Введение к работе
Актуальность работы. Линейные операторы, действующие в пространствах с индефинитной метрикой, играют заметную роль в современной математике, в частности в математической физике и теории функций, см., например работы следующих авторов: С.Л. Соболев, М.Г. Крейн, И.С. Иохвидов, М.Г. Крейн, С.Г. Крейн, Н.Н. Моисееев, С.Г. Крейн, Н.Д. Копачевский, Г. Филипс, П. Лаке.
Одним из центральных вопросов, возникающих при изучении линейных операторов, самосопряженных относительно введенной индефинитной метрики, является существование у них собственной спектральной функции. Этот вопрос привлекал внимание исследователей с 50-х годов прошлого века. Первый результат в этой области — работа М.Г. Крейна, опубликованная в 1940 году. В ней (в современной формулировке) было построено спектральное разложение J-неотрицательного интегрального оператора специального вида. Далее, М.Г. Крейном и Г. Лангером была построена спектральная функция для J-самосопряженного оператора в пространстве Понтрягина Пк. Затем Г. Лангер исследовал вопросы существования спектральной функции для J-самосопряженных операторов в пространстве Крейна и в регулярном G-пространстве.
Альтернативное доказательство существования спектральной функции для J-неотрицательного оператора в пространстве Крейна, было предложено Я. Богнаром. Его подход существенно используется в нашей работе.
Исследованию различных вопросов связанных со спектральными функциями а также приложения этой теории к исследованию дифференциальных уравнений и уравнений математической физики, посвящены работы Г.В. Акопяна, V. Jalava, Г. Jonas и К. Veselic.
Для J-унитарных операторов в пространстве Крейна аналогичный круг проблем изучался в работах Г. Лангера, В.А. Штрауса, Г. Jonas.
Существование спектральной функции для G-самосопряженного оператора в сингулярном G-пространстве было анонсировано в работе ЕА. Ларионова. Но заявленные результаты оказались ошибочными, что показывает, в частности, пример, построенный в параграфе 2, главы 2, нашей работы.
В диссертации были найдены условия на G-самосопряженный оператор, действующий в сингулярном G-пространстве, при которых он обладает собственной спектральной функцией.
Не менее важным вопросом, возникающим при изучении линейных операторов, действущих в пространстве с индефинитной метрикой, явля-
ется вопрос о существовании максимальных неотрицательных или неположительных инвариантных подпространств. Впервые этот вопрос был исследован С.Л. Соболевым для J-самосопряженного оператора в Пі. В работе Л.С. Понтрягина было доказано существование максимального неположительного подпространства у J-самосопряженного оператора в пространстве Пк. Далее, Г. Лангером этот результат был обобщен на случай J-самосопряженного оператора в пространстве Крейна.
Для J-диссипативного оператора, действующего в пространстве Понтрягина Пк, доказательство существования максимального инвариантного семидефинитного подпространства было независимо получено в работах Т.Я. Азизова, и совместной работе Г. Лангера и М.Г. Крейна. Изучению вопроса о существовании максимального семидефинитного инвариантного подпространства у J-диссипативного оператора, действующего в пространстве Крейна, посвящены работы Т.Я. Азизова, Г. Лангера, А.А. Шкаликова.
Целью работы является изучение спектральных свойств произведений самосопряженных операторов. В частности, нахождение условий, при которых, у произведения самосопряженных операторов существует спектральная функция. Основным техническим приемом здесь является введение на гильбертовом пространстве ТС, дополнительной структуры — индефинитной метрики [х,у].
Методика исследований. Использовались идеи и методы современного функционального анализа и теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой. В частности спектральная теория J-самосопря-женных операторов, а также отдельные элементы теории функций комплексного переменного.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:
Доказано существование спектральной функции для непрерывного оператора Т, который допускает представление в виде произведения двух непрерывных самосопряженных операторов, Т = AG, где А — неотрицательный оператор, a ker (G) = в.
Найдены условия существования спектральной функции для непрерывного дефинизируемого оператора Т, который представим в виде произведения двух непрерывных самосопряженных операторов, А и G, где ker (G) = 9.
Доказано существование максимального инвариантного подпространства у непрерывного оператора Т, который представим в виде произведения двух непрерывных операторов, Т = BG, где В — диссппатпвен, а
G — самосопряжен и ker(G) = в.
Дана оценка количества (с учетом кратности) отрицательных собственных значений для произведения двух самосопряженных операторов специального вида.
Изучено количество и локализация нулей у голоморфной функции особого типа.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и монографиях, в научных исследованиях, основанных на теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой и ее приложениях, проводимых в Воронежском, Московском, Югорском университетах, в институте математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, в математическом институте им. Стеклова Российской академии наук, в научно исследовательском институте математики Воронежского государственного университета.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре проф. Т.Я. Азизова в Воронежском государственном университете, на семинаре проф. А.Г. Баскакова в Воронежском государственном университете, Воронежских зимних математических школах - 2006, 2007; Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения - XVII", "Понтрягинские чтения - XVIII", Воронеж, 2006, 2007; на международной конференции по теории операторов в пространствах Крейна и операторным полиномам, Берлин, 2006, Германия; на международной конференции "Современный анализ и приложения"МАА 2007, Одесса, Украина; на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", Москва, 2007; на международной конференции по теории операторов в пространствах Крейна и спектральному анализу, Берлин, 2007, Германия.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1] - [9]. Из совместной работы [2] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих восемь параграфов, и списка литературы. Объем диссертации 83 страницы. Библиографический список содержит 65 наименований.
