Содержание к диссертации
Введение
1. Предварительные сведения
2. О полугруппе симметрии одной сходимости
3. Конечномерные сходимостные векторные пространства 50
4. Бесконечномерные сходимостные векторные пространства
5. Компактные монотетические сходимостные полугруппы
б. Продолжение частично определенных операций . 65
7. Реализация продолжений некоторых частично определенных операций . Квазипополнимость сходимостных векторных пространств
Цитированная литература -95
- О полугруппе симметрии одной сходимости
- Конечномерные сходимостные векторные пространства
- Бесконечномерные сходимостные векторные пространства
- Компактные монотетические сходимостные полугруппы
Введение к работе
Предельный переход играет важную роль в анализе. Поэтому представляет большой интерес изучение абстрактных сходимостных пространств. Среди сходимостных пространств особо выделяются так называемые абстрактные секвенциальные сходимостные пространства, т.е., грубо говоря, пространства, где указаны сходящиеся последовательности и их пределы. Их особенности в том, что: а) многие объекты анализа по сути есть секвенциальные сходимостные пространства;
б) они являются наиболее простейшими сходимостными пространствами;
в) секвенциально-сходимостный язык прост, понятен, а для численной реализации многих математических результатов секвенциальный язык просто неооходим.
Понятие абстрактного секвенциального сходимостного пространства восходит к М.Фреие /28/. Идеи М.Фреше дальше были развиты в работах П.С.Александрова и П.СУрысона /I/, П.СУрысона /26/.
Если говорить о теории абстрактных (не обязательно секвенциальных) сходимостных пространств, то нужно отметить, что существуют два очень близких способа введения сходимостного пространства. При первом способе дается сходимость направленностей (сетей). Этот способ возник в работе Мура и Смита /17/. При втором способе дается сходимость при помощи фильтров, определение которого восходит к А.Картану.
Существуют много работ посвященных сходимостным пространствам, определенных тем или иным способом, например Кук и Фишер /15/, Кент /16/, Фишер /27/, шоке /40/» Тейлор /25/, Фрёлихер А. и Бу хер в. /29/, GahPa S./6/, G tikia 5., G dhfet W , K/teis G. /7/ и другие.
Своё дальнейшее развитие теория секвенциальных сходимостных ;
- ч пространств получила в работах Кисинского /II/, Каминского /9,10/, Гёца /5/, Новака /18,19/, Дадли /8/, фрика /30,31/, Чересиза В.М. /38,39/, Сарымсакова Т.А. и Хаджиева Дж.Х. и Худайбердыева В.Н. /33/, Худайбердыева В.Н. /35,36/ и др. Отметим также недавнюю работу Ричардсона /22/, в которой изложены некоторые применения теории секвенциальных сходимостных пространств к задачам теории вероятностей.
Вопросы, изучаемые в настоящей диссертации, в основном связаны со секвенциальными сходимостными пространствами.
В диссертации рассматриваются следующие вопросы:
1) описание элементов полугруппы симметрии некоторых схрдимос-тей;
2) Конечномерные сходимостные векторные пространства над сходимостными телами, а также некоторые классы бесконечномерных сходимостных векторных пространств;
3) Компактные сходимостные монотетические полугруппы;
4) Продолжение частично определенной операции, заданной в некоторой универсальной алгебре.
Каждый метод суммирования рассходящихся рядов может быть рассмотрен как секвенциальная сходимость. В работе описаны элементы полугруппы симметрии для некоторых классов таких сходимостей ( в частности для сходимости по Чезаро).
В каждом векторном пространстве над секвенциальным сходимост-ным телом можно определить естественную векторную структуру сходимости. Выделен естественный класс секвенциальных сходимостных тел, включающих в себя все полные нормированные тела. Найдено необходимое и достаточное условие совпадения произвольной секвенциальной векторной структуры сходимости в конечномерном векторном пространстве над такими сходимостными телами, с естественной векторной структурой сходимости этого векторного пространства. Доказана единственность векторной структуры сходимости в конечномерном векторном пространстве над локально секвенциально компактным сходимост-ным телом. Изучены некоторые классы бесконечномерных сходимостных векторных пространств.
Классификация компактных монотетических топологических полугрупп была получена Хьюиттом Э. /37/. В настоящей работе этот результат распространен на компактные монотетические сходимостные (по Муру-Смиту) полугруппы. В отличие от топологического случая мы не требуем выполнения теоремы о повторном пределе /12/. Получена также классификация монотетических секвенциально компактных сходимостных полугрупп Фреше.
Рассмотрено многообразие универсальных алгебр с частично определенной операцией (не обязательно конечноместной). Найдены естественные условия, при которых возможно продолжение этой операции. Определены понятия первого и абсолютного продолжений. При найденных условиях доказаны существование и единственность первого и абсолютного продолжений. Указаны применения этих результатов к конкретным многообразиям универсальных алгебр с частично определенными операциями. В частности, доказана (квази)пополнимость лДг )-сходимостных векторных пространств.
Результаты работы имеют теоретический характер.
По результатам выполненных исследований опубликованы 7 статей /41-47/.
Диссертация изложена на 9 страницах машинописного текста! Она состоит из введения и семи параграфов.
Первый параграф посвящен предварительным сведениям, которые используются нами в дальнейшем.
Как следствие получены также следующие известные результаты /2/.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Каждая обобщенная функция есть обобщенная производная некоторого порядка некоторой непрерывной функции и при необходимости этот порядок можно считать достаточно большим.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Обобщенная производная обобщенной функции равна нулю в том и только в том случае, если она есть обычная постоянная функция.
2. Многообразие коммутативных групп со структурами л(г] сходимости.
Пусть (АД) - коммутативная - сходимостная группа.
Последовательность {&ц] элементов А называется фундаментальной, если &ft, f(tt) 0 при каждом т€ г •(AjA) называется полной, если каждая фундаментальная последовательность в (А;А) А - сходится.
В работе Хаджиева Дж. и Худайбердыева В.Н. /33/ было доказано, что каждая коммутативная X U )- сходимостная группа допус - 16 кает пополнение, т.е. каждую такую сходимостную группу можно пополнить до полной коммутативной ЛР) - сходимостной группы. В седьмом параграфе приведена реализация этого результата согласно нашей конструкции.
3. Многообразие -сходимостных векторных пространств над фиксированным }(Р)- сходимостным телом К .
Доказано, что каждое сходимостное векторное пространство допускает квазипополнение, т.е. можно пополнить (квазипопол-нить) до квазиполного лЛг/- сходимостного векторного пространства.
На конкретном примере показано, что, вообще говоря, не каждое - сходимостное векторное пространство может быть пополнено до полного лЛг /- сходимостного векторного пространства.
Для удобства ссылок определения, предложения, теоремы, леммы, следствия, замечания имеют независимую нумерацию внутри каждого параграфа. Конец доказательства отмечается знаком Щ.
Результаты диссертации докладывались на семинарах по функциональному анализу академика АН УзССР Сарьшсакова Т.А., семинарах проф. Хаджиева Дж.Х., ежегодных отчетных научных конференциях профессорско-преподавательского состава ТашГУ (1981, 1982, 1983 гг.), на научных конференциях молодых ученых ТашГУ.
Пользуясь случаем,выражаю свою глубокую благодарность профессору Дж.Хаджиеву за постановку темы и постоянное внимание к моей работе.
О полугруппе симметрии одной сходимости
Предельный переход играет важную роль в анализе. Поэтому представляет большой интерес изучение абстрактных сходимостных пространств. Среди сходимостных пространств особо выделяются так называемые абстрактные секвенциальные сходимостные пространства, т.е., грубо говоря, пространства, где указаны сходящиеся последовательности и их пределы. Их особенности в том, что: а) многие объекты анализа по сути есть секвенциальные сходимостные пространства; б) они являются наиболее простейшими сходимостными пространствами; в) секвенциально-сходимостный язык прост, понятен, а для числен ной реализации многих математических результатов секвенциальный язык просто неооходим. Понятие абстрактного секвенциального сходимостного пространства восходит к М.Фреие /28/. Идеи М.Фреше дальше были развиты в работах П.С.Александрова и П.СУрысона /I/, П.СУрысона /26/. Если говорить о теории абстрактных (не обязательно секвенциальных) сходимостных пространств, то нужно отметить, что существуют два очень близких способа введения сходимостного пространства. При первом способе дается сходимость направленностей (сетей). Этот способ возник в работе Мура и Смита /17/. При втором способе дается сходимость при помощи фильтров, определение которого восходит к А.Картану. Существуют много работ посвященных сходимостным пространствам, определенных тем или иным способом, например Кук и Фишер /15/, Кент /16/, Фишер /27/, шоке /40/» Тейлор /25/, Фрёлихер А. и Бу хер в. /29/, GahPa S./6/, G tikia 5., G dhfet W , K/teis G. /7/ и другие. Своё дальнейшее развитие теория секвенциальных сходимостных ; - ч пространств получила в работах Кисинского /II/, Каминского /9,10/, Гёца /5/, Новака /18,19/, Дадли /8/, фрика /30,31/, Чересиза В.М. /38,39/, Сарымсакова Т.А. и Хаджиева Дж.Х. и Худайбердыева В.Н. /33/, Худайбердыева В.Н. /35,36/ и др. Отметим также недавнюю работу Ричардсона /22/, в которой изложены некоторые применения теории секвенциальных сходимостных пространств к задачам теории вероятностей. Вопросы, изучаемые в настоящей диссертации, в основном связаны со секвенциальными сходимостными пространствами. В диссертации рассматриваются следующие вопросы: 1) описание элементов полугруппы симметрии некоторых схрдимос-тей; 2) Конечномерные сходимостные векторные пространства над сходимостными телами, а также некоторые классы бесконечномерных сходимостных векторных пространств; 3) Компактные сходимостные монотетические полугруппы; 4) Продолжение частично определенной операции, заданной в некоторой универсальной алгебре. Каждый метод суммирования рассходящихся рядов может быть рассмотрен как секвенциальная сходимость. В работе описаны элементы полугруппы симметрии для некоторых классов таких сходимостей ( в частности для сходимости по Чезаро). В каждом векторном пространстве над секвенциальным сходимост-ным телом можно определить естественную векторную структуру сходимости. Выделен естественный класс секвенциальных сходимостных тел, включающих в себя все полные нормированные тела. Найдено необходимое и достаточное условие совпадения произвольной секвенциальной векторной структуры сходимости в конечномерном векторном пространстве над такими сходимостными телами, с естественной векторной структурой сходимости этого векторного пространства. Доказана един - 5 ственность векторной структуры сходимости в конечномерном векторном пространстве над локально секвенциально компактным сходимост-ным телом. Изучены некоторые классы бесконечномерных сходимостных векторных пространств. Классификация компактных монотетических топологических полугрупп была получена Хьюиттом Э. /37/. В настоящей работе этот результат распространен на компактные монотетические сходимостные (по Муру-Смиту) полугруппы. В отличие от топологического случая мы не требуем выполнения теоремы о повторном пределе /12/. Получена также классификация монотетических секвенциально компактных сходимостных полугрупп Фреше. Рассмотрено многообразие универсальных алгебр с частично определенной операцией (не обязательно конечноместной). Найдены естественные условия, при которых возможно продолжение этой операции. Определены понятия первого и абсолютного продолжений. При найденных условиях доказаны существование и единственность первого и абсолютного продолжений. Указаны применения этих результатов к конкретным многообразиям универсальных алгебр с частично определенными операциями. В частности, доказана (квази)пополнимость лДг )-сходимостных векторных пространств.
Конечномерные сходимостные векторные пространства
Теоремы, аналогичные приведенным теоремам, верны и для так называемых компактных сходимостных полугрупп, в которых сходимость понимается в смысле Мура и Смита /12/. В пятом параграфе приведены также формулировки необходимых определений и аналоги этих теорем для таких сходимостных полугрупп. Эти теоремы являются аналогами соответствующих теорем для компактных монотетических полугрупп /37/. Условия теорем в случае сходимости Мура-Смита отличаются от топологического случая тем, что мы не требуем выполнения теоремы о повторном пределе /12/.
Шестой параграф посвящен изучению продолжения частично определенной операции (ч.о.о.), заданной в некоторой универсальной алгебре. Более точно излагается схема продолжения ч.о.о., заданной в некоторой универсальной алгебре.
Пусть произвольное кардинальное число и в дальнейшем - некоторое фиксированное множество мощности Ж . Из определения видно, что понятие множества с ч.о.о. является естественным обобщением понятия секвенциального сходимостного пространства. Рассматривается многообразие S _ -алгебр с Ж -местной ч.о.о, которая согласуется с зс . Найдены естественные условия, при которых можно говорить о продолжении ч.о.о. вводятся понятия первого и абсолютного продолжений. Доказываются их существования и единственность, с точностью до естественного изоморфизма. Результаты этого параграфа получены автором совместно с Дж.Хаджиевым. Постановка задачи и общая идея принадлежат Дж.Хаджи-еву, а реализация этой идеи автору. В седьмом параграфе для конкретных многообразий зС -алгебр, с конкретными Л» -местными операциями, реализуется продолжение этой ч.о.о. В частности рассмотрены: 1. Многообразие векторных пространств с одноместной операци ей. Как частный случай получена возможность продолжения операции производной на непрерывные функции, т.е. обобщенную производную. Как следствие получены также следующие известные результаты /2/. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Каждая обобщенная функция есть обобщенная производная некоторого порядка некоторой непрерывной функции и при необходимости этот порядок можно считать достаточно большим. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Обобщенная производная обобщенной функции равна нулю в том и только в том случае, если она есть обычная постоянная функция. 2. Многообразие коммутативных групп со структурами л(г] сходимости. Пусть (АД) - коммутативная - сходимостная группа. Последовательность {&ц] элементов А называется фундаменталь ной, если &ft, f(tt) 0 при каждом т г (AjA) назы вается полной, если каждая фундаментальная последовательность в (А;А) А - сходится. В работе Хаджиева Дж. и Худайбердыева В.Н. /33/ было доказано, что каждая коммутативная X U )- сходимостная группа допускает пополнение, т.е. каждую такую сходимостную группу можно пополнить до полной коммутативной ЛР) - сходимостной группы. В седьмом параграфе приведена реализация этого результата согласно нашей конструкции. 3. Многообразие -сходимостных векторных пространств над фиксированным }(Р)- сходимостным телом К . Доказано, что каждое сходимостное векторное пространство допускает квазипополнение, т.е. можно пополнить (квазипопол-нить) до квазиполного лЛг/- сходимостного векторного пространства. На конкретном примере показано, что, вообще говоря, не каждое - сходимостное векторное пространство может быть пополнено до полного лЛг /- сходимостного векторного пространства. Для удобства ссылок определения, предложения, теоремы, леммы, следствия, замечания имеют независимую нумерацию внутри каждого параграфа. Конец доказательства отмечается знаком. Результаты диссертации докладывались на семинарах по функциональному анализу академика АН УзССР Сарьшсакова Т.А., семинарах проф. Хаджиева Дж.Х., ежегодных отчетных научных конференциях профессорско-преподавательского состава ТашГУ (1981, 1982, 1983 гг.), на научных конференциях молодых ученых ТашГУ.
Пользуясь случаем,выражаю свою глубокую благодарность профессору Дж.Хаджиеву за постановку темы и постоянное внимание к моей работе. Приведем некоторые определения, обозначения и результаты, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Говорят, что в множестве А задана структура секвенциальной сходимости А ((А, А) - называется секвенциальным сходимостным пространством), если каждому 0 /\ сопоставлено некоторое множество Д(&) - последовательностей из элементов г\ , называемое множеством всех Л -сходящихся к 0L последовательностей. Сходимость А называется отделимой ( (Л,А) - отделимым секвенциальным сходимостным пространством), если из следует
Бесконечномерные сходимостные векторные пространства
Достаточность будем доказывать индукцией по размерности и . Пусть S=CUftlt =l, 71 0 . Предположим обратное,т.е. И 1— " Другими словами / - Тогда существует такое отделимая сходимость, этого не может быть. Таким образом никакая подпоследовательность последовательности ( щп,)) не сходится к о . Не теряя общности, можно считать р Прибом M6/V. Тогда никакая подпоследовательность последовательности {( Ки)) і также не сходится к оо . Поэтому снова №$(ti) iitO 1 Полученное противоречие завершает доказать тельство теоремы 3.13 в случае S—J. Заметим, что при S=1 в доказательстве мы не пользовались квазиполнотой К (см. также следствие 3.16). Предположим, что теорема доказана для меньших размерностей -произвольный базис в Е, )» и Л+ " 5 —/- 0 , не нарушая общности можно считать, что никакая подпоследовательность последовательности {%Л не сходится к нулю относительно естественной сходимости. Получили противоречие, поскольку 9- и А -отделимая сходимость. считать cL pO при любом И 1\1, Тогда никакая подпоследовательность последовательности {( ) J также не сходится Таким образом никакая подпоследовательность последовательности \d-ft j не сходится к ОО . Не нарушая общности, можно О при любом /Z7 и аналогично, как и в предыдущем случае, получим противоречие. - 5 Таким образом из Хц 0 следует ОС — 0 # обратно, из Х 0 следует Х 0 . действительно, /\-httl{CL\— &i при каждом 0(впрочем при доказательстве теоремы 3.13 мы уже неоднократно воспользовались этим). . Теперь понятно совпадение естественной сходимости в ь и сходимости Л , поскольку мы доказали, что у этих сходимостеи множество сходящихся последовательностей к нулю одно и то же. Теорема 3.13 полностью доказана. Как показывает следующий пример в теореме 3.13, квазиполнота тела Г\ существенна. ПРИМЕР 3.14. Положим - поле рациональных чисел с ооыч ной сходимостью, -секвенциальная струк тура сходимости в Ь ,индуцированная обычной сходимостью в /п . Тогда \Ь,ЛУ - двумерное сходимостное векторное пространство с 9f -свойством над К . Но определенная нами естественная струк тура векторной сходимости в LJ не совпадает с Л . Действитель но, существует последовательность рациональных чисел Щп] і ко торая сходится к Ш , т.е. (Lb, \ 2 , но {Q/Л ни к чему не сходится в О, относительно естественной СХОДИМОСТИ. СЛЕДСТВИЕ 3.15. Если(Ь)А) -конечномерное сходимостное векторное пространство с "Х- -свойством над квазиполным (полным) схо-димостным телом К , обладающим также -) -СВОЙСТВОМ, ТО(Ь,А) -квазиполно (соответственно, полно). Доказательство. По теореме 3.13 Л совпадает с естественной векторной структурой сходимости в fc ипо следствию З.П (Е Л) квазиполно (соответственно, полно). Как мы заметили, при доказательстве теоремы 3.13 верно следующее утверждение. СЛЕДСТВИЕ 3.16. Если \., А/- одномерное сходимостное вектор. -38-. ное пространство над сходимостным телом, обладающим л -свойством, то Л совпадает с естественной сходимостью в Ь в том и только том случае, если Л обладает f-свойством. СЛЕДСТВИЕ 3.17. Пусть vtj А/ -произвольное сходимостное векторное пространство с X"-свойством над квазиполньм сходимостным телом f\ обладающим 7\ -свойством.; Тогда каждое конечномерное подпространство пространства t замкнуто относительно А. Доказательство. Положим Г -конечномерное подпространство С, и оно А не замкнуто. Тогда существует А -сходящаяся последователь ность {ХЛ из элементов г ,такая что Х Хг Пусть [ про извольное конечномерное подпространство Е такое, чтоХ Гі иГ Гі Если (Vі есть ограничение Л на г , то ясно г , ) тоже обладает f -свойством и Х Х. Но по теореме 3.13 /V» совпадает с естест венной векторной сходимостью в Г и относительно естественной схо димости Xj / X. Это противоречие завершает доказательство. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.18. Сходимостное тело К назовем локально секвенциально компактным, если из того,что никакая подпоследовательность последовательности { у не сходится к оо следует существование сходящейся подпоследовательности последовательности { ц\ ПРИМЕР 3.19. Пусть К нормированное тело со сходимостью, индуцированной нормой. Тогда локально секвенциальная компактность этого сходимостного тела равносильно тому, что г\ -локально компактное нормированное тело.
Компактные монотетические сходимостные полугруппы
Пусть (А, А) Г - сходимостное пространство и в А задана некоторая алгебраическая структурам которой Л согласуется (точное определение этого понятия дается в б). Возникает естественный вопрос: топология Т\Л) согласуется ли с алгебраической структурой А Оказывается, вообще говоря, не следует / см.8.24-,/ даже если (А;А/ - сходимостное векторное пространство над К /8,24/» До сих пор не известно необходимое и достаточное условие на сходимостном языке (даже для абелевой группы), которое давало бы ответ на вышеприведенный вопрос.
В этом параграфе мы изучаем некоторые классы cL -сходимост ных векторных пространств над некоторыми сходимостными телами. В частности, исследуем согласованность топологии, порожденной сходимостью векторного пространства, с векторной структурой этого пространства. Пусть г\ недискретное локально компактное нормированное тело, (Ь,А) - произвольное ьГ - сходимостное векторное пространство над г\ . Хотя, вообще говоря, г (А) не будет векторной топологией в L , тем не менее имеет место следующая теорема. ТЕОРЕМА 4.1. Умножение на скаляр непрерывно относительно ТІЛ) по совокупности переменных. Доказательство. Пусть К0 г\ , XQ L и V открытая окрестность точки К0Х0 . Существует такое о 0 , что LX0cY ,где І ={КК- НК-КоІкЄо} . Иначе су ществовала бы последовательность {Кп] такая, что К К0 при лю 3ом ft /v »что не может быть. Рассмотрим и покажем, что оно открыто относительно Т(А) . Предположим противное. Тогда сущест вует такой и последовательность xJ X , 4ToXn4W при каждом ftj\[ . Поэтому при каждом tt /V существует Кц 1с такое, что K X fc V . Существует т Є г »ДДЯ которого К(}г] К1с поскольку К -локально компактно. Откуда получим K X y KX J XC V и поэтому начиная с некоторого номера. Полученное противоречие доказывает теорему 4.1. ц В.добавок к теореме 4-.I отметим также, что операция сложения в t , хотя, вообще говоря, не непрерывна по совокупности переменных относительно Т(Л) , раздельно непрерывна по каждой переменной относительно Т(А) .в самом деле, если Y открытая окрестность точки Х+Ц- , то W=V -{ "" V j - открытая окрестность точки JC и V\j-hiLC V , Действительно, если Х г-уЛД/, то 2eV ,XR+ljAzeV и поэтомуХ \[ начиная с некоторого номера (поскольку -открыто), т.е. 0С V"" = W , начиная с некоторого номера. Таким образом W к -открыто. Включение очевидно. ЗАМЕЧАНИЕ 4.2. В самом деле,легко доказывается следующий более общий факт. Если ((& А) - группа со сходимвстью Фреше А , которая согласуется с групповой структурой (Ь , то операция умножения в чх раздельно непрерывна относительно топологии Г(А). Пусть теперь L-. - произвольное векторное пространство над Г\ . Как и в конечномерном случае в С, МОЖНО определить следующую естественную векторную структуру сходимости. Эту сходимость рекурсией можно определить следующим образом: то 1) если Хщ==-Х при любом ҐІІЄІ\І , то Х —? Х ; 2) если Хп—= X , Ц,п— U. , dn—7 с6 , fin— р Если { cJ.vT - произвольный базис Гамеля векторного пространства Ц, , то с помощью этого базиса естественная сходимость в t_j эквивалентным образом может быть определена следующим способом: Последовательность {- j с элементами ЭСу, : 2_ (где, естественно, почти все коэффициенты равны нулю) сходится кX— .оС ь(, относительно естественной сходимости, тогда и только тогда, когда существует такое конечное подмножество 1Q , что = =0 для любого іф. ±Q и YMz ЇМ и flLi ( при каждом Le 0 порож 1, » Xi верхняя грань всех " . . Сд - верхняя грань всех Вводим следующие обозначения: Сп- топология в EL , денная естественной сходимостью отделимых векторных топологий в отделимых локально выпуклых топологий в t, . Известно, 4TO(L7T ) - топологическое векторное пространство ДС» 7)- локально выпуклое векторное пространство. Легко видеть ЇІОС СІ LQ И как мы знаем (см. 3) в конечномерном случае 6- - Ц = LQ ТЕОРЕМА 4.4. Если Ці - счетномерное векторное пространство, то = і±— IQ . Если размерность Q, больше чем счетная, то Т фСц» Доказательство. Положим L, - счетномерно и { сЬ М некоторый фиксированный базис. Если мы докажем, что каждая открытая окрестность нуля V BTQ содержит выпуклую окрестность нуля W в XQ , то сразу получим L , — Т С .