Введение к работе
Актуальность теш. Классической группой принято называть либо группу всех обратимых матриц над полем или телом г , либо ее подгруппу, сохраняющую некоторую невыроаденную форму (симметрическую, косссимметрическую, эрмитову или антиэрмитову). В случае Р- и\ , С ,О получаются классические группы Ли Они являются центральным объектом теории представлений, начиная с работ И.Шура и Г.Вейля по конечномерным представлениям и вплоть до настоящего времени, когда особое внимание привлекает проблема классификации унитарных представлений.
Бесконечномерные классические группы определяются как индуктивные пределы вида G = fan Ы G Ы , где { G-(n)} -одна из серий классических групп, или как пополнения Qr групп G* в подходящей топологии. Элементы групп G , G" реализуются матрацами бесконечного формата или операторами в гильбертовом пространстве над
Такие группы естественно возникают во многих разделах математики и математической физики. Например, в топологии, где с ними связаны некоторые эффекты стабилизации; в методе вторичного квантования, где важную роль играют бесконечномерная симплекти-ческая и бесконечномерная ортогональная группы; в теории гаус-совских случайных процессов и полей.
Интерес к представлениям бесконечномерных классических групп оправдан уже тем фактом, что они являются прямым обобщением обычных классических групп Ли. Имеется и ряд других причин, среди которых моано выделить следующие.
I. Обращение к индуктивным пределам -Ь-позволяет по-новому взглянуть на традиционную теорию представлений и приводит к задачам и результатам нового типа даже в контексте конечномерных представлений. Примером является новое направление, инициированное А.М.Верпшком - асимптотическая теория представлений классических и симметрических групп.
-
Исследование представлений бесконечномерных классических групп является необходимой частью более широкой программы, охватывающей также группы диффеоморфизмов многообразий, группы токов, алгебры Каца-Муди и т.д. Эти бесконечномерные объекты вызывают сейчас большой интерес благодаря их приложениям к математической физике. Между ними существуют замечательные связи. В частности, с помощью бесконечномерных классических групп удается построить целый ряд серий новых унитарных представлений для группы диффеоморфизмов окружности и групп петель (Ю.А.Неретин).
-
Как и все бесконечномерные группы, бесконечномерные классические группы лишены меры Хаара, играющей, как известно, фундаментальную роль в аппарате теории представлений локально компактных групп. В то же время они обладают чрезвычайно богатой структурой и такими свойствами, которых нет у обычных классических групп Ли. В результате для бесконечномерных классических групп возникает содержательная и весьма нестандартная теория представлений. Особенно важно, что при этом выявляются новые перспективные контакты с другими областями математики. Например, изучение сферических функций и характеров бесконечномерных классических групп неожиданно оказывается тесно связанным с рядом вопросов анализа, берущих начало от классических работ И.Шенберга в Н.Г.Крейна.
Цель работы состоит в построении систематической теории неприводимых унитарных представлений бесконечномерных классических групп. В основу теории кладется предложенный автором формализм допустимых представлений )- пар, связанных с бесконечномерными рикановыми симметрическими пространствами. Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
1. Для трех серий групп
S00(p,o), ТГ(р,оо), Sp(p,o"), p=i,2,...,
свпзапшзс с бесконечномерными сндаетрическгаш пространствами конечного ранга р , построены все неприводимые допустимые представления. Доказало, что пополнения указанных групп относительно сильной операторной топологии являются топологическими группами типа І в смысле фон Неймана. Тем самым, впервые обнаружено счетное семейство не локально компактных групп типа I. Описаны "особые" неприводимые унитарные представления конечномерных групп U (р> ^) , которые в пределе Ц,-> о аппроксимируют неприводимые допустимые представления групп и(р,) .
2. Для модельных ( G- , |\ )-пар бесконечного ранга, а
именно, пары ( G-L(^C), її («О ) некомпактного типа и
двойственной ей пары
(V(6)xXJ(oo\ U(cc))
компактного типа построено многопараметрическое семейство допустимых представлений. Доказано, что полученные представления неприводимы, попарно не эквивалентны а допускают непрерывное продолжение на топологическое пополнение группы G" , определяемое метрикой Гильберта-Шмидта. Описано правило разложения тензорных произведении. Установлена связь неприводимых допустимых представлений
пары с факторпредставлениями груп-
пы U (со) , позволяпцая усилить ранее известные результаты о факторпредставлениях.
3. Для трех бесконечномерных классических алгебр Ли 0(оо,С), построено расширение универсальной обертывающей алгебры, содержащее кольцо "виртуальных операторов Лапласа" и действующее в представлениях. Подробно исследована структура ассоциативной алгебры А , возникающей в случае 0(оо, С) : найдены образующие и определяющие квадратичные соотношения алгебры А , получена ее реализация дифференциальными операторами на пространстве бесконечных матриц, установлена связь алгебры А с янгианами алгебр Ли
.'«етодика исследования. В диссертации развит ряд оригинальных методов и приемов, использующих специфику бесконечномерных классических групп. Из них основными являются метод полутрупп двойных классов и метод голоморфных расширений: первый позволяет получить классификацию допустимых представлений для ((г, К) --пар конечного ранга, второй - доказывать неприводимость допустимых представлений. В методе полугрупп двойных классов используется теорема М.Липера и Г.Мака (1975) об аналитическом продолжении представлений конечномерных "полугрупп Ли", инспирированная некоторыми задачами квантовой теории поля. В конструкциях представлений важную роль играют унитаризуемые 1Л (р, ф") - модули со старшим весом. Они изучались в работах Р.їау, М.Кашивары, М.Вернь, автора и др. Известный формализм дуальных пар Р.Хау используется при выводе правила разложения тензорных произведений допустимых представлений.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты находят применения к построению новых представлений группы диффеоморфизмов окружности и групп петель, а также к случайным полям Леви. Методы, изложенные в диссертации, оказываются полезными в исследовании представлений индуктивных пределов симметрических групп, конечных классических групп, р -адических групп Ли, а также в теории квантовых групп.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на семинарах МГУ, ЛОШ, Института математики АН УССР, на заседании Московского математического общества (1981), в ХУІ Воронежской зимней школе (1982), ХП Школе по теории операторов в функциональных пространствах (Тамбов, 1987), Школе-семинаре по теоретико-групповым методам в физике (Тамбов, 1989), на Международной конференции памяти акад. А.И.Мальцева (Новосибирск, 1989), в 3-й Сибирской школе по алгебре з анализу (Иркутск,1989).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в статьях [1-9] , список которых представлен в конце автореферата.
Структура диссертации. Работа состоит из введения и четырех глав, разбитых на параграфы. Имеются две таблицы. В списке литературы 130 назв.
