь обозначения и определения, которые будут использоваться на протяжении всей главы. Пусть X - множество, ъС - совокупность его подмножеств замкнутая относительно счётных объединений и конечных пересечений, содержащая X и р . В этом случае, следуя Александрову IJ, X будем называть J"-топологическим пространством (коротко - пространством) , множества из и. - открытыми, а их дополнения - замкнутыми. Пусть \J - совокупность не обязательно всех замкнутых множеств. ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Пространство X будем называть "-отделимым, если -для любых дизъюнктных Рл э г є J- существуют дизъюнктные. U1t U е %1 такие,что /; с U , F CL Ц ш Заметим, что, если X - хаусдорфовое топологическое про-странство, a J- - совокупность компактов, то пространство является J- -отделимьш. Если J- - совокупность всех замкнутых множеств, то с/-отделимость пространства соответствует нормальности. Всюду в этой главе приняты обозначения: - топологическая абелева группа, \С - совокупность симметричных окрестностей нуля В G" , то есть V = - V , Jt - произвольная алгебра подмножеств множества I , X - -отделимое пространство, Sft - алгебра подмножеств X , Ql !%. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Меру ju -. Я -s Q- будем называть -регулярной, если для любых А є $b , \1 е. \Г существует такое, что F с /\ и /nf8)e\/ для каждого множества Ь, удовлетворяющего условиям: в с Л N F , йб i . Непосредственно из этого определения следует, что для любых А 5Ь , V е "V/1 существует такое , что А с LL и JH(8) &V для каждого В LLS А , 3 е43 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Мера " Л - Gc называется счётно аддитивной, если для любой дизъюнктивной последовательности из такой.
Связь счётной аддитивности и исчерпываемости для топологических мер
Доказанная здесь теорема позволяет получать усиления теоремы Дьедонне fill в различных направлениях. ТЕОРЕМА. Пусть топология группы Gr задана полунормой р , JU - семейство аддитивных мер J4 : В - G- , обладающих свойствами: (1) для любого А є Ob существует РЄ&, Fez А такое,что Sup {р (усе,)} : В & ЗЪ, В a. /\\F і ; (2) если {Uh} (H - дизъюнктивная последовательность, то существует натуральное число п0 такое, что p(f ( Un)) ч 7 при П /г0 . Тогда, если для любого 1L є Hi Ъир { р CJK СЧ)): ju JU} + оо , то ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Под ограниченностью в доказательстве будем понимать ограниченность по полунорме р , свойство(I)мер будем называть исчерпываемостью, свойство(2) - регулярностью. Переходя к дополнениям, легко заметить, что регулярные меры обладают свойством: для любого А & $3 существует U & и. такое, что Заметим, что семейство « 2/ является равномерно ограниченным на дизъюнктивных последовательностях из . Пусть f „5 с 2/ - дизъюнктивная. Рассмотрим совокупность мер определённых на --алгебре S всех подмножеств IN Меры V : 5 — G- являются аддитивными. Если f Дк] с: S дизъюнктивная.последовательность, то , начиная с некоторого номера к0 , Семейство fvJ J , f Є JU поточечно ограниченное на 6 , то есть для каждого Л в S SM-уэ -Гуо rv f д)) -. /и е // 3 + с :5 . Тогда по теореме 12] Sup { р (\ с A)) : jv е Л/, ле S} + и,следовательно, = Sup { р(\ рС{пІ)): е JU , e irf} 4 5ыуэ {р { ( А)) : JU Є-JM, ДЄ S } + Шаг 2. Докажем теперь, что для любого F е существует множество 2 ?/ такое, что Ы = F" Пусть F не обладает этим свойством. По индукции построим дизъюнктивную последовательность (ЫН}С И и последовательность {juK} с JU такие, что р (№к сЪ1н)) л- . Это будет противоречить результату первого шага. Положим Ил- )( ,тогда, так как то Пусть bu.ptpCj tA)):jubJll9Ae&9Ac.H Fl = + 0 . тогда существуют Д ей и M JU такие,ЧТО В силу регулярности меры Р к найдём Fh е & такое,что /4nВоспользуемся -отделимостью пространства X и найдём два дизъюнктных открытых множества Hh+ и Ы. д_ удовлетворяющих причем, используя замкнутость системы и. относительно конечных пересечений её элементов, можно считать, что w«+ с , « с . Ещё раз воспользовавшись этим свойством и регулярностью / , можно считать также, что Полученная последовательность iWH 3 с дизъюнктивна,так Шаг 3. Здесь опишем алгоритм индукционного перехода, который будет применён в четвёртом шаге доказательства. Пусть К - натуральное число, к-1 е сЛ- такое , что СО Sup {р CjkCA)):Jue JU,Ae&oA cW b+ x». По условию теоремы семейство JU поточечно ограниченное на 2/, следовательно, Воспользуемся соотношением (I) и регулярностью мер и найдём JU Л е- JU и непересекающиеся & 5" такие , что Тогда получим Возможны следующие два случая: 1 для одного из FL (цля F І ) 2 для = г, д., В первом случае, воспользовавшись -отделимостью пространства X и регулярностью меры /с , можно найти открытые множества \л/к и Z такие, что
Приложения теоремы Дьедонне
Рассмотрим йактор-группу Q / $ . Она периодическая. Пусть эе. : Q — (3. / - канонический гомоморфизм. Если теперь рассмотреть меры зе.гчп : # — 3 /Ж то будем находиться в условиях нашей теореїльї для G =0./Ж- но,как было замечено вьше, для периодических групп теорема справедлива, следовательно, множество конечное в Q / 2 Итак, с одной стороны то есть состоит из изолированных точек, с другой стороны -ограничено и поэтому конечно. Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ. Пусть Я - Г-кольцо множеств, Gr - группа, JU - семейство конечно-исчерпывающих мер jiA : !R - G- . Тогда, если для любого ос є (Я. множество {J4 (х) : jn е JUj конечное, то множество {f4(x):JU:JU,xe(jQ- конечное. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Во введении было замечено, что , если Я - Г-кольцо, то jfteJffV ) , но тогда Л Є 7W ) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. I =? 2 . Пусть Q- - топологическая абелева группа, V - симметричная окрестность нуля в Q , JU - семейство V -исчерпывающих мер JU : (Я — Q-такое,что для каждого ос е &{_ найдутся п. е ffV и конечный набор 9 к из такие, что Обозначим Схэ канонический гомоморфизм. Рассмотрим семейство мер I OJL, : Я - ао (/се до. Свойство \/-исчерпываемости перейдёт в свойство конечной исчерпываемости для мер А о.уи . Пусть ОС G &. , тогда по условию f/f (ос) : J4 G JU] с (J (Cji + CfVJ) 0 (. +У ) то есть Во введении отмечалось, что условие Si є Jf(Vy1) влечёт S\, Jf(1) , следовательно, мы находимся в условиях теоремы I 3, поэтому существует конечное множество Одно из 77 можно взять равным нулю, так как Обозначим == M+V. Заметим теперь, что мы находимся в условиях J% №(УУ1) для Gry U J" . Так как V с U , . является окрестностью нуля, это же включение обеспечивает U -исчерпываемость каждой меры JH , Проверим поточечную //-1-ограниченность. Пусть зс fi_ , по условию существуют п є fl/ и #» 8кІс G такие, что Можно считать, что набор {о ... o -j обладает следующим свойством: для каждого элемента 4 г найдётся Тогда то есть и существует /І є- ffV такое, что - 38 -Обозначим j\/ —тазе п. І Эти включения следуют из доказанного вьше и того, что dP є И и 0 Є V. Итак, проверили, что мы находимся в условиях X .&./VfV, 0 для r / } /Zy . Следовательно, существует h%e. Jft/ такое , что { J4 М: JUS JU,Xe&3 С PU И +(?V) , где / =.+?/(- конечное множество. То есть доказали равномерную V-2-ограниченность. 2 = 1 . Находясь в условиях J\_ є-JYCY -/) »мы будем находиться и в условиях {е J/(Vy2) следовательно, существуют п. & 0V и ,,,.,. , # є Gr такие, что Теорема доказана. ТЕОРЕМА 3. Пусть Л - кольцо множеств, Сг - топологическая группа, JU - семейство исчерпывающих мер JW ; (R. — Gr . Тогда, если для каждого ссє множество 2-ограниченное, то множество [pi Cx.) :J4&JU х & Я] - 2-ограниченное. ДОКАЗАТЕЛЬСТЮ. Как было замечено во введении, если $_ сг-кольцо, то Я Є JfCvji). Тогда из теоремы 2 следует, что SL Є JYC } 2,) Предположим, что теорема 3 не выполняется, тогда существует V ,для которой нет V -2-ограниченности множества г _ , _ if4Cx) : J4 Є JU у осе (Я] Однако исчерпываемость JM влечёт 1/-исчерпываемость, 2-ог-раниченность влечёт У - -ограниченность.