Введение к работе
Актуальность темы. Понятие локально наилучших рациональных аппроксимаций степенного ряда впервые возникло в конце XIX в. в работах Фробениуса и Паде. Классические результаты Чебышёва, Маркова и Стилтьеса о фундаментальных свойствах таких рациональных функций, сформулированные в терминах непрерывных дробей, положили начало развитию новой области в теории рациональных приближений. Во второй половине XX в. появилось большое количество работ, связанных с аппроксимациями Паде и их обобщениями. Такой интерес объясняется широким применением рациональных приближений в задачах механики, теоретической физики, технических расчетах. В ряде случаев хорошо известно поведение физической величины в локальной окрестности одной или нескольких точек и необходимо ее вычислить на некотором интервале значений. Аппроксимации Паде строятся только по локальным данным и позволяют эффективно приближать и вычислять соответствующую функцию. Асимптотическое поведение аппроксимаций Паде позволяет проводить анализ глобальных свойств локально заданной функции: находить расположение и распознавать характер ее особенностей, исследовать свойства аналитического продолжения и т.п.
Настоящая диссертация посвящена сильной асимптотике диагональных аппроксимаций Паде и интерполяционных многочленов, являющихся частным случаем рациональных приближений. Сильная асимптотика дает возможность определить поведение отклонения аппроксимаций от приближаемой функции при увеличении порядка аппроксимаций. Такая асимптотика позволяет делать выводы о скорости сходимости, поведении нулей и полюсов аппроксимаций, получать результаты теоретико-числового характера.
Цель работы. Исследовать вопросы сходимости как классических одноточечных аппроксимаций Паде, так и двухточечных аппроксимаций Паде мероморфных функций марковского типа. В случае отстутствия равномерной сходимости построить максимально простую конструкцию, которая бы включала в себя аппроксимации Паде и приближала исходную функцию равномерно. Получить сильную асимптотику интерполяционных многочленов для функций, голоморфных на произвольном континуме в комплексной плоскости со связным дополнением.
Методы исследований. При исследованиях применяется как классическая теория комплексного анализа на плоскости (формула Коши, принцип
максимума, теория вычетов), так и современные методы теории краевых задач на римановых поверхностях.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
Для случая алгебраической функции, мероморфной на торе, получен результат, характеризующий поведение аппроксимаций Паде в точках так называемой ложной интерполяции.
Для случая мероморфной функции марковского типа с четырьмя точками ветвления построена конструкция, включающая две соседних аппроксимации Паде и приближающая исходную функцию равномерно.
Для случая мероморфной функции марковского типа получена сильная асимптотика двухточечных аппроксимаций Паде.
Для случая функции, голоморфной на произвольном континуме в комплексной плоскости со связным дополнением, получена сильная асимптотика интерполяционных многочленов.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории рациональных аппроксимаций и в качестве теоретической основы для численного анализа в ряде прикладных задач.
Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре отдела комплексного анализа Математического института им. Стеклова РАН по руководством академика А.А. Гончара, член-корр. РАН Е.М. Чирки и профессора, д.ф.-м.н. А.И. Аптекарева в 2007-2010 гг., на семинаре по вопросам теории функций в МГУ им. Ломоносова под руководством профессора, д.ф.-м.н. А.И. Аптекарева и профессора, д.ф.-м.н. В.Н. Сорокина в 2006-2009 гг., на международном симпозиуме "Troisiemes Journees Approximation" в Лилле (Франция) в 2008 г., на международной научной конференции "Комплексный и гармонический анализ 2009" в Арханах (Крит, Греция), на международной научной конференции "Современные проблемы анализа и преподавания математики", посвященной 105-летию академика СМ. Никольского в Москве в 2010 г.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в четырех работах автора, три из которых опубликованы в журналах, входящих в Перечень ВАК РФ. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 47 наименований. Объем диссертации составляет 57 страниц.
