Введение к работе
Актуальность темы. Работа поспяшена нахождению точных констант с неравенствах для положительных линейных и сублинейных операторов, действующих на конусах монотонных функипіі.
Вопрос о точной константе сопровождает многие задачи математического анализа. Начиная с классической монографии Г.Г.Хардп, Дж.Литтлвуда и Г.По-лиа "Неравенства", многочисленные примеры такого сорта можно найти в литературе по вариационному исчислению (Г.Блнсс, М.А.Лаврентьев и Л.А.Люстерннк, Н.И.Ахпезер, и др.) экстремальным задачам, теории приближений (В.М.Тихомиров) и многим другим областям. С развитием функционального анализа, теории линейных преобразовании, задача о точной константе, как значении нормы некоторого оператора, приобрела новый смысл и, фактически, неотделима от хорошо известной задачи об его ограниченности.
В последнее время возобновился интерес к неравенствам типа Харди на монотонных функциях, значение которых для теории ортогональных рядов еще в 50-х годах было отмечено С.Б.Стечкиным. Для простейшего оператора интегрирования Харди критерий его ограниченности в весовой лебеговской норме на монотонных функциях был получен Д.Бондом, С.Г.Крейном и Е.М.Семеновым, а затем, в явном виде, М.Арнньо и Б.Макенхоуптом. Эти результаты дали импульс серии работ по следующим направлениям:
изучение случаев различных весов и индексов суммирования,
переход к операторам и пространствам более общего типа,
оценка и вычисление норм, и нашли обобщение в статьях К.Андерсена, Е.И.Бережного, М.Л.Гольдмана, К.Нойгебауэра, Э.Сойера, В.Д.Степанова, Г.Хайнига, многих других авторов. В настоящее время проблематика интенсивно развивается.
Цель работы - исследовать в возможно более общем виде задачу о нахождении точной константы в неравенстве для положительных операторов, выполненном на классе монотонных неотрицательных функций.
Методы исследования. Основными методами исследования являются методы математического анализа и теории функций, при этом наиболее интенсивно применены методы теории интегральных операторов и теории нормированных пространств.
Научная новизна. Представленные п диссертации результаты можно разделить на три основные группы.
-
Найдена точная константа в неравенстве для монотонных функций и интегральных операторов, действующих в весовых лебеговых пространствах.
-
Получена точная константа в неравенстве (I), выполненном для монотонных функций, при дополнительном требовании выпуклости и вогнутости операторов и пространств.
-
Результаты обобщены для классов квазимонотонных или раднально монотонных функций, а также даны примеры применения результатов для изучения ограниченности операторов, не являющихся положительными.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть применены в теории интерполяции, в теории функциональных пространств и интегральных уравнений.
Апробация работы. Результаты обсуждены на научно-реферативном семинаре "Функциональный анализ" под рук. профессора В.Д.Степанова на кафедре Высшей математики ХГТУ, на Российско-Японской конференции "Интегральные уравнения математической физики" (Хабаровск, сент. 1993 г.), на заседании секции "Анализ и геометрия" II Сибирского Конгресса по индустриальной и прикладной математике (Новосибирск, июнь 1996 г.).
Публикации. Основные результаты опубликованы в 1993-96 годах в работах [I-4], список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, разделенных на 22 параграфа, и списка литературы. Объем диссертации - 115 страниц, подготовленных в редакторской системе WinWord 2.0. Библиография включает 94 наименования.
