Теоремы о минимуме модуля и множество Фату целой функции с лакунами Рахматуллина, Жанна Геннадьевна

Введение к работе

Актуальность темы. Важное значение в теории функций, дифференциальных уравнений, теории чисел и других разделах анализа имеет изучение асимптотических свойств целых или аналитических в некоторых областях функций. Существенный вклад в развитие данного направления внесли такие математики, как Э. Борель, А. Виман, Полна, а также У. Хейман, В. Фукс, Т. Ковари, А.Ф.Леонтьев, М.Н.Шеремета, A.M. Гайсин и другие.

Пусть 0 < р_п t оо (р_п Є N) и

(і)

со 1
< ОО
п=1р_п

В этом случае говорят, что целая функция

оо . .

a_nz^Pn (a_n ^ 0; z = x + гу) (2)

имеет лакуны Фейера. Отметим, что условие (1) возникает при изучении асимптотики целых функций вида (2) или рядов Дирихле без всякого ограничения на рост.

Естественно возникает задача об изучении асимптотики степенных рядов или рядов Дирихле в зависимости от их роста на тех или иных неограниченных континуумах, отличных от плоскости. Одна из таких задач, где в качестве континуума берется кривая, для рядов (2) впервые была рассмотрена Полна в [1]. В той же статье им была сформулирована гипотеза: если сумма / ряда (2) имеет конечный порядок и п = о(р_п) при п -Л оо, то

— lnm(r,/) ₌

r->co In M(r,f)

где M(r, /) = max \f(z)\ и m(r, /) = min \f{z)\.

\z\=r \z\=r

Справедливость гипотезы Полна следует из результатов работ [2]-[4]. Задача Полна, когда функция f(z) имеет бесконечный нижний порядок, представляет собой сложную проблему. При различных достаточных условиях на последовательность {р_п} эта задача была решена Т. Ковари [5], У. Хейманом [6], СкаскивымО.Б. [7]. Наконец, в [8] было найдено существенно слабое, но достаточное условие на последовательность {рп}-, при выполнении которого вне некоторого множества нулевой логарифмической плотности при г —У оо верно асимптотическое равенство

In M(r,/) = (l + o(l))lnm(r,/). (3)

В настоящей диссертации ставится задача: найти неулучшаемые условия на последовательность {р_п}_: при выполнении которых для любой функции / вида (2) выполнялось бы равенство типа (3).

Другая задача связана с исследованием множества Фату целой функции бесконечного порядка, представленной рядом (2). Здесь проблема состоит в том, чтобы найти оптимальные условия на jj)_n}, при выполнении которых любая компонента множества Фату целой функции вида (2) ограничена.

Исследование множеств Фату J-(f) для функций вида (2) теснейшим образом связано с первой задачей и с рядом известных классических проблем. В течение всего XX века появилось огромное количество статей, касающихся значений Пикара, борелевских и асимптотических значений, направлений Жюлиа, проблем о связи максимума и минимума модуля, а также распределения значений целых функций с различными лакунарны-ми условиями (см., например, работы [1] [17], где содержится достаточно полная информация по данным вопросам).

Задачей об ограниченности компонент множества Фату целой трансцендентной функций (конечного и бесконечного) порядка с лакунами определенного вида занимался Ванг [18]. В его работе указаны достаточные условия на последовательность {р_п}, при выполнении которых множество Фату функции вида (2) не имеет неограниченных компонент.

Задача Полна допускает более общую постановку, в которой величина т(г, /) определяется по некоторым «незначительно деформированным окружностям». В этом случае найден критерий справедливости равенства типа (3) для любой функции / вида (2). Этот результат оказался существенным для получения ответа и на вторую задачу. Отметим, что в обоих случаях на рост исследуемой функции никаких ограничений не накладывается.

Доказанные в диссертации основные теоремы обобщают и усиливают все ранее известные результаты, в том числе Гайсина A.M. [8], а также Ванга [18].

Целью работы является:

1) Найти неулучшаемые условия на последовательность {р_п}, при
которых для любой функции / вида (2) справедливо равенство типа (3);
решить аналогичную задачу и для рядов Дирихле

a_ne^Ks (0 < Л_п t ос; s = a + it), (4)

п=\

абсолютно сходящихся во всей плоскости.

1. Для интерпретации условий основных теорем о минимуме модуля дать геометрическое описание основных характеристик распределения точек последовательности показателей ряда (4).

2. Для целой функции / вида (2) найти оптимальные условия на последовательность {р_п}, при которых каждая компонента множества Фату функции / ограничена.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы новые. Получены следующие результаты:

1. Доказан критерий справедливости равенства типа (3) (минимум модуля функции F вычисляется по некоторым «незначительно деформированным отрезкам») для любой функции F вида (4). Тем самым соответствующая задача полностью решена и для рядов (2).

2. Получено наглядное геометрическое описание основных характеристик распределения последовательности показателей ряда (4) с лакунами Фейера.

3. Указан способ оценки модуля суммы ряда Дирихле на вертикальном отрезке через ее максимум (а также через минимум) модуля на меньшем отрезке, основанный на применении преобразования Фурье. Ранее в подобных оценках, как правило, использовалась лемма Турана.

4) Найдены в некотором смысле оптимальные условия на последовательность при которых каждая компонента множества Фату целой функции вида (2) ограничена.

Методика исследования. В диссертации используются методы комплексного анализа, теории рядов Дирихле, целых функций, гармонического анализа и теории итераций.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные в ней результаты и разработанная методика могут быть полезны в теории целых функций, рядов экспонент, дифференциальных уравнений, спектральной теории. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Математическом институте имени В.А. Стеклова РАН, Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН, Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В.А. Стеклова РАН, Московском, Южном федеральном, Саратовском, Львовском, Харьковском, Башкирском, Нижегородском госуниверситетах, а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация результатов. Результаты работы докладывались на семинарах Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН; на Международной конференции «Теория приближений», ММИ им. Эйлера (С.-Пб., 2010); на Международной конференции по комплексному анализу, посвященной памяти А.А.Голдберга (Львов, 2010); на Международной конференции «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (оз. Якты-куль, Башкортостан, 2010); на Международной конференции «Спектральная теория операторов и ее приложения», посвященной памяти А.Г.Костюченко (Уфа, 2011); на VI Уфимской международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» посвященной 70-летию В.В.Напалкова (Уфа, 2011).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы. Объем диссертации составляет 95 страниц. Библиография — 64 наименования.