Введение к работе
Актуальность темы Понятие непрерывной дроби, возникшее как результат использования алгоритма Евклида, было известно еще в древности, но не потеряло своей актуальности и в наше время Разложения в непрерывные дроби, содержащие вместо числовых элементов функции комплексного переменного, впервые появились в работах Эйлера Многочисленные приложения нашли введенные Гауссом разложения в непрерывную дробь отношений гипергеометрических функций Исследования по теории непрерывных дробей таких крупных математиков, как Лагранж, Пуанкаре, Риман, Стилтьес, Фробениус, Чебышев, Эрмит, Якоби, оказали далеко идущее влияние на дальнейшее развитие математики В рамках теории непрерывных дробей Стилтьесом был введен интеграл Стилтьеса и решена проблема моментов, общие ортогональные многочлены впервые были открыты Чебышевым как знаменатели подходящих дробей чебышевской непрерывной дроби, разложения в непрерывные дроби, применяемые Стилтьесом и Пуанкаре в связи с расходящимися рядами, привели к появлению асимптотических разложений
С 60-х годов прошлого века наблюдается новый рост интереса к непрерывным дробям и обобщающим их конструкциям рациональных аппроксимаций аналитических функций Эти конструкции впервые появились в конце 19-го века в работах Фробениуса и Паде и получили общее название аппроксимаций Паде Аппроксимации Паде являются удобным вычислительным инструментом при обработке данных, определяющих аналитическую функцию Качественно новый уровень вычислительных средств, достигнутый к 60-м годам прошлого века, и востребованность аппроксимаций Паде в прикладных исследованиях объясняют бурное развитие теории рациональных аппроксимаций аналитических функций
Пусть
/(*) = /„*" (1)
тг=0
- степенной ряд, пит- целые неотрицательные числа По определению рациональная функция [n/m]f = Pn,m/Qn,m называется аппроксимацией Паде типа (п,т) степенного ряда (1), если degP„)m < п, degQniTn < т, QntTn ф 0 и имеет место равенство
+
Нетрудно показать, что аппроксимация [n/m]f существует при всех целых неотрицательных питой единственна как рациональная функция Кроме того, непосредственно из определения следует, что коэффициенты
многочлена Qn,m(z) = Чо,п,т + + Ят,п,т2тj являющегося знаменателем аппроксимации [n/m]f, удовлетворяют линейной системе равенств
(2)
^ Q0,n,mjn+m ~t~ і Qm,n,mjn ^
И наоборот, если коэффициенты не тождественно равного нулю многочлена Q„,m УДОВЛеТВОрЯЮТ СИСТЄМЄ равенств (2), ТО [n/m]f = Pn,m/Qn,m,
где РПіГП - п-я частичная сумма степенного ряда Qn,mf Таким образом аппроксимация Паде [n/m]f определяется непосредственно по первым п + т + 1 коэффициентам /о, , /п+т степенного ряда (1), и основной вычислительный момент в ее нахождении - это решение линейной системы равенств (2)
Востребованность аппроксимаций Паде к практическим нуждам дала импульс дальнейшему развитию теории конструктивных рациональных аппроксимаций Среди многочисленных работ, внесших существенный вклад в развитие теории за последние 50 лет, отметим работы А Аптека-рева, В Буярова, А Гончара, В Дзядыка, В Калягина, Е Никишина, В Прохорова, Е Рахманова, В Русака, В Сорокина, А Старовойтова, С Суетина, Г Бейкера, Б Беккермана, К Брезински, В Ван Аше, Р Варги, X Воделанда, П Грейвс-Морриса, П Дейфта, У Джоунса, А Куэларса, Г Лопеса, Л Лорентсен, Д Любински, А Мартинеса, Д Наттола, Э Саффа, В Тотика, В Трона, Г Шталя
Одной из типичных ситуаций, возникающих в прикладных исследованиях, является следующая Требуется описать поведение и особенности аналитической функции, имея в своем распоряжении значения коэффициентов ряда Тейлора или Фурье (или значения функции в узлах интерполяции и т п ) Полиномиальные аппроксимации, а также рациональные аппроксимации с заранее фиксированными полюсами не всегда пригодны для решения этой задачи, так как область их сходимости обычно ограничивается "первой" особой точкой функции Более приспособленными к решению поставленной задачи являются рациональные аппроксимации со свободными полюсами Свобода полюсов аппроксимаций позволяет им локализовать не только ближайшие особенности приближаемой функции, но и последующие особенности Проиллюстрируем этот факт следующей теоремой Суетина Пусть функция / голоморфна в некоторой окрестности точки z = 0 Обозначим через Rm(f) радиус то-го круга мероморфности функции /, т е радиус максимального открытого круга с центром в точке z = 0, в который функция мероморфно продолжается и имеет не более т полюсов
Теорема (Суетин1). Пусть коэффициенты степенного ряда (1) таковы, что при фиксированном т Є N и всех достаточно больших п Є N рациональные функции [n, m}f имеют ровно т конечных полюсов Л„д, , ^п,т, стремящихся к пределам hmn^^X^j = \3 ф 0 (j = 1, , m) Тогда
1 Степенной ряд (1) определяет функцию f, голоморфную в круге \z\ < пшіі<.,<т|А.,|
2 Rm-iif) = maxi<^<m |Aj|
3 Все точки Лі, , Am являются особыми точками функции f, причем те из них, которые лежат строго внутри круга \z\ < Rm-i(f) являются полюсами и других полюсов функция / в этом круге не имеет
Из равенств (2) при т = 1 следует, что полюс аппроксимации Паде [п/1]у равен fn/fn+i Это означает, что при т = 1 теорема Суетина совпадает с одной из самых глубоких теорем в теории степенных рядов - классической теоремой Фабри2 "об отношении" Теорема Суетина дает положительный ответ на ранее высказанную гипотезу Гончара о возможности распространения теоремы Фабри на случай строк таблицы аппроксимаций Паде В диссертации дается положительный ответ на эту же гипотезу Гончара для наиболее естественных обобщений конструкции классических аппроксимаций Паде, а именно для многоточечных аппроксимаций Паде, аппроксимаций Паде ортогональных разложений и аппроксимаций Паде-Фабера Доказательство гипотезы Гончара для этих обобщений аппроксимаций Паде дается на основе нетривиального усиления теоремы Пуанкаре о рекуррентных соотношениях с предельно постоянными коэффициентами
В теории аппроксимаций Паде центральную роль играют вопросы сходимости, и в частности, равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде Для широкого класса аналитических функций, в частности, для марковских функций, определяемых как преобразование Коши некоторой борелевской меры, носителем которой является отрезок, равномерная сходимость диагональных аппроксимаций Паде имеет место во всей области голоморфности функции (т е вне носителя меры)3
1Суетин С П Об одной обратной задаче для т-й строки таблицы Паде// Матем сб , 1984, т 124 (166), 238-250
2Fabry Е Sur les points singuhers d'une fonctwn donnee par son developpement de Taylor// Ann ec norm sup Pans 1896, 113, №3, 367-399
3Марков A A , Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля 1948 М Гостехиздат Два доказательства сходимости некоторых непрерывных дробей, 106-119
Это неверно для произвольных аналитических функций В частности, Г Валлин4 указал пример целой функции, диагональные аппроксимации Паде которой не сходятся ни при каком z ф 0 Однако и в этом примере Валлина, и в многих других ранее известных примерах из последовательности диагональных аппроксимаций Паде можно выбрать подпоследовательность, равномерно сходящуюся к / на компактах, лежащих в круге ее голоморфности Это позволило Бейкеру, Гаммелю и Уиллсу высказать в 1961 году следующую гипотезу
Гипотеза (Бейкер—Гаммель—Уилле5). Пусть функция / голоморфна в некоторой окрестности точки z = 0 и мероморфна в круге D = {\z\ < 1} Тогда найдется бесконечная подпоследовательность А = Л(/) натуральных чисел такая, что [n/n\f —> f при п —^ оо; п Є Л, равномерно на компактах, лежащих в D и не содержащих полюсов f
Некоторые недостаточно четкие высказывания, близкие к гипотезе Бейкера-Гаммеля-Уиллса, можно найти уже в работах самого Паде, опубликованных им в начале 20 столетия Впоследствии гипотеза Бейкера-Гаммеля-Уиллса приобрела широкую известность под названием Па-де-гипотезы (Pade conjecture)
С 1961 по 2001 годы Паде-гипотезу не удавалось ни доказать, ни опровергнуть Результаты положительного характера были получены за этот период времени только лишь для некоторых специальных классов функций В 2001 году Д Любински на докладе на Международной конференции анонсировал (обоснование опубликовано Д Любински6 в 2003 году) отрицательный ответ на Паде-гипотезу, предъявив в качестве опровергающего примера мероморфную функцию Hq(z), определяемую непрерывной дробью Роджерса-Рамануджана
i + —*V- (3)
q z
( 4тп » -
при q = ехр/ — I Однако функция Hq не опровергает (ни при
каком q) голоморфный (в определенном смысле самый интересный) вариант Паде-гипотезы В диссертации приводится и обосновывается пример (анонсированный автором в 2001 году в [11] и опубликованный в
4Wallm Н The convergence of Pade approximants and the size of the power series coefficients// Appl Anal 4, 1974, 235-251
5Baker G A , Gammel J L Wills J G An investigation of the applicability of the Pade approximant method J Math Anal Appl, 1961, 2, 405-418
6Lubmsky D S Rogers-Ramanujan and the Baker-Gammel-Wills (Pade) conjecture// Ann of Math , 157, 2003, 847-889
2002 году в [6]), одновременно опровергающий как голоморфный вариант Паде-гипотезы, так и гипотезу Шталя (вариант Паде-гипотезы, в котором наряду с мероморфностью на функцию накладывается дополнительное условие гиперэллиптичности) Найденный контрпример задается гиперэллиптической функцией
, . -27 + 6z2 + 3(9 + Qz3 + у/81(3 -(3 + С)-г3)2 + 4г6
f{Z) 2z(9 + 9z + (9 + C)z2) ' (J
где С = л/ї = (—1 + гл/3)/2, и выбрана та ветвь функции, для которой /(0) = 0 Указанная функция обладает тем свойством, что в круге ее голоморфности имеются три точки Zi, Z2 = zi, 2 = С2z2 такие, что [Зп + Э/2.П + 3]f(Zj) = /() ф /() (п = 0,1, ,з = 1, 2, 3), где / -другая ветвь гиперэллиптической функции /
Ранее, в 1983 году автором был указан контрпример к гипотезе Бей-кера-Грейвс-Морриса (аналог Паде-гипотезы для строк таблицы Паде)
Контрпример Любински основывается на весьма любопытных свойствах сходимости непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана После работы Любински остались открытыми некоторые интересные вопросы, связанные с множеством сходимости этой классической непрерывной дроби В диссертации показывается, что при всех q = ехр(27ггт), т - иррационально, функция Hq мероморфна в круге \z\ < 1, окружность \z\ = 1 является ее естественной границей мероморфности, непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана сходится к функции Hq равномерно на компактах, принадлежащих множеству {\z\ < 1} \ Пд, где Qq - объединение окружностей с центрами в точке z = 0, проходящих через полюсы функции Hq, при этом множество fiq в высказанном утверждении не может быть заменено никаким меньшим замкнутым подмножеством При q = ехр(27ггт), г - рационально, непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана достаточно легко исследуется как периодическая непрерывная дробь
Цель работы Целью работы является
ф доказательство гипотезы Гончара о возможности распространения теоремы Фабри на случай m-й строки таблицы обобщенных аппроксимаций Паде,
О нахождение контрпримеров к голоморфному варианту Паде-гипотезы и к гипотезе Шталя,
ф нахождение при всех q = ехр (2тт), т - иррационально, области сходимости непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана,
ф получение некоторых новых критериев сходимости числовых непрерывных дробей, распространение теоремы Ван Флека на случай непрерывных Т-дробей с предельно периодическими коэффициентами, доказательство двухточечного аналога теоремы Пойя
Основные методы исследования В основе проведенного в диссертации исследования лежит теорема Пуанкаре о рекуррентных соотношениях с коэффициентами, имеющими предел, и полученные в диссертации ее усиления
Научная новизна Все приведенные в диссертации результаты являются новыми Основные полученные результаты таковы
теорема Фабри распространена на случай строк таблицы обобщенных аппроксимаций Паде,
построен контрпример к голоморфному варианту Паде-гипотезы, который одновременно является и контрпримером к гипотезе Шталя,
при всех д = ехр(2-7ггт), г - иррационально, найдена область сходимости непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана,
доказаны некоторые новые критерии сходимости числовых непрерывных дробей, доказан двухточечный аналог теоремы Пойя, доказан аналог теоремы Ван Флека для непрерывных Т-дробей с предельно периодическими коэффициентами
Практическая и теоретическая ценность Работа носит теоретический характер Ее методы и результаты могут найти применение в научно-исследовательской работе специалистов по теории непрерывных дробей и аппроксимаций Паде Математического института им В А Сте-клова РАН, Московского государственного университета им М В Ломоносова, Института прикладной математики им М В Келдыша РАН, Института вычислительной математики РАН Результаты диссертации уже используются другими авторами в их исследованиях Результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов и аспирантов университетов
Апробация работы Результаты работы докладывались и обсуждались в Математическом институте им В А Стеклова РАН на семинаре Отдела комплексного анализа под руководством академика А А Гончара, члена-корреспондента РАН Е М Чирки и д ф -м н А И Аптекарева, в Московском государственном университета им М В Ломоносова на семинаре кафедры теории функций под руководством академика П Л Ульянова и члена-корреспондента РАН Б С Кашина, в Киевском институте математики НАН Украины на семинаре Отдела теории функций под ру-
ководством члена-корреспондента HAH Украины А И Степанца, на семинаре прикладной математики факультета математики в университете Южной Каролины под руководством профессора Р А ДеВора, на семинаре факультета математики в университете Южной Флориды под руководством профессора Э Б Саффа, на семинаре факультета математики в университете Карлос III в Мадриде под руководством профессора Г Лопеса, а также на следующих международных конференциях
ф Международная конференция "Harmonic analysis and approximation, IF, Армения, 2001 г
"0> Украинский математический конгресс, Киев, 2001 г
<0> Международная конференция "Колмогоров и современная математика", Москва, 2003 г
О Международная конференция "Sixth International Workshop on Orthogonal Polmomials Orthogonal Polinomials in Mathematical Physics", Испания, Мадрид, 2004 г
-v> Международная конференция " Functional Methods m Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics II", Украина, Киев, 2004 г
ф Международная конференция "Геометрический анализ и его приложения", Волгоград, 2004 г
ф Международная конференция "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященная столетию академика Сергея Михайловича Никольского, Москва, 2005 г
<0> Международная конференция "Fejer-Riesz conference", Венгрия,
2005 г
<0> Международная конференция "Analysis and Related Topics", Украина, Львов, 2005 г
ф Международная конференция "Entire and subharmonic functions and related topics", посвященная 100-летию со дня рождения Б Я Левина, Украина, Харьков, 2006 г
ф Международная конференция "Recent Trends in Constructive Approximation Theory", Satellite Conference of ICM06, Испания, Мадрид,
2006 г
Частично полученные в диссертации результаты вошли в прочитанный автором спецкурс "Введение в аналитическую теорию непрерывных дробей"для студентов Научно образовательного центра при Математическом институте им В А Стеклова РАН
Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]-[8], список которых приведен в конце автореферата
Объем и структура диссертации Диссертация изложена на 194 страницах и состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 71 наименование