Введение к работе
Актуальность темы. Научная новизна и методика исследований. Примем следующие обозначения и определения. Пусть Q - топологическое пространство, являющееся либо открытым множеством 2) со следом евклидовой топологии, либо его одноточечной компактификпци-ей ) ; (",Bjac)=C/ - упорядоченное образование, в котором А и В - произвольные множества из xt
Функциональной емкостью образования О назовем величину
где - это совокупность всех непрерывных
функций ±:5і. ~* IR. , абсолютно непрерывных на линиях ( ACL ) в 2) , имеющих конечньгіі интеграл Дирихле 1ц ;)) и принимающих значения I на А и 0 на В . (Инфимун по пустому множеству ессг-да полагается равным -too .)
Пусть у - борелевсішіі заряд в Ю с жордановым разложением V = т? - v1 ~ .Будем говорить, что -у> ассоциирован с образованием О , и писать тМС? , если ~)4 и т)~ сосредоточены соотпот-ственно на А и В . Обозначим 'ft i (О) = Ж '(А , 5 у О. ) : =
X "Jv , ,,, л.
лж (0)
где ~a(ac,V ) - некоторое ддро в 2) . Величину
с Г(9),с 0,6,^-i/V (О)
назовем потенциальной X -емкостью образования С/
Вспду далее множества Д и В , входящие в образование
/ = (./1, В > -а^ ) , предполагаются непустыми, непересекаппцпмиея,
замкнутими в Ьр ,
Конденсатором в D назовем всякое образование С/ в 2) .
В истоках построенной нами пространственной теории лекит ис
следование следующей задачи, общей для плоских и пространственных
конденсаторов. —р
Пусть Е = (Е ,Е~ > IR. ) - конденсатор в IK. , ръ-2 Сар Е - его функциональная емкость; К2(х,і|) , ее,fe К',- классическое ядро теории потенциала (логарифмическое loa 4/[ос-Ч| при р= и ньютоново 1х-у | ~~ при р>3 ). В силу известной связи мегкду опершей CJ, CV) заряда ->) в fR. и интегралом Дирихле от его потенциала 1( к ' IK ) возникает задача о представлении емкости 1л(э Е через классы зарядов на С и их энергии.
На плоскости эта задача решена в докторской диссертации Т. Бегби, - см. СВя^ч Т. ТУ modulus о{ а рЬт соп-
dlns«/J.jWa.^.i{ecl1.4367.-17)^^.-P.3-I5-3?31
Некоторые ограничения топологического характера, принятые Т.Еегби, были затем сняты П.П. Тамрззовш [0 вариационных задачах теории логарифмического потенциала//Неследован;щ по теории потенциала.-Киев, 1980.- С.З-13.-(Препр./АН УССР. Ин-т математики; 60.25) J . В частности, ими установлены следующие утверждения. —j>
Теорема I. Для всякого конденсатора Е-(Е , Е '-> 'k ) при р - Z справедливо представление
E = 2ffc„ (E)
Теорема 2. Пусть p=2 , CK СЕ):»!}, в классе ^ ( Е ) существует единственный зарад X с минимальной энергией:
3* СА )=VK СЕ).
При доказательстве теорем I и 2 существенно использовалась конформная инвариантность величин Сар Е и \ С Е ) на плоскости. Например, после применения надлежащего дробно-линейного преобразования плоскости доказательство теоремы 2 сводится к доказательству существования минимального заряда Лр для Е с компактными в / пластинами Е и Е" .Но для такого Е класс 75Z СЕ ) слабо замкнут и существование А устанавливается без труда.
Предпринятые нами попытки исследования поставленной задачи в пространственном случае натолкнулись на трудности, обусловленные, в первую очередь, отсутствием слабой (и всякой другой) -компактности класса зарядов "її СЕ) в случае ооеЕ U Е и неинвариантностью емкостей Cab Е , С„ СЕ) относительно мебиусовых преоб-
Р 2
разований (R , р > 3 . Сравнительно элементарными методами эти трудности удается обойти лишь в случае, когда граничное множество О—ъ СЕ U Е~) Не содержит точку do . Для таких конденсаторов
в наших работах [О некоторых свойствах пространственных конденсаторов,- Киев, I960.- 16 с- (Препр./АН УССР. Ин-т математики; 80.26) ] и ГОб одной вариационной задаче теории пространственных конденсаторов//Современные вопросы вещественного и комплексного анализа.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984,- С. 71-87 1 установлены полные аналоги теорем I и 2. (Эти и некоторые .другие результаты из цитированных работ были затем повторены в [ihicictson
(т.2)., Va-rnGLnamuzthu /Ч. К. Tk newtonian capacity of а Spaa conJimsdi/Uiam Uw.M.J.-№-3f/,/v4-p.1f53-7tf ]
при дополнительных ограничениях сбязности. Для конденсаторов Е
с ooea—f, IE UE ) в упомянутой работе содержатся лишь никоторые высказывания в описательной форме, содержащие прннципн-альнуя ошибку, - см. ниже.)
В I9S5 г. нами Сі, 2] разработан новин подход к исследова-1Ш1Э экстремальных задач па некомпактных классах зарядов, в основе которого лежит элективное использование евклидовой структуры в пространстве зарядов с конечной энергией. С его помощью удалось преодолеть указанные трудности и полностью решить задачу в общем случае произвольного конденсатора Е=(Е , Е > IR ) , р» 3 .
В результате бил выявлен рдд чисто пространственных эффектов. В частности, показано, что в пространственном случае класс ІК. С Е") , вообще говоря, не содержит заряда с минимальной энергией. (Привлекая физическую терминологию, можно сказать, что при свободном распределении единичных зарядов на пластинах пространственного конденсатора происходит "утечка" части заряда на бесконечность.) Нами получено полное емкостно-геометрическое описание совокупности конденсаторов Е , для которых исследуемая минимум-проблема в классе ?С (Е ) разрешима. Дія конденсаторов Е , не принадлежащих такой совокупности, величина VI СЕ") реализуется на некотором заряде X 4 15Ї. СЕ).
являвшимся сильнім пределом всякой минимизирующей последовательности ^„} стяЧе).
Благодаря достаточней общности разработанного метода, аналогичную минимум-проблему затем удалось решить при более общих условиях - для более общих (риссовых в tR и гриновых в S ) ядер Х(х,у) и для образований Е ~(\ Е" > Т) ) в 2) , удовлетворяющих условию отделимости
Suf> ХСос, U ) < + со
(I)
В дальнейшем образование Е = (Е , Е :>!)) в , удовлетворяющее условию (I), называется конденептором в 5D
Для укапанных объектов в работе созданп теория потенциальных Ж -емкостей: сформированы и рекеїш вариационные задачи, дуальные с минимум-проблемой в классе "5Т. (Е) ; исследованы свонствп
непрерывности и полуадцитивностп потенциальных емкостей; d рамках некоторого нового подхода дано их описание через дискретные характеристики (типа трансфинитных диаметров); описаны носители и потенциалы экстремальных зарядов. Созданная теория содержит в себе в качестве предельного случая основные результаты из теории Х-ем-костей замкнутых множеств в 2) .
Эти результаты составляют содержание второй главы диссерта -ции и частично - третьей.
Другой выявленный нами эффект состоит в том, что функциональ
ная емкость Gap Е пространственного конденсатора CE+,E~j Кр),
Е UE~эоо^ вообще говоря, не совпадает с его потенциальной ^-ем
костью (с точностью до мультипликативной универсальной постоянной),
Потенциальная *г-емкость невырожденного пространственного кон -
денсатора Е "СЕ4, Е~> fR ) оказывается связанной соотношением
равенства с функциональной емкостью порожденного им конденсатора
E(0);=(E+N^oo] , E"N{oo} j JRP) в |RP . Сравнивая определения
функциональных емкостей конденсаторов Е в Ifr и Е{0) в IR. ,
видим і что единственным различием между ними есть требование не
прерывности функций |ь ІКЕ ) в точке оо . Из сказанного видна
особая роль бесконечно удаленной точки в данной теории, - она
здесь выступает, как массивное множество.
В общем случае произвольных конденсаторов Е в /R и в IR найдены представления функциональных емкостей через надлежащие-классы зарядов >) Л и их ньютоновы оперши. Между функциональными емкостями конденсаторов в [R и в IR и их потенциальными Кг-емкостями установлены попарные соотношения равенств, неравенств с полним исследованием случаев равенств. Найдены дискретные описания функциональных емкостей в fR и (R
Исследованы свойства непрерывности функциональных емкостей
конденсаторов при разных типах аппроксимации. Найдены точные ниж
ние оценки емкостей Сар (в\ Е~ '-, W) через ньютоновы емкос
ти границ ЭЕ , ЭЕ~ с полным описанием случая равенства. Уста
новлены необходимые и достаточные условия существования минималь
ных функций, дано их представление через ньютоновы потенциалы.
Некоторые из полученных здесь утверждений допускают обобщение на более общие образования в fR и емкости, исследованные В.М.Гольдштейном и Ю.Г.Решетняком [Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения.-ii.: Наука,
1983. - 284 с] .
Эти результаты приведены в третьей главе диссертации.
Четвертая глава посвящена изучению связи между функциональными и потенциальными емкостями конденсаторов в D и в 2 , где 2) - область в IR . В отличие от предыдущих глав, где в основном применялись методы теории потенциала, здесь главным является метод экстремальных длин. Сравнение функциональных и потенциальных емкостей осуществляется через их сравнение с модульными характеристиками конденсаторов. (Возможно, в задачах исследования соотношений ыеаду теоретико-функциональными и теоретико-потенциальными характеристиками конденсаторов модальная техника применена впервые.)
В спою очередь, использование емкостной техники позволило установить некоторые чисто модальные утверждения, в том числе -пространственный аналог известной теоремы Минды о соотношениях равенства между экстремальными расстояниями в S ii S
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I - 24 [J.
Результаты диссертации докладывались на Международной конференции по теории потенциала в Нагойе (Япония, 1990 г.), Мевдуна родной летней школе по теории потенциала в Йоэнсу (Фшияцдия, 1990 г.), Всесоюзной школе-семинаре по комплексному анализу в Ташкенте (1985 г.), Расширенных заседаниях семинара Института прикладной математики им. И.Н.Векуа (Тбилиси, 1908 г.), Всесоюзной школе по теории потенциала в Кацивели (1991 г.), секции по теории функций при Ученом совете Института математики All Украины, семинаре по комплексному анализу профессора П.М.Тамразова (Киев, [Інститут математики АН Украины), Ростовском городском семинаре по теории потенциала профессоров Н.С.Ландкофа и А.Д.Бендикова, семинаре по теории функций профессора А.Л.Гольдберга (Львовский госуниверситет), семинарах профессора В.П.Хавинэ (Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова, гесуниверситет), профессора Л.И.Ронкина (Харьков, 5ТШТ All Украины).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на 31 параграф. Список литературы содержит 96 наименований. Общий объем работы - 323 с.