Введение к работе
Актуальность работы. Диссертация посвящена исследованию вопросов существования и качественных свойств решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами и граничными условиями, заданными при помощи линейных отношений, исследованию дифференциальных уравнений с многозначными импульсными воздействиями и дифференциальных уравнений (операторов) с периодическими коэффициентами.
Состояние качественной теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах долгое время отражали известные монографии Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейна "Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве", Х.Массера, Х. Шеффера "Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства", авторы которых отмечали крайнюю важность развития соответствующей теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в связи с приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.
В последние семнадцать лет была установлена глубокая связь между теорией дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами, теорией полугрупп операторов, теорией разностных операторов (как непрерывного аргумента, так и дискретного), спектральной теорией линейных отношений. Новые подходы развивались в работах А.Г. Баскакова, Ю.Д. Латушкина, Ф. Ребигера, Р. Шнаубельта, А. Фавини, А. Яги, Д. Хенри, М.С. Бичегкуева, В.М. Брука, Г.В. Демиденко.
Необходимость в использовании спектральной теории линейных отношений возникает также при изучении дифференциальных уравнений с необратимым оператором при производной. Изучению таких дифференциальных уравнений посвящено большое число работ, в частности, монографии А. Фавини, А. Яги "Degenerate evolution equations in Banach spaces", Г.В. Демиденко, С.В. Успенского "Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной".
Дифференциальные уравнения на конечном промежутке с граничными условиями, заданными парой линейных операторов на конечномерном фазовом пространстве изучались в монографии Ф. Аткинсона "Дискретные и непрерывные граничные задачи". В ней отмечалось (стр. 9): "В высшей степени желательно было бы развить соответствующую теорию для уравнений в частных производных и их аналогов; однако дискретная теория, и, тем более, синтез двух теорий, представляются здесь очень слабо развитыми".
Таким образом, развиваемая в диссертации теория краевых задач для абстрактных параболических уравнений является актуальной.
Цель диссертационной работы состоит в исследовании вопросов существования и свойств решений дифференциальных уравнений с абстрактными граничными условиями, заданными при помощи линейных отношений, в исследовании дифференциальных уравнений с многозначными импульсными воздействиями, а также в исследовании дифференциальных уравнений на всей оси с неограниченными периодическими коэффициентами.
Методика исследования. В работе используется спектральная теория линейных операторов и линейных отношений, методы дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, методы функционального анализа.
Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке:
1. Найдены необходимые и достаточные условия нахождения в определенном состоянии обратимости дифференциального оператора с граничными условиями, заданными при помощи линейного отношения. Полученные результаты применяются к случаю, когда граничные условия задаются при помощи упорядоченной пары линейных операторов.
-
Описан спектр дифференциального оператора с граничными условиями, заданными при помощи линейного отношения.
-
Найдены необходимые и достаточные условия непрерывной обратимости и фредгольмовости дифференциального оператора с многозначным импульсным воздействием в фиксированный момент времени.
-
Найдены необходимые и достаточные условия нахождения в определенном состоянии обратимости дифференциального оператора с неограниченными периодическими коэффициентами как в пространстве периодических, так и непериодических функций.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты, изложенные в диссертации, имеют в основном теоретическую ценность. Они могут быть использованы для исследования дифференциальных уравнений с краевыми условиями, задаваемыми упорядоченной парой линейных операторов, исследования дифференциальных уравнений с многозначными импульсными воздействиями, а также для исследования дифференциальных уравнений на всей числовой оси с неограниченными периодическими коэффициентами.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2008,
-
-
2012, на Крымских осенних математических школах 2008, 2009, 2010,
-
на конференции DFDE 2011 (Москва), на семинарах А.Г. Баскакова, а также на научных сессиях ВГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1 - 11]. Работы [7, 8] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав и библиографии, включающей 71 наименование. Общий объем диссертации 105 страниц.
Похожие диссертации на Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, порожденных линейными отношениями
-
