Введение к работе
Актуальность темы. При исследовании задач механики методами функционального анализа возникают задачи о спектральных свойствах соответствуете операторов. При изучении поведения решений эволюционных задач естественным образом возникают вопросы полноты
И СаЗКСНОСЇИ СИСТЄІіШ ППЛ^оо'^- ^.-„„vABBBHemni» *'^..ЦП о ydS-
лиігнгнг *ут»цтхн2ЛЬііях. пространствах. С устойчивостью решений, тес- ^ но связана проблема локализации спектра и его классификация.
Широкий класс задач, допускаючих операторную трактовку, возникает в теории гидродинамической устойчивости. Уравнения течения жидкости в областях, позволяющих разделить переменные, часто можно свести к задаче на - собственные значения некоторого оператора.
Классическими работами в теории гидродинамической устойчивости стали работы Релея, Дж.Тейлора, Дж.Сайнджа, Д.Джозефа, С.Чандрасекара. Частные задачи, связанные с вопросами полноты и базисное, рассматривались И.Шенстедом," Р.Ди Примой, Дж.Хабет-лером. Различные аспекты устойчивости раасматривались Л.А.Диким, В.И.Юдовичем,'В,А.Романовым, Дк. Эйзенфельдом и другими авторами.
Развитие методов функционального анализа в приложении к задачам гидродинамики нашло отражение в монографиях Н.Д. Копачев-ского , С.Г.Крейна, в работах'А.М.Гомилко, Нго ЗуйКана, О.Д.Троицкой, А.В.Трубачева, С.А.Стенина, А.А.Шкаликова, В.И.Юдо-вича и др.
Среди наиболее известных задач стоит упомянуть задачу о течении жидкости между двумя концентрическими вращащимися цилиндрами(течение Куэтта), плоскопараллельное течение жидкости
(уравнение -Орра-Зоммерфельда) и задачу о колебаниях вязкой капиллярной несжимаемой жидкости.
Перше результаты о базисных, свойствах операторов, возникающих в задачах гидродинамики» были получены с помощью клас-сических методов (И.Шенстед, Р.Ди Прима, Дк.Хабетлер). Применение к этил задачам методов функционального анализа позволило получить более общие и полные результаты. В частности, в недавней работе А.А.П&еаликова и С.Треттер изучены базисные свойства собствен- них и присоединенных ^функций уравнения Орра-Зоммерфельда в раз- личных шкалах гильбертовых пространств. С.А.Степин исследовал спектральные свойства уравнения Релея,, являющегося предельным случаем уравнения Орра-Зоммерфельда.
Цель работы. 1) Исследовать вопрос о базисности корневых векторов, оператора, поровденного задачей о движении вязкой жидкости меаду двумя вращающимися бесконечными концентрическими цилиндрами и подучить асимптотику собственных значений.
2) Изучить вопрос о характере спектра оператора,
поровденного задачей -о несимметрично-возмущенном течении
идеальной жидкости между двумя вращающимися цилиндрами,
рассмотреть вопроси устойчивости.
3) Исследовать вопрос . о базисных свойствах оператора,
близкого к самосопрякенному в пространстве с индефинитной
метрикой. Рассмотреть свойства собственных и присоединенных век
торов оператора, возникающего в задаче о колебаниях вязкой капил
лярной несжимаемой жидкости.
Общая методика исследования. При исаьздования Оазисных свойств корневых векторов, изучении вопросов устойчивости приме-
яяжтся методы теории возмущений операторов, теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой, асимптотические методы з использованием свойств специальных функций.
Новизна результатов. Все полученные в работе результаты являются воеыми. Основные из них следующие:
I) Доказана базисного Fp:: zzZ^^armut w иг^^гЦишшнн* гектсроБ задачи о сггг-:стріічно-йоз:.^щенном течении вязкой жидкости между авумя цилиндрами. Получена асимптотика собственных значений задачи.
г) В случае несимметрично-возмущенного течения жидкости получено эписание спектра 'задачи и дано достаточное условие устойчивого ЇВИЖЄНИЯ жидкости.
3) Получен результат о Оазисных свойствах оператора, близкого к самосопряженному в пространстве Понтрягина. С помощью этой reopeNffl доказана базисность Бари со скобками для собственных и присоединенных векторов оператора, соответствующего задаче о колебаниях вязкой капиллярной жидкости.
Приложения. Результаты диссертации могут быть использованы 5ПЄЦИЯЛИС73МИ по гидродинамике для дальнейшего анализа рассмотренных в работе задач. Развитые методы могут ^пользоваться для решения других спектральных задач, возникающих 5 механике.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ювместном заседании Московского Математического общества и :еминара имени И.Г. Петровского 1994-95ГГ., на научных семинарах іеханико-математического факультета МГУ по теории операторов,
руководимых А.Г.Косякенко, А.А.Шкаликовым и С.А.Стениным.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы работах автора, приведенных в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из. введения, тре глав и списка литературы из 48 наименований. Общий объе диссертации - 86 страниц.
