Введение к работе
Актуальность темы. В теории приближения функцией важное место занимает проблематика, связанная о наилучшими рациональными аппроксимациями аналитических функций. Принципиальное значение для теории аппроксимаций функций имеют исследования, посвященные прямым теоремам теории рациональной аппроксимации аналитических функций. В этих теоремах в терминах, связанных со свойствами аппроксимируемой функции, расположением и структурой ее множества особенностей; характером ее аналитического продолжения, устанавливается скорость убывания величин 0^, -наилучших приближений аналитической функции в равномерной метрике на компакте Ь. комплексной плоскости рациональными функциями порядка не выше (%. . Решение огкрытых проблем в втом направлении является научной задачей, важной как для развития теории, гак и для приложений.
Основополагающая роль в исследовании скорости рациональной аппроксимации аналитических функций принадлежит полученным в начале 30-х годов работам Дж. Уоша. В этих работах, о использованием методов, относящихся к интерполяции рациональными функциями с фиксированными полюсами, подучены наиболее общие результаты, характеризующие поведенче последовательности { ОЛ і п = О, 1,Z... .
В настоящее время в теории рациональной аппроксимации аяй~ дитических функций можно выделить два основных аодхода в исолб» доваиии скорости рациональной аппроксимации.
В основе первого направления лежат методы, базирующиеся на конструкции аппроксимаций Паде (интерполяционных последсва-
ватопъностей рациональных функций со свободными полюсами). Аппроксимации Наде позволяют исследовать скорость рациональной аппроксимации для вахлых классов аналитических функций, например, таких, как класс аналитических функций, имеющих конечное число то'чек ветвления. Центральная роль в исследовании проблем отого направления принадленииг цолучеинш в 70-90-е года работам А.А.Гончара. Существеннный вкяад внесли также Е.А.Рахманов (1984, 1987 гг.), Г.Шталь (I9B6 г.), Дх.Наголл (1977, 1984 гг.)
Другой подход в исследовании рациональной аппроксимации аналитических функций основывается на методах теории операторов Ганкеля. В основе иопольэуемюс методов лежит теорема Адашша-Ароаа-Крейяа (1971 г.), позволяющая свости исследования скорости рациональной аппроксимации аналитической функции к исследованию скорости убывания последовательности / Sn j , ri = 0, d}. '. , сингулярных чисел опирагора Ганкеля, построенного по аппроксимируемой функции. В связи с отим подходом выделим работы В.В.Пе-ллера (1980, 1982 гг.), С.В.Хрущева (1982 г.), О.Г.Парфенова (1986 г.). Ваяшо отмотать, что соответствующие результати относятся к случа», когда функция, по которой строится оператор Ганколя, задана на границе единичного круга. Глава I диссертации посвящена исследованию метрических свойств оператора Ган-коля для случая, когда непрерывная функция і , по которой строится оператор Ганкеля А 9 , задана на границе мяогосвяз-кой области <- , ограниченной конечним числом замкнутих аналитических жорданс-аых кривых / . В етой ситуации доказана теорема, являющаяся обобщением теоремы Адамяна-Арова-Крейда.
Соответствующие результаты позволяет исследовать скорость рациональной аппроксимации аналитических функций в более общих
ситуациях:, чем рассматривались ранее. Среди приведенных в главе 2 результатов,использующих теорию операторов Ганкеля и характеризующих поведение последовательности [puj, П -О, {,2,.ч* выделим теорему, которая показывает, что справедлива гипотеза А Д.Гончара (1382 г.), состоящая в том, что справедлива оценка
It иг J),t 2Сср (-2/C(E,F»>
п -» «
если аппроксимируемая функция -г голоморфна в С N f , где
F - компакт в С , П'Р -ф , С(,Р) - емкость конденсатора ( F) . В связи о тим результатом отмстим работу О.Г.Иаррзнова (1986 г.).
Третья глава диссертации посвящена исследованию скороот* рациональной аппроксимации аналитических функций, имеющих конечное число существенно особых точек, порядок которых конечен. В частности, подучены результаты, относящиеся к рациональной аппроксимации целых функций конечного порядка. Скорооть полиномиальной аппроксимации целых функций исследована в работах А.В.Багырева (1951 г.). Р.С.Варги (1968 г.), Т.Винярокого (1970 г.). В главе 3 исследована также скорость рациональной апарокоя-М8ЦИИ целых функции, имеющих конечный обобщенный порядок. В этом направлении для полиномиальное аппроксимации выделим работу СМ.Шаха (1977 г.). В основе подученных в диссертации результатов лежит анализ аоимптотнчесхого поведения сингулярных чисел оператора Ганкеля, построенного по аппроксимируемой функции.
В четвертой главе изучается скорость рациональной аппроксимации мероморфных функций, имеющих конечный порядок. Соответствующие результаты дают более точную характеристику скорости
рациональной аппроксимации мероморшх функций, чем рассматривались ранее. В этой связи отметим работы Дх.Натолла (1970 г.), С.Поммеренке (1973 г.), Д.Карлсона (1976 г.).
Цель работы
1. Исследование связи между сингулярными числами Sa опе
ратора Гаякеля As , построенного по функции 4. , заданной
на границе Г мяогосвязной области G~t и наилучшими приближениями Ал функции -і в пространстве 1_о^ (г) функциями, принадлежащими классу ^?д^ ^ LQ-) . где jL^ - класс
рациональных функций порядка не выше tt , ^(@-) - класс Смирнова ограниченных аналитических в области Q- функций,
2. Получение новых прямых теорем теории рациональной аппрок
симации, в том числе, доказательство справедливости гипотезы
О */п.
А.А.Гончара об оценке сверху для llfn О .
Исследование скорости рациональной аппроксимации для следующее классов аналитических функций:
-
целых функций, имеющих конечный порядок;
-
целых функций, имещих конечный порядок н конечный тип;
-
функций, имеющих конечное число существенно особых точек, порядок которых конечен;
-
целых функций, имеющих конечный обобщенный порядок;
-
мероморфкых функций, имеющих конечный порядок.
Структура и объем диссертации. В соответствии с указанными вопросами диссергация состоит аз введения и четырех глав, каждая из которых разделена на параграфы. Объем работы j^g стр.,
