Содержание к диссертации
Введение
1 Алгебра Щр 29
1.1 Порождающее семейство частичных изометрий 29
1.2 С -алгебра, порождённая отображением 35
1.3 Алгебра мультипликаторов 38
1.4 Определение алгебры ШТ , и структура гильбертова пространства 12(Х) 41
2 Структурные свойства алгебры ШТ 45
2.1 Полугруппа мономов алгебры ШТ , 45
2.2 Z-градуировка алгебры ШТ , 50
2.3 Ковариантные системы, ассоциированные с алгеброй ШТ ,
2.4 Тензорное произведение С -алгебр, ядерные С -алгебры 60
2.5 Блочные подалгебры алгебры ШТ , 63
2.6 Условные ожидания в алгебре ШТ , 66
2.7 Ядерность Шр 70
3 Подалгебры и идеалы алгебры ШТ 74
3.1 Неподвижные подалгебры алгебры ШТ 74
3.2 Структура скрещенного произведения на алгебре ШТ , 78
3.3 Идеалы в алгебре ШТ , 83
3.4 Фактор-алгебра алгебры ШТ , по идеалу компактных операторов 87
3.5 Некоторые примеры алгебр ШТ , 90
Литература 102
Публикации автора по теме диссертации
- С -алгебра, порождённая отображением
- Определение алгебры ШТ , и структура гильбертова пространства 12(Х)
- Ковариантные системы, ассоциированные с алгеброй ШТ
- Структура скрещенного произведения на алгебре ШТ
Введение к работе
Актуальность темы. Данная работа посвящена описанию структуры операторных алгебр, порождённых отображением и коммутативной алгеброй. Отправнвім пунктом является отображение произволвного счётного множества в себя, определяющее на пространстве /2-функций, заданных на этом множестве, оператор обратного образа, порождающий, в свою очередь, часть множества образующих. В качестве коммутативной алгебры берётся алгебра мультипликаторов, порождённая алгеброй ограниченных функций на заданном множестве.
Толчок к исследованию операторных алгебр дали работы Мюррея и фон Неймана , где исследовались слабозамкнутые операторные алгебры впоследствии названные алгебрами фон Неймана. В качестве примеров они рассматривали различные алгебры, отвечающие группе (унитарных операторов) и коммутативной алгебре (мультипликаторам). В современной терминологии такие алгебры трактуются как скрещенные произведения по некоторой динамической системе. Такие (групповые) системы возникают в математической физике при рассмотрении задач, связанных с обратимыми процессами (см., например, обзор ).
Первым примером С*-алгебры, порождённой изометричным, но не унитарным оператором, явилась алгебра Теплица. Согласно классическому определению алгебра Теплица есть С*-подалгебра алгебры всех ограниченных операторов на пространстве Харди, порожденная всеми тёплицевыми операторами, которая совпадает с минимальной С*-подалгеброй, содержащей оператор умножения на z. Согласно теореме Кобурна , алгебру Теплица можно вложить в любую С*-алгебру, содержащую неунитарную изометрию. Поэтому ее можно рассматривать как универсальную алгебру, порожденную образующей U с соотношением U*U = I. Существует и появляется до сих пор огромное количество обобщений алгебры Теплица. Большинство из них связано с исследованием С*-алгебр, порожденных коммутативной полугруппой изометрий.
1 Murray, F., von Neumann, J. On rings of operators // Ann. Math. - 1936 - V. 37 - no. 1 P. 116-229
2von Neumann, J. On rings of operators, III /J Ann. Math. - 1940 - V. 41 - no 1 - P. 94-161
3von Neumann, J. On rings of operators, IV // Ann. Math. - 1943 - V. 44 - no. 4 P. 716-808
4 Лодкин, А.А., Рубштейн, Б.А. Структура и классификация факторов // Итоги науки и техники.
Современные проблемы математики. ВИНИТИ - 1985 - Т. 26 - С. 127-176
5Coburn, L. A. The. С*-algebras generated by an isometry /J I. Bull. Am. Math. Soc. - 1967 - V. 73 - P.
eCoburn, L. A. The. C* -algebras generated by an isometry // II Trans. Am. Math. Soc. - 1969 - V. 137 -
P. 211-217
Можно упомянуть работы Дугласа, Мерфи, Давидсона и целый ряд других работ
В ряде работ исследовались алгебры, порождённые некоммутирующим семейством изомет-рий . В недавней работе X. Ли исследовал алгебры, порождённые некоммутативной полугруппой P с левым сокращением и единицей. Подобное внимание прежде всего объясняется возможностью приложений в математической физике, в частности к решению задач, связанных с необратимыми процессами в квантовой физике .
Исследования скрещенных произведений, отвечающих полугрупповым динамическим си-
7Berger, С. A., Coburn, L. A., Lebow, A. Representation and index theory for C*-algebras generated by
commuting izometries // J. Funct. Anal. - 1978 - V. 27 - no. 1 - P. 51-99
8Carmen, H. M., Pedro, J. P. Properties of generalized Toeplitz operators /'/ Integral Equations Oper.
Theory - 2001 - V. 40 - no. 1 - P. 106-126
9Davidson, K., Popescu, G. Noncommutative disk algebras for semigroups / / Can. J. Math. - 1998 - V.
50 - no. 2 - P. 290-311
10Douglas, R. G. On the C* -algebra of a one-parameter semigroup of isometries / / Acta. Math. - 1972 -
V. 128 - no. 1 - P. 143-152
11 Jang, S. Y. Uniquenees property of C* -algebras like the Toeplitz algebra // Trends in Mathematics,
Information Center of Mathematical Science - 2003 - V. 6 - no. 2 - P. 29-32
12Jang, S. Y. Generalized Toeplitz algebra of a certain non-amenable semigroup // Bull. Korean Math.
Soc. - 2006 - V. 43 - no. 2 - P. 331-341
13 Ji, R. On the smoothed Toeplitz exthesions and K-theory // Proc. Amer. Math. Soc. - 1990 - V. 109 -
no. 1 P. 31-38
14Murphy, G. J. Ordered groups and Toeplitz algebras // J. Oper. Theory - 1987 - V. 18 - no. 2 - P. 303-326 15Xia, J. The K-theory and the invertibility of almost periodic Toeplitz operators // Integral Equations
Oper. Theory - 1988 - V. 11 - no. 2 - P. 267-286
leJorgensen, P., Proskurin, D., Samoylenko, Y. On C* -algebras generated by pairs of q-commuting izometries
II arXiv:math.OA/0311115 v2 - 2003
17Арзуманян, В. А. Операторные алгебры, ассоциированные с. несингулярными эндоморфизмами пространства Лебега If Известия Академии Наук Армянской ССР. Математика - 1986 - Т. 21- є 6 С.
18Li, X. Semigroups C*-algebras and amenability of semigroups // arXiv:1105.5539v2 [math.OA] - 2012 19Horowski, M., Odzijewicz, A., Tereszkiewicz, A. Some, integrable systems in nonlinear quantum optics //
arXiv:math-ph/0207031 - 2002
20Odzijewicz, A., Horowski, M., Tereszkiewicz, A. Integrable multi-bozon systems and orthogonal polynomials
II J. Phys. A. - 2001 - V. 34 P. 4353-4376 21 Лебедев, А.В., Одзиевич, А. Расширения C*-алгебр частичными изометриями // Матем. Сборник
- 2004 - Т. 195 - по. 7 - Р. 37-70
стемам, были инициированы работами В.А. Арзуманяна и A.M. Вершика . Алгебру Арзуманяна-Вершика можно определить как регулярное представление алгебры, порожденной бициклической полугруппой и коммутативной алгеброй.
Кунц в впервые начал исследовать алгебру Оп, п Є (N \ {1}) U {оо}, порожденную семейством некоммутирующих изометрий, чьи проекторы на конечное подпространство в сумме дают единицу. С этой пионерской работы начались исследования алгебр, порожденных как изометриями, так и частичными изометриями, удовлетворяющими некоторым соотношениям.
Одним из обобщений является С*-алгебра О а, порожденная операторами частичной изо-
п
метрии U\, U2, , Un, удовлетворяющих соотношениям Ui*Ui = Yl AijUiUj*. Здесь А — п х п
3 =1
матрица, состоящая из нулей и единиц. Если матрица А является единичной, то алгебра О а совпадает с алгеброй Кунца Оп. Алгебра О а возникает при изучении топологических марковских цепей и называется алгеброй Кунца-Кригера.
Другое активно развивающееся направление исследований связано с обобщением понятия скрещенного произведения. Исследуя алгебру Оп (доказывая единственность и простоту), Кунц в рассматривал ее как скрещенное произведение UНF-алгебры по эндоморфизму по аналогии с обычным скрещенным произведением. Эндоморфизмы С*-алгебр стали использоваться различными авторами, например . Стэйси в охарактеризовал скрещенное произведение в терминах ковариантного представления. Скрещенное произведение по полугруппе эндоморфиз-
22Arzumanian, V., Vershik, A. Star algebras associated with endomorphisms, in Operator algebras and group
repr. И Proc. of 1980 - OAGR Conf. - Pitman - 1984 V. 1 P. 17-27
23Арзуманян, В. А., Вершик, A. M. Фактор-представления скрещенного произведения коммутативной С*-алгебры и полугруппы ее автоморфизмов // ДАН СССР - 1978 - Т. 238 - є 3 - С. 513-516
24Арзуманян, В. А. Операторные алгебры, ассоциированные с несингулярными эндоморфизмами пространства Лебега II Известия Академии Наук Армянской ССР. Математика - 1986 Т. 21 - є 6 - С.
25Exel, R., Vershik, А. С*-algebras of irreversible dinamical systems // arXiv:math/0203185vl[math.OA]
2eCuntz, J. Simple C*-algebras generated by isometries // Comm. Math. Phys. - 1977 -V. 57 - P. 173-185 27Cuntz, J., Krieger, W. A class of C*-algebras and topological Markov chains // Invent. Math. - 1980 -
V. 56 - no. 3 - P. 251-268
28Cuntz, J. Simple C*-algebras generated by isometries // Comm. Math. Phys. - 1977 - V. 57 P. 173-185 29Doplicher, S., Roberts, J.E. Endomorphisms of C*-algebras, cross products and duality for compact groups
II Ann. of Math. - 1989 - V. 130 - no. 2 - P. 75-119 30Stacey, P. J. Crossed product of C*-algebras by * -endomorphisms // J. Austral. Math. Soc, Series A -
1993 - V. 54 - P. 204-212
мов рассматривалось, например, в . В работах рассматривалось частичное действие групп и частичное скрещенное произведение. В статье предложен еще одна обобщающая конструкция, где эндоморфизм C*-алгебры строится с помощью оператора частичной изометрии.
В данной работе исследуется C*-алгебра ЗЛ^,, которая является обобщением, введёной Григоряном С. А. и Кузнецовой А. Ю. в работах C*-алгебры 2Ц,, порождённой полугруппой частичных изометрии индуцированных отображением <р> счётного множестве X, в себя.
Алгебра ЗЛ^, является операторной алгеброй, образующими которой, помимо частичных изометрии являются мультипликаторы — операторы действующие в пространстве /2-функций на множестве X, порождённые ограниченными функциями на X. При этом множество образующих удовлетворяет определённым соотношениям, а алгебра мультипликаторов является максимальной коммутативной подалгеброй в ЗЛ^,.
Цель работы: исследование структуры операторной алгебры ЗЛ^, а также структуры ее фактор-алгебры ЗЛ^, по идеалу компактных операторов.
Методика исследования. В работе применяются методы функционального анализа, гармонического анализа, теории групп, теории C*-алгебр и их представлений, теории операторов.
Научная новизна. Предложен класс C*-алгебр, ассоциированный с динамическими системами специального вида. В данной работе в динамической системе (X, 5, <р>) отображение <р> в общем случае не сохраняет тип меры.
Кроме того, алгебра ЗЛ^, содержит как подалгебру алгебру 2Ц,, которая в некотором смысле может быть отнесена к алгебрам, порожденным семейством операторов частичной изометрии с соотношениями на соответствующие проекторы.
31Boyd, S., Keswani, N., Raeburn, I. Faithful representations of crossed products by endomorphisms // Proc. Amer. Math. Soc. - 1993 - V. 118 - no. 2 - P. 427-436
Adji, S., Laca, M., Nilsen, M., Raeburn, I. Crossed products by semigroups of endomorphisms and Toeplitz
algebras of ordered groups // Proc. Amer. Math. Soc. - 1994 - V. 122 - no. 4 - P. 1133-1141 33Exel, R. Circle actions on C*-algebras, partial automorphisms and generalized Pimsner-Voiculescu exact
sequence II J. Funct. Anal. - 1994 - V. 122 - P. 361-401 34McClanachan, К. К-theory for partial crossed products by discrete groups / / J. Funct. Anal. - 1995 - V.
130 - P. 77-117 35Sieben, N. C*-crossed products by partial actions and actions of inverse semigroups // Austral. Math.
Soc. Ser. A. - 1997 - V. 63 - P. 32-46
3eAntonevich, А.В., Bakhtin, V.I., Lebedev, A.V. Crossed product of a C*-algebra by an endomorphism,
coefficient algebras and transfer operators // [arXiv:math/0502415vl][math.OA] - 2005 37Grigoryn, S., Kuznetsova, A. C*-algebras generated by mappings I/ Lobachevskii J. of Math. - 2008 -
V. 29 - no. 1 P. 5-8
38Григорян, С. A. and Кузнецова, А. Ю. C*-алгебры, порожденные отображениями // Матем. Заметки - 2010 - Т. 87 є 5 - С. 694-703
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер и посвящена С*-алгебрам, порождённым конечным или счётным семейством частичных изомет-рий и коммутативной подалгеброй. Рассматриваются различные ковариантные системы, ассоциированные с ЗЛ^,, и, соответственно, градуировки, порождённые этими системами. Показывается, что эти алгебры являются ядерными. Рассматриваются некоторые примеры, в частности, показано, что для инъективного (не биективного) отображения алгебра ЗЛ^, представляется в виде Лч(Х)Т, где ЛА(Х) — максимальная коммутативная подалгебра в В(12(Х)) и Т — алгебра Теплица. Полученные результаты могут быть использованы в теории операторных алгебр, а также в различных приложениях квантовой физики.
Апробация работы. Основные результаты данной работы были доложены на:
Десятой международной Казанской летней научной школ е-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань, 1-7 июля 2011 г.
Одиннадцатой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань, 22-28 августа 2013 г.
Годичной сессии Армянского Математического общества, Ереван, 2013г.
«Лобачевские чтения-2011», Казань, 31 октября - 4 ноября 2011 г.
Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук», Зеленодольск, 2013 г.
«Лобачевские чтения-2014», Казань, 24 - 29 октября 2014 г.
Двенадцатой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань, 24 июня - 4 июля 2015 г.
Международной конференции по алгебре, анализу и геометрии посвященной юбилеям ПА. и А.П. Широковых, Казань, 26 июня - 2 июля 2016 г.
Публикации. По теме диссертации опубликовано девять работ, в том числе четыре статьи в изданиях из списка ВАК. Соответствующий список приведен в конце работы.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, указателя обозначений, указателя терминов и списка литературы. Общий объем диссертации 112 страниц. Библиографический список содержит 69 наименований.
С -алгебра, порождённая отображением
В первом параграфе рассматриваются неподвижные подалгебрві 9JT 0 и ШТ ;о алгебрві 9Яу,. По построению для них выполнено 9Л ;0 9Лу,;о- Рассмотрим случай, когда они совпадают. Для любого фиксированного А; Є N гилвбертово пространство 12(Х) представляется в виде прямой суммві конечномернвгх подпространств l2(if k [х]). х Є X. Зафиксируем произволвнвій базиснвій элемент 6Х и некоторое к Є N. Рассмотрим все неуплотнимые цепи с началом в 6Х, которвіе заканчиваются на элементах множества {Sy}yeip-k\x-\. Мы будем назвіватв к длиной неуп-лотнимой цепи. С каждой неуплотнимой цепвю с началом в 6Х и концом в 8уп 1 І card(ір к[х]), свяжем последователвноств натуральнвіх чисел
Предложение 3.1.1. Если для любого х Є X и любого к Є N существует единственная последовательность (ji, j 2,..., jk), соответствующая всем неуплотнимым цепям с началом в 5Х и концом в 5у} где у Є р к[х], то 971 0 = 971 ,0 Здесв ji = card(( -1[( (y)]), j2 = card ( -%%)]),... ,jk = card ( "1 [(/(у)]). ПредложениеЗ.1.2. Пусть 9JT 0 = 9JT o- Тогда подалгебра 2l ;o коммутативна тогда и только тогда, когда любой элемент из X, (р-эквивалентный в каком либо порядке начальному элементу, сам является начальным.
Следствие 3.1.3. Следующие утверждения эквивалентны: 1) отображение if — инъекция; 2) подалгебра 9Л о является коммутативной. Для случая ШТ о С ШТ о- Определим отображение Ф :C0(N,Z) — Ъ, полагая Ф( ) = 1, Ф(Е п(к)5к) = Е п(к). Очевидно, что кег(Ф) является подгруппой Co(N,Z). Из следствия 2.3.10 вытекает, что неподвижная подалгебра ШТ о кег(Ф)-градуирована, т. е. пєкег(Ф) Во втором параграфе рассматривается структура скрещенного произведения на алгебре ШТ ,.
Показывается, что алгебру ШТ , при следующих условиях на отображение р, а именно, когда ір - сюрвекция и sup{card(( _1[a;]) : х Є X} оо, можно рассматриватв как полугрупповое скрещенное произведение (по Стейси): Ш9 « ШТ о ха N.
Здесв а Є End(my, УА є Шї , а(А) := С/АС/ , где С/ := Uk. является,при указаннвіх ввіше условиях на (/?, изометрией: U U = id/2(x).
Пуств 7Г — неввірожденное представление С -алгебрві 21 на гилвбертово пространство Н, и пуств а — -эндоморфизм алгебрві 21. Неввірожденноств означает, что тг(1) = id#, где / Є М(21) — алгебре мулвтипликаторов алгебрві 21 (алгебра 21 является идеалом в алгебре М(21) и 21 = М(21), когда 21 униталвна). Тогда может существоватв (но не обязателвно) на В(Н) -эндоморфизм /3 : В(Н) — В(Н), такой, что р(тт(А)) = тт(а(А)) для всех А є 21. В этом случае существует такое семейство изометрий {Ti}iej на //, что 7г(а(А)) = ТІК{А)Т для любого А є 21. Говорят, что пара (7г,{Т } /) г является ковариантным представлением (21, а) кратности card(i). Из ковариантного представления кратности 1 можно построить ковари-антное представление произвольной кратности. Определение [53]. Скрещенным произведением кратности п С -алгебры 21 и N, по -эндоморфизму а при 2loo 0 называется тройка (93,isi, {U}), где В — С -алгебра, щ : 21 — В — -гомоморфизм, причем ы{1м{щ) = м(«в); {ti]: U tj = SijI — семейство п изометрий в М( В), причем выполнены условия: 1. i%(a(A)) = J2tji%(A)tj для всех А є 21; з 2. для любого ковариантного представления (7Г,{Т }) пары (21, а) кратности п существует такое невырожденное представление ТГ хТ алгебры В, что (тг х Т) о і = тг и (тг х T)(t{) = ТІ для любого г;
Символом t tv , где /І = (/іі,... ,/ir) и v = (z/i,..., z/s), обозначается произведение видаДля любого n и -эндоморфизма а существует единственное скрещенное произведение 21 XI N кратности п. Теорема 3.2.3. Пусть (р — сюръективное отображение, порождающее конечное семейство частичных изометрий. ТогдаУЛ ШТ о «N- изоморфна скрещенному произведению, где а : ШТ о — 9#у ,о — канонический эндоморфизм сдвига. Если ср — отображение, порождающее счетное семейство частичных изометрий, то определенный аналогичным образом оператор U = U\ + U i + не лежит в алгебре ШТ ,. Определим новую алгебру il ,, порожденную алгеброй 9JL, и оператором U. Очевидно, что алгебра 1L обладает теми же
Определение алгебры ШТ , и структура гильбертова пространства 12(Х)
Ковариантное представление (7Г, U) ковариантной системы (21, G, а) определяет -представление а алгебры 21G, a(f) = Е (A Ut. teG И наоборот, -представление а алгебры 21G определяет ковариантное представление (21, G, а). Если алгебра 21 унитальна, то это просто сужение тг(А) = ст(Ае) и C/s = a(ls), где е — единица группы G, 1 — единица алгебрві 21. Если в 21 нет единицы, то Us = lim a(Ens), где i?n — аппроксимативная П—т 00 единица. Скрещенное произведение 21 XI а G определяется как обёртывающая С -алгебра алгебры 21G. С -норма определяется ІІ/Ц = sup({o-(/) : о- Є Rep(StG)}), где Rep(2lG) — множество всех -представлений 21G. Алгебра 21, благодаря точным представлениям в ГНС конструкции, изометрически вкладывается в 21 XI а G, для этого надо отождествить А и Ле. Если 21 унитальна, то алгебра 21 ха G содержит унитарную подгруппу, изоморфную G. Определенное таким образом скрещенное произведение обладает свойством универсальности, т.е. если (TT}U) — любое ковариантное представление (21, G, а), то существует представление 21 ха G в С (7г(21), U(G))} определенное следующим образом (/)= 5 (лм для / = єяс teG teG и продолженное по непрерывности. Существуют различнвіе обобщения конструкции скрещенного произведения на случай эндоморфизма. Одним из перввгх конструкцию скрещенного произведения С -алгебры по эндоморфизму с полугруппой N дано в [53].
Пусть 7Г — невырожденное представление С -алгебры 21 на гильбертово пространство Н, и пусть а — -эндоморфизм алгебры 21. Невырожденность означает, что тг(1) = id#, где единица / Є М(21) — алгебре мультипликаторов алгебры 21 (напомним, что алгебра 21 является идеалом в алгебре М(21) и 21 = М(21), когда 21 унитальна). Тогда может существовать (но не обязательно) на В(Н) -эндоморфизм /3 : В(Н) — В(Н), такой, что /3(тт(А)) = тт(а(А)) для всех А є 21. В этом случае существует такое семейство изометрий {Ti}iej на Н, что 7г(а(А)) = 2ТІ7Г(А)ТІ для любого А Є 21. Будем говорить, что пара і (7Г,{ТІ}ІЄ/) является ковариантным представлением (21, а) кратности /. Заметим, что из ковариантного представления кратности 1 можно построить ковариантное представление произвольной кратности. Обозначим через 21оо индуктивный предел последовательности
Предложение 3.2.1 (53). Пусть а — -эндоморфизм С -алгебры 21 и п — кардинальное число. Тогда (21, а) порождает ковариантное представление (7Г, {ТІ}) кратности п тогда и только тогда, когда 21 = 0. В качестве примера рассматривается -эндоморфизм а, определенный на со (21) как а(х) = а((х\,Х2, )) = ( 2, з,...). На плотной подалгебре последовательностей с конечным носителем Соо(21) для любого элемента ж Є coo(21) для некоторого п Є N, ап{х) = 0. Отсюда, если (ж, {ТІ}) — ковариантное представление (со(21),а) на Н и /3 — соответствующий -эндоморфизм В(Н)} то (Зп(тг(х)) = 0, следовательно, 7г(ж) = 0. Таким образом, на Соо(21) представление 7Г является вырожденным и, по непрерывности, 7Г = 0. Отсюда следует, что для (со(21),а) не существует невырожденного ковариантного представления.
Определение 3.2.2 (53). Скрещенным произведением кратности п С -алгебры 21 и N, по -эндоморфизму а при 21 0 называется тройка (93,isi, {ti}), где В — С -алгебра, щ : 21 — В — -гомоморфизм, причем ы{1м{щ) = м(«в); {U}, ti tj = 5ijl — семейство п изометрий в М( В), причем выполнены условия:
Для любого n и -эндоморфизма а существует единственное скрещенное произведение 21 XI N кратности п [53, предложение 3.2]. Теорема 3.2.3. Пусть ср — сюръективное отображение, порождающее конечное семейство частичных изометрий. Тогда УЛ ШТ 0 «N- изоморфна скрещенному произведению, где а : ШТ 0 — 9#у ,0 — канонический эндоморфизм сдвига. Пусть п := siip{card(( -1[:r] : х Є X}. Определим оператор
Очевидно, что U Є УЛр — оператор изометрий, поскольку ср — сюръекция и U U = Рр = I, & UU = Qy. Для неподвижной подалгебры ШТ 0 определим -эндоморфизм а : ШТ 0 — аЯу,,0 : а(А)= UAU , У А є Шї 0 Поскольку U — изометрия, то из ап(А) = UnAU n следует U nan(A)Un = А, т.е. ап(Л) = \\А\\. Отсюда (ШТ 0)оо " О и множество S ковариантных представлений не пусто. Очевидно, что представление (id, U) Є 5 . Поскольку скрещенное произведение единственно с точностью до изоморфизма, осталось показать, что алгебра ШТ , порождена неподвижной подалгеброй и оператором U. Действительно, любой элемент А Є ШТ , представляется в виде (J) Ап (теорема 2.2.1), где Ап Є ffl n- Пусть для определенности п 0. neZ Возьмем произвольный элемент Ап. Ап = AnU nUn = A )Un. Очевидно, для п 0 аналогично Таким образом, любой элемент А Є ШТ , представляется в виде Если ср — отображение, порождающее счетное семейство частичных изо-метрий, то определенный аналогичным образом оператор U = U\ + U2 + не лежит в алгебре ШТ ,. Определим новую алгебру il ,, порожденную алгеброй ШТ , и оператором U. Очевидно, что алгебра il обладает теми же свойствами, что и ШТ ,, нас в частности интересует Z-градуировка. Заметим, что подалгебра il o порождается ШТ о и оператором UU . Следующее утверждение очевидно: Теорема 3.2.4. Пусть (р — сюрзекция. Тогда il изоморфна скрещенному произведению il o X a N, где а — канонический эндоморфизм сдвига.
Ковариантные системы, ассоциированные с алгеброй ШТ
Пусть fflp = дЯ(р/К(12(Х)) — фактор-алгебра ШТ , по компактным операторам. Пусть [Рх] — класс эквивалентности проектора Рх. Очевидно, что [Рх] — проектор в 9Яу,. Напомним, что главным идеалом называется идеал, порожденный одним элементом.
Теорема 3.4.1. Для любого х Є X множество [Р УЛ , "так же как и [I — VxlVRp является главным идеалом в ШТ ,. Доказательство следует из утверждений 3.3.4 и 3.3.5. Назовем идеал существенно главным, если при факторизации его образ является главным идеалом. Таким образом, в алгебре ШТ , семейства проекторов вида {Vx} и {Ру} порождают семейства существенно главных идеалов вида {VXM + К{12{Х))} и {РуМ + К{12{Х))}.
Теорема 3.4.2. Пусть J и J , J С J — два существенно главных идеала в алгебре Шср вида VXMV + K(t2(X)). Тогда существует конечное число существенно главных идеалов того оке вида, вложенных между ними.
Очевидно, что теорему 3.4.2 можно расширить и на существенно главные идеалы вида РуМ + К(12(Х)), при условии что ( _1[У] С Y. Это следует из доказательства теоремы 3.3.9.
Теперь будем исследовать идеалы в фактор-алгебре. Следующее утверждение следует из леммы 3.3.8 и из утверждения 3.3.4. Теорема 3.4.3. Пусть задано такое отображение (р : X — X, что существует Y С X, причем 1) Ру — бесконечномерный проектор; 2) caic\(p[Y]\Y) ос; 3) либо (p- Y] с Y, либо card( "1[y] \ Y) оо. Тогда фактор-алгебра ШТ , обладает нетривиальным центром. Первое условие очевидно. Если Ру — бесконечномерный проектор, то [Ру] Ф 0. Поскольку для любого А є Шр (3.3.8) имеем РуА — АРу є К(12(Х)), то в фактор-алгебре, очевидно, [Ру][А] — [А][Ру] = 0, т.е. [Ру] Є Z(9Jly,). Также в центре ШТ , лежат и все {["Рж]}жЄх (лемма 3.3.4), при условии, Ех — счетное множество. Таким образом, ШТ , обладает нетривиальным центром.
Теорема 3.4.4. Пусть [Р] — центральный проектор в ШТ ,. Тогда любой элемент из класса [Р] имеет вид Ру + К{I2(X)), гдеУ С X удовлетворяет условиям леммы 3.3.8.Поскольку [Р] — центральный проектор, то он содержится в максимальной коммутативной подалгебре в фактор-алгебре. Согласно следствию 1.3.3, прообраз [Р] лежит в Л4(Х), а значит, имеет вид Ру, где Y — подмножество в X, очевидно, удовлетворяющее условиям леммы 3.3.8. Далее предполагается, что условие теоремы 3.4.3 выполнено. Предложение 3.4.5. Для любых ж, у Є X выполнено 1) если х - у, то \Py]%Rip Q [РХ] Я ; 2) если х и у не сравнимы, то \РХ]Ш П [7-у] 90 = {0}. 4 Первое утверждение, очевидно, является аналогом утверждения 3.3.7. Второе сразу следует из предложения 3.3.3, поскольку wsVxVy = 0 следует
Следствие 3.4.6. Фактор-алгебра ШТ , представима в виде прямой суммы двух главных идеалов. Из теоремы 3.4.1 следует, что ШТ = ["РЖ]ШТ 0 [/ — "РЖ]ШТ . 3.5 Некоторые примеры алгебр Ш, В этом параграфе рассмотрим свойства алгебр ШТ , и ШТ , в случае инъек-тивного отображения. Кроме этого, мы покажем, что при некотором отображении ШТ , содержит как подалгебру алгебру Кунца. Поскольку почти во всех примерах, разобранных в этом параграфе, алгебра ШТ , содержит как подалгебру и алгебру Теплица Т, то мы начнем с определения алгебры Теплица.
С -алгебра С(Т) непрерывных функций на единичной окружности Т комплексной плоскости С порождает алгебру мультипликаторов на гильбертовом пространстве L2(T,/i), где /І — нормированная мера Хаара на Т: каждая функция / из С(Т) задает оператор
Отображение / ь- Mf является точным представлением, и поэтому операторная норма \\Mf\\ оператора М/ совпадает с равномерной нормой /оо = sup({\f(z)\ : z Є Т}) функции /. Семейство функций {єп : Т — C}nez n(z) := zn образует ортонормированный базис в L2(T,/i), и каждая функция д из L2(T,/i) представляется в виде формального ряда Фурье,
Множество тех п из Z, для которых ап(д) = 0, называется спектром функции д и обозначается sp(g). Пусть Я2(Т,/І) — подпространство в L2(T,/i), состоящее из всех тех функций, спектр которых принадлежит Z+ [пространство Харди). Поскольку sp(eng) = п + sp(g), пространство Я2(Т,/І) инвариантно для всех операторов Мп := МЄп) при п 0.
Пусть Р — ортопроектор из L2(T,/i) на Я2(Т,/І). Тёплицевым оператором называется оператор 7}:Я2(Т,М) Я2(Т,М); g P(fg), где / Є С(Т) и Є Я2(Т,/І) (т.е. оператор М/, стянутый на пространство Харди). Этот проектор порождает -изоморфное отображение из С(Т) Я(Я2(ТГ»); f Tf. Алгеброй Теплица называется С -подалгебра алгебры Я(Я2(Т,/І)), порожденная всеми тёп лицевыми операторами. Будем обозначать алгебру Теплица через Т. Так как конечные линейные комбинации вида 2 спєп плотны в С(Т) (теорема Стоуна-Вейерштрасса), и при п 0 выполняется равенство РМпР = М\ Р , алгебра Теплица совпадает с минимальной С -подалгеброй алгебры Я(Я2(Т,/І)), содержащей оператор Т\ := ТЄі. Заметим, что Т\ является оператором правого сдвига в пространстве Я2(Т,/І) относительно ортонормированного базиса {еп}пе%: ГіМ = 5 п(0)Єп+і; #ЄЯ2(Т,/І). neZ Очевидно, оператор Т\ есть изометрия. Согласно теореме Кобурна алгебру Теплица можно вложить в любую С -алгебру, содержащую неунитарную изометрию. Теорема (Кобурн). Пусть V — изометрия в униталъной С -алгебре В, и пусть W = Т\ Є %. Тогда существует и единственн унитальный -гомоморфизм ф : % — В; для которого 4 (W) = V. Кроме того, если W т 1; то Ф изометрический гомоморфизм.
Преобразование Фурье переводит пространство L2(T,/i) на гильбертово пространство /2(Z) и Н2(Т,ц) на /2(Z+) соответственно. Рассмотрим отображение р : Z+ — Z+; (/?(n) = n +1. Это отображение порождает коизометрический оператор Tv : /2(Z+) — 12{Ъ+). Нетрудно проверить, что преобразование Фурье переводит оператор Т\ в оператор Tv (1.1.1). Поэтому С -алгебра, порожденная оператором Tv. изоморфна алгебре Теплица. Приведем ряд хорошо известных свойств алгебры Т. Алгебра Теплица содержит подалгебру компактных операторов К(12(Ъ+)) алгебры (/2(Z+)). Фактор-алгебра %/ К{12{Ъ+)) изоморфна алгебре С(Т). Покажем, что алгебра Теплица есть градуированная алгебра. Определим оператор Тп, полагая Тхп если п О, Ti n если п 0. Каждому набору целых чисел (пі, П2, ..., ns) из Zs поставим в соответствие оператор — моном V = ТП1ТП2... ТПз. Через ind(V) будем обозначать число
Структура скрещенного произведения на алгебре ШТ
Первым примером С -алгебры, порожденной изометричным, но не унитарным оператором, явилась алгебра Теплица. Согласно классическому определению алгебра Теплица есть С -подалгебра алгебры всех ограниченных операторов на пространстве Харди, порожденная всеми тёплицевыми операторами, которая совпадает с минимальной С -подалгеброй, содержащей оператор умножения на z. Согласно теореме Кобурна [9],[10], алгебру Теплица можно вложить в любую С -алгебру, содержащую неунитарную изометрию. Поэтому ее можно рассматривать как универсальную алгебру порожденную образующей U с соотношением U U = I. Существует и появляется до сих пор огромное количество обобщений алгебры Теплица. Большинство из них связано с исследованием С -алгебр, порожденных коммутативной полугруппой изометрий. Можно упомянуть работы Дугласа, Мерфи, Давидсона и целый ряд других работ [3],[6],[15],[20],[27],[28],[29],[40],[60].
В ряде работ исследовались алгебры, порожденные некоммутирующим семейством изометрий [31],[62]. В недавней работе [35] X. Ли исследовал алгебры, порожденные некоммутативной полугруппой Р с левым сокращением и единицей. Подобное внимание прежде всего объясняется возможностью приложений в математической физике, в частности к решению задач. связанных с необратимыми процессами в квантовой физике (см., например. [26],[42],[66]).
Исследования скрещенных произведений, отвечающих полугрупповым динамическим системам, были инициированы работами В.А. Арзуманяна и A.M. Вершика [2],[61],[62]. Алгебру Арзуманяна-Вершика [23] можно определить как регулярное представление алгебры, порожденной бициклической полугруппой и коммутативной алгеброй. Кунц в [12] впервые начал исследовать алгебру Оп, п Є (N\ {1}) U {оо}. порожденную семейством некоммутирующих изометрий, чьи проекторы на конечное подпространство в сумме дают единицу. С этой пионерской работы начались исследования алгебр, порожденных как изометриями, так и частичными изометриями, удовлетворяющими некоторым соотношениям.
Одним из обобщений является С -алгебра О А, порожденная операторами частичной изометрий U1, U2-, ..., Un, удовлетворяющих соотношениям п U U{ = 2 A{jU{Uj . Здесь А — пхп матрица, состоящая из нулей и единиц. 3=1 Если матрица А является единичной, то алгебра О А совпадает с алгеброй Кунца Оп. Алгебра О А возникает при изучении топологических марковских цепей [13] и называется алгеброй Кунца-Кригера.
В работе [46] Пимзнер предложил новое семейство С -алгебр Ом-, которые порождаются с помощью гильбертова бимодуля АЛ над С -алгеброй 21. Эти алгебры обобщают алгебры Кунца-Кригера. Алгебры Кунца-Пимзнера исследовались во многих работах, в частности [17],[18],[33],[36],[47],[48].
Можно также упомянуть работы [7],[22],[37],[38]. Алгебры Теплица, Кунца, Кунца-Кригера и Кунца-Пимзнера, так же как и алгебры, ассоциированные с операторами под сдвига [37], [38] могут быть представлены в виде граф-алгебр. Это алгебры, порожденные ориентированными графами в том смысле, что дуги и вершины графа интерпретируются как частичные изометрий, порождающие алгебру, с определенными графом соотношениями на проекторы на начальные и конечные подпространства [17],[32],[48].
Другое активно развивающееся направление исследований связано с обобщением понятия скрещенного произведения. Исследуя алгебру Оп (доказывая единственность и простоту), Кунц в [12] рассматривал ее как скрещенное произведение UНF-алгевры по эндоморфизму по аналогии с обычным скрещенным произведением. Пашке в [43] обобщил резулвтат, ис-полвзуя ту же стратегию. Зндоморфизмві С -алгебр стали исполвзоватвся различивши авторами, например [19],[62]. Стэйси в [53] охарактеризовал скрещенное произведение в терминах ковариантного представления. Скрещенное произведение по полугруппе эндоморфизмов рассматривалосв, например, в [5], [11]. В работах [21],[39],[52] рассматривалосв частичное действие групп и частичное скрещенное произведение. В статве [1] предложен еще одна обобщающая конструкция, где эндоморфизм С -алгебрві строится с помощвю оператора частичной изометрии.
В данной работе исследуется С -алгебра M ,, которая является обобщением С -алгебрві A ,, порожденной отображением ср на счётном множестве X. Понятие С -алгебрві, порожденной отображением бвіло введено в работах [24], [64].
Алгебра Mр является операторной алгеброй, порожденной семейством частичнвгх изометрии и алгеброй мулвтипликаторов, или, что то же самое, полугруппой (с некоторой системой соотношений на образующие) и мак-сималвной коммутативной подалгеброй. Исходивши даннвши являются заданное отображение счётного множества в себя, определяющее на пространстве I2 оператор обратного образа индуцирующий семейство частичнвгх изометрии, которое, вместе с мулвтипликаторами, состовляют множество образующих. При этом проекторві на началвнвю и конечнвю подпространства частичнвгх изометрии удовлетворяют определеннвш соотношениям.