Введение к работе
Актуальность темы. Пучки линейных операторов естественно возникают при исследовании многих моделей математической физики, теории упругости, гидродинамики и т. п. При этом спектральные свойства пучка операторов (например, локализация спектра-, асимптотика собственных значений, кратная базисность системы собственных и присоединённых векторов и пр.) существенно определяют динамику соответствующей физической системы.
Именно поэтому конкретные прикладные задачи очень часто служат поводом для изучения новых классов пучков операторов (см. [1] , [2] , [3] и др.). Несмотря на глубокие и достаточно общие результаты спектральной теории полиномиальных операторных пучков, полученные, в частности, в монографиях и работах И. Ц. Гохбергаи М. Г. Крейна [4], А. С. Маркуса [5], Л. Родмана [6], А. Г. Костюченко и М. Б. Оразова [3], Г. В. Радзиевского [7], А. А. Шкаликова [8] и др., потребности механики порождают новые проблемы, для которых имеющиеся схемы исследования не всегда применимы. Именно к такого рода проблемам и относятся задачи, изучаемые в диссертации.
В ней рассматриваются две конкретные задачи о малых поперечных колебаниях вязкоупругого трубопровода конечной или бесконечной длины, находящегося в вязкой внешней среде и несущего устано-
[1] Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряжённых линейных операторов //УМН. 1971. Т. 26, вып. 4. С. 15-41.
[2] Крейн М.Г., Лангер Г. К. О некоторых математических принципах теории демпфированных колебаний континуумов//Труды международного симпозиума по применению теорші функций в механике сплошной среды. Т.2. —М.гНаука, 1965. С.283-322.
[3] Костюченко А. Г., Оразов М. Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с лей самосопряженные квадратичные пучки// Тр. Семинара им. И. Г. Петровского. 1981. Вып. 6. С. 97-146.
[5] Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. — Кишинёв: Штиинца, 1986. — 260с.
[6] Rodman L. An introduction to operator polynomials. — ОТ: Advances and Applications. Vol. 38. — Basel etc.: Birkhauser, 1989.
[7] Радзиевский Г. В. Задача о полноте корневых векторов в спектральной теории оператор-фикций/'/ УМН. 1982. Т. 37, вып. 2. С. 81-145.
[8] Шкаликов А. А. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и спектральные задачи, связанные с ними// Тр. Семинара им. И. Г. Петровского. 1989. Вып. 14. С.140-224.
бившийся поток несжимаемой жидкости. Соответствующее уравнение для колебаний трубопровода конечной длины имеет вид
д5и дАи д ( . .ди\ ог Эй . ^д2и п
и в самоіі общей постановке было строго выведено М. П..Паидуисси-сом и Н. Т. Иссидом в 1974 г. [9]. Эта задача рассматривалась затем во многих работах главным образом с точки зрения устойчивости соответствующей гидродинамической системы, причём как численными (см. [9], [10] и ссылки, приведённые там), так и абстрактными методами функционального анализа ([10], [11], [12] и др.). Спектральная дифференциальная задача для уравнения (1) исследовалась В. Н. Пи-воварчиком [13]; там также основное внимание уделялось вопросу об устойчивости. В недавней статье А. А. Шкаяикова [14] получена точная формула для индекса неустойчивости абстрактных пучков, отвечающих задаче (1) (и даже более общего вида).
В 1994 г. П. Ланкастер и А. А. Шкаликов [15] детально исследовали отвечающий рассматриваемой задаче (1) абстрактный пучок операторов
L(A) = A2I + X( для случая д(х) = 0 (то есть случая G = 0). Там, в частности, была установлена область локализации и структура спектра пучка і (А), по- [9] Pai'doussis М. P., Issid N. Т. Dynamic stability oj pipes conveying fluid// J. Sound and Vibration. 1974. V.33, №.3. P.267-294 [10] Зефиров В.И., Колесов В. В., Милославский А. И. Исследование собственных частот прямолинейного трубопровода//Изв. АН СССР. Сер. Мех. Тв. Тела. 1985. №1. С.179-188. [11] Челомей СВ. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости// Изв. АН СССР. Сер. Мех. Тв. Тела. 1984. №5. С. 170-174. [12] Милославский А. И. Об устойчивости некоторых классов эволюционных уравнений// Сиб. матем. журн. 1985. Т. 26, №5. С. 118-132. [13] Пивоварчик В. Н. Краевая задача, связанная с колебаниями стержня с внутренним и внешним трением//Вест. МГУ. Сер. 1. Матем, мех. 1987. № 3. С.68-71. [14] Shkalikov A. A. Operator pencils arising in elasticity and hydrodynamics. The instability index formula// In Recent Developments in Operator Theory and its Applications. — ОТ: Advances and Applications. Vol. 87. — Basel etc.: Birkhauser, 1996. [15] Lancaster P., Shkalikov A. A. Damped vibrations of beams and related spectral problems//Can&d. Appl. Math. Quart. 1994. V. 2, № 1. P. 45-90. лучена оценка числа невещественных собственных значений и изучена соответствующая задача Коши. В первой главе настоящей диссертации результаты статьи [15] во многом уточняются и переносятся на случай произвольного оператора G. Спектральная дифференциальная задача для уравнения (1) на положительной полуоси (описывающего колебания полу бесконечного стержня) рассматривалась В. Н. Пивоварчиком в статье [16], где асимптотическими методами установлены некоторые её спектральные свойства. Во второй главе диссертации изучается пучок операторов, являющийся абстрактной моделью этой задачи. Такой подход при более слабых условиях на параметры задачи позволяет во многом улучшить и обобщить результаты работы [16]. Отметим, что исследуемый в этой главе пучок операторов имеет нетривиальный (то есть не сводящийся к дискретному множеству точек накопления собственных значений) существенный спектр, и что ранее пучки с таким свойством, по-видимому, не изучались. Целью работы является изучение спектральных свойств одного класса операторных пучков, являющихся абстрактными моделями для многих задач механики, и применение полученных результатов для исследования динамики решений двух конкретных задач гидродинамики. Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем: для рассматриваемого класса пучков операторов детально исследована структура спектра, найдены область локализации невещественных собственных значений, их количество и индекс неустойчивости, установлена асимптотика собственных значений; доказана базисность Рисса системы собственных и присоединённых векторов рассматриваемого класса квадратичных пучков операторов и сущестование и единственность обобщённых и классических решений соответствующих задач Коши; с помощью полученных абстрактных результатов качественно и количественно описано поведение решений двух конкретных задач гидродинамики. Методы исследования. В работе используются геометрические методы теории пространств с индефинитной метрикой, аналитические методы теории возмущений операторов, теории интерполяции и полугрупп операторов. Практическая и теоретическая ценность. Диссертация имеет [16] Пивоварчик В.Н. О колебаниям полубесконечного стержня с внутренним и внешним трением/ J ПММ. 1988. Т.52, № 5. С.829-836. теоретический характер. Её результаты могут быть использованы специалистами, работающими в различных областях спектральной теории операторов, дифференциальных уравнений и их приложений, а также теории упругости и гидродинамики. Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах в МГУ, на международных конференциях им. И. Г. Петровского (Москва, 1994-96 г.), по теории операторов и её приложениям IWOTA-95 (Регенсбург, ФРГ, г.) и на 7-ой Крымской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (Севастополь, Крым, г.). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приведён в конце автореферата. Стуктура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на восемь параграфов, и списка литературы из 44 наименований. Общий объём диссертации — 100 страниц. Нумерация всех утверждений и формул отражает их расположение относительно параграфов, теоремы нумеруются отдельно.
Похожие диссертации на Спектральный анализ пучков операторов, возникающих в задачах гидродинамики
